證明式研究方法

❶ 研究不等式證明的常用方法的研究目的研究意義是什麼

方法：比較法，綜合法，分析法，反證法，放縮法，數學歸納法，換元法，構造法和判別式法等
研究意義：不等式在現實世界與數學中的重要性毋庸置疑，初等不等式的技巧與難度有目共睹，但國內外有關初等不等式的研究很熱門，這源於不等式自身的魅力，正是它的技巧讓人感受到數學之美，正是它的難度讓人有挑戰它的雄心與毅力。此外在不等式的研究中能讓你鍛煉自己的解題能力、數學思維能力、體驗解決問題的樂趣與成就感。

❷ 使用理論知識證明一個研究假說是一種研究方法嗎

教育研究方法的基本類型及特徵
（一）實證方法
實證方法作為自然科學中一種重要的研究方法,其基本規范就是「用經驗材料證明或證偽理論假說」.這些經驗材料既可來自研究者的現實觀察或實驗活動(直接經驗),也可來自記錄了前人觀察或實驗結果的歷史文獻(間接經驗)；這些經驗材料在形式上可以是量化的也可以是非量化的,但都必須是可檢驗的.
實證方法包括教育測量法、定量觀察法、問卷調查法、教育實驗法、內容分析法.
教育測量法是指根據某種規則或尺度,以數量化的形式描述教育現象或教育對象的某種屬性.其中,包含著測量的三個要素：事物及其屬性；數字或符號；法則.教育測量法的基本特點是根據一定法則,以測驗為工具對研究對象進行測試,從而獲得數量化的結果,並通過進一步分析獲得相關結論.它可以把抽象、概括的理論研究成果轉化為反映個體發展水平、教育發展狀況的方便工具,並提供可靠的數據.
定量觀察法是按照事先設計的一套明晰而嚴密的「計量系統」實施的觀察,它也被稱為系統化的、結構性的、標准化的觀察.這套系統包括：明確的觀察對象、有嚴密邏輯性的觀察項目系統、確定的觀察程序和記錄單位,還有物化的觀察記錄工具.它的長處是能系統地、高效地獲得大量真實的、確定的觀察資料,容易進行觀察記錄,而且觀察結果便於系統地定量處理和對比分析.它的短處是對觀察設計人員和觀察者的理論和技術要求較高,同時觀察過程比較呆板,缺乏靈活性.
問卷調查法是研究者用嚴格設計的統一問卷,通過書面語言與被調查者進行交流,來收集研究對象關於教育問題的信息和資料的方法.它有如下特點：1.調查工具標准化；2.調查過程標准化；3.調查結果標准化；4.研究效率高.
教育實驗法是根據一定的理論假設,有計劃地控制教育活動中的某些因素,以引起其他因素朝著有利於提高教育效果的方向轉變,然後檢驗假設,並由此揭示教育活動規律的綜合性研究活動.它的基本特點是：1.教育實驗要揭示教育現象或教育行為之間的因果關系.2.教育實驗對因果關系的預先設想以假說形式表現出來,實驗過程圍繞假說展開操縱、控制等一系列干預活動,經觀察、分析,最後檢驗假說.內容分析法是對教育文獻的內容作客觀而系統的量化分析,並加以描述,從而對相關的教育現象作出事實判斷的研究方法.用內容分析法進行研究的文獻資料可以是：1.以文字記錄的資料,報紙、期刊、教材等內容往往是專業研究者的研究對象.2.以聲音記錄的資料,包括：上課錄音、學生談話錄音、競選會現場的錄音,與某個年段的教材配套的錄音磁帶.3.以影像記錄的資料,包括：教學錄像、電影、電視、幻燈片、圖片.
內容分析法具有明顯、客觀、系統、量化等四個基本特點.1.明顯的內容；2.客觀的事實；3.系統的記錄；4.量化的結果.
（二）質性方法
作為與實證研究相對的定性研究,有著獨特的研究傳統和研究假設,為定性研究所採用的質性方法,有著它的定義.陳向明先生給質的研究方法下了一個定義：「質的研究是以研究者本人作為研究工具,在自然情境下採用多種資料收集方法對社會現象進行整體性探究,使用歸納法分析資料和形成理論,通過與研究對象互動對其行為和意義建構獲得解釋性理解的一種活動.」
質性研究包括訪談調查法、定性觀察法、敘事研究法.
訪談調查法是研究者通過與被調查者面對面進行交談,以口頭問答的形式來了解某人、某事、某種行為態度和教育現象的一種調查方法.它有以下特點：1.調查過程靈活深入.2.獲取信息完整真實.3.適用范圍更為廣泛.訪談調查法的主要局限有：1.樣本小、費用多、時間長、效率較低.2.標准化程度較低,難以統計.3.調查過程容易產生偏差.4.訪談調查不能體現的特點,不能完全消除受訪者的心理顧慮,這往往會影響受訪者所提供信息的客觀性.
定性觀察法是研究者在一個真實的情境中對被觀察的人或事所作的開放性觀察.它有以下幾種特點：1.可以了解到更為真實的信息.2.可以獲得更為完整的資料.3.可以進行多次觀察.定性觀察法也有局限：1.易受觀察者的主觀影響.2.觀察結果的代表性不夠高.
敘事研究法就是以敘述故事的方式來描述人們的經驗、行為和生活方式,通過所敘述的故事來探究經驗、行為的意義,及其蘊含的思想和哲理.在教育研究領域,敘事研究就是通過描述和分析有意義的教學事件、教師生活和教育教學實踐經驗,來發掘或揭示內隱於日常工作、事件和行為背後的意義、思想、理念,從中發現教育問題,探究教育思想,揭示教育活動特點.教育敘事研究的基本特點是研究者以敘事、講故事的方式表達對教育的理解和解釋.教育敘事研究具有：1.以質性研究方法為工具.2.以教育中的故事為對象.3.教育實踐者成為研究主體.4.形成認識時採用歸納的方式.但也有局限性：1.外來研究者徵得研究對象的配合相當耗時.2.不易了解到局內人的真正想法.3.研究者很容易受到敘事者故事的影響而偏離研究目的.4.敘事研究受到研究者個人傾向的影響.5.敘事研究對研究者提出了很高的要求.
（三）系統方法
系統科學方法論的運用體現在研究主體身上,主要表現為系統思維.它的關鍵特點體現在運用系統科學原理考察和把握研究對象的性質,並據此綜合運用各種技術性方法——既包括實證方法,也包括質性方法,以達到研究目的.其中,最重要的是按照事物本身的系統性,把對象及相關因素放在系統的形式中加以研究,著重探討研究對象整體與部分之間、部分與部分之間、整體與外部環境之間的相互制約關系.系統方法論及系統思維的特點：1.與中國傳統的整體思維相比,系統思維具有清晰性和開放性.2.與自然科學的還原主義分析思維相比,系統思維強調系統的整體性.3.與以往任何一種研究範式相比,系統方法論提供了新的思維原則、模式、路線及多學科綜合研究的方法範例.
（四）復雜思維方法
復雜思維直面世界或事物本來具有的多樣性、復雜性以及變化的生動豐富性.它考察事物及其運動變化的思維方式,是以非線性思維、關系思維、過程思維、情境思維為特徵的.教育系統的復雜性體現在：1.教育活動組成因素的多樣性和可變性.2.教育活動結構與功能、系統與部分之間的非線性相互作用.3.教育活動過程的動態生成性和教育結果的不確定性.
（五）行動研究法
行動研究法是指依靠教育專家、學者的幫助,在教育實踐中展開科學研究,並以研究的成果指導自身實踐的一種研究方法.
它的基本特點：1.以中、小學教師為研究主體,教師即研究者,課程即實驗,課堂即實驗室.2.強調參與、合做與交流.3.強調實踐反思.
（六）文獻法
文獻檢索是科學研究工作中一個重要的步驟,它貫穿於研究的全過程,是進行教育科學研究最常用的研究方法之一.文獻檢索有廣義和狹義之分,廣義的文獻檢索是由文獻貯存和文獻檢索兩個部分構成的一個檢索系統.狹義的文獻檢索則指根據檢索課題,利用一定的檢索工具把所需要的文獻及其線索查出的過程.文獻法有利於全面正確地掌握所要研究問題的情況、現狀,最大限度地利用已有的知識經驗和科研成果,幫助研究人員選定研究課題和確定研究方向；有利於為教育科研提供科學的論證依據和研究方法；避免重復勞動,提高研究效益；有利於拓展研究思路,發展創造性思維,提高課題研究的創新性.

