數學分析問題方法定理

A. 數學分析中求極限的幾種重要方法

極限是數學分析的重要內容，是高等數學的理論基礎和研究工具，學習極限相關理論對學習數學分析和掌握高等數學眾多理論有著極其關鍵的作用。由於極限的計算題目類型多變，而極限的求取方法也種類繁多，因此，針對不同問題找到正確且最簡潔的方法意義重大。

1、利用定義求極限

極限的概念可細分為函數的極限和數列的極限。

2、利用法則求極限

2.1 四則運演算法則法

2.2 兩個准則法

本文簡單介紹兩個准則，分別為夾逼准則和單調有界准則，常用於數列極限的求解。

(2)單調有界准則：單調有界數列必有極限，且極限唯一。

利用單調有界准則求極限過程中，首先需要證明數列的單調性和有界性，然後要證明數列極限的存在，最後根據數列的通項遞推公式以及極限的唯一性來求極限。

2.3 洛比達法則法

3、利用公式求極限

3.1 兩個重要極限公式法

(1)極限及其變換，常用於包含三角函數的「」型未定式。

利用這兩個重要極限公式來求極限時要仔細觀察函數形式是否符合。

3.2 泰勒公式法

泰勒公式法是指在求極限時，利用泰勒公式將函數進行展開後再通過一般求極限的方法進行計算的'方法。

泰勒公式法對一些比較復雜的求極限過程可以起到簡化作用。

4、利用性質求極限

4.1 無窮小量性質法

利用下列幾點無窮小量的性質可解決相關的極限問題。

性質1：有限無窮小量的代數和為無窮小。

性質2：無窮小量與有界函數的乘積為無窮小。

性質3：有限無窮小量的乘積為無窮小。

4.2 函數連續性法

函數的連續性：

5、其他方法

5.1 中值定理法

中值定理法包括利用微分或積分中值定理求極限，通過微分或積分中值定理將函數進行變換，再求極限。

5.2 定積分法

則可知定積分可化為和式極限的形式，同樣，在求和式極限時，可轉為定積分的形式來求解。具體步驟：

(1)首先選擇恰當的可積函數f(x)。

(2)然後將所求和式極限表示成為f(x)在某區間[a，b]上的等分的積分和式的極限。

(3)最後利用求f(x)在區間[a，b]上的定積分就可得到和式的極限。

B. 數學分析

第七章 實數的完備性
目的與要求：使學生掌握反映實數完備性的六個基本定理，能准確地加以表述，並深刻理解其實質意義；明確六個基本定理是數學分析的理論基礎，並能應用基本定理證明閉區間上的連續函數性質和一些有關命題．了解數列上極限和下極限的概念及其與數列極限的關系.
重點與難點：重點是實數完備性基本定理的證明，難點是實數完備性基本定理的應用.
第一節 關於實數集完備性的基本定理
一 區間套定理與柯西收斂准則
1 區間套
定義1 區間套: 設 是一閉區間序列. 若滿足條件
（1） 對 , 有 , 即 , 亦即
後一個閉區間包含在前一個閉區間中；
（2） . 即當 時區間長度趨於零.
則稱該閉區間序列為閉區間套, 簡稱為區間套 .
區間套還可表達為:
， .
我們要提請大家注意的是, 這里涉及兩個數列 和 , 其中 遞增, 遞減.
例如 和 都是區間套. 但 、
和 都不是.
2 區間套定理
定理7.1(區間套定理) 設 是一閉區間套. 則在實數系中存在唯一的點 , 使對 有 . 簡言之, 區間套必有唯一公共點.
證明 （用單調有界定理證明區間套定理）
由假設（1）知，序列 單調上升，有上界 ；序列 單調下降，有下界 .因而有
， . .
再由假設（2）知
，
記 . 從而有
.
若還有 滿足 ，令 ，得 .故 是一切 的唯一公共點.證畢.
註： 這個定理稱為區間套定理.關於定理的條件我們作兩點說明：
（1）要求 是有界閉區間的這個條件是重要的.若區間是開的，則定理不一定成立.如
.
顯然有 ， 但 .
如果開區間套是嚴格包含： ，這時定理的結論還是成立的.
（2） 若 ，但 ，此時仍有 ， ，但 ，於是對任意的 ， ，都有 .
全序集中任一區間長趨於零的區間套有非空交集，則稱該全序集是完備的，該定理刻劃實數集是完備的.該定理也給出通過逐步縮小搜索范圍，找出所求點的一種方法.
推論 設 為一區間套， ．
則 當 時，恆有 ．
用區間套定理證明其他命題時，最後常會用到這個推論．
3 數列的柯西收斂准則的證明
數列的柯西收斂准則：
數列 收斂的充要條件是： ， ，當 時,有 ．
（後者又稱為柯西（Cauchy）條件，滿足柯西條件的數列又稱為柯西列，或基本列．）
證明 必要性
設 ．由數列極限定義， ， ，當 時有
， ，
因而 ．
充分性 按假設， ， ，使得對一切 有 ，
即在區間 內含有 中除有限項外的所有項．
據此，令 ，則 ，在區間 內含有 中除有限項外的所有項．記這個區間為 ．
再令 ，則 ，在區間 內含有 中除有限項外的所有項．記
，它也含有 中除有限項外的所有項，
且滿足 及 ．
繼續依次令 ，照以上方法得一閉區間列 ，其中每一個區間都含有 中除有限項外的所有項，且滿足 ， ，

