正弦量分析方法圖解

『壹』 求 直流電路，正弦交流電路的基本計算公式

在工程實際中，經常遇到電壓和電流隨時間按正弦規律變化的電路，我們稱這樣的電路為正弦交流電路，簡稱正弦電路。

對正弦電路的分析和研究具有重要的理論和實際意義。一方面，目前世界上絕大部分發機電、輸配電線路、用電設備（如電動機等）的電壓、電流都是採用正弦函數的形式，對於這類電路的分析，多數情況下，可以按正弦電路加以分析處理。另一方面，非正弦的周期函數，可以分解為頻率成整數倍的正弦函數的無窮級數（即傅里葉級數），因此，當非正弦周期函數（往往取有限項正弦級數近似）的電壓、電流作用於線性電路時，也可按正弦電路進行分析處理。

本章介紹正弦交流電路的基本知識，闡述正弦交流電路穩態分析的基本理論和基本方法。這里所說的穩態是指線性電路在同頻率正弦電源作用相當長時間後，所達到的穩定工作狀態。

§3-1 正弦電壓和電流
工業頻率的正弦交變電動勢通常是由交流發電機產生的。發電機由定子和轉子組成，當轉子在外力作用下轉動時，會切割磁力線而產生感應電動勢。採用特殊氣隙可使感應電動勢呈正弦規律變化。其表達式可用正弦函數表示，如電動勢可表示為e=Emsinωt。由此產生的電壓和電流可表示為：

[1]

一、 正弦量的三要素

確定一個交流電，通常取決於以下三個要素：交流電變化的快慢、交變的幅度和交變的起點。而對於正弦交流電，這三個要素恰好對應正弦量的頻率、幅值和初相。下面我們以電流為例介紹正弦量的三要素。

（一） 周期、頻率、角頻率

正弦交流電交變一次所經歷的時間稱為交流電的周期，用T表示，單位是秒（s）。正弦交流電一秒鍾所完成的交變次數稱為交流電的頻率，用f表示，單位是赫茲（Hz），簡稱赫（周/秒）。周期和頻率互為倒數。即

或
我國和大多數國家都採用50Hz作為電力標准頻率，有些國家（如美國、日本等）採用60Hz。電力標准頻率也稱工頻。通常的交流電動機和照明負載都用這種頻率。在其它各種不同的技術領域內還使用著各種不同的頻率。如高速電動機的電源頻率為150Hz~2000Hz，無線電中波的頻率為535kHz~1605kHz，調頻台的頻率為88MHz~108MHz，衛星通信的頻率為3.7GHz~4.2GHz，等等。

正弦交流電變化一個周期，對應的正弦函數就變化2π弧度，所以正弦量變化的快慢除了用周期和頻率表示外，還可以用角頻率ω來表示，角頻率的單位為弧度/秒（rad/s）。ω、T和f 三者之間的關系是：

顯然，周期T、頻率f和角頻率ω三者之間有固定的換算關系，知道其中任意一個就可以求出另外二個。

因此以下三種正弦量的寫法是等效的：

(3-1)

例 3.1.1 已知f=50Hz，試求T和ω。

解：T=1/f=1/50=0.02 s

ω=2πf=2×3.14×50=314 rad/s

（二） 幅值、有效值

正弦量在任一瞬時的值稱為瞬時值，用小寫字母來表示，如i、u分別表示電流和電壓的瞬時值。瞬時值中最大的值稱幅值或最大值，用帶下標m的大寫字母表示，如Im、Um分別表示電流、電壓的幅值。

工程應用中正弦電壓和電流的大小通常是採用有效值來衡量，而非幅值或瞬時值。有效值是從電流的熱效應角度來規定的。不論是周期變化的電流還是直流，只要它們在相等的時間內通過同一電阻發出的熱量相等，就把它們的大小看成是相等的。也就是說，某一周期性電流i通過電阻R在一個周期內產生的熱量，和另一個直流I通過同樣的電阻在相等時間內產生的熱量相等，那麼這個周期變化的電流i的有效值在數值上就等於這個直流I。

根據以上所述，可得
由此可得出有效值：

上式適用於所有周期性變化的量。當電流為正弦量時，即i=Imsinωt時，則有：

(3-2)

可見，正弦量幅值是有效值的 倍。因此以下兩種寫法是等效的：

(3-3)