❸ 高中數學不等式證明的八種方法

不等式證明知識概要

河北/趙春祥

不等式的證明問題，由於題型多變、方法多樣、技巧性強，加上無固定的規律可循，往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運用，也是各種思想方法的集中體現，因此難度較大。解決這個問題的途徑在於熟練掌握不等式的性質和一些基本不等式，靈活運用常用的證明方法。

一、要點精析

1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。

(1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：「a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b」。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體；②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段；③判斷：根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最後肯定所求證不等式成立的結論。應用范圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。

(2)商值比較法的理論依據是：「若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b」。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡商式到最簡形式；③判斷商與1的大小關系，就是判定商大於1或小於1。應用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。

2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，藉助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最後推出所要證明的不等式，其特點和思路是「由因導果」，從「已知」看「需知」，逐步推出「結論」。其邏輯關系為：AB1 B2 B3… BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論B。

3.分析法分析法是指從需證的不等式出發，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是「執果索因」，即從「未知」看「需知」，逐步靠攏「已知」。用分析法證明AB的邏輯關系為：BB1B1 B3 … BnA，書寫的模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B1為真，從而有…，這只需證明B2為真，從而又有…，……這只需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。

4.反證法有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設A≤B，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有「至多」、「至少」、「不存在」、「不可能」等詞語時，可以考慮用反證法。

5.換元法換元法是對一些結構比較復雜，變數較多，變數之間的關系不甚明了的不等式可引入一個或多個變數進行代換，以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。(1)三角代換法：多用於條件不等式的證明，當所給條件較復雜，一個變數不易用另一個變數表示，這時可考慮三角代換，將兩個變數都有同一個參數表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯系，將復雜的代數問題轉化為三角問題根據具體問題，實施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對於含有的不等式，由於|x|≤1，可設x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可設x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進行換元。

6.放縮法放縮法是要證明不等式A<B成立不容易，而藉助一個或多個中間變數通過適當的放大或縮小達到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的理論依據主要有：(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應用均值不等式進行放縮。

二、難點突破

1.在用商值比較法證明不等式時，要注意分母的正、負號，以確定不等號的方向。

2.分析法與綜合法是對立統一的兩個方面，前者執果索因，利於思考，因為它方向明確，思路自然，易於掌握；後者是由因導果，宜於表述，因為它條理清晰，形式簡潔，適合人們的思維習慣。但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，因為它敘述較繁，如果把「只需證明」等字眼不寫，就成了錯誤。而用綜合法書寫的形式，它掩蓋了分析、探索的過程。因而證明不等式時，分析法、綜合法常常是不能分離的。如果使用綜合法證明不等式，難以入手時常用分析法探索證題的途徑，之後用綜合法形式寫出它的證明過程，以適應人們習慣的思維規律。還有的不等式證明難度較大，需一邊分析，一邊綜合，實現兩頭往中間靠以達到證題的目的。這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉化的辯證統一關系。分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進一步分析的起點。

3.分析法證明過程中的每一步不一定「步步可逆」，也沒有必要要求「步步可逆」，因為這時僅需尋找充分條件，而不是充要條件。如果非要「步步可逆」，則限制了分析法解決問題的范圍，使得分析法只能使用於證明等價命題了。用分析法證明問題時，一定要恰當地用好「要證」、「只需證」、「即證」、「也即證」等詞語。

4.反證法證明不等式時，必須要將命題結論的反面的各種情形一一加以導出矛盾。

5.在三角換元中，由於已知條件的限製作用，可能對引入的角有一定的限制，應引起高度重視，否則可能會出現錯誤的結果。這是換元法的重點，也是難點，且要注意整體思想的應用。

6.運用放縮法證明不等式時要把握好「放縮」的尺度，即要恰當、適度，否則將達不到預期的目的，或得出錯誤的結論。另外，是分組分別放縮還是單個對應放縮，是部分放縮還是整體放縮，都要根據不等式的結構特點掌握清楚。

