布朗運動運用的物理研究方法

A. 最了不起的發現之一—布朗運動，極大地影響了我們對宇宙的理解

布朗運動是指懸浮在液體或氣體中的微粒所做的永不停息的無規則運動。它最早是由羅伯特-布朗在19世紀描述的，當時他觀察到小的花粉顆粒以顫抖的方式移動。這種運動已經成為一個深入研究的課題，並導致了整個科學的眾多進步。

當羅伯特-布朗描述這種運動時，氣體的動力學理論正在發展中，該理論將氣體描述為一群隨機地相互碰撞的粒子。當我們觀察到越來越多的這種隨機相互作用時，溫度和壓力之類的量就開始出現了。

進入20世紀後，這種理論仍有爭議，統計力學也沒有被完全接受。然後，愛因斯坦出現了。他在1905年和1908年發表了兩篇論文，將布朗運動正式化，並布置了具體的實驗來證明氣體的動力學理論是真實的。這些實驗是由讓·巴蒂斯特·佩林（ Jean Baptiste Perrin）完成的，他驗證了愛因斯坦的理論，並證明了氣體動力學理論的准確性。佩林因為這個實驗在1926年獲得了諾貝爾物理學獎。

這是物理學的一個重大發展，對我們對宇宙的理解產生了巨大影響。到目前為止，我只籠統地談了布朗運動。如果能有一些具體的方程來談，那就更好了。不幸的是，愛因斯坦的描述並不容易理解。我們將使用保羅-朗格文的理論，他聲稱他的推理是 "無限簡單的"。

朗溫做了很多工作。他的貢獻包括提出 "孿生佯謬"，利用超聲波定位潛艇的專利，以及在順磁性和抗磁性方面的大量工作。他還因與瑪麗-居里有染而受到議論（她是寡婦，但他是已婚）。在這篇文章中，我們將看一下他對布朗運動的正式描述的推導。

郎之萬從以下方程出發，這是統計力學的一個結果。

其中m是質量，v是速度，k是玻爾茲曼常數，T是溫度。請注意，符號">"表示我們在取平均量。這個方程適用於一定體積的氣體，所以左手邊是該氣體中每個粒子的平均值。

現在，讓我們挑出一個質量為m的特定粒子。我們發現有兩個力作用於它。第一個是阻力，我們用-F*v來表示，其中F是一個常數，取決於粒子（我們假設F對每個粒子都是一樣的），v是速度。第二個是由B給出的，它代表粒子的隨機 "波動"。我們假設B的平均值是0。

如果你把每項都乘以x，然後用乘積法則做一些變換，你會得到下面的方程式。

試著自己推導一下吧。

現在，取每個項的>。也就是說，對我們體積中的每個粒子進行平均。得到了：

我做了一點整理，但也注意到B*x項沒有了。為什麼我們可以消掉它？之前我說過，我們假設B的平均值是0。這意味著當我們觀察體積中每個粒子所經歷的隨機碰撞時，它會被抵消掉。因為我們假設一個粒子所經歷的隨機波動（B）與它的位置（x）沒有關系，這是一個很大的假設，其他人已經在沒有這個假設的情況下完成了這個推導。

這個方程是可解的 。 我們來求 的一次導數的解。我得到

其中C是任意常數。朗之萬指出指數項是無關緊要的。去掉這一項並求解 得到解：

其中 的初始值為A。這是一個非常強大的方程！它使我們能夠估計 "擴散 "的程度。它允許我們純粹通過了解氣體的溫度（T）和粒子的微觀屬性（F），來估計氣體是如何「擴散」的。布朗運動是一個令人難以置信的工具，它使我們能夠將微觀運動與宏觀動力學聯系起來！推導出這個方程是至關重要的。推導出這個方程是理解隨機過程的關鍵步驟。

這個解也非常類似於我在這篇文章中描述的 "隨機波動 "情況，但它反而被應用於理想化的氣體。

如果你有興趣閱讀更多關於布朗運動的文章，我強烈推薦這本書。我是從這本書中得到這個推導的。你會發現，即使在第一章，這些想法也可以進一步得到非常有趣的結果。

B. 布朗是怎樣發現布朗運動的

「布朗運動」是一種很有名的自然現象，它向人們展示了分子世界的面貌，布朗運動的發現者羅伯特·布朗在肉眼可以觀察得到的現象與肉眼看不見的分子世界之間架起了一座橋梁，為證明分子的存在提供了確鑿的證據。