即 是區間套．由區間套定理，存在唯一的一個數 （ ）．
現在證明數 就是數列 的極限．事實上，由區間套定理的推論，
當 時，恆有 ．
因此在 內含有 中除有限項外的所有項，這就證得 ．
二 聚點定理與有限覆蓋定理
1 聚點
定義2 設 是無窮點集. 若在點 (未必屬於 )的任何鄰域內有 的無窮多個點, 則稱點 為 的一個聚點.
數集 有唯一聚點 , 但 ；
開區間 的全體聚點之集是閉區間 ；
設 是 中全體有理數所成之集, 易見 的聚點集是閉區間 .
2 聚點概念的另兩個等價定義
定義 對於點集 ，若點 的任何 鄰域內都含有 中異於 的點，即
，則稱點 為 的一個聚點.
定義 若存在各項互異的收斂數列 ，則其極限 稱為 的一個聚點.
3 以上三個定義互相等價的證明：
證：定義2 定義 顯然成立．
定義 定義 由定義 ，取 ， ；
再取 則 ，且顯然 ；
……
一般取 則 ，且顯然 與 互異；
……
無限地重復以上步驟，得到 中各項互異的數列 ，
且由 ，易見 ．
定義 定義2 ， ，當 時，必有
，且因 各項互不相同，故 內含有 中無限多個點．[證畢]
4 聚點定理
定理 7.2 (魏爾斯特拉斯聚點定理 Weierstrass ) 直線上的任一有界無限點集 至少有一個聚點 ，即在 的任意小鄰域內都含有 中無限多個點（ 本身可以屬於 ，也可以不屬於 ）．
證 因為 為有界無限點集,故存在 ,使得 ,記 ．
現將 等分為兩個子區間．因為 為有界無限點集，故兩個子區間中至少有一個含有 中無窮多個點，記此區間為 ，則 ，且
．
再將 等分為兩個子區間．則兩個子區間中至少有一個含有 中無窮多個點，記此區間為 ，則 ，且
．
將此等分區間的手續無限地進行下去，得到一個閉區間列 ，它滿足
， ，

即 是區間套，且每一個閉區間中都含有 中無窮多個點．
由區間套定理，存在唯一的一個數 （ ）．
於是由區間套定理的推論， 當 時，恆有 ．
從而 內含有 中無窮多個點，按定義2 ， 為 的一個聚點.
5 緻密性定理.
推論：任一有界數列必有收斂子列.
證 設 為有界數列．若 中有無限多個相等的項，則由這些項組成的子列是一個常數列，而常數列總是收斂的．
若 中不含有無限多個相等的項，則 在數軸上對應的點集必為有
界無限點集，故由聚點定理，點集 至少有一個聚點，記為 ．於是按定
義 ,存在 的一個收斂的子列以 為極限.
作為緻密性定理的應用,我們用它重證數列的柯西收斂准則的充分性
證明 充分性
由已知條件： ， ，當 時,有 ．欲證 收斂．
首先證 有界． 取 ，則 ， 有
特別地， 時
設 ，則 ，
再由緻密性定理知， 有收斂子列 ，設 .
對任給 ，存在 ,當 時,同時有
，和
因而當取 時,得到