（摘自：《考試報·高二數學版》2004年/07月/20日）

1、比較法（作差法）
在比較兩個實數 和 的大小時，可藉助 的符號來判斷。步驟一般為：作差——變形——判斷（正號、負號、零）。變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、公式等。
例1、已知： ， ，求證： 。
證明： ，故得 。
2、分析法（逆推法）
從要證明的結論出發，一步一步地推導，最後達到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導過程都必須可逆。
例2、求證： 。
證明：要證 ，即證 ，即 ， ， ， ， ，由此逆推即得 。
3、綜合法
證題時，從已知條件入手，經過逐步的邏輯推導，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結論，這是一種常用的方法。
例3、已知： ， 同號，求證： 。
證明：因為 ， 同號，所以 ， ，則 ，即 。
4、作商法（作比法）
在證題時，一般在 ， 均為正數時，藉助 或 來判斷其大小，步驟一般為：作商——變形——判斷（大於1或小於1）。
例4、設 ，求證： 。
證明：因為 ，所以 ， 。而 ，故 。
5、反證法
先假設要證明的結論不對，由此經過合理的邏輯推導得出矛盾，從而否定假設，導出結論的正確性，達到證題的目的。
例5、已知 ， 是大於1的整數，求證： 。
證明：假設 ，則 ，即 ，故 ，這與已知矛盾，所以 。
6、迭合法（降元法）
把所要證明的結論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質，使原不等式獲證。
例6、已知： ， ，求證： 。
證明：因為 ， ，
所以 ， 。
由柯西不等式
，所以原不等式獲證。
7、放縮法（增減法、加強不等式法）
在證題過程中，根據不等式的傳遞性，常採用捨去一些正項（或負項）而使不等式的各項之和變小（或變大），或把和（或積）里的各項換以較大（或較小）的數，或在分式中擴大（或縮小）分式中的分子（或分母），從而達到證明的目的。值得注意的是「放」、「縮」得當，不要過頭。常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補放縮法、編組放縮法、尋找「中介量」放縮法。
例7、求證： 。
證明：令 ，則
，
所以 。
8、數學歸納法
對於含有 的不等式，當 取第一個值時不等式成立，如果使不等式在 時成立的假設下，還能證明不等式在 時也成立，那麼肯定這個不等式對 取第一個值以後的自然數都能成立。
例8、已知： ， ， ，求證： 。
證明：（1）當 時， ，不等式成立；
（2）若 時， 成立，則

= ，
即 成立。
根據（1）、（2）， 對於大於1的自然數 都成立。
9、換元法
在證題過程中，以變數代換的方法，選擇適當的輔助未知數，使問題的證明達到簡化。
例9、已知： ，求證： 。
證明：設 ， ，則 ，

（因為 ， ），
所以 。
10、三角代換法
藉助三角變換，在證題中可使某些問題變易。
例10、已知： ， ，求證： 。
證明：設 ，則 ；設 ，則
所以 。
11、判別式法
通過構造一元二次方程，利用關於某一變元的二次三項式有實根時判別式的取值范圍，來證明所要證明的不等式。
例11、設 ，且 ，求證： 。
證明：設 ，則
代入 中得 ，即
因為 ， ，所以 ，即 ，
解得 ，故 。
12、標准化法
形如 的函數，其中 ，且
為常數，則當 的值之間越接近時， 的值越大（或不變）；當 時， 取最大值，即
。
標准化定理：當A+B為常數時，有 。
證明：記A+B=C，則
，
求導得 ，由 得C=2A，即A=B
又由 知 的極大值點必在A=B時取得
由於當A=B時， ，故得不等式。
同理，可推廣到關於 個變元的情形。
例12、設A，B，C為三角形的三內角，求證： 。
證明：由標准化定理得，當A=B=C時， ，取最大值 ，故 。
13、等式法
應用一些等式的結論，可以巧妙地給出一些難以證明的不等式的證明。
例13（1956年波蘭數學競賽題）、 為 的三邊長，求證：
。
證明：由海倫公式 ，
其中 。
兩邊平方，移項整理得

而 ，所以 。
14、函數極值法
通過變換，把某些問題歸納為求函數的極值，達到證明不等式的目的。
例14、設 ，求證： 。
證明：
當 時， 取最大值 ；
當 時， 取最小值－4。
故 。
15、單調函數法
當 屬於某區間，有 ，則 單調上升；若 ，則 單調下降。推廣之，若證 ，只須證 及 即可， 。
例15、 ，求證： 。
證明：當 時， ，而

故得 。
16、中值定理法
利用中值定理： 是在區間 上有定義的連續函數，且可導，則存在 ， ，滿足 來證明某些不等式，達到簡便的目的。
例16、求證： 。
證明：設 ，則
故 。
17、分解法
按照一定的法則，把一個數或式分解為幾個數或式，使復雜問題轉化為簡單易解的基本問題，以便分而治之，各個擊破，從而達到證明不等式的目的。
例17、 ，且 ，求證： 。
證明：因為

所以 。
18、構造法
在證明不等式時，有時通過構造某種模型、函數、恆等式、復數等，可以達到簡捷、明快、以巧取勝的目的。
例18、已知： ， ，求證： 。
證明：依題設，構造復數 ， ，則 ，
所以

故 。
19、排序法
利用排序不等式來證明某些不等式。
排序不等式：設 ， ，則有
，其中 是 的一個排列。當且僅當 或 時取等號。
簡記作：反序和 亂序和 同序和。
例19、求證： 。
證明：因為 有序，所以根據排序不等式同序和最大，即 。
20、幾何法
藉助幾何圖形，運用幾何或三角知識可使某些證明變易。
例20、已知： ，且 ，求證： 。
證明：以 為斜邊， 為直角邊作
延長AB至D，使 ，延長AC至E，使 ，過C作AD的平行線交DE於F，則 ∽ ，令 ，
所以
又 ，即 ，所以 。

另外，還可以利用重要的不等式來證題，如平均不等式、柯西（Cauchy）不等式、琴生（Jensen）不等式、絕對值不等式、貝努利（J.Bernoulli）不等式、赫爾德（O.HÖlder）不等式、三角形不等式、閔可夫斯基（H.Minkowski）不等式等，這里不再煩述了。
在實際證明中，以上方法往往相互結合、互相包含，證題時，可能同時運用幾種方法，結合起來加以證明。