1773年12月21日，布朗（Robert Brown）出生於蘇格蘭的蒙特羅斯，曾在愛丁堡大學學習醫學，其後應征在海軍服役。1795年獲該校醫學博士學位。由於他對植物學很感興趣，受到了著名植物學家班克斯的賞識，在1801—1805年間，布朗隨班克斯赴澳大利亞探險，在當地採集到四千多種植物標本。回國以後，布朗負責管理這些標本，進行植物分類學的研究。

1827年，當布朗五十三歲的時候，他已經是很有名的植物學家了，而且擔任了大英博物館植物部的負責人。當時他正在探討花粉在植物受精過程中的功能，他從成熟的花粉囊中採集了花粉粒，並把它們浸泡在水中，然後放在顯微鏡下觀察。那個時候的顯微鏡當然比現代的顯微鏡要差得多，當時布朗所用的顯微鏡的放大倍數只有三百倍左右。他在顯微鏡下觀察到，在花粉分裂出來的微粒中，有些是圓筒形的，他繼續觀察這些微粒，以為這樣就可以了解到花粉在受精過程中的作用。正當他細心地觀察和耐心地等待時，意外地發現這些微粒全都在作顫抖似的運動。這一現象使布朗迷惑不解，到底是由於水在流動而引起了這些微粒的運動？還是因為微粒本身就會產生運動？

為了揭開這一自然界的奧秘，布朗將已經熟透的花粉囊中的花粉粒取出，把它們浸泡在水中。這一次發現的現象更為奇怪，他先前在顯微鏡下觀察到的那種圓筒形的微粒為數不多，大量存在的都是更小的球形微粒，它們的運動比圓筒形的微粒更為劇烈。

這個意外的發現，使布朗暫時把對花粉在授精作用中的功能的研究放下來，專心致志地觀察這些微粒的運動。他取來了各種植物的花粉，把它們浸泡在水裡，它們的微粒的大小和形狀雖然有些不同，但是卻存在著一種共同的特性， 就是所有的微粒都在劇烈地運動。
布朗進一步推想，也許這種微粒運動不僅僅限於花粉。於是他把苔類的葉子弄碎，也浸泡在水中，同樣能夠觀察到運動著的微粒。他把可以取得的有機物（例如動物、植物、樹脂、樹膠）都作為觀察的對象，甚至連煤、灰塵和化石也不放過。結果是毫無例外地都發現微粒在運動。

布朗還考慮到：「在有機物中，毫無疑義地存在著這種微粒，但是它們是否存在於無機物中呢？」他把玻璃片粉碎，還取來了各種岩石（如鍾乳石、熔岩、沸石、花崗岩、火山灰）和礦石（如錳、鉍、銻、砷、鎢的礦石），還有石棉、石墨等，將它們研成細粉，懸浮在水中。觀察的結果都證實了有機物和無機物中所含有的，用顯微鏡才能夠看得見的微粒無不都在水中生氣勃勃地亂動著。就這樣，布朗發現了這一自然現象——「布朗運動」。

後來，布朗想通過進一步的研究，了解和闡明微粒發生運動的原因。但是，終究因為受到當時科學水平的限制，未能弄清問題的本質。布朗於1858年6月10日在倫敦逝世，享年84歲。

1905年，傑出的物理學家愛因斯坦提出了微粒運動理論，闡明了布朗運動是由分子運動所引起的，愛因斯坦的理論又為佩蘭法的實驗所證實。佩蘭還利用這一理論測定了阿佛加德羅常數。

