① 一般的數學思想方法有哪些
1 函數思想
把某一數學問題用函數表示出來,並且利用函數探究這個問題的一般規律。
2 數形結合思想
把代數和幾何相結合,例如對幾何問題用代數方法解答,對代數問題用幾何方法解答。
3 整體思想
整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在解數學問題中的具體運用。
4 轉化思想
在於將未知的,陌生的,復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的,熟悉的,簡單的問題。
5 類比思想
把兩個(或兩類)不同的數學對象進行比較,如果發現它們在某些方面有相同或類似之處,那麼推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。
(1)研究指數函數的思想方法擴展閱讀:
函數思想,是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想,是從問題的數量關系入手,運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組),然後通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解。有時,還實現函數與方程的互相轉化、接軌,達到解決問題的目的。
笛卡爾的方程思想是:實際問題→數學問題→代數問題→方程問題。宇宙世界,充斥著等式和不等式。我們知道,哪裡有等式,哪裡就有方程;哪裡有公式,哪裡就有方程;求值問題是通過解方程來實現的……等等;不等式問題也與方程是近親,密切相關。列方程、解方程和研究方程的特性,都是應用方程思想時需要重點考慮的。
函數描述了自然界中數量之間的關系,函數思想通過提出問題的數學特徵,建立函數關系型的數學模型,從而進行研究。
它體現了「聯系和變化」的辯證唯物主義觀點。一般地,函數思想是構造函數從而利用函數的性質解題,經常利用的性質是:f(x)、f (x)的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等,要求我們熟練掌握的是一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特性。
在解題中,善於挖掘題目中的隱含條件,構造出函數解析式和妙用函數的性質,是應用函數思想的關鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時,才能產生由此及彼的聯系,構造出函數原型。另外,方程問題、不等式問題和某些代數問題也可以轉化為與其相關的函數問題,即用函數思想解答非函數問題。
函數知識涉及的知識點多、面廣,在概念性、應用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的重點。
我們應用函數思想的幾種常見題型是:遇到變數,構造函數關系解題;有關的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題,利用函數觀點加以分析;含有多個變數的數學問題中,選定合適的主變數,從而揭示其中的函數關系。
實際應用問題,翻譯成數學語言,建立數學模型和函數關系式,應用函數性質或不等式等知識解答;等差、等比數列中,通項公式、前n項和的公式,都可以看成n的函數,數列問題也可以用函數方法解決。
引起分類討論的原因主要是以下幾個方面:
① 問題所涉及到的數學概念是分類進行定義的。如|a|的定義分a>0、a=0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。
② 問題中涉及到的數學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制,或者是分類給出的。如等比數列的前n項和的公式,分q=1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質型。
③ 解含有參數的題目時,必須根據參數的不同取值范圍進行討論。如解不等式ax>2時分a>0、a=0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。
另外,某些不確定的數量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等,都主要通過分類討論,保證其完整性,使之具有確定性。
進行分類討論時,我們要遵循的原則是:分類的對象是確定的,標準是統一的,不遺漏、不重復,科學地劃分,分清主次,不越級討論。其中最重要的一條是「不漏不重」。
解答分類討論問題時,我們的基本方法和步驟是:首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍;其次確定分類標准,正確進行合理分類,即標准統一、不漏不重、分類互斥(沒有重復);再對所分類逐步進行討論,分級進行,獲取階段性結果;最後進行歸納小結,綜合得出結論。
② 指數函數推導過程採用的是什麼思維
在中學數學中.從特殊到一般.從具體到抽象是常見的一種思維形式.如從指數函數中可抽象出的性質,從對數函數中可抽象出的性質
③ 高中數學思想與邏輯:11種數學思想方法總結與例題講解
高中數學轉化化歸思想與邏輯劃分思想例題講解
在轉化過程中,應遵循三個原則:
1、熟悉化原則,即將陌生的問題轉化為熟悉的問題;
2、簡單化原則,即將復雜問題轉化為簡單問題;
3、直觀化原則,即將抽象總是具體化.
