譜方法數值分析

① 從經典譜估計到現代譜估計

諧波分析最早可追溯到古代對時間的研究。18世紀伯努利（Bernoulli）、歐拉（Euler）和拉格朗日（Lagrange）等人對波動方程及其正弦解進行了研究，19世紀初葉，傅立葉（Fourier）證明了在有限時間段上定義的任何函數都可以用正弦和餘弦分量的無限諧波的總和來表示。1898年舒斯特（Schuster）以傅立葉分析為基礎來擬合待分析信號，研究太陽黑子數的周期變化，並提出了周期圖的概念。1930年維納（Wiener）發表了經典性論文《廣義諧波分析》，對平穩隨機過程的自相關函數和功率譜密度作了精確的定義，證明了二者之間存在著傅氏變換（以下簡稱傅氏變換）的關系，從而為功率譜分析奠定了堅實的統計學基礎。由於1934年辛欽（Khintchine）也獨立地證明了自相關函數和功率譜之間的傅氏變換關系，即維納-辛欽（Wiener-Khintchine）定理。根據這個定理（詳見第一章），平穩離散隨機信號x（n）的自相關函數r_xx（m）

r_xx（m）=E［x（m+n）x^*（n）］ （4-1）

與功率譜P_xx（e^jω）之間構成一傅氏變換對，即

地球物理信息處理基礎

若x（n）還是各態遍歷性的，則其自相關函數可由它的一個采樣時間序列用時間平均的方法求出，即

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在大多數應用中x（n）是實信號，於是上式可寫成

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實際上，一般只能在時域觀測到隨機信號的有限個采樣值（例如N個值），可表示為

x_N（n）=｛x（0），x（1），…，x（N-1）｝=｛x（n），n=0，1，…，N-1｝

其自相關函數只能由這N個采樣數據進行估計，常用有偏估計

地球物理信息處理基礎

這是一種漸近一致估計，稱之為采樣自相關函數。

用采樣自相關函數的傅氏變換作為功率譜的估計，這種方法是布萊克曼（R.Blackman）和杜基（J.Tukey）在1958年提出來的，稱為功率譜估計的自相關法（簡稱BT法）。此方法需要先求出有限個觀測數據估計自相關函數，然後再根據式（4-2）計算出功率譜。在快速傅氏變換（FFT）演算法提出之前，這是一種最流行的功率譜估計方法。

1965年庫利（Cooley）和杜基（Tukey）完善了著名的FFT演算法，使計算傅氏變換的速度提高了兩個數量級，運算量顯著降低，這樣DFT變換很快在各領域，特別是在工程實踐中得到了廣泛應用。由式（4-5）知，

為x（n）與x（-n）的卷積運算，因為

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若x（n）的傅氏變換為X（e^jω），則x（-n）的傅氏變換等於X^*（e^jω）。對式（4-5）兩端取傅氏變換，得到

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這表明：通過對隨機數據直接進行離散傅氏變換，然後取其幅值的平方，再對多樣本進行此種運算並取平均值作為功率譜的估計，即舒斯特的周期圖，這種譜估計受到了人們的普遍重視，因為它不需要計算自相關函數，而直接計算功率譜。

周期圖和自相關法以及它們的改進方法稱為功率譜估計的經典方法，周期圖和自相關法是經典功率譜估計的兩個基本方法。由於FFT的出現，周期圖和自相關法往往被結合起來使用，其步驟如下：

（1）對x_N（n）補N個零，求

；

（2）由

作傅氏變換，得

，這時｜m｜≤M=N-1；

（3）對

加窗函數v（m），這時｜m｜≤M＜＜N-1，得

；

（4）利用

，求

的傅氏變換，即

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由周期圖法得到的功率譜

，其估計方差並不隨樣本長度的增加而趨於零，

，出人意料的是，不管數據記錄有多長，周期圖和自相關法得到的估計都不是功率譜的良好估計。事實上，隨著記錄長度增加，這兩種估計的隨機起伏反而會更加嚴重！此外，它們存在著以下兩個難以克服的固有缺點。

（1）頻率解析度（區分兩個鄰近頻率分量的能力）不高。因為它們的頻率解析度（赫茲）反比於數據記錄長度（秒）（即Δf=k/T_p=k/NT，k為常數，T_p=NT為數據的記錄長度，T為采樣周期），而實際應用中一般不可能獲得很長的數據記錄，即觀察到的數據只能是有限個，而觀察不到的數據被認為是0。這樣，如果只有N個觀測數據，而對於N以外的數據，信號仍有較強的相關性，那麼估計出的功率譜就會出現很大的偏差。