C. 布朗運動 物理研究方法

A、牛頓通過對天體運動的研究，根據開普勒定律、牛頓第二定律、第三定律，直接得出萬有引力定律，這種方法不是轉換法．故A錯誤．
B、愛因斯坦在普朗克量子學說的啟發下提出了光子說，採用的是類比法．故B錯誤．
C、歐姆在研究電流與電壓、電阻關系時，採用的控制變數法得到了歐姆定律．故C錯誤．
D、奧斯特通過放在通電直導線下方的小磁針發生偏轉，根據小磁針的偏轉得出通電導線的周圍存在磁場的結論，是一種轉換法．故D正確．
故選：D

D. 布朗運動的具體證明方法

懸浮微粒不停地做無規則運動的現象叫做布朗運動
這是1826年英國植物學家布朗（1773-1858）用顯微鏡觀察懸浮在水中的花粉是發現的。後來把懸浮微粒的這種運動叫做布朗運動。不只是花粉和小炭粒，對於液體中各種不同的懸浮微粒，都可以觀察到布朗運動。

那麼，布朗運動是怎麼產生的呢？在顯微鏡下看起來連成一片的液體，實際上是由許許多多分子組成的。液體分子不停地做無規則的運動，不斷地抓高年級微粒。懸浮的微粒足夠小時，受到的來自各個方向的液體分子的撞擊作用是不平衡的。在某一瞬間，微粒在另一個方向受到的撞擊作用強，致使微粒又向其它方向運動。這樣，就引起了微粒的無規則的布朗運動。

1827年，蘇格蘭植物學家R。布朗發現水中的花粉及其它懸浮的微小顆粒不停地作不規則的折線運動，稱為布朗運動。人們長期都不知道其中的原理。50年後，J·德耳索提出這些微小顆粒是受到周圍分子的不平衡的碰撞而導致的運動。後來得到愛因斯坦的研究的證明。布朗運動也就成為分子運動論和統計力學發展的基礎。
懸浮在液體或氣體中的微粒(線度~10－3mm)表現出的永不停止的無規則運動，如墨汁稀釋後碳粒在水中的無規則運動，藤黃顆粒在水中的無規則運動……．而且溫度越高，微粒的布朗運動越劇烈．布朗運動代表了一種隨機漲落現象，它不僅反映了周圍流體內部分子運動的無規則性，關於它的理論在其他許多領域也有重要應用，如對測量儀表測量精度限度的研究、對高倍放大的電訊電路中背景雜訊的研究等等．

19世紀中對布朗運動的研究

布朗的發現是一個新奇的現象，它的原因是什麼？人們是迷惑不解的。在布朗之後，這一問題一再被提出，為此有許多學者進行過長期的研究。一些早期的研究者簡單地把它歸結為熱或電等外界因素引起的。最早隱約指向合理解釋的是維納(1826——1896)，1863年他提出布朗運動起源於分子的振動，他還公布了首次對微粒速度與粒度關系的觀察結果。不過他的分子模型還不是現代的模型，他看到的實際上是微粒的位移，並不是振動。

在維納之後，S·埃克斯納也測定了微粒的移動速度。他提出布朗運動是由於微觀范圍的流動造成的，他沒有說明這種流動的根源，但他看到在加熱和光照使液體粘度降低時，微粒的運動加劇了。就這樣，維納和S.埃克斯納都把布朗運動歸結為物系自身的性質。這一時期還有康托尼，他試圖在熱力理論的基礎上解釋布朗運動，認為微粒可以看成是巨大分子，它們與液體介質處於熱平衡，它們與液體的相對運動起源於滲透作用和它們與周圍液體之間的相互作用。

到了70——80年代，一些學者明確地把布朗運動歸結為液體分子撞擊微粒的結果，這些學者有卡蓬內爾、德爾索和梯瑞昂，還有耐格里。植物學家耐格里(1879)從真菌、細菌等通過空氣傳播的現象，認為這些微粒即使在靜止的空氣中也可以不沉。聯繫到物理學中氣體分子以很高速度向各方向運動的結論，他推測在陽光下看到的飛舞的塵埃是氣體分子從各方向撞擊的結果。他說：「這些微小塵埃就象彈性球一樣被擲來擲去，結果如同分子本身一樣能保持長久的懸浮。」不過耐格里又放棄了這一可能達到正確解釋的途徑，他計算了單個氣體分子和塵埃微粒發生彈性碰撞時微粒的速度，結果要比實際觀察到的小許多數量級，於是他認為由於氣體分子運動的無規則性，它們共同作用的結果不能使微粒達到觀察速度值，而在液體中則由於介質和微粒的摩擦阻力和分子間的粘附力，分子運動的設想不能成為合適的解釋。