故 .
6 海涅–博雷爾(Heine–Borel) 有限覆蓋定理:
1. 定義(覆蓋 )
設 為數軸上的點集 , 為開區間的集合（即 的每一個元素都是形如 的開區間）. 若 中任何一點都含在 中至少一個開區間內，則稱 為 的一個開覆蓋,或稱 覆蓋 ．
若 中開區間的個數是無限（有限）的，則稱 為 的一個無限開覆蓋（有限開覆蓋）．
例 覆蓋了區間 , 但不能覆蓋 ；
覆蓋 , 但不能覆蓋 .
2． 海涅–博雷爾Heine–Borel 有限復蓋定理:
定理7.3 (有限覆蓋定理) 設 是閉區間 的一個無限開覆蓋，即 中每一點都含於 中至少一個開區間 內．則在 中必存在有限個開區間，它們構成 的一個有限開覆蓋．
證明 （用區間套定理證明有限覆蓋定理）用反證法
設 為閉區間 的一個無限開覆蓋．假設定理的結論不成立：即
不能用 中有限個開區間來覆蓋．
對 採用逐次二等分法構造區間套 ， 的選擇法則：取「不能用 中有限個開區間來覆蓋」的那一半．
由區間套定理， ．
因為 ,所以 使
記 由推論，當 足夠大時， 有

這表示 用 中一個開區間 就能覆蓋，與其選擇法則相違背．所以 必能用 中有限個開區間來覆蓋．
說明 當 改為 時，或者 不是開覆蓋時，有限覆蓋定理的結論不一定成立．
例如：
1) ： ．
是開區間 的一個無限開覆蓋，但不能由此產生 的有限覆蓋．
2) ： ．
是 的一個無限覆蓋，但不是開覆蓋，由此也無法產生 的有限覆蓋．
三 實數完備性基本定理的等價性
1 實數完備性基本定理的等價性
至此,我們已經介紹了有關實數完備性的六個基本定理，即
定理1（確界原理）非空有上（下）界的數集必有上（下）確界.
確界存在定理(定理1.1)揭示了實數的連續性和實數的完備性. 與它等價的還有五大命題，這就是以下的定理1.2至定理1.6．
定理2 (單調有界定理) 任何單調有界數列必定收斂．
定理3 (區間套定理） 設 為一區間套：
1）
2） ．
則存在唯一一點
定理4 (有限覆蓋定理) 設 是閉區間 的一個無限開覆
蓋，即 中每一點都含於 中至少一個開區間 內．則在 中必存
在有限個開區間，它們構成 的一個有限開覆蓋．
定理5 (聚點定理) 直線上的任一有界無限點集 至少有一個聚點 ，即在 的任意小鄰域內都含有 中無限多個點（ 本身可以屬於 ，也可以不屬於 ）．
定理6 (柯西准則) 數列 收斂的充要條件是： ，只要 恆有 ．（後者又稱為柯西（Cauchy）條件，滿足柯西條件的數列又稱為柯西列，或基本列．）
這些定理構成極限理論的基礎．我們不僅要正確理解這六大定理的含義，更重要的還要學會怎樣用它們去證明別的命題．下面通過證明它們之間的等價性，使大家熟悉使用這些理論工具．
2 實數完備性基本定理等價性的證明
證明若干個命題等價的一般方法.即循環論證，當然也可以用其他的方法進行，下面我們按循環論證來進行實數完備性基本定理等價性的證明：
定理1（確界原理） 定理2 (單調有界定理) 定理3 (區間套定理） 定理4 (有限覆蓋定理) 定理5 (聚點定理) 定理6 (柯西准則) 定理1（確界原理）
其中 定理1（確界原理） 定理2 (單調有界定理)，定理2 (單調有界定理) 定理3 (區間套定理）與定理3 (區間套定理） 定理4 (有限覆蓋定理)分別見定理2.9, 7.1與7.3； 定理4 (有限覆蓋定理) 定理5 (聚點定理)和定理5 (聚點定理) 定理6 (柯西准則) 定理1（確界原理）作為練習自證；而定理6 (柯西准則) 定理1（確界原理）見下例.
例1 用「數列柯西收斂准則」 證明「確界原理」 ：
即 非空有上界數集必有上確界 ；非空有下界數集必有下確界 .
證 （只證「非空有上界數集必有上確界」）
設 為非空有上界數集 . 由實數的阿基米德性,對任何正數 ,存在整數 ,使得 為 的上界,而 不是 的上界,即存在 ,使得 .
分別取 , ,則對每一個正整數 ,存在相應的 ,使得 為 的上界,而 不是 的上界,故存在 ,使得 .
又對正整數 ， 是 的上界，故有 .再由 得
；同理有 .從而得 .
於是,對任給的 ,存在 ,使得當 時有 .
由柯西收斂准則,知數列 收斂.記 .
下面證明 就是 的上確界.首先,對任何 和正整數 有 ,
由 得 ,即 是 的上界.其次, 對任何 ,
由 及 ,對充分大的 同時有 , .
又因 不是 的上界, 故存在 ,使得 .
再結合 , 得 .
這說明 為 的上確界.
同理可證：非空有下界數集必有下確界.
作業 P168 1，2，3，4，5，6，7.