參考文獻
[1]李玉琪主編•初等代數研究•北京：中國礦業大學出版社，1993
[2]方初寶等編•數學猜想法淺談•重慶：科技文獻出版社重慶分社，1988
[3]吳德風•不等式與線性規劃初步•北京：科學普及出版社，1983

❹ 高中數學不等式證明的八種方法

不等式的證明
1、比較法
作差作商後的式子變形,判斷正負或與1比較大小
作差比較法-----要證明a>b,只要證明a-b>0.
作商比較法---已知a,b都是正數,要證明a>b,只要證明a/b>1
例： 求證：x²+3>2
證明：
∵x²+3-2=x²+1>0
∴ x²+3>2

2、綜合法
了解算術平均數和幾何平均數的概念,能用平均不等式證明其它一些不等式
定理1 如果a,b R,那麼a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時取"="號)
證明:a2+b2-2ab=(a-b)2≥0
當且僅當a=b時取等號.所以
a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時取等號).
定理2 如果a,b,c R+,那麼a3+b3+c3≥3abc(當且僅當a=b=c時取"="號)
證明:∵a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0
∴ a3+b3+c3≥3abc,
很明顯,當且僅當a=b=c時取等號.
例1 已知a,b,c是不全等的正數,求證
a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc.

3、放縮法
這也是分析法的一種特殊情況,它的根據是不等式的傳遞性—
a≤b,b≤c,則a≤c,只要證明"大於或等於a的"b≤c就行了.
例,證明當k是大於1的整數時,,
我們可以用放縮法的一支——"逐步放大法",證明如下:

4、分析法
從要證明的不等式出發,尋找使這個不等式成立的某一"充分的"條件,為此逐步往前追溯(執果索因),一直追溯到已知條件或一些真命題為止.例如要證a2+b2≥2ab我們通過分析知道,使a2+b2≥2ab成立的某一"充分的"條件是a2-2ab+b2≥0,即(a-b)2≥0就行了.由於是真命題,所以a2+b2≥2ab成立.分析法的證明過程表現為一連串的"要證……,只要證……",最後推至已知條件或真命題
例 求證:
證明:
構造圖形證明不等式
例:已知a,b,c都是正數,求證:
+>
分析與證明:觀察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2+ab的形式,聯想到餘弦定理:c2=a2+b2-2ab CosC,為了得到a2+b2+ab的形式,只要C=120°,
這樣:可以看成a,b為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊
可以看成b,c為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊
可以看成a,c為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊
構造圖形如下,
AB=,
BC=,
AC=
顯然AB+BC>AC,故原不等式成立.

5、數形結合法
數形結合是指通過數與形之間的對應轉化來解決問題.數量關系如果藉助於圖形性質,可以使許多抽象概念和關系直觀而形象,有利於解題途徑的探求,這通常為以形助數;而有些涉及圖形的問題如能轉化為數量關系的研究,又可獲得簡捷而一般化的解法,即所謂的以數解形.數形結合的思想,其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來,使抽象思維和形象思維結合,通過對圖形的認識,數形的轉化,可以培養思維的靈活性,形象性.通過數形結合,可以使復雜問題簡單化,抽象問題具體化.
例.證明,當x>5時,≤x-2
解:令y1=, y2=x-2, 從而原不等式的解集就是使函數y1>y2的x的取值范圍.在同一坐標系中分別作出兩個函數的圖象.設它們交點的橫坐標是x0, 則=x0-2>0.解之,得x0=5或x0=1(舍).根據圖形,很顯然成立.

6、反證法
先假定要證不等式的反面成立,然後推出與已知條件(或已知真命題)和矛盾的結論,從而斷定反證假定錯誤,因而要證不等式成立.

7、窮舉法
對要證不等式按已知條件分成各種情況,加以證明(防止重復或遺漏某一可能情況).

8、換元法
常用的換元有多項式的換元，三角換元等

❺ 有哪些論證的方法

常見論證方法及作用：

1、舉例論證：通過舉具體的事例加以論證，從而使論證更具體、更有說服力。

答題格式：使用了舉例論證的論證方法，舉……（概括事例）證明了……（如果有分論點，則寫出它證明的分論點，否則寫中心論點），從而使論證更具體理會有說服力。

2、道理論證：通過講道理的方式證明論點，使論證更概括更深入。

答題格式：使用了道理論證的論證方法，論證了……了觀點，從而使論證更概括更深入。

註：如果引用名人名言、格言警句、權威數據，可以增強論證的說服力和權威性；引用名人佚事、奇聞趣事，可以增強論證的趣味性，吸引讀者下讀。

答題格式：使用了引用論證的論證方法，通過引用……證明……的觀點，使論證更有說服力。（或更有趣味性，吸引讀者往下讀）

3、對比論證。作用就是突出強調。

答題格式：使用了對比論證的論證方法，將……和……加以比較，突出強調了……的觀點。

4、比喻論證：可把道理講得通俗易懂，容易被人接受。使論證的內容更加生動形象，更利於讀者明白。

答題格式：使用了比喻論證的論證方法，將……比作……，證明了……的觀點，從而把抽象深奧的道理闡述得生動形象、淺顯易懂。

(5)證明式研究方法擴展閱讀：

運用比喻論證要注意幾個問題：

一是用來作為喻體的事物，應當是為大家所熟悉的、具體的、淺顯的，這樣，才能既通俗又生動地說明另一個事物。

二是比喻應當貼切、自然，要能恰到好處地說明被論證事物的特點。可以把老師比喻成蠟燭、春蠶，說明他們無私地獻出自己的一切，卻不能將他們比喻成能使別人干凈起來，可它們自己卻像越來越臟的抹布、掃帚，這樣運用比喻法，叫「引喻失義」。

三是因為比喻的雙方缺乏本質上的內在聯系，所以任何比喻都是有缺陷的。要完整、深刻地論述一個問題，不能僅靠幾個比喻，應把它和例證法、分析法等結合起來使用。

運用對比論證要注意幾個問題：

第一，比較的雙方要具備可比性。

第二，要建立合理的參照系。

要進行比較，就必須具有合理的共同參照系，沒有共同的參照系，兩者就無法進行比較。所謂參照系指的是用來衡量和確定雙方優劣長短的標准，這樣的標准必須具有客觀性，否則比較的結論不一定可靠。