策略一:正向向逆向轉化
一個命題的題設和結論是因果關系的辨證統一,解題時,如果從下面入手思維受阻,不妨從它的正面出發,逆向思維,往往會另有捷徑.
例1 :四面體的頂點和各棱中點共10個點,在其中取4個不共面的點,不共面的取法共有__________種.
A、150 B、147 C、144 D、141
分析:本題正面入手,情況復雜,若從反面去考慮,先求四點共面的取法總數再用補集思想,就簡單多了.
10個點中任取4個點取法有 種,其中面ABC內的6個點中任取4點都共面有 種,同理其餘3個面內也有 種,又,每條棱與相對棱中點共面也有6種,各棱中點4點共面的有3種, 不共面取法有 種,應選(D).
策略二:局部向整體的轉化
從局部入手,按部就班地分析問題,是常用思維方法,但對較復雜的數學問題卻需要從總體上去把握事物,不糾纏細節,從系統中去分析問題,不單打獨斗.
例2:一個四面體所有棱長都是 ,四個頂點在同一球面上,則此球表面積為( )
A、 B、 C、 D、
分析:若利用正四面體外接球的性質,構造直角三角形去求解,過程冗長,容易出錯,但把正四面體補形成正方體,那麼正四面體,正方體的中心與其外接球的球心共一點,因為正四面體棱長為 ,所以正方體棱長為1,從而外接球半徑為 ,應選(A).
策略三:未知向已知轉化
又稱類比轉化,它是一種培養知識遷移能力的重要學習方法,解題中,若能抓住題目中已知關鍵信息,鎖定相似性,巧妙進行類比轉換,答案就會應運而生.
例3:在等差數列 中,若 ,則有等式
( 成立,類比上述性質,在等比數列 中, ,則有等式_________成立.
分析:等差數列 中, ,必有 ,故有 類比等比數列 ,因為 ,故 成立.
二、邏輯劃分思想
例題1、已知集合 A= ,B= ,若B A,求實數 a 取值的集合.
解 A= : 分兩種情況討論
(1)B=¢,此時a=0;
(2)B為一元集合,B= ,此時又分兩種情況討論 :
(i) B={-1},則 =-1,a=-1
(ii)B={1},則 =1, a=1.(二級分類)
綜合上述 所求集合為 .
例題2、設函數f(x)=ax -2x+2,對於滿足1≤x≤4的一切x值都有f(x)≥ 0,求實數a的取值范圍.
例題3、已知 ,試比較 的大小.
【分析】
於是可以知道解本題必須分類討論,其劃分點為 .
小結:分類討論的一般步驟:
(1)明確討論對象及對象的范圍P.(即對哪一個參數進行討論);
(2)確定分類標准,將P進行合理分類,標准統一、不重不漏,不越級討論.;
(3)逐類討論,獲取階段性結果.(化整為零,各個擊破);
(4)歸納小結,綜合得出結論.(主元求並,副元分類作答).