第二節 閉區間上連續函數性質的證明
在本節中，將利用關於實數完備性的基本定理來證明第四章第二節中給出的閉區間上連續函數的基本性質
一 有界性定理
若函數 在閉區間 上連續，則 在 上有界
證法 一 ( 用區間套定理 ). 反證法. 參閱[3]P106—107
證法 二 ( 用緻密性定理). 反證法.
證明： 如若不然， 在 上無界， ， ，使得 ，對於序列 ，它有上下界 ，緻密性定理告訴我們 使得 ，由 在 連續，及 有
，
矛盾.
證法 三 ( 用有限復蓋定理 ).
證明：（應用有限覆蓋定理） 由連續函數的局部有界性（定理4.2）對每一點 都存在鄰域 及正數
使 ,
考慮開區間集
顯然 是 的一個無限開覆蓋，由有限開覆蓋定理，存在 的一個有限點集

覆蓋了 ,且存在正整數
使對一切 有 ，
令 則對 ， 必屬於某 ， ，
即證得 在 上有上界．
二 最大、最小值定理
若函數 在閉區間 上連續, 則 在 上取得最大值和最小值.
證 ( 用確界原理 ) ( 只證取得最大值 )
令 ， , 如果 達不到 ，則恆有 .
考慮函數 ，則 在 上連續，因而有界，設 是 的一個上界，則
，
從而 ，
這與 是上確界矛盾，因此 ，使得 .
類似地可以證明達到下確界.
三 介值性定理
設 在閉區間 上連續,且 若 為介於 與 之間的任何實數 或 ，則存在 使 ．
證法一 (應用確界定理)
不妨設 ，令
則 也是 上連續函數, ， ,於是定理的結論轉為: 存在 ，使 這個簡化的情形稱為根的存在性定理(定理4.7的推論)
記 ，顯然 為非空有界數集
故有確界定理, 有下確界,
記 .因 ， 由連續函數的局部保號性, ，使在 內 ，在 內 ．由此易見 ， ，即 ．
下證 ．倘若 ，不妨設 ，
則又由局部保號性,存在 使在其內 ，特別有
，
但此與 矛盾，則必有 ．
幾何解釋： 直線 與曲線 相交.把 軸平移到 ，則問題成為零點存在問題.這啟發我們想辦法作一個輔助函數，把待證問題轉化為零點存在問題.輔助函數如何作？
① 從幾何上， , 啟示我們作
函數 ；
② 從結果 著手.
利用零點定理證：令 ，則 在 上連續，往下即轉化為零點存在問題.
證法二 ( 用區間套定理 ) .
這里我們證明與介值性定理等價的「零點定理 」.
命題（零點存在定理或根的存在性定理）
設函數 在閉區間 上連續，即 ，且 與 異號，則在 內至少存在一點 使得 .即方程 在 內至少存在一個實根.
證明 設 ， .將 二等分為 、 ，
若 則 即為所求；若 ，當 時取 否則取 ，將所取區間記為 ，從而有 ， .如此繼續，如某一次中點 有 終止（ 即為所求）；否則得
滿足：（1） ；
（2） ；
（3） ，
由閉區間套定理知， 唯一的 ， ，且
由 在 處的連續性及極限的保號性得
， ，
這種先證特殊、再作輔助函數化一般為特殊，最後證明一般的方法是處理數學問題的常用方法，以後會經常用到.
四 一致連續性定理
若函數 在閉區間 上連續, 則 在 上一致連續.
證法 一 ( 用有限復蓋定理) .
證明: 由 在閉區間 上連續性， ，對每一點 ，都存在 ，使當 時，有
(2)
考慮開區間集合
顯然 是 的一個開覆蓋，由有限覆蓋定理,存在 的一個有限子集

