誤差分析方法數學建模

⑴ 在數值計算方法中,誤差是如何分類的

1.1 概述

1. 定義數值計算目標: 尋找一個能迅速完成的（迭代演算法）演算法，同時估計計算結果的准確度。

1.2 誤差分析基礎

1. 誤差來源：截斷誤差、舍入誤差、數學建模時的近似、測量誤差（數據誤差）

2. 誤差的分類：

絕對誤差e(\hat{x}) = \hat{x} - x ；誤差限

相對誤差 e_r(\hat{x}) = \frac{\hat{x} - x}{x} 或者 e_r(\hat{x}) = \frac{\hat{x} - x}{\hat{x}} ；相對誤差限

3. 定義有效數字：從左到右第一位非零數字開始的所有數字

定理：設x與其近似值\hat{x} 的第一位有效數字相同，均為d_0 ，若\hat{x} 有p位正確的有效數字，則其相對誤差滿足：

|e_r(\hat{x})| \leq \frac{1}{d_0} \times 10^{-p + 1}

定理：設對x保留p位有效數字後得到近似值 \hat{x} ，則相對誤差滿足：

|e_r(\hat{x})| = \frac{1}{2d_0} \times 10^{-p+1}

定理：設x的第一位有效數字為 d_0 ，若近似值\hat{x} 的相對誤差滿足 |e_r(\hat{x})| \leq \frac{1}{2(d_0 + 1)} \times 10^{-p + 1} 則\hat{x} 具有p位正確的有效數字，或者在保留p位有效數字後 \hat{x} = x

定理：若x的近似值在 \hat{x} 相對誤差滿足 |e_r(\hat{x})| \leq \frac{1}{2} \times 10^{-p} ，則 \hat{x} 至少有p位正確的有效數字，或者在保留p位有效數字後 \hat{x} = x

應用：可以不嚴謹的說如果相對誤差不超過 10^{-p} 怎有p位正確的有效數字

4. 區分：精度（precision）：有效數字的位數有關

准確度（accuracy）：與准確的有效數字的位數有關

5. 數據傳遞誤差與計算誤差：考慮 f(x), f(\hat{x}), \hat{f}(\hat{x})

計算誤差：計算過程中的近似引起的誤差，例 \hat{f}(\hat{x}) - f(\hat{x})

數據傳遞誤差：單純由輸入數據誤差引起的計算結果的誤差，例 f

⑵ 線性數據擬合誤差分析有哪些方法

曲線擬合一般方法包括： 1 用解析表達式逼近離散數據的方法 2 最小二乘法 最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數學優化技術。它通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數據

⑶ 數學建模中怎麼做誤差分析

添加檢驗，誤差大小不是嘴上說的，要用檢驗方法來說明你的結果！例如:假設檢驗

⑷ 數學建模誤差分析應該從哪些方面入手

系統誤差（由數據測量工具引起
偶然誤差（測量時讀數等引起
計算誤差（四捨五入等引起
數據有些事估算的,估計誤差等

⑸ 數學建模方法和步驟 關於數學建模方法和步驟

1、模型准備

首先要了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特徵。

2、模型假設

根據對象的特徵和建模目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言作出假設，是建模至關重要的一步。如果對問題的所有因素一概考慮，無疑是一種有勇氣但方法欠佳的行為，所以高超的建模者能充分發揮想像力、洞察力和判斷力，善於辨別主次，而且為了使處理方法簡單，應盡量使問題線性化、均勻化。

3、模型構成

根據所作的假設分析對象的因果關系，利用對象的內在規律和適當的數學工具，構造各個量間的等式關系或其它數學結構。這時，我們便會進入一個廣闊的應用數學天地，這里在高數、概率老人的膝下，有許多可愛的孩子們，他們是圖論、排隊論、線性規劃、對策論等許多許多，真是泱泱大國，別有洞天。不過我們應當牢記，建立數學模型是為了讓更多的人明了並能加以應用，因此工具愈簡單愈有價值。

4、模型求解

可以採用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值運算等各種傳統的和近代的數學方法，特別是計算機技術。一道實際問題的解決往往需要紛繁的計算，許多時候還得將系統運行情況用計算機模擬出來，因此編程和熟悉數學軟體包能力便舉足輕重。

5、模型分析

對模型解答進行數學上的分析。橫看成嶺側成峰，遠近高低各不?quot;，能否對模型結果作出細致精當的分析，決定了你的模型能否達到更高的檔次。還要記住，不論那種情況都需進行誤差分析，數據穩定性分析。

⑹ 數學建模競賽一定要做誤差分析么

應該是這樣的，為反映模型的精度，必須要誤差分析，從而量化模型與實際問題的差異。

⑺ 誤差分析的方法是怎麼來的

為保證檢測結果的穩定性和准確性，通過用標准物質進行質量監控，具體的做法是：用一標准物質或用檢測結果穩定、均勻的在有效期內的樣品，在規定的時間間隔內，對同一樣品進行重復檢測，將檢測結果匯成曲線，