十一種數學思想方法總結與詳解
數學思想,是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中,經過思維活動而產生的結果。數學思想是對數學事實與理論經過概括後產生的本質認識;基本數學思想則是體現或應該體現於基礎數學中的具有奠基性、總結性和最廣泛的數學思想,它們含有傳統數學思想的精華和現代數學思想的基本特徵,並且是歷史地發展著的。通過數學思想的培養,數學的能力才會有一個大幅度的提高。掌握數學思想,就是掌握數學的精髓。
1、函數方程思想
函數思想,是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想,是從問題的數量關系入手,運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組),然後通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解。有時,還需要函數與方程的互相轉化、接軌,達到解決問題的目的。
笛卡爾的方程思想是:實際問題→數學問題→代數問題→方程問題。宇宙世界,充斥著等式和不等式。我們知道,哪裡有等式,哪裡就有方程;哪裡有公式,哪裡就有方程;求值問題是通過解方程來實現的……等等;不等式問題也與方程是近親,密切相關。列方程、解方程和研究方程的特性,都是應用方程思想時需要重點考慮的。
函數描述了自然界中數量之間的關系,函數思想通過提出問題的數學特徵,建立函數關系型的數學模型,從而進行研究。它體現了「聯系和變化」的辯證唯物主義觀點。一般地,函數思想是構造函數從而利用函數的性質解題,經常利用的性質是:f(x)、f (x)的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等,要求我們熟練掌握的是一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特性。在解決問題中,善於挖掘題目中的隱含條件,構造出函數解析式和妙用函數的性質,是應用函數思想的關鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時,才能產生由此及彼的聯系,構造出函數原型。另外,方程問題、不等式問題、集合問題、數列問題和某些代數問題也可以轉化為與其相關的函數問題,即用函數思想解答非函數問題。
函數知識涉及的知識點多、面廣,在概念性、應用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的重點。我們應用函數思想的幾種常見題型是:遇到變數,構造函數關系解題;有關的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題,利用函數觀點加以分析;含有多個變數的數學問題中,選定合適的主變數,從而揭示其中的函數關系;實際應用問題,翻譯成數學語言,建立數學模型和函數關系式,應用函數性質或不等式等知識解答;等差、等比數列中,通項公式、前n項和的公式,都可以看成n的函數,數列問題也可以用函數方法解決。
2、數形結合思想
「數無形,少直觀,形無數,難入微」,利用「數形結合」可使所要研究的問題化難為易,化繁為簡。把代數和幾何相結合,例如對幾何問題用代數方法解答,對代數問題用幾何方法解答,這種方法在解析幾何里最常用。例如求根號((a-1)^2+(b-1)^2)+根號(a^2+(b-1)^2)+根號((a-1)^2+b^2)+根號(a^2+b^2)的最小值,就可以把它放在坐標系中,把它轉化成一個點到(0,1)、(1,0)、(0,0)、(1,1)四點的距離,就可以求出它的最小值。
3、分類討論思想
當一個問題因為某種量或圖形的情況不同而有可能引起問題的結果不同時,需要對這個量或圖形的各種情況進行分類討論。比如解不等式|a-1|>4的時候,就要分類討論a的取值情況。
4、方程思想
當一個問題可能與某個方程建立關聯時,可以構造方程並對方程的性質進行研究以解決這個問題。例如證明柯西不等式的時候,就可以把柯西不等式轉化成一個二次方程的判別式。
5、整體思想
從問題的整體性質出發,突出對問題的整體結構的分析和改造,發現問題的整體結構特徵,善於用「集成」的眼光,把某些式子或圖形看成一個整體,把握它們之間的關聯,進行有目的的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數式的化簡與求值、解方程(組)、幾何解證等方面都有廣泛的應用,整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在解數學問題中的具體運用。
6、化歸思想
在於將未知的,陌生的,復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的,熟悉的,簡單的問題。三角函數,幾何變換,因式分解,解析幾何,微積分,乃至古代數學的尺規作圖等數學理論無不滲透著轉化的思想。常見的轉化方式有:一般 特殊轉化,等價轉化,復雜 簡單轉化,數形轉化,構造轉化,聯想轉化,類比轉化等。