覆蓋了 . 記
對 , ， 必屬於 中某開區間，設 ，
即 ，此時有

故由（2）式同時有 和
由此得 .所以 在 上一致連續.
證法二 ( 用緻密性定理).
證明： 如果不然， 在 上不一致連續，
， ， ， ，而 .
取 ，（ 為正整數） ， ，
而 ，當 取遍所有正整數時，得數列 與 .
由緻密性定理，存在 的收斂子序列 ,設 ，
而由 ，可推出
又得 .
再由 在 連續，在 中令 ，得
，
與 矛盾.所以 在 上一致連續.
作業 P172 1，2，3，4， 5.

第三節 上極限和下極限
一 上（下）極限的定義
對於數列，我們最關心的是其收斂性；如果不收斂，我們希望它有收斂的子列，這個願望往往可以實現.例如： .
一般地，數列 ，若 ： ，則稱 是數列 的一個極限點.如點例 有2個極限點.數列 的最大（最小）極限點如果存在，則稱為該數列的上（下）極限，並記為 （ ）.如 ， .
例1 求數列 的上、下極限
例2 設 ，求上、下極限.
二 上（下）極限的存在性
下面定理指出，對任何數列 ，它的上（下）極限必定存在.
定理1 每個數列 的上極限和下極限必定唯一，且
＝ ，
＝ .
三 上下極限和極限的關系
.
定理2 存在極限則 的上極限和下極限相等，
即 ＝ ＝ .
四 上（下）極限的運算
普通的極限運算公式對上（下）極限不再成立.例如：
.
一般地有： ，當 收斂時，等號成立.
作業 p175 1，2，3.

C. 數學分析中的典型問題與方法的目錄

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書名：數學分析中的典型問題與方法

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出版年份：1993-5

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內容簡介：《數學分析中的典型問題與方法》共分220個條目,1200個問題,包括一元函數極限、連續、微分、積分、級數,多元函數極限、連續、微分、積分。

D. 數學分析問題，關於中值定理的，求大神指導😭，具體見圖

f(x)在[a,b]上連續,f(a)=0,f(b)=1,因此由介值定理,存在某個c∈(a,b),使得f(c)=1/2
在區間[a,c]和[c,b]上分別使用拉格朗日中值定理,得
存在ξ∈(a,c),使得f'(ξ)=[f(c)-f(a)]/(c-a)=1/2(c-a)
2(c-a)=1/f'(ξ)
存在η∈(c,b),使得f'(η)=[f(b)-f(c)]/(b-c)=1/2(b-c)
2b-c=1/f'(η)
相加即得所要證的式子
並且因為ξ∈(a,c),η∈(c,b),所以ξ和η不可能相等

E. 求數學分析完備性七大定理的互相證明

裴禮文上是有一些互推，但是並不完全。
進一步可參看謝惠民《數學分析習題課講義》，上面比較全，而且將實數完備性理論和閉區間上連續函數的性質結合起來互推（這點是北大喜歡考的，幾乎每年都有一題是實數完備性與閉區間連續函數性質的互推）。
證明其實是次要的，關鍵要掌握方法，舉個例子，北大07年一題：用有限覆蓋定理來證閉區間連續函數的介值定理，這就要求我們構造一個無限開覆蓋從而利用有限覆蓋定理，如何構造（首先必須明確只需證零點定理即可，而連續函數又有局部保號性，我們就是利用這點來構造無限開覆蓋的），這才是整個證明的精髓所在，掌握這個何愁證不出來！

