歷史上電磁場分析方法

A. 電磁場的發展歷史

人們很早就接觸到電和磁的現象，並知道磁棒有南北兩極。在18世紀，發現電荷有兩種：正電荷和負電荷。不論是電荷還是磁極都是同性相斥，異性相吸，作用力的方向在電荷之間或磁極之間的連接線上，力的大小和它們之間的距離的平方成反比。 在這兩點上和萬有引力很相似。18世紀末發現電荷能夠流動，這就是電流。但長期以來，人們只是發現了電和磁的現象，並沒有發現電和磁之間的聯系。19世紀前期，奧斯特發現電流可以使小磁針偏轉。而後安培發現作用力的方向和電流的方向互相垂直，磁針到通過電流的導線的垂直線方向與電流方向相互垂直。不久之後，法拉第又發現，當磁棒插入導線圈時，導線圈中就產生電流。這些實驗表明，在電和磁之間存在著密切的聯系。在電和磁之間的聯系被發現以後，人們認識到電磁力的性質在一些方 面同萬有引力相似，另一些方面卻又有差別。為此法拉第引進了力線的概念，認為電流產生圍繞著導線的磁力線，電荷向各個方向產生電力線，並在此基礎上產生了電磁場的概念。人們認識到，電磁場是物質存在的一種特殊形式。電荷在其周圍產生電場，這個電場又以力作用於其他電荷。磁體和電流在其周圍產生磁場，而這個磁場又以力作用於其他磁體和內部有 電流的物體。電磁場也具有能量和動量，是傳遞電磁力的媒介，它彌漫於整個空間。19世紀下半葉，麥克斯韋總結了宏觀電磁現象的規律，並引進位移電流的概念。這個概念的核心思想是：變化著的電場能產生磁場；變化著的磁 場也能產生電場。在此基礎上他提出了一組偏微分方程來表達電磁現象的基本規律。這套方程稱為麥克斯韋方程組，是經典電磁學的基本方程。麥克斯韋的電磁理論預言了電磁波的存在，其傳播速度等於光速，這一預言後來為赫茲的實驗所證實。於是人們認識到麥克斯韋的電磁理論正確地反映了宏觀電磁現象的規律，肯定了光也是一種電磁波。由於電磁場能夠以力作用於帶電粒子，一個運動中的帶電粒子既受到電場的力，也受到磁場的力，洛倫茲把運動電荷所受到的電磁場的作用力歸結為一個公式，人們就稱這個力為洛倫茨力。描述電磁場基本規律的麥克斯韋方程組和洛倫茨力就構成了經典電動力學的基礎。在奧斯特電流磁效應實驗及其他一系列實驗的啟發下，安培認識到磁現象的本質是電流 ，把涉及電流、磁體的各種相互作用歸結為電 流之間的相互作用，提出了尋找電流元相互作用規律的基本問題。為了克服孤立電流元無法直接測量的困難，安培精心設計了4個示零實驗並伴以縝密的理論分析，得出了結果。但由於安培對電磁作用持超距作用觀念，曾在理論分析中強加了兩電流元之間作用力沿連線的假設，期望遵守牛頓第三定律，使結論有誤。上述公式是拋棄錯誤的作用力沿連線的假設，經修正後的結果。應按近距作用觀點理解為，電流元產生磁場，磁場對其中的另一電流元施以作用力。

B. 高頻電磁場的分析方法

高頻電磁場是指頻率在100kHz～300MHz的電磁波，其波長范圍從1～3000m，按波長可分為長波、中波、短波、超短波。高頻電磁輻射屬於非電離輻射中的射頻輻射（無線電波）。在非熔化極氬弧焊和等離子弧焊割時，常用高頻振盪器來激發引弧，有的交流氬弧焊機還用高頻振盪器來穩定電弧。人體在高頻電磁場作用下，能吸收一定的輻射能量，產生生物學效應，主要是熱作用。

高頻電磁場強度受許多因素影響，如距離振盪器和振盪迴路越近場強越高，反之則越低。此外，與高頻部分的屏蔽程度等有關。

人體在高頻電磁場作用下會產生生物學效應，焊工長期接觸高頻電磁場能引起植物神經功能紊亂和神經衰弱。表現為全身不適、頭昏頭痛、疲乏、食慾不振、失眠及血壓偏低等症狀。如果僅是引孤時使用高頻振盪器，因時間較短，影響較小，但長期接觸是有害的。所以，必須對高頻電磁場採取有效的防護措施。高頻電會使焊工產生一定的麻電現象，這在高處作業時是很危險的，所以高處作業不準使用高頻振盪器。