轉化思想亦可在狹義上稱為化歸思想。化歸思想就是將待解決的或者難以解決的問題A經過某種轉化手段,轉化為有固定解決模式的或者容易解決的問題B,通過解決問題B來解決問題A的方法。
7、隱含條件思想
沒有明文表述出來,但是根據已有的明文表述可以推斷出來的條件,或者是沒有明文表述,但是該條件是一個常規或者真理。例如一個等腰三角形,一條線段垂直於底邊,那麼這條線段所在的直線也平分底邊和頂角。
8、類比思想
把兩個(或兩類)不同的數學對象進行比較,如果發現它們在某些方面有相同或類似之處,那麼就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。
9、建模思想
為了更具科學性,邏輯性,客觀性和可重復性地描述一個實際現象,人們採用一種普遍認為比較嚴格的語言來描述各種現象,這種語言就是數學。使用數學語言描述的事物就稱為數學模型。有時候我們需要做一些實驗,但這些實驗往往用抽象出來了的數學模型作為實際物體的代替而進行相應的實驗,實驗本身也是實際操作的一種理論替代。
10、歸納推理思想
由某類事物的部分對象具有某些特徵,推出該類事物的全部對象都具有這些特徵的推理,或者由個別事實概括出一般結論的推理稱為歸納推理(簡稱歸納),簡言之,歸納推理是由部分到整體,由個別到一般的推理
另外,還有概率統計思想等數學思想,例如概率統計思想是指通過概率統計解決一些實際問題,如摸獎的中獎率、某次考試的綜合分析等等。另外,還可以用概率方法解決一些面積問題。
我來舉例子~~圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。
也可將圖對折看,對稱以後關系現。
角平分線平行線,等腰三角形來添。
角平分線加垂線,三線合一試試看。
線段垂直平分線,常向兩端把線連。
要證線段倍與半,延長縮短可試驗。
三角形中兩中點,連接則成中位線。
三角形中有中線,延長中線等中線。
平行四邊形出現,對稱中心等分點。
梯形裡面作高線,平移一腰試試看。
平行移動對角線,補成三角形常見。
證相似,比線段,添線平行成習慣。
等積式子比例換,尋找線段很關鍵。
直接證明有困難,等量代換少麻煩。
斜邊上面作高線,比例中項一大片。
半徑與弦長計算,弦心距來中間站。
圓上若有一切線,切點圓心半徑連。
切線長度的計算,勾股定理最方便。
要想證明是切線,半徑垂線仔細辨。
是直徑,成半圓,想成直角徑連弦。
弧有中點圓心連,垂徑定理要記全。
圓周角邊兩條弦,直徑和弦端點連。
弦切角邊切線弦,同弧對角等找完。
要想作個外接圓,各邊作出中垂線。
還要作個內接圓,內角平分線夢圓
如果遇到相交圓,不要忘作公共弦。
內外相切的兩圓,經過切點公切線。
若是添上連心線,切點肯定在上面。
要作等角添個圓,證明題目少困難。
輔助線,是虛線,畫圖注意勿改變。
假如圖形較分散,對稱旋轉去實驗。
基本作圖很關鍵,平時掌握要熟練。
解題還要多心眼,經常總結方法顯。
切勿盲目亂添線,方法靈活應多變。
分析綜合方法選,困難再多也會減。
虛心勤學加苦練,成績上升成直線。
11、極限思想
極限思想是微積分的基本思想,數學分析中的一系列重要概念,如函數的連續性、導數以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。如果要問:「數學分析是一門什麼學科?」那麼可以概括地說:「數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科」。
④ 高中數學《指數函數及其性質》說課稿
高中數學《指數函數及其性質》說課稿
以下是人教版高中數學《指數函數及其性質》說課稿,僅供參考。
一、指數函數及其性質教學設計說明
新課標指出: 學生是教學的主體,教師的教應本著從學生的認知規律出發,以學生活動為主線,在原有知識的基礎上,建構新的知識體系。我將以此為基礎對教學設計加以說明。
數學本質:
探究指數函數的性質從“數”的角度用解析式不易解決,轉而由“形”——圖象突破,體會數形結合的思想。通過分類討論,通過研究兩個具體的指數函數引導學生通過觀察圖象發現指數函數的圖象規律,從而歸納指數函數的一般性質,經歷一個由特殊到一般的探究過程。引導學生探究出指數函數的一般性質,從而對指數函數進行較為系統的研究。
二、教材的地位和作用:
本節課是全日制普通高中標准實驗教課書《數學必修1》第二章2.1 .2節的內容,研究指數函數的定義,圖像及性質。是在學生已經較系統地學習了函數的概念,將指數擴充到實數范圍之後學習的一個重要的基本初等函數。它既是對函數的概念進一步深化,又是今後學習對數函數與冪函數 的基礎。因此,在教材中佔有極其重要的地位,起著承上啟下的作用。
此外,《指數函數》的知識與我們的日常生產、生活和科學研究有著緊密的聯系,尤其體現在細胞分裂、貸款利率的計算和考古中的年代測算等方面,因此學習這部分知識還有著廣泛的現實意義。
三、教學目標分析:
根據本節課的內容特點以及學生對抽象的指數函數及其圖象缺乏感性認識的實際情況,確定在理解指數函數定義的基礎上掌握指數函數的圖象和由圖象得出的性質為本節教學重點。本節課的難點是指數函數圖像和性質的發現過程。
為此,特製定以下的教學目標:
1)知識目標(直接性目標):理解指數函數的定義,掌握指數函數的圖像、性質及其簡單應用、能根據單調性解決基本的比較大小的問題.