❻ 辯論演講中常用哪十種證明方法

語言作為辯論的載體，一定要准確地表達出辯者嚴密的思維活動,一定要准確地表達辯者參辯的觀點、見解、主張、意圖，因此它就必須合乎邏輯。 一、知己知彼 辯論與一般演講的不同之處，就在於它是一種。「針鋒相對」的「交戰」。「知己知彼，百戰不殆」是兵法的首要原則，對於辯論這種「舌戰」來說，無疑不能例外。知己，是指對於己方的立論自我詰難，反復推敲，以求嚴謹縝密，萬無一失。立論的詰難與推敲，大體有三個方面： 一是論點檢查。 論點是辯論中的「戰旗」。辯論者對於自己所持的論點，必須充滿自信，如同戰場上高舉戰旗一樣。但是，自信絕不是盲目的自我欣賞必須是科學分析的結果。 論點的檢查，主要有兩個方面：一是提煉過程的檢查，二是語言表達的檢查。從原始材料中提煉出一個論點，其中有復雜的分析、綜合、比較、抽象等思維過程。對於論點形成過程進行自我詰難與反復推敲，是保證論點正確性的一項重要措施。在思維活動中，逐漸轉化而成的論點表達的語言形式，也是論點檢查的重要內容。語言表達的清晰度、邏輯性以及表現力，都應該逐項推敲，反復檢驗。 二是論據檢查。 論據是辯論中的「彈葯」。辯論者如果沒有掌握數量充足、威力巨大的「彈葯」，就不可能在「交鋒」中占優勢。因此，論據的准備是一種扎扎實實的物質准備。論據的檢查，也可分為兩個方面：一是論據的真實性，二是論據的邏輯性。真實可*，是論據選擇的首要原則。那些模稜兩可、似是而非的論據必須堅決摒棄。推導嚴密，是論據選擇的又一重要原則，那些牽強附會、證明不力的論據也應該果斷刪去。 三是論證方法檢查。 論證方法是辯論中的「戰術設計」。辯論者必須根據論點的需要、論據的特點以及自身的條件，精心設計「戰術方案」，即論證方法的選擇與組織。只有經過論點、論據、論證方法的反復檢查，確信己方 「戰旗」鮮亮，「彈葯」充足，「戰術」精巧，方能在辯論中充滿自信。這就是知己。 知彼，即了解對方。除事先通過各種途徑了解對方的觀點、材料以及辯論特點以外在辯論現場的察言觀色是知彼的一條捷徑。也就是說，藉助觀察，發現辯論對方的優勢、弱點、情緒變化以及戰術運用等，以便採取相應的對策，這是辯論技巧運用的客觀依據之一。 辯論中的觀察，說到底是辯論雙方對於對方言談舉止、神態表情的微妙變化及其含義進行捕捉與判斷。其方法大體有三種：其一，「投石問路」。所謂「投石問路，是指先提出一兩個問題作為試探。探明虛實，才能選定主攻方向這往往用於情況不明的時候。當然，「問路」之「石」的選擇十分重要，也就是說，作為試探的問題的選擇與表述是否得當、巧妙，這是應用「投石問路」法的關鍵所在。太直、太露、太淺的「問路」，結果是暴露自己的淺薄和笨拙。其二，捕捉戰機。心理學研究證明，外界事物對人大腦的刺激往往會使人體內部某些相應組織的機能在一個短時間內出現異常現象。就是說，人往往會通過他的舉止神態以及習慣性動作，流露出他內心的活動。比如，雙手揉搓這個動作，顯示緊張的思考；顫抖的語言，顯示慌亂……在辯論中，要善於准確地判斷對方的情緒，捕捉戰機，或麻痹對方，或打亂對方的思緒或超對方慌亂而層層緊逼。這又是觀察的一種效用。其三，緩和氣氛。辯論，應該有良好的氣氛。辯論絕非爭吵，更不是鬥嘴。因此，辯論雙方都有責任調節氣氛，使辯論在心平氣和的條件下進行。觀察到對方情緒激動時，就應該設法用語言調節，使氣氛趨於平緩：當發覺對方怒形於色時，應該考慮用笑容調節，使氣氛得以鬆弛。 二、舉事證理 事實勝於雄辯。擺事實、講道理，這是辯論中最基本，也是最常用的邏輯技巧。可以舉事實淪證己方的論點進行立論，也可以舉事實反駁對立方的論自進行駁淪。例如：「文革」結束後，我國開始了社會主義建設的新時期，曾在全國范圍內開展了關於實踐是檢驗真理的惟一標準的大討論。1978年5月 《光明日報》以《實踐是檢驗真理的推一標准》為題發表過特約評論員的文章，文章在證明「正是實踐，也只有實踐 才能夠完成檢驗真理的任務」這一論點時，就列舉了大量的事實，如門捷列夫創立的元素周期表、哥白尼的太陽系學說、馬克思主義、毛澤東思想……都是在實踐中經受住考驗，被實踐證明確實是真理的。這 2006-8-12 14:39 回復 正義之劍永存 120位粉絲 2樓 種列舉已為世人所公認的事實來進行說理的方法，確實具有巨大的說服力。再如，：毛澤東同志在《唯心歷史觀的破產》一文中，在批駁艾奇遜的「革命的發生是由於人口太多的緣故」這一謬論時，為我們樹立了以事實進行駁論的典範。他指出：革命的發生是由於人口太多的緣故么？古今中外有過很多的革命．都是由於人口太多麼？美國174年以前的反英革命，也是由於人口大多麼？艾奇遜的歷史知識等於零，他連美國獨立宣言也沒有讀過。華盛頓傑佛遜們之所以舉行反英革命，是因為英國人壓迫和剝削美國人，而不是什麼美國人口過剩。中國人民歷次推翻自己的封建朝廷，是因為這些封建朝廷壓迫和剝削人民，而不是什麼人口過剩。俄國人所以舉行二月革命和十月革命，是因為俄皇和俄國資產階級的壓迫和剝削，而不是什麼人口過剩，俄國至今還是土地多過人口很垠遠的。蒙古土地那麼廣大，人口那麼稀少，照艾奇遜的道理是不能設想會發生革命的，但是卻早已發生了。毛澤東同志在這里列舉了中國、美國、俄國、蒙古等許多國家確實發生過的歷次革命這些事實，有力地駁斥了艾奇遜的唯心主義歷史觀，事實確鑿，不容置辯，說服力是很強的。 動用舉事證理的邏輯技巧，要注意兩點：一是所舉事實，越具有典型性，說服力越強。因為不論是歷史的還是現實的事例，越具代表性，越能體現客觀事物的本質與規律，所表現的道理也就越深刻。二是要對所舉事例進行深人的分析，揭示和闡發事例與道理之間的必然聯系，使舉事與證理有機地結合起來，這才能充分發揮擺事實、講道理的作用。 三、隱含判斷 辯論中，有時巧用隱含判斷會比運用直接表達判斷的語句顯得更有力量。例如，曾有一位胖得流油的大資本家想嘲笑一下瘦於蕭伯納。大資本家說：「我一看見你，就知道你們那兒在鬧帆荒。」蕭伯納回故道：「我一看見你，便知道了鬧飢荒的原因。在這段對話中，兩人都運用了隱含判斷。大資本家所用的隱含判斷無非是「蕭伯納瘦得像個討飯的」，而蕭伯納的回答中所隱含的判斷則十分巧妙而幽默地揭露了資本家剝削窮人的罪惡實質。這一隱含判斷是大家都能分析出來的。 從以上分析，我們可以看出，隱含判斷的作用是多方面的，對隱含判斷的恰當運用能使辯論具有邏輯力量，富於藝術魅力。 六、以牙還牙 以牙還牙，就是在辯論中以其人之道還治其人之身。這種方法一般適用於對方講歪理、不講理之類的情況。 有個驕傲自大、脫離群眾的人辯解說：「只有羊呀、豬呀，才是成群結隊的，獅子、老虎都是獨來獨往的。」作家馬鐵丁反問他：「獅子、老虎固然是獨來獨往的，刺蝟、癩蛤蟆、蜘蛛又何嘗不是獨來獨往呢？」