導數研究零點個數方法

1. 如何判斷函數的零點個數

（1）函數零點，對於函數y=f(x)，若存在a,使得f(a)=0，則x=a稱為函數y=f(x)的零點。

（2）零點的存在定理：若函數y=f（x）在區間[a,b]上的圖像是一條不間斷的曲線,且f（a）f（b）

（3）零點問題的轉化：可以轉化為函數與x軸交點的橫坐標；或者轉化為對應方程的根；還可以轉化為兩函數的交點的橫坐標。所以，如果考察函數的零點個數，只需要看此函數與x軸有幾個交點，或者對應方程有幾個根，或者兩個函數有幾個交點即可。

2. 一般求零點問題用導數怎麼求

解法：函數零點就是當f（x）=0時對應的自變數x的值，需要注意的是零點是一個數值，而不是一個點，是函數與X軸交點的橫坐標。 若f(a)是函數f(x)的極值，則稱a為函數f(x)取得極值時x軸對應的極值點。

極值點是函數圖像的某段子區間內上極大值或者極小值點的橫坐標。

極值點出現在函數的駐點（導數為0的點）或不可導點處（導函數不存在，也可以取得極值，此時駐點不存在）。

(2)導數研究零點個數方法擴展閱讀：

若函數y=f(x)在閉區間[a,b]上的圖像是連續曲線，並且在區間端點的函數值符號不同，f(a)·f(b)≤0，則在區間[a,b]內，函數y=f(x)至少有一個零點，即相應的方程f(x)=0在區間[a,b]內至少有一個實數解。

一般結論：函數y=f（x）的零點就是方程f(x)=0的實數根，也就是函數y=f(x)的圖像與x軸（直線y=0）交點的橫坐標，所以方程f(x)=0有實數根，推出函數y=f(x)的圖像與x軸有交點，推出函數y=f(x)有零點。

更一般的結論：函數F(x)=f(x)-g(x)的零點就是方程f(x)=g(x)的實數根，也就是函數y=f(x)的圖像與函數y=g(x)的圖像交點的橫坐標，這個結論很有用。

變號零點就是函數圖像穿過那個點，也就是在那個點兩側取值是異號（那個點函數值為零）。

不變號零點就是函數圖像不穿過那個點，也就是在那個點兩側取值是同號（那個點函數值為零）。

注意：如果函數最值為0，則不能用此方法求零點所在區間。

應用

二分法求方程的近似解

（1）確定區間[a,b]，驗證f(a)f(b)<0，給定精確度；

（2）求區間(a,b)的中點x1；

（3）計算f(x1)；

①若f(x1)=0，則x1就是函數的零點；

②若f(a)f(x1)<0，則令b=x1（此時零點x∈(a,x1));即圖象為（a,x1）

③若f(x1)f(b)<0，則令a=x1。（此時零點x∈(x1,b)

（4）判斷是否滿足條件，否則重復(2)~(4)

3. 怎樣用一階導數求函數零點個數

1. 零點惟一性定理：

   一階導數f'(x)在某開區間上不變號（函數單調），且區間端點函數值異號，則函數f(x)在這個開區間上存在惟一零點。

2. 零點定理：

   若f(x)在某區間連續可導，端點函數值均大於0,而惟一極值極小值小於0，則函數f(x)在這個區間上有且只有兩個零點。

3. 三次函數：

   三次函數y=ax^3+bx^2+cx+d(a>0）的導數是二次函數，這個二次函數的判別式Δ：

   Δ≤0，三次函數只有一個零點；Δ>0,三次函數至少有一個零點。至多有三個零點。

4. 如何用導數的單調性 極大值 極小值解決函數零點個數急

首先你要知道『根的存在性定理』：f(x)連續,f(a)>0,f(b)<0,(a,b)間至少有一個零點
若加強條件：在(a,b)間也單調,那麼有且只有一個零點.
所以,利用導數求出連續函數的極值點,單調性,可以確定兩個符號相反的極值間至少有一個交點,若極值是相鄰的,就有且只有一個零點,第一個極值和最後一個極值要看單調性才能確定兩側有沒有零點,如第一個極值,若其小於0,左側無窮開始單減,則有一個零點.

5. 如何藉助導數來判斷零點個數或者零點個數判斷的一般方法是什麼

導數無法確定原函數的解,即零點.
判斷零點,可以對原函數任意取值,在大於零小於零之間就有零點.
如函數y=x*x*x-3x-3
x=2,y=-10,則必有一根在之間,當然,結合函數的單調性（或者說導數的正負區間）,就能大致判斷函數圖像.但是,只知道導數,不能確定0點個數,還是要藉助取值和極值.

6. 函數的零點個數怎麼求

f(x)=0求零點個數
方法一
令y=f(x)，對其求導，得出函數在各區間的單調性。
通過觀察定義域左右端的極限，非連續點的左右極限以及各駐點的函數值，配合單調性就能得出零點個數。
比如lnx–1/(x–1)=0零點個數
令f(x)=lnx–1/(x–1)
函數在x=1處不連續
f'(x)=1/x＋1/(x–1)²＞0
所以函數在(0，1)單調遞增，(1，＋∞)單調遞增
lim(x→0) f(x)=–∞
lim(x→1–) f(x)=＋∞
lim(x→1＋) f(x)=–∞
lim(x→＋∞) f(x)=＋∞
根據單調性，函數f(x)在(0，1)上必存在一個零點，(1，＋∞)上必存在一個零點
所以f(x)=0有兩個零點

方法二
就是數形結合將零點問題轉化為兩個函數的交點問題，通過研究兩個函數性質畫出圖像得出交點個數。
比如lnx–1/(x–1)=0
lnx=1/(x–1)
就可以轉化為f(x)=lnx與g(x)=1/(x–1)的交點問題
畫出圖像可得出有兩個交點，即原方程有兩個零點。

7. 怎樣通過導數看函數零點個數

利用導數，求出給定區間x∈[a,b]內所極值點（f'(x)=0及不可導點）x₁、x₂...xn，判斷該類點左右函數增減性是否改變，如改變即為極值點，反之則不是極值點，並求出極值：
f(左端值)或f(x₁)=0，本身就是零點、如f(左端值)及f(x₁)均≠0時（以下類同），
如f(左端值)·f(x₁)<0
根據連續函數零點定理區間x∈[a,x₁)內有且只一個零點，反之則無零點；
同理，如f(x₁)·f(x₂)<0
區間x∈(x₁,x₂)內有且只一個零點，反之則無零點；
...
如f(xn)·f(b)<0
區間x∈(xn,b]內有且只一個零點，反之則無零點.
相鄰的端點值和極值反號，則區間內有且只一個零點，反之則無零點，有點類似解不等式的穿針引線法。