F. 數學分析定理大全

最好的書就是《數學分析》，隨便哪本都行
只講定理不講證明就不叫數學分析了

G. 數學分析中基本理論6大定理，老師說6大定理是相互的。只能承認其中一個，才能證明其他的。我現在有個疑問

實數完備性的6個定理（有的也稱7打定理，加上緻密性定理）是相互等價的，沒有任何區別，這些定理僅僅是實數的完備性的不同表現形式而已。
這點等你學了泛函將體會更深

H. 常用的數學分析方法有哪些

1．避免「一步到位」
是指解題過程中，省略關鍵步驟，而直接得到答案，這樣扣分是嚴重的．由於解答題是嚴格按照步驟給分的，如果解題過程中失去關鍵步驟，跳過擬考查的知識點、能力點，就意味著失去得分點，自然被扣分.
例1(2000年全國高考題) 已知函數y＝ cos2x＋ sinxcosx＋1，x∈R．
(I) 當函數y取得最大值時，求自變數x的集合；
(II) 該函數的圖像可由y＝sinx(x∈R)的圖像經過怎樣的平移和伸縮變換得到？
解：(I)由題設可得，y＝ sin(2x＋ )＋ ，故有
當 x= ＋k ，k∈Z，函數y取得最大值．
(II) 略．
評註：在(Ⅰ)的解答中犯了「大題小作」中的「一步到位」錯誤，缺少了化簡過程的3個要點與何時取到最大值的1個要點，因而被扣分.
2． 避免「使用升華結論」
在解選擇和填空題中，使用升華結論(教材中未給出的正確結論)是允許的，而且還是一種簡捷快速的答題技巧．而直接運用(不加說明或證明)在解答題中是不合適的，且是「大題小作」，要適當扣分的.
解答高考解答題的理論根據應該是教材中的定義、定理、公理和公式，而學生使用「升華結論」則達不到考查能力、考查過程的目的，因此不能以題解題，不能直接運用教材以外別的東西，以免被扣分.
例2⑴(1991年全國高考題) 根據函數單調性的定義，證明函數f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是減函數．
⑵(2001年全國高考題) 設拋物線y2 =2px (p＞0)的焦點為F，經過點F的直線交拋物線於A、B兩點，點C在拋物線的准線上，且BC∥x軸．證明直線AC經過原點O．
評分標准中指出：
對於⑴：「利用y＝x3在[0，＋∞)上是增函數的性質，未證明y＝x3在(－∞，＋∞)上也是增函數而直接寫出f(x1)－f(x2)＝ － ＜0，未能證明為什麼 － ＜0過程，由評分標准知最多得3分．
對於⑵：有些考生證明時，直接運用課本中的引申結論「y1 y2＝p2」而跳過擬考查的知識點、能力點而被扣2分.
對於課本習題、例題的結論，是要通過證明才能直接使用(黑體字結論例外)，否則將被「定性」為解題不完整而被扣分．又如1996年高考理科第22(Ⅱ)及2001年全國高考理科第17(Ⅱ)利用面積射影定理，由於不加證明而直接使用，因而被扣分.
3 避免「答非所問」
是指沒有根據題意要求或沒有看清題意要求，用其它方法或結論作答，這明顯也要被扣分的.
例3(1993年全國高考題)已知數列
Sn為其前n項和．計算得 觀察上述結果，推測出計算Sn的公式，並用數學歸納法加以證明．
解：依據題意，推測出Sn的公式為：
Sn＝ ．
∵ ak＝ ＝ － ，
分別取k＝1，2，3，…，n，並將n個式子相加得：
Sn＝1－ ＝ ．
評注 以上解法可謂「簡單、明了」，但證明時不用數學歸納法，為「答非所問」，不合題意，扣分是必然的. 又如1999年高考第22題(應用題)，第(Ⅰ)問中求「冷軋機至少需要安裝多少對軋輥」，要求是用整數作答，不少考生未能用整數作答，違背題意而被扣分.
(四)了解「評分標准」，把握得分點
掌握解答題的「得分點」就要了解高考的評分標准，解答題評分標準是分步給分，但並非寫得越多得分越高，而是踏上得分點就給分，即按所用的數學知識，數學思想方法要點式給分，允許「等價答案」，允許「跳步得分」. 因此解答時，應步驟清，要點明，格式齊. 對於不同題型的給分規律有：
1．立幾題得分點
通常分作證，計算兩部分給分，各段中間又按要點給分.證明主要寫清兩點：①空間位置關系的判斷推理的依據(課本中的定理、公理)；②什麼是空間角和距離及理由(緊扣定義). 特別要注意沒有寫清角、距離要被扣分. 計算過程的書寫：計算一般是解三角形，要寫清三角形的條件及解出的結果. 用等積法解題，要找出等積關系並計算. 都是分段得分的，如1998年23題，1999年22題，都有3個小題，每小題4分，其中作證2分，計算2分.
2．分類討論題得分點
按所分類分別給分，加上歸納的格式(即寫為「綜上：當××時，結論是××」)分. 如1996年第20題，按a＞1和0＜a＜1兩類分別給5分，歸納給1分. 2000年理19(Ⅱ)，求 a 的取值范圍，使函數在區間[0，＋∞)上是單調函數，按 a≥1和0＜a＜1討論各得2分.
3．應用題得分點
按設列、解答兩部分給分. 特別要注意不答和答錯都要扣1分，應注意設、列、解、答的完整性，爭取步驟階段分.
4．推理證明題得分點
按推理格式，推理變形步驟給分. 對於用定義證明函數的單調性、奇偶性，用數學歸納法證題，都有嚴格的格式分，應完整，避免失分. 即使推理證明不出，寧可跳步作答，也要套用格式. 從條件、結論兩頭往中間靠，這樣寫完格式，這樣可以少扣分.
5．綜合題得分點
按解答的過程，分步給分，每個步驟又按要點給分. 盡可能把過程分步寫出，盡量不跳步，根據題意
列出關系，譯出題設中每一個條件，能演算幾步算幾步，尚未成功不等於失敗，特別是那些解題層次分明的題目，那些已經程序化的方法，每進行一步得分點的演算都可以得到這一步的滿分，最後結論雖然沒有算出來，但分數已過半，所以說，「大題拿小分」也是一個好主意. 因此盡量增加分步得分機會，千萬別輕易留空白題.
(五)常用的解答題解題技巧
1.較簡單的解答題的求解
對於比較容易解答的解答題(一般是前面3道),宜採用一慢一快的方法,就是審題要慢,解題要快,速戰速決,為後面3道解答題留下時間.
找到解題方法後，書寫要簡明扼要，快速規范，不要拖泥帶水，羅唆重復，用閱卷老師的話，就是寫出「得分點」，一般來講，一個原理寫一步就可以了。至於不是題目直接考查的過渡知識，可以直接寫出結論，高考允許合理省略非關鍵步驟，應詳略得當。
例2004北京理科第15題
在 中， ， ， ，求 的值和 的面積.
分析:本小題主要考查三角恆等變形、三角形面積公式等基本知識，考查運算能力
解：
又 ,

