① 創建與20世紀的主要數學分支有哪些
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基礎數學:
數論:古典數論 解析數論,代數數論,超越數論, 模型式與模函數論
代數學:線性代數 群論, 群表示論, 李群, 李代數, 代數群, 典型群, 同調代數, 代數K理論, Kac-Moody代數, 環論, 代數, 體, 格, 序結構. 域論和多項式 拓撲群 矩陣論 向量代數 張量代數
幾何學:(整體,局部)微分幾何, 代數幾何, 流形上的分析, 黎曼流形與洛侖茲流形, 齊性空間與對稱空間, 調和映照, 子流形理論, 楊--米爾斯場與纖維叢理論, 辛流形. 凸幾何與離散幾何 歐氏幾何 非歐幾何 解析幾何
拓撲學:微分拓撲, 代數拓撲, 低維流形, 同倫論, 奇點與突變理論, 點集拓撲. 流形和胞腔復形 大范圍分析,微分拓撲 同調論復流形
函數論: 函數逼近論.
泛函分析:(非)線性泛函分析, 運算元理論, 運算元代數, 差分與泛函方程, 廣義函數. 變分法,積分變換 積分方程
微分方程:泛函微分方程, 特徵與譜理論及其反問題, 定性理論, 穩定性理論、分支理論,混沌理論, 奇攝動理論,動力系統, 常微分方程非線性橢圓(和拋物)方程,偏微分方程, 微局部分析與一般偏微分運算元理論, 調混合型及其它帶奇性的方程, 非線性發展方程和無窮維動力系統.
在泛函分析方面,包括象Kasparov在內的許多人的工作將連續的K-理論推廣到非交換
的C*-代數情形.一個空間上的連續函數在函數乘積意義下形成一個交換代數.但是在其
他情形下,自然地產生了類似的關於非交換情形的討論,這時,泛函分析也就自然而然地
成為了這些問題的溫床.
因此,K-理論是另外一個能夠將相當廣泛的數學的許多不同方面都能用這種比較簡單
的公式來處理的領域,盡管在每一個情形下,都有很多特定於該方面且能夠連接其他部分
的非常困難的,技巧性很強的問題.K-理論不是一個統一的工具,它更象是一個統一的框
架,在不同部分之間具有類比和相似.
這個工作的許多內容已經被Alain Connes推廣到「非交換微分幾何」.
非常有趣的是,也就是在最近,Witten通過他在弦理論方面(基礎物理學的最新思想
)的工作發現許多很有趣的方法都與K-理論有關,並且K-理論看起來為那些所謂的「守恆
量」提供了一個很自然的「家」.雖然在過去同調論被認為是這些理論的自然框架,但是
現在看起來K一理論能提供更好的答案.
我們從幾何開始談起:Euclid幾何,平面的幾何,空間的幾何,直線的幾何,所有這
一切都是線性的.而從非歐幾何的各個不同階段到Riemann的更一般的幾何,所討論的基
本上是非線性的.在微分方程中,真正關於非線性現象的研究已經處理了眾多我們通過經
典方法所看不到的新現象.在這里我只舉兩個例子,孤立子和混沌,這是微分方程理論兩
個非常不同的方面,在本世紀已經成為極度重要和非常著名的研究課題了.它們代表不同
的極端.孤立子代表非線性微分方程的無法預料的有組織的行為,而混沌代表的是無法預
料的無組織的行為(disorganized behavior).這兩者出現在不同領域,都是非常有趣和
重要的,但它們基本土都是非線性現象.我們同樣可以將關於孤立子的某些工作的早期歷
史追溯到十九世紀下葉,但那隻是很少的一部分.
當然,在物理學,Maxwell方程(電磁學的基本方程)是線性偏微分方程.與之對應
的是著名的Yang-Mills方程,它們是非線性方程並被假定用來調控與物質結構有關的力.
這些方程之所以是非線性的,是因為Yang-Mills方程本質上是Maxwell方程的矩陣體現,
並且由矩陣不可交換這一事實導致方程中出現非線性項.於是在這里我們看到了一個非線
性性與非交換性之間的有趣的聯系.非交換性產生一類特殊的非線性性,這的確是很有意
思和很重要的.
幾何與代數
至此我談的是一些一般性的主題,現在我想談論一下數學中的一個二分叉現象,它來
回搖擺卻始終伴隨著我們,這就給了我一個機會來做一些哲學上的?#####骱退得鰨抑傅氖?
幾何和代數之間的二分法,幾何和代數是數學的兩個形式支柱,並且都有悠久的歷史.幾
何學可以追溯到古希臘甚至更早的時期;代數學則源於古阿拉伯人和古印度人.所以,它
們都已經成為數學的基礎,但它們之間有一種令人感到不太自然的關系.
讓我首先由這個問題的歷史開始.Euc1id幾何是數學理論中最早的一個例子,直到D
escartes在我們現在稱為的笛卡兒平面中引入代數坐標之前,它一直是純幾何的.Desca
rtes的做法是一種將幾何思考化為代數運算的嘗試.從代數學家們的角度來講,這當然是
對幾何學的一個重大突破或者說一次重大的沖擊,如果我們來比較Newton和Leibniz在分
析方面的工作,我們會發現他們屬於不同的傳統,Newton基本上是一個幾何學家而Le1bn
iz基本土是一個代數學家,這其中有著很深刻的道理.對於Newton而言,幾何學,或者是
由他發展起來的微積分學,都是用來描述自然規律的數學嘗試.他關心的是在很廣泛意義
下的物理,以及幾何世界中的物理.在他看來,如果有人想了解事物,他就得用物理世界
的觀點來思?#####眉負瓮枷蟮墓鄣憷純創彼⒄刮⒒值氖焙潁胍⒄溝氖?
微積分的一種能盡可能貼近隱藏在其後的物理內蘊的表現形式.所以他用的是幾何論證,
因為這樣可以與實際意義保持密切關系,另一方面,Leibniz有一個目標,一個雄心勃勃
的目標,那就是形式化整個數學,將之變成一個龐大的代數機器.這與Newton的途徑截然
不同,並且二者有很多不同的記號.正如我們所知道的,在Newton和Leibniz之間的這場
大爭論中,Leibniz的記號最後得勝.我們現在還沿用他的記號來寫偏導數.Newton的精
神尚在,但被人們埋葬了很長時間.
在十九世紀末期,也就是一百年前,Poincaré和Hilbert是兩個主要人物.我在前面
已經提到過他們了,並且可以粗略地講,他們分別是Newton和Leibniz的傳人.Poincaré
的思想更多的是幾何和拓撲的精神,他用這些思想作為他的基本洞察工具.Hilbert更多
的是一個形式主義者,他要的是公理化,形式化,並且要給出嚴格的,形式的描述.雖然
任何一個偉大的數學家都不能輕易地被歸到哪一類中去,但是,很清楚地,他們屬於不同
的傳統.