C. 電磁場的主要分析方法有哪些

求磁場強度，安培環路定理
求電動勢，法拉第電磁感應定律/動生電動勢

D. 大地電磁場的特徵與起源

4.2.1.1 大地地電磁場的特徵

在很大地區范圍內觀測到的地球天然交變電磁場稱為大地電磁場，它是以地球的電場和磁場分量的變化形式表現出來的。其中，在地球內部感應產生的分布於整個地球表面或較大區域的變化電場稱為大地電場。大地電場與地球變化的磁場是密切聯系、不可分割的，它們具有相同類型的變化。地球變化的磁場屬於地磁學的重要內容，這里主要介紹大地電場。

大地電場的變化可分為兩大類：一類是地電場的平靜變化，另一類是地電場的干擾變化。平靜變化是連續出現的，具有確定的周期性，干擾變化是偶然發生的。

平靜變化有多種周期性，其中變化周期為11 a的，與太陽黑子出現的周期相同；有年變化周期，與太陽公轉周期相同，並與季度變化有關，夏季場強幅度大，冬季場強幅度小；有月變化周期，與月球繞地球的周期相同；有靜日地電日變化，與地球自轉周期相同。

干擾變化與平靜變化相比，它的出現帶有一定的偶然性。干擾變化有高頻地電變化，周期為0.000 1～1 s；有地電脈動，周期為0.2～1 000 s；有地電灣擾，無周期，持續時間為1～3h；有擾日地電日變化，周期為1d；有地電暴，變化持續的時間為1～3d。它們是大地電磁測深法主要的信號源。

圖4.2.1給出了周期范圍10^-4～10⁴s的大地電磁場振幅譜，是根據地磁場靜日變化分析統計得出的。它包括了從灣擾到各類地電脈動(P_c、P_i)以及天電(ELF)等高頻地電變化這些大地電磁現象所覆蓋的頻率范圍。可以看出，在這一頻率范圍內，大地電磁場在1Hz附近振幅較小，而在更低和更高的頻率上振幅都增大。

圖4.2.1 天然電磁場振幅與頻率的關系

在電法勘探中稱之為地磁脈動(P波)的短周期脈動具有周期為0.2～1 000 s的似周期振動特性，在白天以波群形式幾小時之內連續出現，故稱該波為連續脈動波——P_c波，且主要是在早晨和下午期間出現。晚間，脈動具有衰減的正弦波性質，稱這種振動為不規則脈動波——P_i波。這兩類脈動又分若干個小類(圖4.2.1)，其中P_c3和P_i2亞振動類型的振幅最大，且出現的概率也最大。在地電學中，電磁脈動的研究佔有重要地位。

由於各種頻率的振動成分起因不同，振動強度與晝夜變化、季節、緯度、甚至太陽活動有關。大地電磁場的最大振幅一般出現在夏季，在中緯度地區，大地電流場的振幅一般不超過幾毫伏/千米，而磁場振幅為10^-3～10^-1A/m。

大地電場是個矢量，在某一測點O上，可採用不同方向的兩組電極M₁N₁和M₂N₂來測量大地電場的場強E。一般使M₁N₁⊥M₂N₂，如圖4.2.2a所示。E_x是大地電場在M₁N₁方向的分量，E_y是大地電場在M₂N₂方向的分量，用平行四邊形法，將E_x和E_y的末端引出平行四邊形的兩條相鄰邊，並交於一點，此點即為矢量E的末端位置。

圖4.2.2b，c是大地電場的兩段記錄。從圖中量出各個時刻的E_x和E_y，可算出各個時刻的場強E。在直角坐標系中，先點出各個時刻的電場矢量E的端點，再按時間順序連接各個端點就得到圖4.2.2d，e所示的矢端曲線。從圖中可以看出，大地電場強度不僅振幅隨時間發生變化，而且方向也隨時間變化，故在有限時間里(與變化周期比較)矢量端點描述出復雜圖形。若場的矢端曲線具有等距圖形和多交叉點形式(圖4.2.2d)，這種極化稱為非線性極化。一般這種情形可在陸台地區和巨大的等軸狀盆地上觀測到。在一些地區，如坳陷邊緣區，矢端曲線具有伸長形狀，且其長度超過橫向寬度十倍，這種極化稱為似線性極化(圖4.2.2e)。在這種情形下，E_x和E_y變化或H_x和H_y變化幾乎是相關的，矢端曲線的伸長線稱為極化軸。