1874——1880年間，卡蓬內爾、德耳索和梯瑞昂的工作解決了耐格里遇到的難題。這里的關鍵是他們認為由於分子運動的無規則性和分子速度有一分布，在液體或氣體中的微觀尺度上存在密度和壓力的漲落。這種漲落在宏觀尺度上抵消掉了。但是如果壓方面足夠微小，這種不均勻性就不能抵消，液體中的相應的擾動就能表現出來。因此懸浮在液體中的微粒只要足夠小，就會不停地振盪下去。卡蓬內爾明確地指出唯一影響此效應的因素是微粒的大小，不過他把這種運動主要看成振盪，而德耳索根據克勞修斯把分子運動歸結為平動和轉動的觀點，認為微粒的運動是無規則位移，這是德耳索的主要貢獻。

此後，古伊在1888——1895年期間對布朗運動進行過大量的實驗觀察。古伊對分子行為的描述並不比卡蓬內爾等人高明，他也沒有弄清漲落的見解。不過他的特別之處是他強調的不是對布朗運動的物理解釋，而是把布朗運動作為探究分子運動性質的一個工具。他說：「布朗運動表明，並不是分子的運動，而是從分子運動導出的一些結果能向我們提供直接的和可見的證據，說明對熱本質假設的正確性。按照這樣的觀點，這一現象的研究承擔了對分子物理學的重要作用。」古伊的文獻產生過重要的影響，所以後來貝蘭把布朗運動正確解釋的來源歸功於古伊。

到了1900年，F·埃克斯納完成了布朗運動前期研究的最後工作。他用了許多懸濁液進行了和他的父親S·埃克斯納30年前作過的同類研究。他測定了微粒在1min內的位移，與前人一樣，證實了微粒的速度隨粒度增大而降低，隨溫度升高而增加。他清楚地認識到微粒作為巨大分子加入了液體分子的熱運動，指出從這一觀點出發「就可以得出微粒的動能和溫度之間的關系。」他說：「這種可見的運動及其測定值對我們清楚了解液體內部的運動會有進一步的價值」。

以上是1900年前對布朗運動研究的基本情況。自然，這些研究與分子運動論的建立是密切相關的。由麥克斯威和玻爾茲曼在60——70年代建立的氣體分子運動論在概念上的一個重大發展是拋棄了對單個分子進行詳細跟蹤的方法，而代之以對大量分子的統計處理，這為弄清布朗運動的根源打下了基礎。與布朗運動的研究有密切關系的還有在60年代由格雷哈姆建立的膠體科學。所謂膠體是由粒度介於宏觀粒子和微觀分子之間的微粒形成的分散體系，布朗運動正是膠體粒子在液體介質中表現的運動。

對於布朗運動的研究，1900年是個重要的分界線。至此，布朗運動的適當的物理模型已經顯明，剩下的問題是需要作出定量的理論描述了。

愛因斯坦的布朗運動理論

1905年，愛因斯坦依據分子運動論的原理提出了布朗運動的理論。就在差不多同時，斯莫盧霍夫斯基也作出了同樣的成果。他們的理論圓滿地回答了布朗運動的本質問題。

應該指出，愛因斯坦從事這一工作的歷史背景是那時科學界關於分子真實性的爭論。這種爭論由來已久，從原子分子理論產生以來就一直存在。本世紀初，以物理學家和哲學家馬赫和化學家奧斯特瓦爾德為代表的一些人再次提出對原子分子理論的非難，他們從實證論或唯能論的觀點出發，懷疑原子和分子的真實性，使得這一爭論成為科學前沿中的一個中心問題。要回答這一問題，除開哲學上的分岐之外，就科學本身來說，就需要提出更有力的證據，證明原子、分子的真實存在。比如以往測定的相對原子質量和相對分子質量只是質量的相對比較值，如果它們是真實存在的，就能夠而且也必須測得相對原子質量和相對分子質量的絕對值，這類問題需要人們回答。