當准備這個報告的時候,我想我應該寫下我們目前這一代中能夠繼承這些傳統的具有
代表性的人的名字.談論還健在的人是十分困難的——誰該放在這張名單上呢?接著我又
暗自思忖:有誰會介意被放在這么一張著名的名單的哪一邊呢?於是我選擇了兩個名字A
rnoldBourbaki,前者是Poincaré-Newton傳統的繼承人,而後者,我認為,是Hilber
t最著名的接班人.Arnold毫不含糊地認為:他的力學和物理的觀點基本上是幾何的,是
源自於Newton的;以為存在處於二者之間的東西,除了象Riemann(他確實跟兩者都有偏
離)等少數人之外,都是一種誤解.Bourbaki努力繼續Hilbert的形式化的研究,將數學
公理化和形式化推向了一個令人矚目的范圍並取得了一些成功.每一種觀點都有它的優點
,但是它們之間很難調和.
讓我來解釋一下我自己是如何看待幾何和代數之間的不同.幾何學當然講的是空間,
這是毫無疑問的.如果我面對這間房間里的聽眾,我可以在一秒中內或者是一微秒內看到
很多,接收到大量的信息,當然這不是一件偶然的事件.我們大腦的構造與視覺有著極其
重要的關系.我從一些從事神經生理學的朋友那裡了解到,視覺佔用了大腦皮層的百分之
八十或九十.在大腦中大約有十七個中樞,每一個中樞專門用來負責視覺活動的不同部分
:有些部分涉及的是垂直方向的,有些部分與水平方向有關,有些部分是關於色彩和透視
的,最後有些部分涉及的是所見事物的具體含義和解說.理解並感知我們所看到的這個世
界是我們人類發展進化的一個非常重要的部分.因此空間直覺(spatial intuition)或者
空間知覺(spatial perception)是一種非常強有力的工具,也是幾何學在數學上佔有如此
重要位置的原因,它不僅僅對那些明顯具有幾何性質的事物可以使用,甚至對那些沒有明
顯幾何性質的事物也可以使用.我們努力將它們歸結為幾何形式,因為這樣可以讓我們使
用我們的直覺.我們的直覺是我們最有力的武器.特別是在向學生或是同事講解一種數學
時可以看得很清楚.當你講解一個很長而且很有難度的論證,最後使學生明白了.學生這
時會說些什麼呢?他會說「我看到了(我懂了)!」在這里看見與理解是同義詞,而且我
們還可以用「知覺」這個詞來同時形容它們,至少這在英語里是對的,把這個現象與其他
語言作對比同樣有趣.我認為有一點是很基本的:人類通過這種巨大的能力和視覺的瞬間
活動獲取大量的信息,從而得以發展,而教學參與其中並使之完善.
在另一方面(也許有些人不這樣認為),代數本質上涉及的是時間.無論現在做的是
哪一類代數,都是一連串的運算被一個接著一個羅列出來,這里「一個接著一個」的意思
是我們必須有時間的概念.在一個靜態的宇宙中,我們無法想像代數,但幾何的本質是靜
態的:我可以坐在這里觀察,沒有什麼變化,但我仍可以繼續觀察.然而,代數與時間有
關,這是因為我們有一連串的運算,這里當我談到「代數」時,我並不單單指現代代數.
任何演算法,任何計算過程,都是一個接著一個地給出一連串步驟,現代計算機的發展使這
一切看得很清楚.現代計算機用一系列0和1來反映其信息並由此給出問題的答案.
代數涉及的是時間的操作,而幾何涉及的是空間.它們是世界互相垂直的兩個方面,
並且它們代表數學中兩種不同的觀念.因此在過去數學家們之間關於代數和幾何相對重要
性的爭論或者對話代表了某些非常非常基本的事情.
當然只是為了論證是哪一邊輸了,哪一邊勝利了,這並不值得.當我考慮這個問題時
,有一個形象的類比:「你願意成為一個代數學家還是一個幾何學家?」這個問題就象問
:「你願意是聾子還是瞎子?」一樣.如果人的眼睛盲了,就看不見空間;如果人的耳朵
聾了,就無法聽見,聽覺是發生在時間之中的,總的來說,我們還是寧願二者都要.
在物理學,也有一個類似的、大致平行的關於物理概念和物理實驗之間的劃分.物理
學有兩個部分:理論——概念,想法,單詞,定律——和實驗儀器.我認為概念在某種廣
義的意義下是幾何的,這是因為它們涉及的是發生在真實世界的事物.另一方面,實驗更
象一個代數計算.人們做事情總要花時間,測定一些數,將它們代入到公式中去.但是在
實驗背後的基本概念卻是幾何傳統的一部分.
將上述二分叉現象用更哲學或者更文學的語言來說,那就是對幾何學家而言,代數就
是所謂的「浮士德的奉獻」.正如大家所知道的,在歌德的故事裡,浮士德通過魔鬼可以
得到他所想要的(就是一個漂亮女人的愛),其代價是出賣他的靈魂,代數就是由魔鬼提
供給數學家的供品.魔鬼會說:「我將給你這個有力的機器,它可以回答你的任何問題.
你需要做的就是把你的靈魂給我:放棄幾何,你就會擁有這個威力無窮的機器」(現在可
以把它想像成為一台計算機!).當然我們希望同時擁有它們,我們也許可以欺騙魔鬼,假
裝我們出賣靈魂,但不真地給它.不過對我們靈魂的威脅依然存在,這是因為當我們轉入
代數計算時,本質上我們會停止思考,停止用幾何的觀念來考慮問題,不再思考其含義.
在這里我談論代數學家的話重了一些,但是基本土,代數的目標總是想建立一個公式
,把它放到一個機器中去,轉動一下把手就可以得到答案.也就是拿來一個有意義的東西
,把它化成一個公式,然後得到答案.在這樣的一個過程中,人們不再需要思考代數的這
些不同階段對應的幾何是什麼.就這樣,洞察力丟掉了,而這在那些不同的階段都是非常
重要的.我們絕不能放棄這些洞察力!最終我們還是要回到這上面來的,這就是我所談到
的浮士德的奉獻.我肯定這種講法尖銳了一點.
幾何和代數的這種選擇導致能融合二者的一些交叉課題的產生,並且代數和幾何之間
的區別也不象我講的那樣直截了當和朴實無華.例如,代數學家們經常使用圖式(diagra
m).而除了幾何直覺,圖式又能是什麼呢?
通用的技術
現在我不想再談論太多就內容來劃分的主題,而想談談那些依照已經使用的技術和常
見方法所確定的主題,也就是我想描述一些已經廣泛應用於眾多領域的常見方法.第一個
就是:
同調論
歷史上同調論是作為拓撲學的一個分支而發展起來的.它涉及到以下情形.現有一個
復雜的拓撲空間,我們想從中得到它的一些簡單信息如計算它的洞或者類似事物的個數,
得到某些與之聯系的可加的線性不變數等.這是一種在非線性條件下關干線性不變數的構
造.從幾何的角度來看,閉鏈可加可減,這樣就得到了所謂的一個空間的同調群.同調論
,作為一種從拓撲空間獲取某些信息的基本代數工具,是在本世紀上半葉發現的.這是一
種從幾何中獲益匪淺的代數.