圖4.2.2 電場測量方法(a)和E_x和E_y的振動記錄(b，c)及相應的矢端曲線(d，e)

大地電磁場矢端曲線的復雜性證明了場源的復雜性。根據多年的觀測結果可以假設兩種類型的場源：一是場源位置對地球表面的觀察者是固定的，變化的僅是其電流的大小和方向；二是場源電流大小可能不變，但相對觀察位置是變化的。無論是屬於哪一種，對於觀察者而言，電磁場源的方向和大小均隨時間發生變化。所以，在大地電磁場法中可假設無窮多個信號源。

在某一瞬間，大地電磁場在幾百平方千米或更大的范圍內，振幅、頻率均保持一定，且能夠同時相互對比。西西里島和撒哈拉兩地相隔約2 000km，但對比性表明了它們有同源特點(圖4.2.3)。

圖4.2.3 大地電磁場的對比性

(1952-2-24觀測)

4.2.1.2 天然電磁場的起源

據現代空間的探測研究發現，在星際空間存在著來自太陽的等離子流(太陽風)以及宇宙射出的高速帶電粒子。它們是一種超音速的粒子流(它在地球附近的速度為300～800km/s)，且具有很強的導電能力，地磁場不能穿過它，因而其磁力線發生畸變。遠離地球區域的等離子體對地球磁場起著屏蔽作用，使地磁場局限在一個有限的范圍內，這個區域稱為磁層。磁層的邊界在朝太陽這一邊距離地心約有8～11個地球半徑遠，在背向太陽這一邊則延伸得很遠，形成一個磁尾。磁尾延伸至少超過月球，用衛星還沒有觀測到磁尾的閉合。在地球與太陽的連線上，由於太陽風在地球朝著太陽這方面「壓縮」地磁場，使磁場強度增加；而在背著太陽這一面，則由於「拉伸」使磁場強度減弱。因此地球的磁場只是在地球附近才近似一個偶極場，在遠處則發生了畸變(圖4.2.4)。

圖4.2.4 地球磁層結構示意圖

1—地球偶極磁場磁力線；2—地磁場磁力線；3—磁層界線；4—過渡帶；5—太陽風帶

太陽的另一種輻射是電磁輻射。地球高層大氣的電離主要是太陽輻射中紫外線和X射線所致，此外，太陽高能帶電粒子和銀河宇宙射線也起相當重要的作用。地球高層大氣分子和原子，在太陽紫外線、X射線和高能粒子的作用下電離，產生自由電子和正、負離子。距地表60km以上的整個地球大氣層都處於部分電離或完全電離的狀態。

現代觀察表明，天然電磁場的形成與太陽輻射(包括宇宙射線)作用下形成的地球磁層和電離層的變化有關。太陽風與地球磁層、電離層之間相互復雜的作用產生的各種電磁效應，形成各種成因的電流系統，激發出電磁波。如果這些磁效應是由太陽風的各種瞬時變化產生的，當觀測到它們時，就歸到微脈動一類；如果它們是由地球在非對稱磁層內的各種傳輸現象產生的，則把它們歸為日變效應一類。通常這些外磁場效應，較之於幾乎不變的地球內場是相對小的。

除與宇宙現象有關的低頻場(10^-4～10Hz)外，在地球上還有相對高頻(n～10⁴Hz)的電磁場。其源可能是由工業漏電、超長波無電線電台、大氣電現象及地磁場的變化形成的。高頻地電變化的場源主要來源於在對流層中產生的雷電現象，主要在赤道上空8km處。以閃電形式的放電是典型的大功率電偶極子源。觀測表明，每一秒中向地球沖擊100 個左右的閃電。故雷電的電磁場實際上可認為是連續的，其電磁場的強度主要依賴於放電中心的位置及電磁場傳播條件的變化。