由於上述情況，象愛因斯坦在論文中指出的那樣，他的目的是「要找到能證實確實存在有一定大小的原子的最有說服力的事實。」他說：「按照熱的分子運動論，由於熱的分子運動，大小可以用顯微鏡看見的物體懸浮在液體中，必定會發生其大小可以用顯微鏡容易觀測到的運動。可能這里所討論的運動就是所謂『布朗分子運動』」。他認為只要能實際觀測到這種運動和預期的規律性，「精確測定原子的實際大小就成為可能了」。「反之，要是關於這種運動的預言證明是不正確的，那麼就提供了一個有份量的證據來反對熱的分子運動觀」。

愛因斯坦的成果大體上可分兩方面。一是根據分子熱運動原理推導
是在t時間里，微粒在某一方向上位移的統計平均值，即方均根值，D是微粒的擴散系數。這一公式是看來毫無規則的布朗運動服從分子熱運動規律的必然結果。

愛因斯坦成果的第二個方面是對於球形微粒，推導出了可以求算阿
式中的η是介質粘度，a是微粒半徑，R是氣體常數，NA為阿伏加德羅常數。按此公式，只要實際測得准確的擴散系數D或布朗運動均方位 得到原子和分子的絕對質量。愛因斯坦曾用前人測定的糖在水中的擴散系數，估算的NA值為3.3×1023，一年後(1906)又修改為6.56×1023。

愛因斯坦的理論成果為證實分子的真實性找到了一種方法，同時也圓滿地闡明了布朗運動的根源及其規律性。下面的工作就是要用充足的實驗來檢驗這一理論的可靠性。愛因斯坦說：「我不想在這里把可供我使用的那些稀少的實驗資料去同這理論的結果進行比較，而把它讓給實驗方面掌握這一問題的那些人去做」。「但願有一位研究者能夠立即成功地解決這里所提出的、對熱理論關系重大的這個問題！」愛因斯坦提出的這一任務不久之後就由貝蘭(1870——1942)和斯維德伯格分別出色的完成了。這里還應該提到本世紀初在研究布朗運動方面一個重大的實驗進展是1902年齊格蒙第(1865——1929)發明了超顯微鏡，用它可直接看到和測定膠體粒子的布朗運動，這也就是證實了膠體粒子的真實性，為此，齊格蒙第曾獲1925年諾貝爾化學獎。斯維德伯格測定布朗運動就是用超顯微鏡進行的。

貝蘭測定阿伏加德羅常數的實驗

1908到1913年期間，貝蘭進行了驗證愛因斯坦理論和測定阿伏加德羅常數的實驗研究。他的工作包括好幾方面。在初期，他的想法是，既然在液體中進行布朗運動的微粒可以看成是進行熱運動的巨大分子，它們就應該遵循分子運動的規律，因此只要找到微粒的一種可用實驗觀測的性質，這種性質與氣體定律在邏輯上是等效的，就可以用來測定阿伏加德羅常數。1908年，他想到液體中的懸浮微粒相當於「可見分子的微型大氣」，所以微粒濃度(單位體積中的數目)的高度分布公式應與氣壓方程有相同的形式，只是對粒子受到的浮力應加以校正。這一公式是：ln(n／n0)=-mgh(1-ρ／ρ0)／kt。式中k是波爾茲曼常數，自k和NA的關系，公式也可寫成ln(n／n0)=-NA mgh(1-ρ／ρ0)／RT。根據此公式，從實驗測定的粒子濃度的高度分布數據就可以計算k和NA。

為進行這種實驗，先要製得合用的微粒。制備方法是先向樹脂的酒精溶液中加入大量水，則樹脂析出成各種尺寸的小球，然後用沉降分離的方法多次分級，就可以得到大小均勻的級份(例如直徑約3／4μm的藤黃球)。用一些精細的方法測定小球的直徑和密度。下一步是測定懸浮液中小球的高度分布，是將懸浮液裝在透明和密閉的盤中，用顯微鏡觀察，待沉降達到平衡後，測定不同高度上的粒子濃度。可以用快速照相，然後計數。測得高度分布數據，即可計算NA。貝蘭及其同事改變各種實驗條件：材料(藤黃、乳香)，粒子質量(從1到50)，密度(1.20到1.06)，介質(水，濃糖水，甘油)和溫度(-90°到60°)，得到的NA值是6.8×1023。