（2）對於有限的觀測數據，相當於將信號在時域內乘以矩形窗函數，因而在頻域內則相當於使真正的功率譜與sinc函數進行卷積，由於sinc函數不同於δ 函數，它有主瓣和旁瓣，這樣使卷積後的功率譜不同於真正的功率譜。sinc函數的主瓣不是無限窄的，引起功率譜向附近頻域擴展，造成譜的模糊，降低譜的解析度；同時，由於sinc函數的旁瓣存在，導致能量向旁瓣中「泄漏」（稱之為旁瓣泄漏），即引起頻譜間的干擾，信號強的功率譜旁瓣影響信號弱的功率譜檢測，嚴重時，會使主瓣產生很大失真，檢測不出弱信號，或者把旁瓣誤認為是信號，造成假信號。為了對經典功率譜估計進行改進，可以採用各種不同的窗函數，但其結果都是以增加主瓣寬度來換取旁瓣的壓低，因此功率譜解析度低是經典功率譜估計的致命缺點。

為了克服以上缺點，人們曾做過長期努力，提出了平均、加窗平滑等辦法，在一定程度上改善了經典功率譜估計的性能。實踐證明，對於長數據記錄來說，以傅氏變換為基礎的經典功率譜估計方法，的確是比較實用的。但是，經典方法始終無法根本解決頻率解析度和功率譜估計穩定性之間的矛盾，特別是在數據記錄很短的情況下，這一矛盾顯得尤為突出。這就促進了現代功率譜估計方法研究的展開。

現代功率譜估計方法主要是以隨機過程（Stochastic Process）的參數模型（Parameter Model）為基礎的，稱之為參數模型方法。雖然說現代功率譜估計技術的研究和應用主要起始於60年代，但實際上，時間序列模型在非工程領域早已被採用，如Yule在1927年、Walker在1931年都曾使用過自回歸模型預測描述經濟的時間序列的發展趨勢，而Prony則早在1795年就曾採用指數模型去擬合在氣體化學實驗中獲得的數據。在統計學和數值分析領域中，人們也曾採用過模型方法。

現代功率譜估計的提出主要是針對經典功率譜估計（周期圖和自相關法）的解析度和方差性能不好的問題而提出的。1967年Burg在地震學研究中受到線性預測濾波的啟發，提出了最大熵譜估計方法，在提高解析度方面作了最有意義的探索。1968年Parzen正式提出了自回歸譜估計方法。1971年Van der Bos證明了一維最大熵譜估計與自回歸譜估計等效。1972年出現的譜估計的Prony方法在數學上與自回歸方法有某些類似。目前以自回歸滑動平均模型為基礎的譜估計已經比自回歸模型譜估計具有更高的頻率解析度和更好的性能。1973年Pisarenko提出的諧波分解方法提供了可靠的頻率估計方法。1981年Schmidt提出了譜估計的多信號分類（MUSIC）演算法等。因此，現代功率譜分析主要有ARMA譜分析、最大似然、熵譜估計和特徵分解四種方法。ARMA譜分析是一種建模方法，即通過平穩線性信號過程建立模型來估計功率譜密度；熵譜估計包括最大熵譜和最小交叉法；特徵分解也叫特徵構造法和子空間法，包括Pisarenko諧波分解法、Prony法、MUSIC法和ESPRIT法（用旋轉不變技術估計參數方法）。

現代功率譜估計研究仍側重於一維功率譜分析，而且大部分是建立在二階矩（相關函數、方差、功率譜密度）基礎上的。但由於功率譜密度是頻率的實函數，缺少相位信息，因此，建立在高階譜基礎上的譜估計方法正引起人們的注意，特別是雙譜估計和三譜估計的研究受到了高度的重視。其它如多維譜估計、多通道譜估計等的研究也正在發展中。人們希望這些新方法能更多地在提取信息、估計相位和描述非線性等方面獲得應用。

② 色譜分析有哪些方法

色譜定性分析的方法：包括純物質對照法、利用保留值經驗規律定性、利用其它方法定性這三種。

色譜分析法的分類比較復雜。根據流動相和固定相的不同，色譜法分為氣相色譜法和液相色譜法。按色譜操作終止的方法可分為展開色譜和洗脫色譜。按進樣方法可分為區帶色譜、迎頭色譜和頂替色譜。

色譜法分離效率高、分離速度快、靈敏度高、可進行大規模的純物質制備。

色譜定性的依據，是在同一特定的色譜條件下，不同的物質在固定相上保留的能力不一樣，因此它們的保留時間不同，也就是說他們的出峰時間不同，可以通過保留時間來進行定性，目前各種色譜定性方法都是基於保留值的。但是不同物質在同一色譜條件下，可能具有相似或相同的保留值。在精度高的色譜上，保留時間可以精確到零點幾秒。從色譜圖中可以得到定性的信息有：被測樣品中有幾種物質，它們大概的比例，從出峰的出峰順度可以粗略的判斷化合物的極性。