.

2.較難的解答題的求解
對於較難的解答題(後面3道)來說,要想在有限的時間內做全對是不大現實的.當然也不能全部放棄,應該盡可能的爭取多拿分.對於絕大多數考生來說，在這里重要的是：如何從拿不下來的題目中分段得點分。我們說，有什麼樣的解題策略，就有什麼樣的得分策略，下面談四個觀點。
(1)、缺步解答
如果我們遇到一個很困難的問題，確實啃不動，一個明智的策略是：將它分解成為一個系列的步驟，或者是一個個子問題，能演算幾步就演算幾步，尚未成功不等於徹底失敗，每進行一步得分點的演算就可以得到這一步的滿分，最後結論雖然沒有得出來，但分數卻已過半。因為近幾年高考解答題的特點是：入口易完善難，不可輕易放棄任何一題。
例: (2004浙江理科第21題)已知雙曲線的中心在原點，右頂點為A（1，0）點P、Q在雙曲線的右支上，支M（m,0）到直線AP的距離為1.
（Ⅰ）若直線AP的斜率為k，且 ，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）當 時，ΔAPQ的內心恰好是點M，求此雙曲線的方程.
解: (Ⅰ)由條件得直線AP的方程
即
因為點M到直線AP的距離為1,
∵ 即 .
∵ ∴
解得 +1≤m≤3或--1≤m≤1-- .
∴m的取值范圍是
(Ⅱ)可設雙曲線方程為 由
得 .
又因為M是ΔAPQ的內心,M到AP的距離為1,所以∠MAP=45º,直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1.因此， （不妨設P在第一象限）
直線PQ方程為 .
直線AP的方程y=x-1,
∴解得P的坐標是（2+ ，1+ ），將P點坐標代入 得，