規定，有效值都用大寫字母表示（可以帶下標，如I1、I2、IR等，但一般不能用m作為下標，以示與最大值區別），與表示直流的字母一樣。

一般所講的正弦電壓或電流的大小，例如交流電壓380V或220V，都是指有效值。萬用表測量得到的交流電壓和電流也是有效值。

例 3.1.2 u=Umsinωt ，Um=310V，f=50Hz，試求有效值U和t=0.1s時的瞬時值。

解： V

s時，
（三）初相位

在正弦量的表達式i=Imsin(ωt+ψi)中的（ωt+ψi）稱為正弦量的相位角或相位，其單位為弧度（rad）或度（°）。如果已知某一正弦量在某時刻的相位，就可以確定這個正弦量在該時刻的量值、方向及變化趨勢，因此相位表示了正弦量在某時刻的狀態。不同的相位對應正弦量的不同狀態，從這個意義上講，相位還表示了正弦量的變化進程。當相位隨時間作連續變化時，正弦量的瞬時值隨之作連續變化。

ωt

i

ψi=0

ψi

ωt

i

ψi<0

ωt

ψi

i

ψi>0

圖3-1 正弦量的初相位

O

O

O

相位角（ωt+ψi）跟時間有關，當時間t=0（稱為計時起點）時，所對應的相位角就稱為初相位，其值為ψi。顯然，要確定正弦量在某一時刻的值，除了跟幅值與角頻率有關外，還和初相位有關。

初相位ψi的取值范圍規定為|ψi|≤π。其取值有三種情況：ψi＜0，ψi=0和ψi＞0，正弦圖形對應如圖3-1。

二、相位差

線性電路中，如果所有電源都是同頻率的正弦量，則電路中的響應電壓和電流也是該頻率的正弦量。對於同頻率的正弦量，我們可以比較它們的相位差。

設如下二個同頻率的正弦量：

兩正弦量間的相位之差，稱為相位差。則u和i的相位差為：

(3-4)

可見，兩個同頻率的正弦量的相位差是與時間無關的常量，即等於它們初相位之差。通常，相位差 的取值范圍是 ，若不在此范圍內，則可加減2π使其滿足 。

若 ＞0，則u超前i，或i滯後u，超前或滯後的角度為 。如圖3-2（a）。

若 ＜0，則u滯後i，或i超前u，超前或滯後的角度為 。

若 =0，則u與i同相位，簡稱同相。如圖3-2（b）

特殊地，若 =±π/2，稱u與i正交。如圖3-2（c）

若 =±π，稱u與i反相。如圖3-2（d）

u,i

（a） >0

i

u

ωt

u,i

（b） =0

u

i

ωt

u,i

（c）

i

u

ωt

u,i

（d）

i

u

ωt

圖3-2 同頻率正弦量相位差

O

O

O

O

必須強調，比較正弦量的相位差時要注意「三同」：

（1）同頻率。只有同頻率的正弦量才有確定的相位關系，它們的相位差才為常數。不同頻率正弦量的相位差會隨時間而發生變化。

（2）同函數。正弦函數和餘弦函數都可以用來表示正弦交流電，當要進行相位比較時，必須要化成同一函數來表達才能進行相位運算。

（3）兩正弦函數表達式前面的符號應該相同。

例3.1.3 已知兩電流 A， A，求它們的相位差。

解：先將i2化為正弦表達式：

故i1與i2相位差為：
由此可知，i1比i2滯後40°。

例 3.1.4已知兩電流 A， A，求它們的相位差。

解：先將i2前面的符號化為正號：

故i1與i2相位差為：
由於 的取值范圍為-180°~180°，故
由此可知，i1比i2滯後160°。

在分析或計算交流電路時，我們往往先選定某一個正弦量為參考量，令其初相位為零，然後再確定其它正弦量與參考量之間的相位關系。注意，電路中各正弦量之間的相位差並不會因為選擇不同的參考正弦量而發生變化。

『貳』 正弦交流電的三要素是

正弦交流電的三要素是，幅值，初相位，角頻率。

Im——幅值；

φ——初相位；

ω——角頻率。

幅值、初相位和角頻率統稱為正弦量的三要素。正弦量在任一瞬間的值稱為瞬時值，已知正弦量的三要素，即可確定正弦量的瞬時值。

正弦交流電在工業中得到廣泛的應用,它在生產、輸送和應用上比起 直流電來有不少優點,而且正弦交流電變化平滑且不易產生高次諧 波,這有利於保護電器設備的絕緣性能和減少電器設備運行中的能量 損耗。另外各種非正弦交流電都可由不同頻率的正弦交流電疊加而成 (用傅里葉分析法),因此可用正弦交流電的分析方法來分析非正弦交流電。