通過坐標上檢測點的結果，將其聯成線，通過曲線可判定誤差的類型：

a、假設我們每10天檢測一次，共有10個點，而這10個點在標准值之間上下波動，無規律可言，則說明是偶然誤差，是正常狀態;

b、當檢測的結果呈現出規律性，或在真值線以上、或在真值線以下、或呈現一條斜線，則視為出現了系統誤差，這種情況下，應查找出現系統的原因，並找到消除系統誤差的原因。

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在物理量的實際測量中，無論是直接測量的量，還是間接測量的量（由直接測量的量通過公式計算而得出的量），由於測量儀器、方法以及外界條件的影響等因素的限制，使得測量值與真實值（或實驗平均值）之間存在著一個差值，這稱之為測量誤差。

研究誤差的目的是：在一定的條件下得到更接進於真實值的最佳測量結果；確定結果的不確定程度；據預先所需結果，選擇合理的實驗儀器、實驗條件和方法，以降低成本和縮短實驗時間。

因此除了認真仔細地做實驗外，還要有正確表達實驗結果的能力，這二者是同等重要的。僅報告結果，而不同時指出結果的不確定程度的實驗是無價值的，所以要有正確的誤差概念。

⑻ 怎樣對數學模型進行誤差分析

數學模型一般是在忽略了很多實際因素的情況下建立，就是所謂的理想化模型，誤差分析主要抓住，你在建立模型時，忽略了那些因素，要對考慮該因素若加入到模型中，會產生怎樣的變化！

⑼ 數學建模的七個步驟

數學建模（mathematical modeling）就是通過建立數學模型來解決各種實際問題的方法。數學建模沒有固定的格式和標准，也沒有明確的方法，通常有6個步驟：

明確問題
合理假設
搭建模型
求解模型
分析檢驗
模型解釋
1、明確問題

數學建模所處理的問題通常是各領域的實際問題，這些問題本身往往含糊不清，難以直接找到關鍵所在，不能明確提出該用什麼方法。因此建立模型的首要任務是辨明問題，分析相關條件和問題，一開始盡可能使問題簡單，然後再根據目的和要求逐步完善。

2、合理假設

作出合理假設，是建模的一個關鍵步驟。一個實際問題不經簡化、假設，很難直接翻譯成數學問題，即使可能也會因其過於復雜而難以求解。因此，根據對象的特徵和建模的目的，需要對問題進行必要合理地簡化。

合理假設的作用除了簡化問題，還對模型的使用范圍加以限定。

作假設的依據通常是出於對問題內在規律的認識，或來自對數據或現象的分析，也可以是兩者的綜合。作假設時，既要運用與問題相關的物理、化學、生物、經濟、機械等專業方面的知識，也要充分發揮想像力、洞察力和判斷力，辨別問題的主次，盡量使問題簡化。

為保證所作假設的合理性，在有數據的情況下應對所作的假設及假設的推論進行檢驗，同時注意存在的隱含假設。

3、搭建模型

搭建模型就是根據實際問題的基本原理或規律，建立變數之間的關系。

要描述一個變數隨另一個變數的變化而變化，最簡單的方法是作圖，或者畫表格，還可以用數學表達式。在建模中，通常要把一種形式轉換成另一種形式。將數學表達式轉換成圖形和表格較容易，反過來則比較困難。

用一些簡單典型函數的組合可以組成各種函數形式。使用函數解決具體的實際問題，還比須給出各參數的值，尋求這些參數的現實解釋，往往可以抓住問題的一些本質特徵。

4、求解模型

對模型的求解往往涉及不同學科的專業知識。現代計算機科學的發展提供了強有力的輔助工具，出現了很多可進行工程數值計算和數學推導的軟體包和模擬工具，熟練掌握數學建模的模擬工具可大大增強建模能力。

不同數學模型的求解難易不同，一般情況下很多實際問題不能求出解析解，因此需要藉助計算機用數值的方法來求解，在編寫代碼之前要明確演算法和計算步驟，弄清初始值、步長等因素對結果的影響。

5、分析檢驗

在求出模型的解後，必須對模型和「解」進行分析，模型和解的適用范圍如何，模型的穩定性和可靠性如何，是否到達建模目的，是否解決了問題？

數學模型相對於客觀實際不可避免地會帶來一定誤差，一方面要根據建模的目的確定誤差的允許范圍，另一方面要分析誤差來源，想辦法減小誤差。

一般誤差有以下幾個來源，需要小心分析檢驗：

模型假設的誤差：一般來說模型難以完全反映客觀實際，因此需要做不同的假設，在對模型進行分析時，需要對這些假設小心檢驗，分析比較不同假設對結果的影響。
求近似解方法的誤差：一般來說很難得到模型的解析解，在採用數值方法求解時，數值計算方法本身也會有誤差。這類誤差許多是可以控制的。
計算工具的舍入誤差：在用計算器或計算機進行數值計算時，都不可避免由於機器字長有限而產生舍入誤差，如果進行了大量運算，這些誤差的積累是不可忽視的。
數據的測量誤差：在用感測器、調查問卷等方法獲得數據時，應注意數據本身的誤差。
6、模型解釋

數學建模的最後階段是用現實世界的語言對模型進行翻譯，這對使用模型的人深入了解模型的結果是十分重要的。模型和解是否有實際意義，是否與實際證據相符合。這一步是使數學模型有實際價值的關鍵一步。

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