不同頻率的電磁場疊加在一起，形成一個非常復雜的電磁振動。在地球表面上的有限區域內，這些產生於地球外部的大地電磁場可近似為平面波。它們在穿透地層的過程中，可在導電地層中感應出強度不大而分布廣泛的渦旋電流場。這種弱電流脈沖稱為磁大地電流，其傳播深度主要依賴於振動頻率或者場的變化周期。因此，研究大地電磁場的頻率響應，可以獲得地下不同深度介質電阻率的分布。

大地電磁場含有較豐富的低頻成分，人工產生這樣低頻的能力要付出很高的代價。而且，大地電磁場具有強大的能量，勘探深度大，磁暴時進行觀測，獲得的低頻信息，可穿過巨厚的高阻地殼，達到幾十乃至上百千米的上地幔，這是其他地球物理方法難以實現的，從而為人們研究地球深部構造提供了一種有力的工具。

E. 麥克斯韋電磁場方程的具體內容是什麼

麥克斯韋方程組 Maxwell's equation

麥克斯韋方程組是麥克斯韋（James Clerk Maxwell）建立的描述電場與磁場的四個方程。

方程組的微分形式，通常稱為麥克斯韋方程。 在麥克斯韋方程組中，電場和磁場已經成為一個不可分割的整體。該方程組系統而完整地概括了電磁場的基本規律，並預言了電磁波的存在。

麥克斯韋提出的渦旋電場和位移電流假說的核心思想是：變化的磁場可以激發渦旋電場，變化的電場可以激發渦旋磁場；電場和磁場不是彼此孤立的，它們相互聯系、相互激發組成一個統一的電磁場。麥克斯韋進一步將電場和磁場的所有規律綜合起來，建立了完整的電磁場理論體系。這個電磁場理論體系的核心就是麥克斯韋方程組。

麥克斯韋方程組在電磁學中的地位，如同牛頓運動定律在力學中的地位一樣。以麥克斯韋方程組為核心的電磁理論，是經典物理學最引以自豪的成就之一。它所揭示出的電磁相互作用的完美統一，為物理學家樹立了這樣一種信念：物質的各種相互作用在更高層次上應該是統一的。另外，這個理論被廣泛地應用到技術領域。

歷史背景

1845年，關於電磁現象的三個最基本的實驗定律：庫侖定律（1785年），安培—畢奧—薩伐爾定律（1820年），法拉第定律（1831-1845年）已被總結出來，法拉第的「電力線」和「磁力線」概念已發展成「電磁場概念」。

場概念的產生，也有麥克斯韋的一份功勞，這是當時物理學中一個偉大的創舉，因為正是場概念的出現，使當時許多物理學家得以從牛頓「超距觀念」的束縛中擺脫出來，普遍地接受了電磁作用和引力作用都是「近距作用」的思想。

1855年至1865年，麥克斯韋在全面地審視了庫侖定律、安培—畢奧—薩伐爾定律和法拉第定律的基礎上，把數學分析方法帶進了電磁學的研究領域，由此導致麥克斯韋電磁理論的誕生。

積分形式
麥克斯韋方程組的積分形式：

這是1873年前後，麥克斯韋提出的表述電磁場普遍規律的四個方程。
其中：（1）描述了電場的性質。在一般情況下，電場可以是庫侖電場也可以是變化磁場激發的感應電場，而感應電場是渦旋場，它的電位移線是閉合的，對封閉曲面的通量無貢獻。
（2）描述了磁場的性質。磁場可以由傳導電流激發，也可以由變化電場的位移電流所激發，它們的磁場都是渦旋場，磁感應線都是閉合線，對封閉曲面的通量無貢獻。
（3）描述了變化的磁場激發電場的規律。
（4）描述了變化的電場激發磁場的規律。

變化場與穩恆場的關系：
當

時，
方程組就還原為靜電場和穩恆磁場的方程：

在沒有場源的自由空間，即q=0, I=0，方程組就成為如下形式：

麥克斯韋方程組的積分形式反映了空間某區域的電磁場量(D、E、B、H)和場源(電荷q、電流I)之間的關系。

微分形式

麥克斯韋方程組微分形式：在電磁場的實際應用中，經常要知道空間逐點的電磁場量和電荷、電流之間的關系。從數學形式上，就是將麥克斯韋方程組的積分形式化為微分形式。利用矢量分析方法，可得：