同調概念也出現在其他一些方面.其另一個源頭可以追溯到Hilbert及其關於多項式
的研究中,多項式是非線性的函數,它們相乘可以得到更高次數的多項式.正是Hilbert
那偉大的洞察力促使他來討論「理想」,具有公共零點的多項式的線性組合.他要尋找這
些理想的生成元.生成元可能有很多.他審視它們之間的關系以及關系之間的關系.於是
他得到這些關系的一個分層譜系,這就是所謂的「Hilbert合系」.Hilbert的這個理論是
一種非常復雜的方法,他試圖將一個非線性的情形(多項式的研究)化為線性情形.本質
上來講,Hilbert構造了一個線性關系的復雜體系.能夠把象多項式這樣的非線性事物的
某些信息納入其中.
在拓撲學方面,Hirzebruch和我照搬了這些思想並且將它們應用到一個純粹的拓撲范
疇內.從某種意義下來說,如果Grothendieck的工作與Hilbert在合系方面的工作有關,
那麼我們的工作更接近於Riemann-Poincaré在同調方面的工作,我們用的是連續函數,
而他用的是多項式.K-理論也在橢圓運算元的指標理論和線性分析的研究中起了重要作用.
從另外一個不同的角度,Milnor,Quillen和其他人發展了K-理論的代數方面,這在
數論的研究中有著潛力巨大的應用.沿著這個方向的發展導致了許多有趣問題的產生.
② 廖世俊的研究
(1)原創性地提出了一種新的求解非線性微分方程的解析近似方法,即「同倫分析方法」,是「同倫分析方法」的奠基人和創建者。「同倫分析方法」的有效性與所求解問題是否含有小參數無關,從根本上克服了被認為是「20世紀理論和應用力學十大進展」之一的「奇異攝動方法」對小參數的強烈依賴性。「同倫分析方法」的適用范圍更廣,已被成功用於求解本領域一些經典難題,被中、美、加等十幾個國家的許多研究者採用。
(2)應用「同倫分析方法」首次從理論上獲得定常共振波系,發現其存在多解;並首次用物理實驗證實該定常共振波系之存在。理論與實驗擬合良好。
(3)提出了Clean Numerical Simulation (CNS), 首次(應用超級計算機和MP高精度數據)獲得 Lorenz 方程[0,10000]區間收斂的混沌解;通過高精度地計算3體混沌運動,揭示了微觀不確定性與宏觀隨機性之聯系,發現微觀不確定性會傳播到宏觀,即(某些)宏觀隨機性起源於微觀不確定性。
(4)提出「統一波浪模型」, 描述有限水深中的行進水波。該模型不僅能給出所有傳統的光滑行進波,而且還可以描述有限水深中的非光滑孤立波。
③ 什麼是同倫方程
同餘,是極具有思想方法意義的。這個需要反思運用體會的。可以做很深入的解釋,及推廣。
這是我以前的回答,希望對你有幫助。
對於一組整數Z,Z里的每一個數都除以同一個數m,得到的余數可以為0,1,2,...m-1,共m種。我們就以余數的大小作為標准將Z分為m類。每一類都有相同的余數。
在每一類下的任意兩個數a,b都關於m同餘。記為:
a=b(mod m)
用集合論的語言,嚴格地來說就是:
對於整數集的任意一個子集Z,對於任意一個屬於Z的元素n,n都除以m,得到的余數的余數可以為0,1,2,...m-1,共m種。我們就以余數的大小作為標准,將Z分為m個互不相交的m個子集Z1,Z2,...Zm-1。
對於Zi的任意兩個元素a,b,都關於m同餘。記為
要停電了,我明天再給你解答吧。
a=b(mod m)
其實還可以用更數學化的語言來表達。
同餘的運用
請問各位叔叔阿姨!若一個數除3餘2,除5餘3,除7餘4,除11餘5,求它的最小正整數?
懸賞分:0 - 解決時間:2006-2-21 21:45
最好有解題過程,謝謝!!
問題補充:368才對!!
提問者: rodger001 - 試用期 一級
最佳答案
368
詳細解題過程不容易表達清晰。看來是剛注冊的,怪不得沒有懸賞分。
那就講思路吧。依次滿足下面四個條件:
1.先滿足除11餘5,易知為16
2.再滿足除7餘4,16最多再加6個11,最後為60
3.再滿足除5餘3,60最多再加4個11×7, 最後為368
4.再滿足除3餘2,最後為368。
判斷條件是否滿足時,用同餘運算可簡化。
如除5時,77與2同餘,60再加4個2(或4個77),就能單獨滿足除5餘3。這里60+4×77與60+4×2同餘。但60+4×77是在滿足前兩個條件的前提下進行的。
回答者:林錦1983 - 見習魔法師 二級 2-20 23:15
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提問者對於答案的評價:
這是家教中遇到的,原來我讀書的時候沒有學這東西!謝謝,但上面錯了一個字,再加6個11應該是再加4個11.
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評價已經被關閉 目前有 4 個人評價
好
75% (3) 不好
25% (1)
對最佳答案的評論
我說的是估算最大計算量,最多再加6個11,實際上只要加4個11就行了。 同餘運算是數論的基礎知識,一般初中奧賽教材就有了。其實「同餘概念」的基礎是抽象分類法。這里僅抽取「余數的大小」這一抽象特性,作為分類的標准。
④ 同倫演算法的簡介與意義!急!
逆變器消諧PWM模型的同倫演算法研究?
計算機優化同倫演算法 暫缺簡介....
【圖書目錄】-計算機優化同倫演算法第一章緒論1.1優化模型與演算法1.2計算機優化演算法簡述1.3同倫演算法與路徑跟蹤1.4計算機可視化方法第二章無約束優化的計算機解法2.1塊鬆弛BFGS方法2.2直接三角分解修正法2.3可分問題計算格式第三章Min-Max問題的同倫演算法3.1凝聚函數的再討論3.2凝聚同倫演算法3.3同倫演算法可視化第四章約束優化的計算機解法4.1路徑跟蹤內點演算法4.2凝聚中心跟蹤演算法4.3凝聚約束同倫演算法附錄計算機程序清單1.無約束優化直接LDL修正演算法的FORTRAN語言程序2.Min-Max問題凝聚同倫演算法的FORTRAN語言程序3.凝聚同倫演算法可視化的C語言程序4.非線性(多目標)規劃凝聚中心跟蹤演算法的C語言程序參考文獻 圖書總目錄古籍 文學藝術 人文社科 經濟管理 生活時尚 旅遊理論 科學技術 教育 少兒 工具書 網路原創 -
⑤ 「書同文,車同軌,行同倫」出自哪篇文言文
其實此語的最早出處是東周春秋時期的《禮記·中庸》第二十八章:"今天下車同軌,書同文,行同倫。"
子曰:「愚而好自用,賤而好自專。生乎今之世,反古之道。如此者災及其身者也。」
非天子不議禮,不制度,不考文。
今天下,車同軌,書同文,行同倫。
雖有其位,苟無其德,不敢作禮樂焉。雖有其德,苟無其位,亦不敢作禮樂焉。
子曰,「吾說夏禮,杞不足徵也。吾學殷禮,有宋存焉。吾學周禮,今用之。吾從周。」
關於「書同文,車同軌,行同倫」,從《易經》、《尚書》、《詩經》、《春秋三傳》等文獻和地下出土的竹簡、金石銘文來看,最遲在西周以後,漢字的符號、文法和文章結構,就是統一的。秦朝李斯作小篆,程邈作隸書,只是書寫方法的簡化,並不是首次統一文字。何況,程邈作隸書,至今尚無實物證明,現在發現最早的是漢隸而非秦隸。關於「車同軌」,史書上說的是秦始皇修馳道,統一車輛軌道的寬度。可是,秦始皇並不是「修馳道」的創始者。西周就有國家一級的道路,稱為「周道」或者「周行」。
車同軌:所有的馬車兩車輪的間距要相等,
書同文:寫書信或文章時用相同的文字。
行同倫:以法為教,並在各地設置專掌狡猾的鄉官, 名曰「三老」 統一人們的文化心理
⑥ 創建於20 世紀的主要數學分支有哪些請闡述它們各自的主要思想方法!