2)能力目標(發展性目標):通過教學培養學生觀察、分析、歸納等思維能力,體會數形結合和分類討論思想,增強學生識圖用圖的能力 。
3)情感目標(可持續性目標): 通過學習,使學生學會認識事物的特殊性與一般性之間的關系,用聯系的觀點看問題。體會研究函數由特殊到一般再到特殊的研究學習過程;體驗研究函數的一般思維方法。引導學生發現數學中的對稱美、簡潔美。善於探索的思維品質。
教學問題診斷分析:
學生知識儲備:
通過初中學段的學習和高中對集合、函數等知識的系統學習,學生對函數和圖象的關系已經構建了一定的認知結構。
學情分析:
由於我所教學生數學的理解能力、運算能力、思維能力等方面有一部分是較好的,但整體是水平參差不齊。高一這個年齡段的學生思維活躍,求知慾強,能夠勇於表現自我,展現自我,願意合作交流。但在思維習慣上與方法上還有待教師引導。
可能存在的問題與策略:
問題1.
學生能夠從具體的問題中抽象出數學的模型但對於指數函數的定義中底數的取值范圍和指數函數形式的判斷有困難。
教學策略:
類比著二次函數,對於底數的范圍的取值,引導學生回顧指數冪中當指數為全體實數時,底數怎樣取值才能一直有意義,以問題的形式引發學生思考底數能否取負數、正數、0、1?從而得到底數的范圍。
學生對: 1)y=-3x 2)y=31/x 3) y=31+x
4) y=(-3)x 5) y=3-x=(1/3) x
幾種形式的函數的判斷,加強對指數函數形解析式的理解和辨別:
問題2.
學生初中階段就接觸過函數,但對於學生而言,指數函數是完全陌生的函數。學生列表時,數值的選取上可能會少取或是數值的選取不能照顧到全體實數,畫圖時,又容易受以前學過的函數圖像的影響,把指數函數的圖像畫成已經學過的圖像的形象。
教學策略:在列表格時自變數的取值以及如何畫出指數函數的圖像的問題上,採用啟發式教學法,類比學過的函數圖形的畫法,引導學生畫圖,畫完圖後,又利用實物投影儀展示一位同學的圖像,由全班同學進行提出意見糾錯來補充畫圖的不足。
另外為了讓學生增強識圖、用圖的能力可以讓學生根據觀察到的指數函數的圖像,來畫出底數不同取值范圍內的的草圖,以便於探究性質。
問題3.
函數定義給出後,底數a如何分類討論的情況學生難以做到,如果處理不好,這對於指數函數質探究時的分類討論有很重要的意義。
教學策略:在定義中對於底數的取值范圍的討論後,得出了底數a>0且a≠1。此時,在數軸上把a的范圍表示出來,這樣學生很容易從數軸上的區間圖看出底數分為兩類情況進行討論。這樣為指數函數質探究時的分類討論埋下了伏筆。
問題4 .