注意：(1)在不同的慣性參照系中，麥克斯韋方程有同樣的形式。
(2) 應用麥克斯韋方程組解決實際問題，還要考慮介質對電磁場的影響。例如在各向同性介質中，電磁場量與介質特性量有下列關系：

在非均勻介質中，還要考慮電磁場量在界面上的邊值關系。在利用t=0時場量的初值條件，原則上可以求出任一時刻空間任一點的電磁場，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。

科學意義
(一)經典場論是19世紀後期麥克斯韋在總結電磁學三大實驗定律並把它與力學模型進行類比的基礎上創立起來的。但麥克斯韋的主要功績恰恰是他能夠跳出經典力學框架的束縛：在物理上以"場"而不是以"力"作為基本的研究對象，在數學上引入了有別於經典數學的矢量偏微分運算符。這兩條是發現電磁波方程的基礎。這就是說，實際上麥克斯韋的工作已經沖破經典物理學和經典數學的框架，只是由於當時的歷史條件，人們仍然只能從牛頓的經典數學和力學的框架去理解電磁場理論。
現代數學，H空間中的數學分析是在19世紀與20世紀之交的時候才出現的。而量子力學的物質波的概念則在更晚的時候才被發現，特別是對於現代數學與量子物理學之間的不可分割的數理邏輯聯系至今也還沒有完全被人們所理解和接受。從麥克斯韋建立電磁場理論到現在，人們一直以歐氏空間中的經典數學作為求解麥克斯韋方程組的基本方法。

(二) 我們從麥克斯韋方程組的產生,形式,內容和它的歷史過程中可以看到：第一，物理對象是在更深的層次上發展成為新的公理表達方式而被人類所撐握，所以科學的進步不會是在既定的前提下演進的，一種新的具有認識意義的公理體系的建立才是科學理論進步的標志。第二，物理對象與對它的表達方式雖然是不同的東西，但如果不依靠合適的表達方法就無法認識到這個對 象的"存在"。由此，第三，我們正在建立的理論將決定到我們在何種層次的意義上使我們的對象成為物理事實,，這正是現代最前沿的物理學所給我們帶來的困惑。

(三) 麥克斯韋方程組揭示了電場與磁場相互轉化中產生的對稱性優美，這種優美以現代數學形式得到充分的表達。但是，我們一方面應當承認，恰當的數學形式才能充分展示經驗方法中看不到的整體性(電磁對稱性)，但另一方面，我們也不應當忘記，這種對稱性的優美是以數學形式反映出來的電磁場的統一本質。因此我們應當認識到應在數學的表達方式中"發現"或"看出" 了這種對稱性，而不是從物理數學公式中直接推演出這種本質。

F. 高頻電磁場的分析方法

高頻電磁場是指頻率在100kHz～300MHz的電磁波，其波長范圍從1～3000m，按波長可分為長波、中波、短波、超短波。高頻電磁輻射屬於非電離輻射中的射頻輻射（無線電波）。在非熔化極氬弧焊和等離子弧焊割時，常用高頻振盪器來激發引弧，有的交流氬弧焊機還用高頻振盪器來穩定電弧。人體在高頻電磁場作用下，能吸收一定的輻射能量，產生生物學效應，主要是熱作用。

高頻電磁場強度受許多因素影響，如距離振盪器和振盪迴路越近場強越高，反之則越低。此外，與高頻部分的屏蔽程度等有關。

人體在高頻電磁場作用下會產生生物學效應，焊工長期接觸高頻電磁場能引起植物神經功能紊亂和神經衰弱。表現為全身不適、頭昏頭痛、疲乏、食慾不振、失眠及血壓偏低等症狀。如果僅是引孤時使用高頻振盪器，因時間較短，影響較小，但長期接觸是有害的。所以，必須對高頻電磁場採取有效的防護措施。高頻電會使焊工產生一定的麻電現象，這在高處作業時是很危險的，所以高處作業不準使用高頻振盪器。