貝蘭的另一種實驗是測量布朗運動，可以說這是對分子熱運動理論的更直接證明。根據前述的愛因斯坦對球形粒子導出的公式，只要實驗液，在選定的一段時間內用顯微鏡觀察粒子的水平投影，測得許多位移數值，再進行統計平均。貝蘭改變各種實驗條件，得到的NA值是(5.5-7.2)×1023。貝蘭還用過一些其它方法，用各種方法得到的NA值是：

6.5×1023 用類似氣體懸浮液分布法，

6.2×1023 用類似液體懸浮液分布法，

6.0×1023 測定濃懸浮液中的騷動，

6.5×1023 測定平動布朗運動，

6.5×1023 測定轉動布朗運動。

這些結果相當一致，都接近現代公認的數值6.022×1023。考慮到方法涉及許多物理假設和實驗技術上的困難，可以說這是相當了不起的。以後的許多研究者根據其它原理測定的No值都肯定了貝蘭結果的正確性。與貝蘭差不多同時，斯維德伯格(1907)用超顯微鏡觀測金溶膠的布朗運動，在測定阿伏加德羅常數和驗證愛因斯坦理論上也作出了出色的工作。可以說他們是最先稱得原子質量的人，所以在1926年，貝蘭和斯維德伯格分別獲得了諾貝爾物理學獎和化學獎。

就這樣，布朗運動自發現之後，經過多半個世紀的研究，人們逐漸接近對它的正確認識。到本世紀初，先是愛因斯坦和斯莫盧霍夫斯基的理論，然後是貝蘭和斯維德伯格的實驗使這一重大的科學問題得到圓滿地解決，並首次測定了阿伏加德羅常數，這也就是為分子的真實存在提供了一個直觀的、令人信服的證據，這對基礎科學和哲學有著巨大的意義。從這以後，科學上關於原子和分子真實性的爭論即告終結。正如原先原子論的主要反對者奧斯特瓦爾德所說：「布朗運動和動力學假說的一致，已經被貝蘭十分圓滿地證實了，這就使那怕最挑剔的科學家也得承認這是充滿空間的物質的原子構成的一個實驗證據」。數學家和物理學家彭加勒在1913年總結性地說道：「貝蘭對原子數目的光輝測定完成了原子論的勝利」。「化學家的原子論現在是一個真實存在」。

E. 什麼是布朗運動

布朗運動是懸浮在液體或氣體中的微粒所作的永不停息的無規則運動。它是一種正態分布的獨立增量連續隨機過程，是隨機分析中基本概念之一。

其基本性質為：布朗運動W(t)是期望為0方差為t(時間)的正態隨機變數。對於任意的r小於等於s，W(t)-W(s)獨立於的W(r)，且是期望為0方差為t-s的正態隨機變數。可以證明布朗運動是馬爾可夫過程、鞅過程和伊藤過程。

這些小的顆粒，為液體的分子所包圍，由於液體分子的熱運動，小顆粒受到來自各個方向液體分子的碰撞，布朗粒子受到不平衡的沖撞，而作沿沖量較大方向的運動。又因為這種不平衡的沖撞，使布朗微粒得到的沖量不斷改變方向。

(5)布朗運動運用的物理研究方法擴展閱讀

布朗微粒作無規則的運動。溫度越高，布朗運動越劇烈。它間接顯示了物質分子處於永恆的、無規則的運動之中。

但是，布朗運動並不限於上述懸浮在液體或氣體中的布朗微粒，一切很小的物體受到周圍介質分子的撞擊，也會在其平衡位置附近不停地做微小的無規則顫動。

例如，靈敏電流計上的小鏡以及其他儀器上懸掛的細絲，都會受到周圍空氣分子的碰撞而產生無規則的扭擺或顫動。