通過兩兩個具體的特殊的指數函數圖像,來探究得出指數函數的性質。如何使學生能經歷從特殊到一般的過程,這種由特殊到一般再到特殊的思想的領會,如何完成?
教學策略:教師利用幾何畫板分別畫出了底數大於1的和底數在0到1之間的`若干個不同的指數函數的圖像,展現不同的底數的變化時圖像的不同情況,從而讓學生經歷由特殊到一般的過程。
問題5.
指數函數是學生在學習了函數基本概念和性質以後接觸到得第一個具體函數,學生可能找不到研究問題的方法和方向.
教學策略:在這部分的安排上,我更注意學生思維習慣的養成,即應從哪些方面,哪些角度去探索一個具體函數。
問題6.
學生得到的性質特點可能是雜亂的,如何梳理突出主要的性質?
教學策略:在學生識圖、用圖、合作探究的過程後,利用兩個表格的填寫,讓學生感受由圖象特徵來得到函數的性質的過程。表格主要呈現五個方面的性質與特點。
五、教法分析:
為充分貫徹新課程理念,使教學過程真正成為學生學習過程,讓學生體驗數學發現和創造的歷程,本節課擬採用直觀教學法、啟發發現法、課堂討論法等教學方法。以多媒體演示為載體,啟發學生觀察思考,分析討論為主,教師適當引導點撥,以動手操作、合作交流,自主探究的方式來讓學生始終處在教學活動的中心。
六、預期效果分析:
1、教學環節環環相扣,層層深入,並充分體現教師與學生的交流互動,在教師的整體調控下,學生通過動手操作,動眼觀察,動腦思考,親身經歷了知識的生成和發展過程,使學生對知識的理解逐步深入。
2、簡單實例的引入,順利完成了知識的遷移,從得出指數函數的模型,符合學生認知規律的最近發展區。
3、 而作業中完成指數函數性質的探究報告,彌補課堂時間有限探究和展示的局限性,帶領學生進入對指數函數更進一步的思考和研究之中,從而達到知識在課堂以外的延伸。
4、在整個教學過程中,由於學生是自覺主動地發現結果,對所學知識應該能夠較快接受。因此,我認為可以達到預定的教學目標。
;⑤ 指數對數函數如何思考學習
(1) 指數函數的定義域為所有實數的集合,這里的前提是a大於0且不等於1,對於a不大於0的情況,則必然使得函數的定義域不存在連續的區間,因此我們不予考慮,
同時a等於0函數無意義一般也不考慮。
(2) 指數函數的值域為大於0的實數集合。
(3) 函數圖形都是下凹的。
(4) a大於1,則指數函數單調遞增;a小於1大於0,則為單調遞減的。
(5) 可以看到一個顯然的規律,就是當a從0趨向於無窮大的過程中(當然不能等於0),函數的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置,趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。
(6) 函數總是在某一個方向上無限趨向於X軸,永不相交。
(7) 函數總是通過(0,1)這點,(若y=a^x+b,則函數定過點(0,1+b)
(8) 顯然指數函數無界。
(9) 指數函數既不是奇函數也不是偶函數。
(10)當兩個指數函數中的a互為倒數時,兩個函數關於y軸對稱,但這兩個函數都不具有奇偶性。
底數的平移:
對於任何一個有意義的指數函數:
在指數上加上一個數,圖像會向左平移;減去一個數,圖像會向右平移。
在f(X)後加上一個數,圖像會向上平移;減去一個數,圖像會向下平移。
即「上加下減,左加右減」
底數與指數函數圖像:
(1)由指數函數y=a^x與直線x=1相交於點(1,a)可知:在y軸右側,圖像從下到上相應的底數由小變大。
(2)由指數函數y=a^x與直線x=-1相交於點(-1,1/a)可知:在y軸左側,圖像從下到上相應的底數由大變小。
(3)指數函數的底數與圖像間的關系可概括的記憶為:在y軸右邊「底大圖高」;在y軸左邊「底大圖低」。
冪的大小比較:
比較大小常用方法:(1)比差(商)法:(2)函數單調性法;(3)中間值法:要比較A與B的大小,先找一個中間值C,再比較A與C、B與C的大小,由不等式的傳遞性得到A與B之間的大小。
比較兩個冪的大小時,除了上述一般方法之外,還應注意:
(1)對於底數相同,指數不同的兩個冪的大小比較,可以利用指數函數的單調性來判斷。
例如:y1=3^4,y2=3^5,因為3大於1所以函數單調遞增(即x的值越大,對應的y值越大),因為5大於4,所以y2大於y1.
