用空間向量研究距離問題解題方法

① 高中數學如何用空間向量求空間直線到平面的距離

設直線行於平面.平面的法向量為n.
A為直線上的任意一點,B為平面上的任意一點.
則,直線到這平面的距離d,即等於向量AB在向量n上的投影的絕對值.
即:d=|n點乘AB|/|n|.
如果樂意,自然可換成坐標表達式.

② 立體幾何，用空間向量解答。並求解釋一下用空間向量解答線線距離，線面距離，點面距離，線面角的基本方法

在矩形ABCD中，AD=4,AB=2,E,F分別是線段AB，BC的中點，PA垂直平面ABCD，三棱錐P-ABD的體積等於4，線段AD上是否存在點G，使得EG垂直PF？若存在，求出點G到平面PDF的距離。

解析：∵矩形ABCD中，AD=4,AB=2，PA⊥面ABCD

建立以A為原點，以AD方向為X軸，以AByytm為Y軸，以AP方向為Z軸正方向的空間直角坐標系A-xyz

∵三棱錐P-ABD的體積等於4

V=1/3*1/2*AD*AB*PA=1/6*4*2*PA=4==>PA=3

∵E,F分別是線段AB，BC的中點

∴點坐標：

A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，E(0,1,0)，F(2,2,0)，P(0,0,3)

設G(x,0,0)（0<x<4）

向量EG=(x,-1,0)，向量PF=(2,2,-3)

向量EG·向量PF=2x-2+0=0==>x=1

∴G(1,0,0)

向量PG=(1,0,-3)，向量PD=(4,0,-3)，向量PF=(2,2,-3)

設向量n(x,y,z)是面PDF的一個法向量

則向量n·向量PD=4x-3z=0；向量n·向量PF=2x+2y-3z=0

令y=1，則x=1,z=4/3

∴向量n=(1,1,4/3)==>|向量n|=√34/3

向量PG=(1,0,-3)

G到平面PDF的距離為向量PG在平面法線上的投影

即，d=|向量n·向量PG|/|向量n|

|向量n·向量PG|=|1-4|=3

∴d=3/(√34/3)=9/√34

解題的基本方法：

(1)在立體幾何圖形中，選擇適當的點和直線方向建立空間直角坐標系中

(2)若問題中沒有給出坐標計算單位，可選擇合適的線段設置長度單位；

(3)計算有關點的坐標值，求出相關向量的坐標；

(4)求解給定問題

求解異面直線間距離；

求異面直線間距離的關鍵是根據題目給定條件尋找二條異面直線間距離所在；

點到平面距離問題；

直線與平面間距離

從直線上任取一點，求該點到平面的距離；

直線與平面夾角；

(1)求直線與平面夾角的基本方法是尋找或作直線在該平面內的射影，然後找出在直線和射影上的二個向量，進而求出其夾角。

(2)求平面的一個法向量，然後求出直線與法向量的夾角，該夾角與直線和平面夾角互余

③ 空間向量求距離公式問題

設平面外一點A,找到平面內任意一點B,求出向量AB坐標，求平面一個法向量n,則點A到平面距離d=|AB*n|/|n|

這個斜線卻是可以變化的，
但是AB. n是不變的
因為：
AB. n=|AB|*|n|*cos∠BAn=|n|*點A到面的距離

所以不同的斜線會有相同的結果

④ 空間向量求解各種距離 [點到線，點到面，線到線，線到面，面到面的距離（利用法向量）]

1. P點到線距d：在直線上取一點A，計算向量PA，直線的方向向量a，計算cos<向量PA,向量a>
d=|PA|*sin<向量PA,向量a>
2. P點到面距d：在平面上找一點A，計算向量PA，直平面的法向量n，計算cos<向量PA,向量n>
d=|PA|*cos<向量PA,向量n>
3. 線到線的距離：只需平行線，回到問題1
4. 線到面的距離，只需線面平行，回到問題2
5. 面到面的距離，在一個平面內找到一點，回到問題2
原則上點可以任意取，但實際操作中要找特殊點

⑤ 用空間向量研究距離問題有哪些

點到線距離：比如A（1,2）B（2,3）C（0,2）求點A到BC距向量BC=（-2,-1）。

給它找一個垂直向量,稱為法向量n=（-1,2）（注意。這里只要垂直就可以了,比如（3,-6）也行,對結果無妨，但不能（0,0）) 取向量AB=（1,1）。

則距離d=（向量AB*向量n0）的絕對值,其中n0是n的單位向量,在這里n0=n/n的模=（-1/根5,2/根5）那麼d=-1/根5*1+2/根5*1=1/根5=5分之根號5。

向量規定

向量的大小叫做向量的長度或模（molus)。

1.長度為0的向量叫做零向量，記為0。

2.模為1的向量稱為單位向量。

3.與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量。記為-a。

4.方向相等且模相等的向量稱為相等向量。

⑥ 如何用空間向量求解空間距離（點點距離 點

點到線距離：比如A（1,2）B（2,3）C（0,2）求點A到BC距向量BC=（-2,-1）我們給它找一個垂直向量,稱為法向量n=（-1,2） （注意,這里只要垂直就可以了,比如（3,-6）也行,對結果無妨,但不能（0,0）) 取向量AB=（1,1）則距離d=（向量AB*向量n0）的絕對值,其中n0是n的單位向量,在這里n0=n/n的模=（-1/根5,2/根5）那麼d=-1/根5*1+2/根5*1=1/根5=5分之根號5 你可以用解析法驗證思路是：做出給定直線的任意一個法向量,再做已知點到已知直線上任意一點的向量,如我上面找的AB,找AC也可以,哪怕設任意點P在直線BC上,取AP也無妨,然後做的這個向量在法向量上的投影即為點線距離.應該比較好理解,高二學空間向量中點面距就是這個思路,那時候你對這種方法的理解就更深了至於點點距,那相當於求向量模嘛,比如要求剛才的AB長,AB=（1,1）,模是根號2,你可以用兩點間距離公式驗證

⑦ 用空間向量怎樣求兩點的距離有啥公式嗎

有,設p（x，y，z），則距離d=|ax+by+cz+d|/√(a^2+b^2+b^2)
(類似於與平面直角坐標系中的點到直線的距離公式）
另外「ax+by+cz+d=0」代表的是一個平面，而不是直線。
希望回答對你有所幫助~

⑧ 如何用空間向量研究距離夾角問題

夾角的求法：找到直線的方向向量與平面的法向量，用向量夾角公式求出來的就是線面夾角的正弦值。

一、異面直線的夾角：

1、先求兩異面直線的方向向量a,b。

2、求這兩個向量的夾角<a,n>

3、轉化為異面直線的夾角q。

二、直線與平面所成角：

1、直線的方向向量和平面的法向量。

2、求這兩個向量的夾角。

3、轉化為直線與平面的夾角q。

卦限

三個坐標面把空間分成八個部分，每個部分叫做一個卦限。含有x軸正半軸、y軸正半軸、z軸正半軸的卦限稱為第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按逆時針方向確定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分別稱為第五、六、七、八卦限。