基礎數學:
數論:古典數論 解析數論,代數數論,超越數論, 模型式與模函數論
代數學:線性代數 群論, 群表示論, 李群, 李代數, 代數群, 典型群, 同調代數, 代數K理論, Kac-Moody代數, 環論, 代數, 體, 格, 序結構. 域論和多項式 拓撲群 矩陣論 向量代數 張量代數
幾何學:(整體,局部)微分幾何, 代數幾何, 流形上的分析, 黎曼流形與洛侖茲流形, 齊性空間與對稱空間, 調和映照, 子流形理論, 楊--米爾斯場與纖維叢理論, 辛流形. 凸幾何與離散幾何 歐氏幾何 非歐幾何 解析幾何
拓撲學:微分拓撲, 代數拓撲, 低維流形, 同倫論, 奇點與突變理論, 點集拓撲. 流形和胞腔復形 大范圍分析,微分拓撲 同調論復流形
函數論: 函數逼近論.
泛函分析:(非)線性泛函分析, 運算元理論, 運算元代數, 差分與泛函方程, 廣義函數. 變分法,積分變換 積分方程
微分方程:泛函微分方程, 特徵與譜理論及其反問題, 定性理論, 穩定性理論、分支理論,混沌理論, 奇攝動理論,動力系統, 常微分方程非線性橢圓(和拋物)方程,偏微分方程, 微局部分析與一般偏微分運算元理論, 調混合型及其它帶奇性的方程, 非線性發展方程和無窮維動力系統.
在泛函分析方面,包括象Kasparov在內的許多人的工作將連續的K-理論推廣到非交換
的C*-代數情形.一個空間上的連續函數在函數乘積意義下形成一個交換代數.但是在其
他情形下,自然地產生了類似的關於非交換情形的討論,這時,泛函分析也就自然而然地
成為了這些問題的溫床.
因此,K-理論是另外一個能夠將相當廣泛的數學的許多不同方面都能用這種比較簡單
的公式來處理的領域,盡管在每一個情形下,都有很多特定於該方面且能夠連接其他部分
的非常困難的,技巧性很強的問題.K-理論不是一個統一的工具,它更象是一個統一的框
架,在不同部分之間具有類比和相似.
這個工作的許多內容已經被Alain Connes推廣到「非交換微分幾何」.
非常有趣的是,也就是在最近,Witten通過他在弦理論方面(基礎物理學的最新思想
)的工作發現許多很有趣的方法都與K-理論有關,並且K-理論看起來為那些所謂的「守恆
量」提供了一個很自然的「家」.雖然在過去同調論被認為是這些理論的自然框架,但是
現在看起來K一理論能提供更好的答案.
李群
另一個不單單是一項技術、而且是具有統一性的概念是李群.現在說起李群,我們基
本上就是指正交群,酉群,辛群以及一些例外群,它們在二十世紀數學歷史中起了非常重
要的作用.它們同樣起源於十九世紀.SophusLie是一位十九世紀的挪威數學家.正如很
多人所講的那樣,他和Fleix Klein,還有其他人一起推動了「連續群理論」的發展.對
Klein而言,一開始,這是一種試圖統一處理Euclid幾何和非歐幾何這兩種不同類型幾何
的方法.雖然這個課題源於十九世紀,但真正起步卻是在二十世紀,作為一種能夠將許多
不同問題歸並於其中來研究的統一性框架,李群理論深深地影響了二十世紀.
我現在來談談Klein思想在幾何方面的重要性.對於Klein而言,幾何就是齊性空間,
在那裡,物體可以隨意移動而保持形狀不變,因此,它們是由一個相關的對稱群來控制的
.Euclid群給出Euclid幾何而雙曲幾何源於另一個李群.於是每一個齊性幾何對應一個不
同的李群.但是到了後來,隨著對Riemann的幾何學工作的進一步發展,人們更關心那些
不是齊性的幾何,此時曲率隨著位置的變化而變化,並且空間不再有整體對稱性,然而,
李群仍然起著重要的作用,這是因為在切空間中我們有Euclid坐標,以至於李群可以出現
在一種無窮小的層面上.於是在切空間中,從無窮小的角度來看,李群又出現了,只不過
由於要區分不同位置的不同點,我們需要用某種可以處理不同李群的方式來移動物體.這
個理論是被Eile Cartan真正發展起來的,成為現代微分幾何的基石,該理論框架對於Ei
nstein的相對論也起著基本的作用.當然Einstein的理論極大地推動了微分幾何的全面發
展.
進入二十世紀,我前面提到的整體性質涉及到了在整體層面上的李群和微分幾何.一
個主要的發展是給出所謂的「示性類」的信息,這方面標志性的工作是由Borel和Hirzeb
ruch給出的,示性類是拓撲不變數並且融合三個關鍵部分:李群,微分幾何和拓撲,當然
也包含與群本身有關的代數.
在更帶分析味的方向上,我們得到了現在被稱為非交換調和分析的理論.這是Fouri
er理論的推廣,對於後者,Fourier級數或者是Fourier積分本質上對應於圓周和直線的交
換李群,當我們用更為復雜的李群代替它們時,我們就可以得到一個非常漂亮、非常精巧
並且將李群表示理論和分析融為一體的理論.這本質上是Harish-Chandra一生的工作.
在數論方面,整個「Lang1ands綱領」,現在許多人都這樣稱呼它,緊密聯系於Haris
h-Chandra理論,產生於李群理論之中.對於每一個李群,我們都可以給出相應的數論和
在某種程度實施Langlands綱領.在本世紀後半葉,代數數論的一大批工作深受其影響.
模形式的研究就是其中一個很好的例證,這還包括Andrew Wiles在Fermat大定理方面的工
作.
也許有人認為李群只不過在幾何范疇內特別重要而已,因為這是出於連續變數的需要
.然而事實並非如此,有限域上的李群的類似討論可以給出有限群,並且大多數有限群都
是通過這種方式產生的.因此李群理論的一些技巧甚至可以被應用到有限域或者是局部域
等一些離散情形中.這方面有許多純代數的工作,例如與George Lusztig名字聯系在一起
的工作.在這些工作中,有限群的表示理論被加以討論,並且我已經提到的許多技術在這
里也可以找到它們的用武之地.