(2)對於底數不同,指數相同的兩個冪的大小比較,可以利用指數函數圖像的變化規律來判斷。
例如:y1=1/2^4,y2=3^4,因為1/2小於1所以函數圖像在定義域上單調遞減;3大於1,所以函數圖像在定義域上單調遞增,在x=0是兩個函數圖像都過(0,1)然後隨著x的增大,y1圖像下降,而y2上升,在x等於4時,y2大於y1.
(3)對於底數不同,且指數也不同的冪的大小比較,則可以利用中間值來比較。如:
<1> 對於三個(或三個以上)的數的大小比較,則應該先根據值的大小(特別是與0、1的大小)進行分組,再比較各組數的大小即可。
<2> 在比較兩個冪的大小時,如果能充分利用「1」來搭「橋」(即比較它們與「1」的大小),就可以快速的得到答案。哪么如何判斷一個冪與「1」大小呢?由指數函數的圖像和性質可知「同大異小」。即當底數a和1與指數x與0之間的不等號同向(例如: a 〉1且x 〉0,或0〈 a〈 1且 x〈 0)時,a^x大於1,異向時a^x小於1.
〈3〉例:下列函數在R上是增函數還是減函數?說明理由.
⑴y=4^x
因為4>1,所以y=4^x在R上是增函數;
⑵y=(1/4)^x
因為0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是減函數
⑥ 高中數學的基本思想方法有哪些
1、函數方程思想
函數思想,是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想,是從問題的數量關系入手,運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組)。
然後通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解。有時,還需要函數與方程的互相轉化、接軌,達到解決問題的目的。
笛卡爾的方程思想是:實際問題→數學問題→代數問題→方程問題。宇宙世界,充斥著等式和不等式。我們知道,哪裡有等式,哪裡就有方程;哪裡有公式,哪裡就有方程。
求值問題是通過解方程來實現的……等等;不等式問題也與方程是近親,密切相關。列方程、解方程和研究方程的特性,都是應用方程思想時需要重點考慮的。
函數描述了自然界中數量之間的關系,函數思想通過提出問題的數學特徵,建立函數關系型的數學模型,從而進行研究。它體現了「聯系和變化」的辯證唯物主義觀點。一般地,函數思想是構造函數從而利用函數的性質解題。
經常利用的性質是:f(x)、f (x)的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等,要求我們熟練掌握的是一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特性。在解決問題中。
善於挖掘題目中的隱含條件,構造出函數解析式和妙用函數的性質,是應用函數思想的關鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時,才能產生由此及彼的聯系。
構造出函數原型。另外,方程問題、不等式問題、集合問題、數列問題和某些代數問題也可以轉化為與其相關的函數問題,即用函數思想解答非函數問題。
2、數形結合思想
「數無形,少直觀,形無數,難入微」,利用「數形結合」可使所要研究的問題化難為易,化繁為簡。把代數和幾何相結合,例如對幾何問題用代數方法解答,對代數問題用幾何方法解答,這種方法在解析幾何里最常用。
例如求根號((a-1)^2+(b-1)^2)+根號(a^2+(b-1)^2)+根號((a-1)^2+b^2)+根號(a^2+b^2)的最小值,就可以把它放在坐標系中,把它轉化成一個點到(0,1)、(1,0)、(0,0)、(1,1)四點的距離,就可以求出它的最小值。