這就是以人之歪理還擊人，使自比獸中之王的狂妄之徒如刺蝟、癩蛤蟆、蜘蛛之類的小動物一般。 蘇聯詩人馬雅可夫斯基非常善於運用這種方法來反駁一些無賴之徒。他妙語連珠，辯論的語言蘊含著無可辯駁的力量。一次，馬雅可夫斯基演講剛完，一個胖子擠到講台邊嚷道：我應該提醒你，馬雅可夫斯基同志，拿破崙有一句名言：『從偉大到可笑，只有一步之差。』」「不錯」，馬雅可夫斯基一邊用手指指自己又指指那個胖子，一邊說：「從偉大到可笑，正是一步之差。」那胖子的話意是，馬雅可夫斯基的演講有些可笑或者近似可笑，馬雅可夫斯基面對這擠*講台的無禮之徒，借用他的話，非常巧妙地向他反擊：可笑的正是與我只有一步之差的你！這是借用對方的語言還擊對方。 七、假言辯駁 在辯論中，運用假育推理進行辯駁 是極富於邏輯力量 的。例如： 1984年，上海市公安機關偵破一起重大反革命案件，共 有八名被告，經法庭審判，結果其中七名被告分別被判處死刑二名、死緩一名、無期徒刑一名、有期徒刑三名，惟獨第六被告徐漢勇被宣告無罪，當庭釋放。 擔任本案第六被告徐漢勇辯護人的上海市第二律師事務所 副主任鄭傳本律師，通過認真閱卷調查，以及全面的分析研 究，在法庭辯論中，依據事實和法律，為徐漢勇作了無罪辯護。 2006-8-12 14:39 回復 正義之劍永存 120位粉絲 3樓 請看鄭傳本律師的一段法庭辯護詞： 被告徐漢勇在主觀上沒有共同犯罪故意，根據我國《刑法》第十一條規定：「明知自己的行為會發生危害社會的結果，並且希望或者放任這種結果發生，因而構成犯罪的，是故意犯罪。」根據刑法原理和司法實踐，反革命罪只有直接故意才能構成。而被告人徐漢勇卻沒有這種故意。 鄭傳本律師這段法庭辯護詞中就包含了一個必要條件假言推理否定前件式： 只有直接故意才能構成反革命罪；被告徐漢勇沒有共同犯罪故意（沒有直接故意）；所以。被告徐漢勇沒有構成反革命罪。 以上推理符合必要條件假育推理否定前件式的公式，其形式是正確的，加之這，形式正確的推理又是建立在以法律為准繩，以事實為依據的基礎上的，因而，具有雄辯的說服力。正因為如此，鄭傳本律師被告徐漢勇的無罪辯護得到了法庭的採納。 在一些法庭審訊的質詢性辯論活動中，如果法官有較強的邏輯思維能力，運用假言推理可以抓住被告的一些錯誤的推斷，並由此打開缺口，找到犯罪的證據。 八、演繹辯論 演繹是由一般性的前提推出個別性的結論的邏輯方法。由於其前提必然蘊涵結論，所以，只要其前提是真的，其結論也必然是真的。作為一種由已知推出未知的推理過程，演繹對豐富知識、增長經驗、加強辯論能力大有幫助。在辯論過程中，正確地掌握和運用演繹推理方法，不僅有助於我們周密地進行論證，完美地表述自己的觀點，防止給論敵以可乘之機，而且可以及時地抓住論敵的把柄，揭穿其詭辯的伎倆。因而，演繹推理也是雄辯家經常運用的邏輯方法之一。在演繹推理中，演繹常見的類型就是由兩個直言判斷組成大、小前提推出結論的「三段論」。由於三段論是一種必然性推理，即其結論是由前提推導出來的，因此，三段論是一種很有力的辯論方法。我們知道，人們經常要對個別事物有所斷定。而對個別事物作斷定最方便，最有效，也最有說服力的方法就是引用一般原理作根據進行論證，這種引用一般原理來論證個別問題的演繹方法就是三段論法。例如：鄧小平同志在《答義大利記者奧琳娜. 法拉奇問》中說了這樣一句活：「當然我急是做了點事情，革命者還能不做事？」就是運用三段論進行回答的：凡革命者都為革命作了貢獻；我是革命者；所以，我也為革命作了貢獻。 結合上文來看這句話是在鄧小平同志向法拉奇陳述周恩來、劉少奇等老一輩革命家對毛澤東思想的貢獻後，法拉奇問他「你為什麼不提自己的名字」時說的。在這句話的前面，還有一句「我算不了什麼」的話。這里，鄧小平同志不稱自己為「革命家」，只稱「革命者」，不說自己對毛澤東思想作了貢獻，只說「做了點事情」。其實，中外皆知鄧小平同志是一個對毛澤東思想做出了巨大貢獻的偉大革命家，而他這里的回答不僅表現出了一個偉大革命家的謙虛品格、偉大人格，而且，充分體現出了他具有獨特風格的談話藝術，當我們翻讀這篇談話的全文後就會更清楚地體會到這一點。 三段論不僅是一種很有力的辯論方法，而且是一種很有力的辯駁方法 九、直接破的 這是在辯論中直接反駁對立方論與的方法。也就是直接去揭示對立方論點的錯誤、虛假，或邏輯上的混亂。直接反駁對立方論點的方法很多：可以舉事實反駁，也可以進行分析反駁，還可以澄清概念來進行反駁。 魯迅先生在《「友邦驚詫」論》中，為了反駁國民黨政府通電中加給請願學生的所謂「搗毀機關，阻斷交通，毆傷中委，攔劫汽車，襲擊路人及公務人員，私逮刑訊，社會秩序，悉被破壞」的種種罪名，特在文章結尾援引《申報》的南京專電再反駁：「考試院部員張以寬，盛傳前日為學生架去重傷，茲捆張自述，當時因車夫誤會，為群眾引至中大，旋出校回寓，並無受傷之事。至行政院某秘書被拉到中大，亦當時出來，更無蹤之事。」而「教育消息」欄內，又記本埠一小部分學校赴南京請願學生死傷的確數，則雲：「中公死二人，傷三十人，復旦傷二人，復旦附中傷十人，東亞失蹤一人（系女性）。上中失蹤一人，傷三人，文生氏死一人，傷五人……」可見學生並未如國府通電所說，將「社會秩序，破壞無余」，而國府則不但依何能夠鎮壓，而且依然能夠誣陷、殺戮。「友邦人士」從此可以不必「驚詫莫名」，只請放心來瓜分就是了。 在這里，魯迅先列舉確鑿的事實，直接反駁了國民黨政府的謬論，異常有力。這是舉事例直接破的方法的功效。 十、兩難逼進 「二難逼進」就是二難推理於辯論中的運用。二難推理是由假言判斷和選言判斷做前提構成的推理。之所以稱為「二難」，是因為它可以使人陷入左右為難、進退維谷的境地。由於它能較為明顯地表現辯論者進攻的鋒芒和力量，人們也叫它兩刀論法」。「二難推理」是極有力量的辯論工具，善用的人可以使對方逃不出他的結論而陷人兩難境地，無論古今中外雄辯大師們都極善於使用「二難術」，生活中也隨處可見用「二難推理」令對方進退維谷的生動例子。例如：在一次外交場合，前蘇聯霸權主義者曾說：「中國反對緩和世界局勢。」周恩來總理駁斥道：「你那麼想緩和世界局勢為什麼不做一兩件事情，比如從捷克斯洛伐克或蒙古撤退軍隊，歸還日本北方四島，來證明你的誠意呢？……」 周恩來總理的駁斥，雄辯地作了這樣的推理：如果前蘇聯霸權王義者真想緩和世界局勢，那麼就應該從捷克斯洛伐克或蒙古撤軍；如果前蘇聯霸權主義者真想緩和世界局勢，那麼就應該歸還日本北方四島；既然前蘇聯霸權主義者不肯從捷克斯洛伐克或蒙古撤軍，也不肯歸還日本北方四島，可見前蘇聯霸權主義者不是真的想緩和世界局勢，而是在製造世界緊張局勢。