有限群
上述討論已把我們帶到有限群的話題,這也提醒了我:有限單群的分類是我必須承認
的一項工作.許多年以前,也就是在有限單群分類恰要完成之時,我接受了一次采訪,並
且我還被問道我對有限單群分類的看法,我當時很輕率地說我並不認為它有那麼重要.我
的理由是有限單群分類的結果告訴我們,大多數單群都是我們已知的,還有就是一張有關
若干例外情形的表.在某種意義下,這只不過是結束了一個領域.而並沒有開創什麼新東
西,當事物用結束代替開始時,我不會感到很興奮.但是我的許多在這一領域工作的朋友
聽到我這么講,理所當然地會感到非常非常不高興,我從那時起就不得不穿起「防彈衣」
了.
在這項研究中,有一個可以彌補缺點的優點.我在這里實際上指的是在所有的所謂「
散在群」(sporadic groups)中,最大的被賦予了「魔群」名字的那一個.我認為魔群的
發現這件事本身就是有限單群分類中最叫人興奮的結果了.可以看出魔群是一個極其有意
思的動物而且現在還處於被了解之中.它與數學的許多分支的很大一部分有著意想不到的
聯系,如與橢圓模函數的聯系,甚至與理論物理和量子場論都有聯系.這是分類工作的一
個有趣的副產品.正如我所說的,有限單群分類本身關上了大門,但是魔群又開啟了一扇
大門.
物理的影響
現在讓我把話題轉到一個不同的主題,即談談物理的影響.在整個歷史中,物理與數
學有著非常悠久的聯系,並且大部分數學,例如微積分,就是為了解決物理中出現的問題
而發展起來的.在二十世紀中葉,隨著大多數純數學在獨立於物理學時仍取得了很好的發
展,這種影響或聯系也許變得不太明顯.但是在本世紀最後四分之一的時間里,事情發生
了戲劇性的變化,讓我試著簡單地評述一下物理學和數學,尤其是和幾何的相互影響.
在十九世紀,Hamilton發展了經典力學,引入了現在稱為Hamilton量的形式化.經典
力學導出現在所謂的「辛幾何」.這是幾何的一個分支,雖然很早已經有人研究了,但是
實際上直到最近二十年,這個課題才得到真正的研究.這已經是幾何學非常豐富的一部分
.幾何學,我在這里使用這個詞的意思是指,它有三個分支:Riemann幾何,復幾何和辛
幾何,並且分別對應三個不同類型的李群.辛幾何是它們之中最新發展起來的,並且在某
種意義下也許是最有趣的,當然也是與物理有極其緊密聯系的一個,這主要因為它的歷史
起源與Hamilton力學有關以及近些年來它與量子力學的聯系.現在,我前面提到過的、作
為電磁學基本線性方程的Maxwell方程,是Hodge在調和形式方面工作和在代數幾何中應用方面工作的源動力.這是一個非常富有成果的理論,並且自從本世紀三十年代以來已經成為幾何學中的許多工作的基礎.
我已經提到過廣義相對論和Einstein的工作.量子力學當然更是提供了一個重要的實
例.這不僅僅體現在對易關繫上,而且更顯著地體現在對Hilbert空間和譜理論的強調上
.
以一種更具體和明顯的方式,結晶學的古典形式是與晶體結構的對稱性有關的.第一
個被研究的實例是發生在點周圍的有限對稱群,這是鑒於它們在結晶學中的應用.在本世
紀中,群論更深刻的應用已經轉向與物理的關系,被假設用來構成物質的基本粒子看起來
在最小的層面上有隱藏的對稱性,在這個層面上,有某些李群在此出沒,對此我們看不見
,但是當我們研究粒子的實際行為時,它們的對稱性就顯現無遺了.所以我們假定了一個
模型,在這個模型當中,對稱性是一個本質性的要素,而且目前那些很普遍的不同理論都
有一些象SU(2)和SU(3)那樣的基本李群融入其中並構成基礎的對稱群,因此這些李群看起
來象是建設物質大廈的磚石.
並不是只有緊李群才出現在物理中,一些非緊李群也出現在物理中,例如Lorentz群.
正是由物理學家第一個開始研究非緊李群的表示理論的.它們是那些能夠發生在Hilbert
空間的表示,這是因為,對於緊群而言,所有不可約表示都是有限維的,而非緊群需要的
是無窮維表示,這也是首先由物理學家意識到的.
在二十世紀的最後25年裡,正如我剛剛完成闡述的,有一種巨大的從物理學的新思想
到數學的滲透,這也許是整個世紀最引人注目的事件之一,就這個問題本身,也許就需要
一個完整的報告,但是,基本上來講,量子場論和弦理論已經以引人注目的方式影響了數
學的許多分支,得到了眾多的新結果、新思想和新技術.這里,我的意思是指物理學家通
過對物理理論的理解已經能夠預言某些在數學上是對的事情了.當然,這不是一個精確的
證明,但是確有非常強有力的直覺、一些特例和類比所支持.數學家們經常來檢驗這些由
物理學家預言的結果,並且發現它們基本上是正確的,盡管給出證明是很困難的而且它們
中的許多還沒有被完全證明.
所以說沿著這個方向,在過去的25年裡取得了巨大的成果.這些結果是極其細致的.
這並不象物理學家所講的「這是一種應該是對的東西」.他們說:「這里有明確的公式,
還有頭十個實例(涉及超過12位的數字)」.他們會給出關於復雜問題的准確答案,這些
決不是那種靠猜測就能得到的,而是需要用機器計算的東西,量子場論提供了一個重要的
工具,雖然從數學上來理解很困難,但是站在應用的角度,它有意想不到的回報.這是最
近25年中真正令人興奮的事件. 在這里我列一些重要的成果:SimonDona1dson在四維流形方面的工作;Vaughan-Jon es在扭結不變數方面的工作;鏡面對稱,量子群;再加上我剛才提到的「魔群」 這個主題到底講的是什麼呢?正如我在前面提到過的一樣,二十世紀見證了維數的一種轉換並且以轉換為無窮維而告終,物理學家超越了這些,在量子場論方面,他們真正試圖對廣泛的無窮維空間進行細致的研究,他們處理的無窮維空間是各類典型的函數空間,它們非常復雜,不僅是因為它們是無窮維的,而且它們有復雜的代數、幾何以及拓撲,還有圍繞其中的很大的李群,即無窮維的李群,因此正如二十世紀數學的大部分涉及的是幾何、拓撲、代數以及有限維李群和流形上分析的發展,這部分物理涉及了在無窮維情形下的類似處理.當然,這是一件非常不同的事情,但確有巨大的成功.
讓我更詳盡地解釋一下,量子場論存在於空間和時間中.空間的真正的意義是三維的
,但是有簡化的模型使我們將空間取成一維.在一維空間和一維時間里,物理學家遇到的
典型事物,用數學語言來講,就是由圓周的微分同胚構成的群或者是由從圓周到一個緊李
群的微分映射構成的群.它們是出現在這些維數里的量子場論中的兩個非常基本的無窮維
李群的例子,它們也是理所當然的數學事物並且已經被數學家們研究了一段時間.