G. 麥克斯韋方程妙在哪裡

麥克斯韋方程妙處如下：

麥克斯韋方程組在電磁學中的地位，如同牛頓運動定律在力學中的地位一樣。以麥克斯韋方程組為核心的電磁理論，是經典物理學最引以自豪的成就之一。

它所揭示出的電磁相互作用的完美統一，為物理學家樹立了這樣一種信念：物質的各種相互作用在更高層次上應該是統一的。這個理論被廣泛地應用到技術領域。

科學意義：

(一)經典場論是19世紀後期麥克斯韋在總結電磁學三大實驗定律並把它與力學模型進行類比的基礎上創立起來的。但麥克斯韋的主要功績恰恰使他能夠跳出經典力學框架的束縛：在物理上以「場」而不是以「力」作為基本的研究對象，在數學上引入了有別於經典數學的矢量偏微分運算符。

這兩條是發現電磁波方程的基礎。這就是說，實際上麥克斯韋的工作已經沖破經典物理學和經典數學的框架，只是由於當時的歷史條件，人們仍然只能從牛頓的經典數學和力學的框架去理解電磁場理論。

現代數學，Hilbert空間中的數學分析是在19世紀與20世紀之交的時候才出現的。而量子力學的物質波的概念則在更晚的時候才被發現，特別是對於現代數學與量子物理學之間的不可分割的數理邏輯聯系至今也還沒有完全被人們所理解和接受。

從麥克斯韋建立電磁場理論到如今，人們一直以歐氏空間中的經典數學作為求解麥克斯韋方程組的基本方法。

(二) 我們從麥克斯韋方程組的產生，形式，內容和它的歷史過程中可以看到：

第一，物理對象是在更深的層次上發展成為新的公理表達方式而被人類所掌握，所以科學的進步不會是在既定的前提下演進的，一種新的具有認識意義的公理體系的建立才是科學理論進步的標志。

第二，物理對象與對它的表達方式雖然是不同的東西，但如果不依靠合適的表達方法就無法認識到這個對 象的「存在」。

第三，我們正在建立的理論將決定到我們在何種層次的意義上使我們的對象成為物理事實，這正是現代最前沿的物理學所給我們帶來的困惑。

H. 電磁場基本方程式

由電磁學中基本實驗定律綜合分析可知，介質中的電磁場滿足麥克斯韋方程組：

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式中：

為電場強度（單位：V/m）；

為磁場強度（單位：A/m）；

為磁感應強度（單位：Wb/m²）；

為電位移矢量（單位：C/m²）；

為電荷密度（單位：C/m³）。

方程組簡單的物理意義是，電場可以是由電荷密度分布q引起的發散場，也可以是由變化磁場

引起的渦旋場。磁場

是由傳導電流

和位移電流

激勵產生的渦旋場，空間中無孤立的磁荷存在。

電磁場四個基本量通過介質電性參數ε和μ聯系起來，在各向同性介質中，它們的關系為

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式中：

為電流密度（單位：A/m²）；σ為介質的導電率；ε為介質的介電常數；μ為導磁率。

電磁場應滿足的邊界條件為：

的切線分量連續

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的切線分量不連續

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的法線分量連續

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的法線分量不連續

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式中：

為兩種介質邊界面的法線方向單位矢量；

為面傳導電流密度，q_S為自由電荷面密度。

利用傅氏變換，可使隨時間變化的電磁場分解為一系列諧變場的總和。若取時間因子為e^-iωt，則在諧變電磁場情況下麥克斯韋方程組為：

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8.3.1 大地電磁測深

在大地電磁測深中，它所討論的電磁場頻率是極低的，一般取周期T＞1s。在這種低頻的情況下，介質中位移電流

的影響可以忽略，即可取（8.3.10）式中iωε=0。把大地電磁場近似地看作是由高空向地球垂直入射的平面電磁波，已為許多學者所證實，因為大地電磁場來源於太空，在地面有限范圍內，只是它的波面中極小的部分。自然，這一部分可以近似看作是垂直入射的平面波。設其源電流是位於研究區域之外，於是這時介質中的麥克斯韋方程簡化為：

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式中Δ·

=0是因為導電介質內部體電荷密度實際上是不存在的，這里時間因子都包含在場

和

之中，隨時間變化的電場和磁場相互激勵、相互轉化，並以波的形式在介質中傳播。當然傳播特性將與介質的電性參數有關。

對（8.3.13）式兩邊取旋度

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由於

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故

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或寫成

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其中

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類似地可以求出

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（8.3.17）和（8.3.18）式稱為赫姆霍茲方程。它是電磁場所滿足的基本方程式，它描述了電磁場空間變化和時間變化的規律。