『叄』 電路分析時 相量計算 怎麼手算啊，就像2∠45+1∠

相量有兩種表示形式：1、模+幅角；2、復數形式。

加減法時，採用復數形式計算。如果是「模+幅角」的形式，就轉化為復數形式。如你的題目中：2∠45°+1∠30°=2×（cos45°+jsin45°）+1×（cos30°+jsin30°）=√2/2+j√2/2+√3/2+j0.5=（√2/2+√3/2）+j（0.5+√2/2）。

乘除法時：使用模+幅角形式計算。Z1=R1∠φ1，Z2=∠φ2，則：Z=Z1×Z2=R1∠φ1×R2∠φ2=R1R2∠（φ1+φ2）。如果是復數形式，就需要將其轉化為模+幅角的形式：因為Z1=R1∠φ1=R1cosφ1+jR1sinφ1=x+jy，所以R1=√（x²+y²），φ1=arctan（y/x）。

此外，

復數阻抗的實部稱為等效電阻，虛部稱為電抗，模稱為阻抗模，幅角稱為阻抗角,它們分別用符號R、X、|Z|、φ表示。復數導納的實部稱為等效電導，虛部稱為電納，模稱為導納模，幅角稱為導納角，它們分別用符號G、B、|Y|、φ┡表示，於是 Z =R+jX=|Z|e。

(3)正弦量分析方法圖解擴展閱讀：

例1：電路分析時相量計算，2∠45+1∠-30 計算：

加減用代數式,乘除用指數式,本題是加減,要轉換成代數式：

2∠45 + 1∠-30

= 2 cos45° + j 2 sin45° + cos(- 30°) + j sin(- 30°)

= √2 + j √2 + √3/2 - j 0.5

= (√2 + √3/2) + j (√2 - 0.5)

= 2.28 + j0.9142

= 2.456∠21.84°

例2：電路分析時相量計算，2∠45：

相量有兩種表示形式：1、模+幅角；2、復數形式。加減法時，採用復數形式計算。如果是「模+幅角」的形式，就轉化為復數形式。如你的題目中：2∠45°+1∠30°=2×（cos45°+jsin45°）+1×（cos30°+jsin30°）=√2/2+j√2/2+√3/2+j0.5=（√2/2+√3/2）+j（0.5+√2）。

『肆』 電路分析基礎下冊的正弦量怎麼化為振幅相量比如 20角30度是怎麼化為17.32+j10的

解：激勵源包含直流分量和基波兩個部分，分別計算響應後進行疊加。1、直流分量作用時：電容開路，電感短路，電感電流就是電阻電流，所以：u'（t）=iL×R=2×10=20（V）。2、基波分量作用時：IL（相量）=8/√2∠0°=4√2∠0°（A）=4√2（A）。因此並聯支路電壓：U1（相量）=IL（相量）×jXL=4√2∠0°×j5=20√2∠90°（V）=j20√2（V）。Ic（相量）=U1（相量）/（-jXc）=20√2∠90°/（-j20）=√2∠180°=-√2（A）。根據KCL：Ir（相量）=IL（相量）+Ic（相量）=4√2-√2=3√2（A）。Ur（相量）=Ir（相量）×R=3√2×10=30√2（V）。根據KVL：U（相量）=Ur（相量）+U1（相量）=30√2+j20√2=36.06√2∠33.69°（V）。所以：u"（t）=36.06√2×√2sin（ωt+33.69°）=72.11sin（ωt+33.69°）（V）。3、疊加：u（t）=u'（t）+u"（t）=20+72.11sin（ωt+33.69°）（V）。

『伍』 正弦量的一般解析式

"但是在計算初相時如φ=30·=π/6.這里π就是180·" 這句話說錯了,這里的"π/6"是弧度制,π仍舊等於3.14,而不是180°
而之所以解析式里出現π這是推導的結論,只能說它符合客觀事實.

『陸』 談談正弦量的相量表示法和普通意義上的向量的區別和聯系

摘要 正弦量本身是沒有方向的標量，為了方便計算而引入相量這種工具，相量表現出了正弦量的有效值和相位；而表示力、電場強度、磁感應強度等的空間向量是有大小、有方向的矢量，箭頭代表向量的方向，長度代表向量的大小。二者是有本質區別的。即相量本身是表示正弦量，向量本身則是表示既有大小又有方向的量。相量的模值是正弦量的有效值，向量的模值是表示量的大小。相量與坐標軸的夾角表示了正弦量的初相位，向量與坐標軸的夾角則表示了其在空間中的方向。