在這樣一個1+1維理論中,我們將時空取成一個Riemann曲面並且由此可以得到很多
新的結果.例如,研究一個給定虧格數的Riemann曲面的模空間是個可以追溯到上個世紀
的古典課題.而由量子場論已經得到了很多關於這些模空間的上同調的新結果.另一個非
常類似的模空間是一個具有虧格數g的Riemann曲面上的平坦G-叢的模空間.這些空間都是非常有趣的並且量子場論給出關於它們的一些精確結果.特別地,可以得到一些關於體積的很漂亮的公式,這其中涉及到Zeta函數的取值.
另一個應用與計數曲線(counting curve)有關.如果我們來看給定次數和類型的平面
代數曲線,我們想要知道的是,例如,經過那麼多點究竟有多少曲線,這樣我們就要面臨
代數幾何的計數問題,這些問題在上個世紀一直是很經典的.而且也是非常困難的.現在
它們已經通過被稱為「量子上同調」的現代技術解決了,這完全是從量子場論中得到的.
或者我們也可以接觸那些關於不在平面上而在彎曲族上的曲線的更加困難的問題,這樣我
們得到了另一個具有明確結果的被稱為鏡面對稱的美妙理論,所有這些都產生於1+1維量
子場論.
如果我們升高一個維數,也就是2-維空間和1-維時間,就可以得到Vaughan-Jones的
扭結不變數理論.這個理論已經用量子場論的術語給予了很美妙的解釋和分析.
量子場論另一個結果是所謂的「量子群」.現在關於量子群的最好的東西是它們的名
字.明確地講它們不是群!如果有人要問我一個量子群的定義,我也許需要用半個小時來
解釋,它們是復雜的事物,但毫無疑問它們與量子理論有著很深的聯系它們源於物理,而
且現在的應用者是那些腳踏實地的代數學家們,他們實際上用它們進行確定的計算.
如果我們將維數升得更高一些,到一個全四維理論(三加一維),這就是Donaldson
的四維流形理論,在這里量子場論產生了重大影響.特別地,這還導致Seiberg和Witten
建立了他們相應的理論,該理論建立在物理直覺之上並且也給出許多非同尋常的數學結果
.所有這些都是些突出的例子.其實還有更多的例子.
接下來是弦理論並且這已經是過時的了!我們現在所談論的是M一理論,這是一個內
容豐富的理論,其中同樣有大量的數學,從關於它的研究中得到的結果仍有待於進一步消
化並且足可以讓數學家們忙上相當長的時間.
歷史的總結
我現在作一個簡短的總結.讓我概括地談談歷史:數學究竟發生了什麼?我相當隨意
地把十八世紀和十九世紀放在了一起,把它們當做我們稱為古典數學的時代,這個時代是
與Euler和Gauss這樣的人聯系在一起的,所有偉大的古典數學結果也都是在這個時代被發
現和發展的.有人也許認為那幾乎就是數學的終結了,但是相反地,二十世紀實際上非常
富有成果,這也是我一直在談論的.
二十世紀大致可以一分為二地分成兩部分.我認為二十世紀前半葉是被我稱為「專門
化的時代」,這是一個Hilbert的處理辦法大行其道的時代,即努力進行形式化,仔細地
定義各種事物,並在每一個領域中貫徹始終.正如我說到過的,Bourbaki的名字是與這種
趨勢聯系在一起的.在這種趨勢下,人們把注意力都集中於在特定的時期從特定的代數系
統或者其它系統能獲得什麼.二十世紀後半葉更多地被我稱為「統一的時代」,在這個時
代,各個領域的界限被打破了,各種技術可以從一個領域應用到另外一個領域,並且事物
在很大程度上變得越來越有交叉性.我想這是一種過於簡單的說法,但是我認為這簡單總
結了我們所看到的二十世紀數學的一些方面.
二十一世紀會是什麼呢?我已經說過,二十一世紀是量子數學的時代,或者,如果大
家喜歡,可稱為是無窮維數學的時代.這意味著什麼呢?量子數學的含義是指我們能夠恰
當地理解分析、幾何、拓撲和各式各樣的非線性函數空間的代數,在這里,「恰當地理解
」,我是指能夠以某種方式對那些物理學家們已經推斷出來的美妙事物給出較精確的證明
. 有人要說,如果用天真幼稚的方式(naive way)來研究無窮維並問一些天真幼稚的問
題,通常來講,只能得到錯誤的答案或者答案是無意義的,物理的應用、洞察力和動機使
得物理學家能夠問一些關於無窮維的明智的問題,並且可以在有合乎情理的答案時作一些
非常細致的工作,因此用這種方式分析無窮維決不是一件輕而易舉的事情.我們必須沿著
這條正確的道路走下去.我們已經得到了許多線索,地圖已經攤開了:我們的目標已經有
了,只不過還有很長的路要走.
還有什麼會發生在二十一世紀?我想強調一下Connes的非交換微分幾何.Alain Con
nes擁有這個相當宏偉的統一理論.同樣,它融合了一切.它融合了分析、代數、幾何、
拓撲、物理、數論,所有這一切都是它的一部分.這是一個框架性理論,它能夠讓我們在
非交換分析的范疇里從事微分幾何學家通常所做的工作,這當中包括與拓撲的關系.要求
這樣做是有很好的理由的,因為它在數論、幾何、離散群等等以及在物理中都有(潛力巨
大的或者特別的)應用.一個與物理有趣的聯系也剛剛被發現.這個理論能夠走多遠,能
夠得到什麼結果,還有待進一步觀察.它理所當然地是我所期望的至少在下個世紀頭十年
能夠得到顯著發展的課題,而且找到它與尚不成熟的(精確)量子場論之間的聯系是完全
有可能的.
我們轉到另一個方面,也就是所謂的「算術幾何」或者是Arakelov幾何,其試圖盡可
能多地將代數幾何和數論的部分內容統一起來.這是一個非常成功的理論.它已經有了一
個美好的開端,但仍有很長的路要走.這又有誰知道呢?當然,所有這些都有一些共同點.我期待物理學能夠將它的影響遍及所有地方,甚至是數論:Andrew Wiles不同意我這樣說,只有時間會說明一切.
這些是我所能看到的在下個十年裡出現的幾個方面,但也有一些難以捉摸的東西:返
回至低維幾何.與所有無窮維的富有想像的事物在一起,低維幾何的處境有些尷尬.從很
多方面來看,我們開始時討論的維數,或我們祖先開始時的維數,仍留下某些未解之謎.
維數為2,3和4的對象被我們稱為「低」維的.例如Thurston在三維幾何的工作,目標就
是能夠給出一個三維流形上的幾何分類,這比二維理論要深刻得多.Thurston綱領還遠遠
沒有完成,完成這個綱領當然將是一個重要的挑戰. 在三維中另外一個引人注目的事件是Vaughan-Jones那些思想本質上來源於物理的工作.這給了我們更多的關於三維的信息,並且它們幾乎完全不在Thurston綱領包含的信息之內.如何將這兩個方面聯系起來仍然是一個巨大的挑戰,但是最近得到的結果暗示兩者之間可能有一座橋,因此,整個低維的領域都與物理有關,但是其中實在有太多讓人琢磨 不透的東西.