❼ 不等式證明都有哪幾種方法

比較法
比較法是證明不等式的最基本方法，具體有"作差"比較和"作商"比較兩種。基本思想是把難於比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當求證的不等式兩端是分項式（或分式）時，常用作差比較，當求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數式時常用作商比較）
例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2
分析：由題目觀察知用"作差"比較，然後提取公因式，結合a+b≥0來說明作差後的正或負，從而達到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負。
∵（a3+b3)(a2b+ab2)
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)
證明： =(a-b)2(a+b)
又∵(a-b)2≥0a+b≥0
∴(a-b)2(a+b)≥0
即a3+b3≥a2b+ab2
例2 設a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba
分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對稱性，因此可在設a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商後同"1"比較大小，從而達到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小
證明：由a、b的對稱性，不妨解a＞b＞0則
aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b
∵ab0，∴ab1，a-b0
∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba
練習1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）

基本不等式法
利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及 變形有：
（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時，取等號）
（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab （當且僅當a=b時，取等號）
（3）若a、b同號，則 ba+ab≥2（當且僅當a=b時，取等號）
例3 若a、b∈R， ｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1-b2+b1-a2≤1
分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y22
證明： ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1
∴b1-a2+a1-b2≤1，當且僅當a1+b2=1時，等號成立
練習2：若 ab0，證明a+1(a-b)b≥3

綜合法
綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發，根據不等式性質推算出要證明不等式。
例4，設 a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252
證明：∵ a0，b0，a+b=1
∴ab≤14或1ab≥4
左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)2-2ab］+(a+b)2-2aba2b2
=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252
練習3：已知a、b、c為正數，n是正整數，且f (n)=1gan+bn+cn3
求證：2f（n）≤f（2n）