3、分類討論思想
當一個問題因為某種量或圖形的情況不同而有可能引起問題的結果不同時,需要對這個量或圖形的各種情況進行分類討論。比如解不等式|a-1|>4的時候,就要分類討論a的取值情況。
4、方程思想
當一個問題可能與某個方程建立關聯時,可以構造方程並對方程的性質進行研究以解決這個問題。例如證明柯西不等式的時候,就可以把柯西不等式轉化成一個二次方程的判別式。
5、整體思想
從問題的整體性質出發,突出對問題的整體結構的分析和改造,發現問題的整體結構特徵,善於用「集成」的眼光,把某些式子或圖形看成一個整體,把握它們之間的關聯,進行有目的的、有意識的整體處理。
整體思想方法在代數式的化簡與求值、解方程(組)、幾何解證等方面都有廣泛的應用,整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在解數學問題中的具體運用。
6、化歸思想
在於將未知的,陌生的,復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的,熟悉的,簡單的問題。三角函數,幾何變換,因式分解,解析幾何,微積分,乃至古代數學的尺規作圖等數學理論無不滲透著轉化的思想。
常見的轉化方式有:一般 特殊轉化,等價轉化,復雜 簡單轉化,數形轉化,構造轉化,聯想轉化,類比轉化等。
轉化思想亦可在狹義上稱為化歸思想。化歸思想就是將待解決的或者難以解決的問題A經過某種轉化手段,轉化為有固定解決模式的或者容易解決的問題B,通過解決問題B來解決問題A的方法。
7、隱含條件思想
沒有明文表述出來,但是根據已有的明文表述可以推斷出來的條件,或者是沒有明文表述,但是該條件是一個常規或者真理。例如一個等腰三角形,一條線段垂直於底邊,那麼這條線段所在的直線也平分底邊和頂角。
8、類比思想
把兩個(或兩類)不同的數學對象進行比較,如果發現它們在某些方面有相同或類似之處,那麼就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。
9、建模思想
為了更具科學性,邏輯性,客觀性和可重復性地描述一個實際現象,人們採用一種普遍認為比較嚴格的語言來描述各種現象,這種語言就是數學。
使用數學語言描述的事物就稱為數學模型。有時候我們需要做一些實驗,但這些實驗往往用抽象出來了的數學模型作為實際物體的代替而進行相應的實驗,實驗本身也是實際操作的一種理論替代。
10、歸納推理思想
由某類事物的部分對象具有某些特徵,推出該類事物的全部對象都具有這些特徵的推理,或者由個別事實概括出一般結論的推理稱為歸納推理(簡稱歸納),簡言之,歸納推理是由部分到整體,由個別到一般的推理。
另外,還有概率統計思想等數學思想,例如概率統計思想是指通過概率統計解決一些實際問題,如摸獎的中獎率、某次考試的綜合分析等等。另外,還可以用概率方法解決一些面積問題。
⑦ 高中數學思想方法有哪幾種
一、特殊與一般思想(即特值法)
二、分類與整合思想
三、函數與方程思想
四、數形結合思想
五、化歸與轉化思想
六、或然與必然的思想
七、有限與無限的思想
⑧ 淺談如何在指數函數教學中推廣數學概念
指數函數是學生在學習了函數的概念、圖象與性質後,學習的第一個新的初等函數.它是一種新的函數模型,也是應用研究函數的一般方法研究函數的一次實踐.指數函數的學習,一方面可以進一步深化對函數概念的理解,另一方面也為研究對數函數、冪函數、三角函數等初等函數打下基礎.因此,本節課的學習起著承上啟下的作用,也是學生體驗數學思想與方法應用的過程