所以所求雙曲線方程為
即
(2)、跳步解答
解題卡在某一過渡環節上是常見的，這時，我們可以先承認中間結論，往後推，看能否得到結論。如果得不出，證明這個途徑不對，立即改變方向；如果能得出預期結論，我們再回過頭來，集中力量攻克這個「中途點」。由於高考時間的限制，「中途點」的攻克來不及了，那麼可以把前面的寫下來，再寫上「證明某步之後，繼而有……」一定做到底。也許，後來中間步驟又想出來了，這時不要亂七八糟地補上去，可補在後面，可書寫為「事實上，某步可證如下」。
有的題目可能設有多問，第一問求不出來，可以把第一問當成已知，先做第二問，這也算做是跳步解答。
例: (2004天津文科第18題) 從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽.
(I) 求所選3人都是男生的概率；
(II)求所選3人中恰有1名女生的概率；
(III)求所選3人中至少有1名女生的概率.
解: (I) 所選3人都是男生的概率為
(II)所選3人中恰有1名女生的概率為
(III)所選3人中至少有1名女生的概率為
這3道小題可以說是互相獨立的,彼此不相干.所以如果第1小題做不來,可以跳過去,直接做第2小題.

(3)、退步解答
「以退求進」是一個重要的解題策略，如果你不能解決題中所提出的問題，那麼，你可以從一般退到特殊，從復雜退到簡單，從整體退到局部。總之，退到一個你能夠解決的問題，比如，{an}是公比為q的等比數列，Sn為{an}的前n項和，若Sn成等差數列，求公比q=____.
對等比數列問題，我們需考慮到q=1，q≠1兩種情況，你可以先對特殊的q=1進行討論，滿足題意，找到解題思路和情緒上的穩定後，再討論q≠1時是否也滿足題意，發現無解，如果對q≠ 1的情況你確實不會解，你還可以開門見山的寫上：本題分兩種情況：q=1或q≠1.
也許你只能完成一種情況，但你沒有用一種情況來代替主體。在概念上、邏輯上是清楚的。另外「難的不會做簡單的」還為尋找正確的、一般的解題方法提供了有意義的啟發。
4、輔助解答
一道題目的完整解答，即要有主要的實質性的步驟，也要有次要的輔助性的步驟，如：准確的作圖，把題目中的條件翻譯成數學表達式，設應用題中的未知量，函數中變數的取值范圍，軌跡題中的動點坐標，數學歸納法證明時，第一步n的取值等，如果處理得當，也會增分，不要小視它們。
另外，書寫也是輔助解答，卷面隨意塗改及正確答案的位置不合理，都會造成不必要的失分。
所以，有人說，書寫工整，卷面整齊也得分，不無道理。

I. 數學分析法的一般步驟

數學分析法是指根據某些技術經濟問題之間的內在聯系，運用數學模型來分析其相互之間關系的一種方法。
數學分析法經濟活動分析具體方法之—，是數學分析方法在經濟活動分析中的實際運用。主要包括：量本利分析法、相關分析法，回歸分析法、線性規劃法和投入產出法等具體方法。這類方法主要用於因素分析，預測分析。趨勢分析、決策分析，方案優化、效益評價等方面。
每一種決策分析方法都有自己的特定內容。數學分析方法的基本內容是數學化、模型化和計算機化。從數學角度看，數學中發現了許多有實用價值的手段，如線性規劃、整數規劃、動態規劃、對策論、排隊論、存貨模型、調度模型、概率統計等等，對定量化的分析與決斷起到了重大的推動作用；從模型化角度看，每一種數學手段都包括了解決決策問題的具體數學模型，人們可以藉助於模型找出自己所需了解的問題的答案；從計算機化的角度看，人們可以借用電子計算機這個快速邏輯計算工具，縮短解決問題的時間，增強預測的精確性。這「三化」是互相聯系的，它們的結合使決策的技術和方法發生了重大變化。
數學分析法的中心內容是建立與決策與決策目標相適應的、反映事物聯系的數學模型。這種模型的核心是運用數學方法，把變數之間以及變數同目標之間的關系用數學關系式表達出來。如果應用電子計算機，則把這些數學模型用計算機的語言編成程序模型，然後把程序模型輸入電子計算機，通過計算機的運算，得到准確的數據和結論。目前，許多常用的數學分析法都已編成計算機程序，供決策者隨時調用。

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