分析法
從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個條件是可以證明或已經證明的不等式時，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。
例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab
分析：觀察求證式為一個連鎖不等式，不易用比較法，又據觀察求證式等價於 ｜a-c｜＜c2-ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。
要證c-c2-ab＜a＜c+c2-ab
只需證-c2-ab＜a-c＜c2-ab
證明： 即證 ｜a-c｜＜c2-ab
即證 (a-c)2＜c2-ab
即證 a2-2ac＜-ab
∵a＞0，∴即要證 a-2c＜-b 即需證2+b＜2c，即為已知
∴ 不等式成立
練習4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）2
放縮法
放縮法是在證明不等式時，把不等式的一邊適當放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強常用技巧有：（1）捨去一些正項（或負項），（2）在和或積中換大（或換小）某些項，（3）擴大（或縮小）分式的分子（或分母）等。
例6：已知a、b、c、d都是正數
求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2
分析：觀察式子特點，若將4個分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。
證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1
又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d
∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2
綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2
練習5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜1
6換元法
換元法是許多實際問題解決中可以起到化難為易，化繁為簡的作用，有些問題直接證明較為困難，若通過換元的思想與方法去解就很方便，常用於條件不等式的證明，常見的是三角換元。
(1)三角換元：
是一種常用的換元方法，在解代數問題時，使用適當的三角函數進行換元，把代數問題轉化成三角問題，充分利用三角函數的性質去解決問題。
例7、若x、y∈R+,且 x-y=1 A=(x-1y)(y+1y)。1x，求證0＜A＜1
證明： ∵x，y∈R+， 且x-y=1，x=secθ ， y=tanθ ，（0＜θ＜xy ）
∴ A=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ
=1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ
=sinθ
∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1
復習6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2-xy+y2≤3
(2)比值換元：
對於在已知條件中含有若干個等比式的問題，往往可先設一個輔助未知數表示這個比值，然後代入求證式，即可。
例8：已知 x-1=y+12=z-23，求證：x2+y2+z2≥4314
證明：設x-1=y+12=z-23=k
於是x=k+1，y=zk-1，z=3k+2
把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2
=14(k+514)2+4314≥4314

反證法
有些不等式從正面證如果不好說清楚，可以考慮反證法，即先否定結論不成立，然後依據已知條件以及有關的定義、定理、公理，逐步推導出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結論，從而肯定原有結論是正確的，凡是"至少"、"唯一"或含有否定詞的命題，適宜用反證法。
例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤2
分析：本題已知為p、q的三次 ，而結論中只有一次 ，應考慮到用術立方根，同時用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。
證明：解設p+q＞2，那麼p＞2-q
∴p3＞（2-q）3=8-12q+6q2-q3
將p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+6＜0
即6（q-1）2＜0 由此得出矛盾 ∴p+q≤2
練習7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0.
求證：a＞0，b＞0，c＞0
數學歸納法
與自然數n有關的不等式，通常考慮用數學歸納法來證明。用數學歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。
例10：設n∈N，且n＞1,求證： (1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+12
分析：觀察求證式與n有關，可採用數學歸納法
證明：（1）當n=2時，左= 43，右=52
∵43＞52∴不等式成立
（2）假設n=k(k≥2，k∈n)時不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k-1)＞2k+12
那麼當n=k+1時，(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)＞2k+12·(1+12k+1)①
要證①式左邊＞ 2k+32，只要證2k+12·
2k+22k+1＞2k+32②
對於②〈二〉2k+2＞ 2k+1·2k+3
〈二〉(2k+2)2＞ (2k+1)(2k+3)
〈二〉4k2+8k+4＞ 4k2+8k+3
〈二〉4＞3 ③
∵③成立 ∴②成立，即當n=k+1時，原不等式成立
由（1）（2）證明可知，對一切n≥2（n∈N），原不等式成立
練習8：已知n∈N，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞ 1324

構造法
根據求證不等式的具體結構所證，通過構造函數、數列、合數和圖形等，達到證明的目的，這種方法則叫構造法。
1構造函數法
例11：證明不等式：x1-2x ＜x2 （x≠0）
證明：設f（x）= x1-2x- x2 （x≠0）
∵f (-x)
=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x2
=x1-2x- ［1-(1-2x)］+x2=x1-2x-x+x2
=f（x）
∴f（x）的圖像表示y軸對稱
∵當x＞0時，1-2x＜0 ，故f（x）＜0
∴當x＜0時，據圖像的對稱性知f（x）＜0
∴當x≠0時，恆有f（x）＜0 即x1-2x＜x2（x≠0）
練習9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：b- b2-ab＜a＜b+b2-ab
2構造圖形法
例12：若f（x）=1+x2 ，a≠b，則|f（x）-f（b）|＜ |a-b|
分析：由1+x2 的結構可知這是直角坐標平面上兩點A(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2
於設A(1，a)，B(1，b)則0A= 1+a2

❽ 科研研究方法有哪些

科研的典型方法。前面選題和搜集資料都是科研的前提條件，接下來我們就應該正式進行科研工作。在進行科研工作之前，我們要掌握一些典型的科研方法。
1.觀察法.科學觀察是指人們通過感官，有計劃、有目的對在自然發生狀態下何在人為發生的條件下的事物。科學觀察是我們科研常用的方法，它與人們日常的觀察不同，科學觀察總是為了解決一定的科學問題而進行的，它有明確的任務、目的和觀察對象，它不僅要用眼睛看，有時還要藉助於儀器進行觀察，觀察之後還要進行詳細的、准確的記錄，而人們日常的觀察是很隨意的，沒有這些要求和規定。1.觀察方法 2 觀察的意義 3觀察的原則 4.觀察的種類 5.觀察的偏差
2實驗法。 試驗方法是獲取第一手科研資料的重要的和有力的手段。大量的、新的、精確的和系統的資料，往往是通過試驗而獲得的。試驗方法是探索自然奧秘和發明新物品的必由之路。實驗是檢驗真理的唯一標准。有許多科學理論和技術的正確與否都是通過實驗的方法才能得到驗證的。所以說試驗法是科研工作中非常重要的一種方法。1.實驗方法 2實驗新特點3.實驗的作用4.實驗的類型5.實驗的要求6.實驗的缺陷
3.模擬法。模擬方法就是根據相似的理論，先設計和製作一個與自然事物、自然想像及其發展變化過程相似的模型，然後，通過對模型的試驗和研究，間接地去試驗和研究「原型」的性質和規律性。模擬方法與常規的實驗方法相比較，一般說來，他不是對「原型」的各種因素影響的純化和簡化，而是盡量對「原型」的復雜因素進行全面的模擬和研究。所以，模擬方法可以很好的解決實際試驗中難以實現的條件，有效的促使科研工作的進一步完成。1.模擬方法 2.模擬的特點 3.模擬的種類 4.模擬的作用 5.模擬的不足
還有其他一些方法比如：數學方法，理想化，類比法，假說法，綜合法等。