最後,我要提一下的是在物理學中出現的非常重要的「對偶」.這些對偶,泛泛地來
講,產生於一個量子理論被看成一個經典理論時有兩種不同的實現.一個簡單的例子是經
典力學中的位置和動量的對偶.這樣由對偶空間代替了原空間,並且在線性理論中,對偶
就是Fourier變換.但是在非線性理論中,如何來代替Fourier變換是巨大的挑戰之一.數
學的大部分都與如何在非線性情形下推廣對偶有關.物理學家看起來能夠在他們的弦理論
和M一理論中以一種非同尋常的方式做到了這一點.他們構造了一個又一個令人嘆為觀止
的對偶實例,在某種廣義的意義下,它們是Fourier變換的無窮維非線性體現,並且看起
來它們能解決問題,然而理解這些非線性對偶性看起來也是下個世紀的巨大挑戰之一.
我想我就談到這里.這里還有大量的工作,並且我覺得象我這樣的一個老人可以和你
們這么多的年輕人談談是一件非常好的事情;而且我也可以對你們說:在下個世紀,有大
量的工作在等著你們去完成.
數學物理:規范場論, 引力場論的經典理論與量子理論, 孤立子理論.
概率論:馬氏過程, 隨機過程, 隨機分析, 隨機場, 鞅論, 極限理論, 平穩過程, 概率論 統計學;
數理邏輯與數學基礎:遞歸論, 模型論, 證明論, 公理集合證, 數理邏輯 范疇論
組合數學:組合計數, 圖論.
分析學:序列、級數、可求和性 微積分 實變函數 抽象測度論 逼近與展開 特殊函數(單,多)復變函數論,調和分析, Fourier分析
⑦ 金融數學畢業論文題目怎麼定
1、倒向隨機微分方程數值方法與非線性期望在金融中的應用:g-定價機制及風險度量
2、分形市場中兩類衍生證券定價問題的研究
3、在機制轉換金融市場中投資者的最優消費和投資行為分析
4、商業銀行金融風險程度的模糊綜合評價
5、金融保險中的若干模型與分析
6、金融印鑒真偽識別新方法研究
7、基於區間分析的金融市場風險管理VaR計算方法研究
8、分形理論及其在金融市場分析中的應用
9、離散時間隨機區間值收益市場下的定價分析
10、金融學理論及其未來發展趨勢--轉向整合
11、微分方程數值解法及在數學建模中的應用
12、金融模糊模型與方法
13、模糊數學在儲蓄機構設置中的應用
14、金融市場中的時間變換方法及其應用
15、從數學走進生活的創新教育
16、為何經濟學無法預測金融危機
17、金融資產的離散過程動態風險度量研究
18、論金融衍生工具及在我國商業銀行信貸風險管理中的應用
19、基於VAR模型的江蘇省金融發展與經濟增長關系研究
20、貨幣危機預警模型研究
21、在銀行和金融業數據分析中應用數學規劃模型
22、隨機過程理論在期權定價中的應用
23、金融保險中的幾類風險模型
24、數學金融學中的期權定價問題
25、金融資產收益相關性及持續性研究
26、同倫分析方法在非線性力學和數學生物學中的應用
27、存貨質押融資的供應鏈金融服務研究
28、金融機構資產負債管理模型及在泉州銀行的應用
29、社保基金投資資本市場:理論探討、金融創新與投資運營
30、量子方案的金融資產投資最優組合選擇
31、房價調控的數學模型分析
32、基於小波分析的金融數據頻域分析
33、非線性數學期望下的隨機微分方程及其應用
34、競爭性電力市場中的金融工程理論與實證研究
35、小波理論及其在經濟金融數據處理中的應用
36、四種金融投資風險介紹
37、擴展的歐式期權定價模型研究
38、基於可疑金融交易識別的離群模式挖掘研究
39、華爾街的數學革命
40、遼寧城鄉金融發展差異對城鄉經濟增長影響的實證研究
41、衍生金融工具風險監控問題探析
42、金融危機之信用失衡
43、基於西部金融中心建設目標的成都金融人才需求預測研究
44、基於小波變換的金融時間序列奇異點識別模型與研究
45、我國區域金融中心發展路徑與模式研究
46、我國農村金融供給不足問題的探討
47、金融發展對江西經濟增長的影響
48、基於金融自由度的香港人民幣離岸市場反洗錢研究
49、商業銀行信貸市場的非對稱信息博弈及基於Agent的SWARM模擬
50、金融危機背景下企業並購投資決策體系研究
⑧ 同倫分析輔助線性運算元有大於0的嗎
【知識點】
若矩陣A的特徵值為λ1,λ2,...,λn,那麼|A|=λ1·λ2·...·λn
【解答】
|A|=1×2×...×n= n!
設A的特徵值為λ,對於的特徵向量為α。
則 Aα = λα
那麼 (A²-A)α = A²α - Aα = λ²α - λα = (λ²-λ)α
所以A²-A的特徵值為 λ²-λ,對應的特徵向量為α
A²-A的特徵值為 0 ,2,6,...,n²-n
【評注】
對於A的多項式,其特徵值為對應的特徵多項式。
線性代數包括行列式、矩陣、線性方程組、向量空間與線性變換、特徵值和特徵向量、矩陣的對角化,二次型及應用問題等內容。
⑨ 李天岩的主要成果
李天岩以一身病體在應用數學與計算數學幾個重要領域中作出了開創性工作,成就非凡。
他與約克的論文周期三蘊含混沌(Period three implies chaos) 在數學中第一次引人了混沌的概念;
他對烏倫(Stanislaw Ulam) 猜想的證明是動力系統不變測度計算研究之奠基性工作;
他與凱洛格(R. B. Kellogg)及約克關於計算布勞爾 (L. E. J. Brouwer) 不動點的思想和數值方法,開辟了現代同倫延拓演算法研究的新天地;
他和他的合作者們以及學生們關於代數特徵值問題以及一般多變數多項式系統同倫方法之廣泛、深入研究,為他贏得此領域世界領袖人物之一之稱號。
⑩ 怎樣用同倫不等式證明
比較法
比較法是證明不等式的最基本方法,具體有"作差"比較和"作商"比較兩種。基本思想是把難於比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當求證的不等式兩端是分項式(或分式)時,常用作差比較,當求證的不等式兩端是乘積形式(或冪指數式時常用作商比較)
例1已知a+b≥0,求證:a3+b3≥a2b+ab2
分析:由題目觀察知用"作差"比較,然後提取公因式,結合a+b≥0來說明作差後的正或負,從而達到證明不等式的目的,步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負。
∵(a3+b3)(a2b+ab2)
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)
證明: =(a-b)2(a+b)
又∵(a-b)2≥0a+b≥0
∴(a-b)2(a+b)≥0
即a3+b3≥a2b+ab2
例2 設a、b∈R+,且a≠b,求證:aabb>abba
分析:由求證的不等式可知,a、b具有輪換對稱性,因此可在設a>b>0的前提下用作商比較法,作商後同"1"比較大小,從而達到證明目的,步驟是:10作商20商形整理30判斷為與1的大小
證明:由a、b的對稱性,不妨解a>b>0則
aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b
∵ab0,∴ab1,a-b0
∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba>1,又abba>0∴aabb>abba
練習1 已知a、b∈R+,n∈N,求證(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1)
基本不等式法
利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法,常用的基本不等式及 變形有:
(1)若a、b∈R,則a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時,取等號)
(2)若a、b∈R+,則a+b≥ 2ab (當且僅當a=b時,取等號)
(3)若a、b同號,則 ba+ab≥2(當且僅當a=b時,取等號)
例3 若a、b∈R, |a|≤1,|b|≤1則a1-b2+b1-a2≤1
分析:通過觀察可直接套用: xy≤x2+y22
證明: ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1
∴b1-a2+a1-b2≤1,當且僅當a1+b2=1時,等號成立
練習2:若 ab0,證明a+1(a-b)b≥3