依照麥克斯韋方程組導出的邊界條件，對於大地電磁波情況，導電介質之間分界面上的邊界條件為：

和

的切線分量是連續的，即E_1t=E_2t，H_1t=H_2t]]

和

的法線分量是連續的，即D_1n=D_2n，B_1n=B_2n]]

1n=j_2n

設x和y軸水平，z軸垂直向下，麥克斯韋方程可寫成分量形式

對於Δ×

=iωμ

，有

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對於Δ×

=σ

，有

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設介質是二維的，取x軸垂直構造走向，y軸平行構造走向，z軸仍然垂直向下。這時由於電阻率（或導電率）沿y軸無變化，相應的電磁場沿y軸也應是穩定的。即有

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這時上述麥克斯韋方程可分解成兩組偏振波，我們首先考慮E偏振，有

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將後兩式代入前面一式中，可得

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其次再考慮H偏振，有

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將後兩式代入前一式中，可得

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（8.3.20）和（8.3.22）式就是二維介質垂直入射平面波的波動方程，即赫姆霍茲方程。應當指出，二維介質中的線性偏振波只能沿走向y加以分解，其赫姆霍茲方程只依賴於x和z方向的電阻率分布，對於給定的二維介質模型電阻率分布和邊界條件，波動方程的解可得出E_y和H_y，再藉助於E 偏振和H 偏振中電磁場本身的關系式，可求得相應的 E_x和H_x。

在進行計算時，有關場的計算區域和其邊界條件通常可以這樣給出。

對於H偏振，區域的上邊界可以取為地面，其上給出磁場為任意常數，如給H_y=1，最終解將按該常數規格化，底部邊界磁場取為零，兩側邊界可取磁場的法線導數為零，即取自然邊界條件。有時也可按一維或層狀模型計算邊界磁場值，作為強加邊界條件給出。

對於E偏振，底面電場E_y可取為零，兩側面邊界也可取電場的法線導數為零，或按一維或層狀介質計算給值。上邊界的位置要取在地面以上，即要存在一個空氣層作為模型的頂層給出，這是由於空氣中E_y不是常數，需要把上邊界取在遠離地面的高空，使得界面上不均勻體的影響可以忽略，在空氣層的頂部，即上邊界可給定一個常數電場，如E_y=1。

8.3.2 甚低頻法

甚低頻（VLF）電法勘探中所測量的頻率帶為15～25kHz。在離所測定的軍用電台較遠處可視為平面波，其源電流位於研究區域之外，式（8.3.10）中j=0，但這時與大地電磁測深不同，介質中位移電流

的影響不能忽略。

當考慮二維地質體時，設y軸平行於地質體的走向，與（8.3.19）的推導相似可得：

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且

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這樣相應的赫姆霍茲方程為

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8.3.3 線源情況

當使用平行y軸（地質體走向）的線源時，麥克斯韋方程與甚低頻法相同，但帶有源項，即

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式中I為線源的量值，將上面兩式代入最後一式中可得：

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相似也可得出H_y的赫姆霍茲方程。

若計算網格足夠大，當線源在網格內時，所有邊界上的邊界條件均可取電場為零。若線源在網格外，電場在邊界上的數值可由兩層模型的理論公式計算。

總結以上（8.2.14），（8.2.17），（8.3.20），（8.3.22），（8.3.23），（8.3.24）及（8.3.25）等式，對二維情況我們可提出它們所共同滿足的偏微分方程式

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該式在數學上稱為二維橢圓型偏微分方程，在物理上是已知的二維赫姆霍茲方程，式中與上述（8.2.14）、（8.2.17）、（8.3.20）、（8.3.22）、（8.3.23）、（8.3.24）及（8.3.25）各式相應的u，α，β及f的值列入表8.1中。

表8.1 有關微分方程的對比

I. 三種常見的電磁場具體分析

關鍵是用 「右手定則」埃 直線電流：右手握住導線，大拇指指向電流方向，其餘4指的方向就是磁場的方向（順時針和逆時針）。 通電螺線管：右手握住螺線管，4指指向電流方向，大拇指的指向就是磁場的N極。