③ 數值分析有什麼作用 數學中的數值分析的詳細作用在哪些方面請舉例一下 謝謝

樓上說的很專業了 我就不多說了 說下通俗的理解吧 數值分析 就是可以沒有解析的數學表達式 但可以在一定的誤差內算出結果就可以了 或者是一些很難求出精確解的表達式 我們可以求出它的數值解 這個有《計算方法》這門學問可以學習 再個這類問題多用於工程上的一些計算 因為工程上很多都是要數據的 不需要表達式 我是學工科的 所以比較了解 工程設計 上也常用到 希望能給你幫助 採納我吧 不勝感激

④ 什麼是數字譜分析

數字譜分析是用數學方法求信號的離散譜以DFT和濾波理論為基礎的，
學科是數字信號處理，譜分析是應用。

譜分析
在頻域中描述信號特性的一種分析方法，不僅可用於確定性信號，也可用於隨機性信號。所謂確定性信號可用既定的時間函數來表示，它在任何時刻的值是確定的；隨機信號則不具有這樣的特性，它在某一時刻的值是隨機的。因此，隨機信號處理只能根據隨機過程理論，利用統計方法來進行分析和處理，如經常利用均值、均方值、方差、相關函數、功率譜密度函數等統計量來描述隨機過程的特徵或隨機信號的特性。

⑤ 多元統計分析和偏微分方程數值解哪個相對較難

個人認為是數值分析，多元統計好理解，數值分析個人認為有些枯燥

⑥ 計算方法（數值分析）問題，關於矩陣范數和譜半徑。

二范數：利用乘冪法求出最大奇異值即可。
譜半徑：利用乘冪法求出模最大的特徵值即可。
一定要先求特徵根

⑦ 數值分析中常用的求積公式有哪幾中

數值分析也叫計算方法，因為有些方程是沒有解析解就是數學表達式，或者工程上並不關心抽象的表示而是更關心數值結果，加上現在的計算機能力的提升，所以怎麼在計算機里解決問題就變為矩陣計算問題。要算得快，算得准，還要節省存儲空間。而其他問題要怎麼離散變為矩陣也是要研究的問題。所以大部分問題是圍繞矩陣方程求解來的。數值計算在數學上對理論的猜測也有指導作用。這個我也不太了解。比如，矩陣的譜半徑和什麼范數的關系，直接分析有點難猜，算出來就可以比一比啦。在工程上可以說沒有能脫離數值分析的。比如快速傅里葉變換就是頻譜分析常用的;而現在醫學影像學的CT，PET，MRI的影像增強等圖像處理PDE方法就要用離散方法化為矩陣問題求解;我幫忙做過生化的實驗分析：半透膜的濃度分析，就是一滴葯在什麼時刻什麼位置的弄度是多少，其實就是熱傳導方程的數值解。現在的天氣預報怎麼得到的，數值分析啊，想把預報准些，把離散的網格分的細些，那樣就要算得更快存儲更大的計算機，國家為什麼造超級計算機？不是用來玩星際2，wc3，wow的，那些只是娛樂功能而已。當然了這個什麼導彈，飛機，要算每個點的受力怎麼，風洞實驗不是哪都有的，所以算就更方便。中國數值也不錯。至少可以吹吹有限元，這個在模態分析中好像有用，我見過用它去研究米國的f16的。其他的我就不清楚了。如果是學數學的，就要加具體應用背景，數值分析雖說有用但是編程能力也是要跟上的。如果是其他專業的，這個就是工程軟體的裡面那些事，現在學會了，可以省點錢，還能針對自己具體的問題自己編，而不是要套模板，那些條件可以使變的。

⑧ DEPT譜的分析方法

DEPT譜是在NMR中用來區分伯仲叔季碳的一種譜圖
為了區分不同的碳，一般要做三次分別為不同的角度，其中季碳不出峰：
135度的DEPT譜圖：CH、CH3的峰向上（即信號為正），CH2為倒峰（即信號為負）
90度的DEPT譜圖：只能看到CH 向上的峰
45度的DEPT譜圖：所有的CH、CH2、CH3的峰都向上（不常用，因為無法達到區分的目的）
通過135度和90度譜圖即可區分出伯碳、仲碳、叔碳，由於季碳在所有的DEPT譜圖中都沒有信號，因此只要和全譜比較，就很容易的得到季碳。

⑨ 數值分析中，對於雅可比方法和高斯-塞得爾方法來說，為什麼譜半徑越小，收斂速度越快

好像是這個結論 證明我不會 如果不嚴格 可以用數值方法列表歸納得出這個規律

⑩ 請教譜方法與譜元法以及有限元的區別與聯系

有限元法就是先求變分問題然後選局部的基函數組成逼近式帶入，譜方法的基函數全都是正交的，而且是全局的，譜元法就是把區域分割成網格，在每個小網格上選取正交基函數，就相當於把網格剖分與譜方法結合起來。