綜合法
綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發,根據不等式性質推算出要證明不等式。
例4,設 a0,b0,a+b=1,證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252
證明:∵ a0,b0,a+b=1
∴ab≤14或1ab≥4
左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+[(a+b)2-2ab]+(a+b)2-2aba2b2
=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252
練習3:已知a、b、c為正數,n是正整數,且f (n)=1gan+bn+cn3
求證:2f(n)≤f(2n)
分析法
從理論入手,尋找命題成立的充分條件,一直到這個條件是可以證明或已經證明的不等式時,便可推出原不等式成立,這種方法稱為分析法。
例5:已知a0,b0,2ca+b,求證:c-c2-ab<a<c+c2-ab
分析:觀察求證式為一個連鎖不等式,不易用比較法,又據觀察求證式等價於 |a-c|<c2-ab也不適用基本不等式法,用分析法較合適。
要證c-c2-ab<a<c+c2-ab
只需證-c2-ab<a-c<c2-ab
證明: 即證 |a-c|<c2-ab
即證 (a-c)2<c2-ab
即證 a2-2ac<-ab
∵a>0,∴即要證 a-2c<-b 即需證2+b<2c,即為已知
∴ 不等式成立
練習4:已知a∈R且a≠1,求證:3(1+a2+a4)>(1+a+a2)2
放縮法
放縮法是在證明不等式時,把不等式的一邊適當放大或縮小,利用不等式的傳遞性來證明不等式,是證明不等式的重要方法,技巧性較強常用技巧有:(1)捨去一些正項(或負項),(2)在和或積中換大(或換小)某些項,(3)擴大(或縮小)分式的分子(或分母)等。
例6:已知a、b、c、d都是正數
求證: 1<ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b<2
分析:觀察式子特點,若將4個分式商為同分母,問題可解決,要商同分母除通分外,還可用放縮法,但通分太麻煩,故用放編法。
證明:∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b>ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1
又由ab<a+mb+m(0<a<b,m>0)可得:ba+b+c<b+da+b+c+dcb+c+d<c+aa+b+c+ddc+d+a<d+bc+d+a+dad+a+b<a+ca+b+c+d
∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b<b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2
綜上知:1<ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b<2
練習5:已知:a<2,求證:loga(a+1)<1
6換元法
換元法是許多實際問題解決中可以起到化難為易,化繁為簡的作用,有些問題直接證明較為困難,若通過換元的思想與方法去解就很方便,常用於條件不等式的證明,常見的是三角換元。
(1)三角換元:
是一種常用的換元方法,在解代數問題時,使用適當的三角函數進行換元,把代數問題轉化成三角問題,充分利用三角函數的性質去解決問題。
例7、若x、y∈R+,且 x-y=1 A=(x-1y)(y+1y)。1x,求證0<A<1
證明: ∵x,y∈R+, 且x-y=1,x=secθ , y=tanθ ,(0<θ<xy )
∴ A=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ
=1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ
=sinθ
∵0<θ<x2,∴ 0<s2mθ <1因此0<A<1
復習6:已知1≤x2+y2≤2,求證:12 ≤x2-xy+y2≤3
(2)比值換元:
對於在已知條件中含有若干個等比式的問題,往往可先設一個輔助未知數表示這個比值,然後代入求證式,即可。
例8:已知 x-1=y+12=z-23,求證:x2+y2+z2≥4314
證明:設x-1=y+12=z-23=k
於是x=k+1,y=zk-1,z=3k+2
把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2
=14(k+514)2+4314≥4314
反證法
有些不等式從正面證如果不好說清楚,可以考慮反證法,即先否定結論不成立,然後依據已知條件以及有關的定義、定理、公理,逐步推導出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結論,從而肯定原有結論是正確的,凡是"至少"、"唯一"或含有否定詞的命題,適宜用反證法。
例9:已知p3+q3=2,求證:p+q≤2
分析:本題已知為p、q的三次 ,而結論中只有一次 ,應考慮到用術立方根,同時用放縮法,很難得證,故考慮用反證法。
證明:解設p+q>2,那麼p>2-q
∴p3>(2-q)3=8-12q+6q2-q3
將p3+q3 =2,代入得 6q2-12q+6<0
即6(q-1)2<0 由此得出矛盾 ∴p+q≤2
練習7:已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0.
求證:a>0,b>0,c>0
數學歸納法
與自然數n有關的不等式,通常考慮用數學歸納法來證明。用數學歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。
例10:設n∈N,且n>1,求證: (1+13)(1+15)…(1+12n-1)>2n+12
分析:觀察求證式與n有關,可採用數學歸納法
證明:(1)當n=2時,左= 43,右=52
∵43>52∴不等式成立
(2)假設n=k(k≥2,k∈n)時不等式成立,即(1+13)(1+15)…(1+12k-1)>2k+12
那麼當n=k+1時,(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)>2k+12·(1+12k+1)①
要證①式左邊> 2k+32,只要證2k+12·
2k+22k+1>2k+32②
對於②〈二〉2k+2> 2k+1·2k+3
〈二〉(2k+2)2> (2k+1)(2k+3)
〈二〉4k2+8k+4> 4k2+8k+3
〈二〉4>3 ③
∵③成立 ∴②成立,即當n=k+1時,原不等式成立
由(1)(2)證明可知,對一切n≥2(n∈N),原不等式成立
練習8:已知n∈N,且n>1,求證: 1n+1+1n+2+…+12n> 1324
構造法
根據求證不等式的具體結構所證,通過構造函數、數列、合數和圖形等,達到證明的目的,這種方法則叫構造法。
1構造函數法
例11:證明不等式:x1-2x <x2 (x≠0)
證明:設f(x)= x1-2x- x2 (x≠0)
∵f (-x)
=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x2
=x1-2x- [1-(1-2x)]+x2=x1-2x-x+x2
=f(x)
∴f(x)的圖像表示y軸對稱
∵當x>0時,1-2x<0 ,故f(x)<0
∴當x<0時,據圖像的對稱性知f(x)<0
∴當x≠0時,恆有f(x)<0 即x1-2x<x2(x≠0)
練習9:已知a>b,2b>a+c,求證:b- b2-ab<a<b+b2-ab
2構造圖形法
例12:若f(x)=1+x2 ,a≠b,則|f(x)-f(b)|< |a-b|
分析:由1+x2 的結構可知這是直角坐標平面上兩點A(1,x),0(0,0)的距離即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2
於設A(1,a),B(1,b)則0A= 1+a2