金融期權定價的方法研究

『壹』 期權定價是什麼

期權定價模型(OPM)----由布萊克與斯科爾斯在20世紀70年代提出。該模型認為，只有股價的當前值與未來的預測有關;變數過去的歷史與演變方式與未來的預測不相關。模型表明，期權價格的決定非常復雜，合約期限、股票現價、無風險資產的利率水平以及交割價格等都會影響期權價格。

定價方法：

(1)Black-Scholes公式

(2)二項式定價方法

(3)風險中性定價方法

(4)鞅定價方法等

歷史：

期權定價是所有金融應用領域數學上最復雜的問題之一。第一個完整的期權定價模型由Fisher Black和Myron Scholes創立並於1973年公之於世。B-S期權定價模型發表的時間和芝加哥期權交易所正式掛牌交易標准化期權合約幾乎是同時。不久，德克薩斯儀器公司就推出了裝有根據這一模型計算期權價值程序的計算器。大多從事期權交易的經紀人都持有各家公司出品的此類計算機，利用按照這一模型開發的程序對交易估價。這項工作對金融創新和各種新興金融產品的面世起到了重大的推動作用。

1979年，科克斯(Cox)、羅斯(Ross)和盧賓斯坦(Rubinstein)的論文《期權定價:一種簡化方法》提出了二項式模型(Binomial Model)，該模型建立了期權定價數值法的基礎，解決了美式期權定價的問題。

環球青藤友情提示:以上就是[ 期權定價是什麼? ]問題的解答,希望能夠幫助到大家！

『貳』 西方期權定價理論的二項分布期權定價模型

針對布－肖模型股價波動假設過嚴，未考慮股息派發的影響等問題，考克斯、羅斯以及羅賓斯坦等人提出了二項分布期權定價模型（binomial option pricing model-bopm），又稱考克斯－羅斯－羅賓斯坦模型〔（1）e〕。
該模型假設：
第一，股價生成的過程是幾何隨機遊走過程（geometric random walk），股票價格服從二項分布。與布－肖模型一樣，在bopm模型中，股價的波動彼此獨立且具有同樣的分布，但這種分布是二項分布，而非對數正態分布。也就是說，把期權的有效期分成n個相等的區間，在每一個區間結束時，股價將上浮或下跌一定的量，從而：
（附圖 {圖}）
令snj代表第n個區間後的股價，其間假定股價上浮了j次，下跌了（n-j）次，則：
（附圖 {圖}）
第二，風險中立（risk-neutral economy）。由於連續交易機會的存在，期權的價格與投資者的風險偏好無關，它之所以等於某一個值，是因為偏離這一數值產生了套利機會，市場力量將使之回到原先的水平。 假設股票現價為s[0]，一個區間後買方期權到期，那時股價或者上升為s[11]或者下降為s[10]即，：
（附圖 {圖}）
根據風險中立的假設，任何一種資產都應當具有相同的期望收益率，否則就會發生套利行為。也就是說此時無風險債券、股票及買方期權的將來價值滿足如下關系：
（附圖 {圖}）
上式中，q表示的是股票價格上漲的概率，因而期權的價格乃相當於其預期價格的貼現值。 上述分析可以進一步推廣到n個區間的買方期權價格的確定。首先，需計算出買方期權價格的預期值，假設在n個區間里，在股價上漲k次前，買方期權仍然是減值期權，內在價值仍為0，而k次到n次之間，它具有內在價值，則：
（附圖 {圖}）
（附圖 {圖}） 先前的分析沒有考慮股息的存在，假定某種股票每股在t時將派發一定量的股息，股息因子為f，除息日與付息日相同，則在除息日股價將會下降相當於股息的金額fs[t]。
（附圖 {圖}）
對於美式期權，則需考慮提前執行的情況：
在t時若提前執行，其價格等於內在的價值；不執行，則可按前面的推導得到相應的價格。最終t時的價格應當是提前執行與不提前執行情況下的最大者。即：
（附圖 {圖}） 根據歐洲期權的平價關系，可直接從其買方期權導出賣方期權價格，而美國期權則不能。利用上述推導美國買方期權價格的方法，可以同樣得到：
（附圖 {圖}）
這就是美國賣方期權的定價公式。從上述bopm模型的推演中可看出其主要特點：
1．影響期權價格的變數主要有基礎商品的市價（s），期權協定價格（x），無風險利率（r），股價上升與下降的因子（u,d），以及股息因子（f）及除息次數。事實上u與d描述的是股價的離散度，因而與布－肖模型相比，bopm所考慮的主要因素與前者基本相同，但因為增加了有關股息的討論，因而在派發股息的期權及美國期權的定價方面，具有優勢。
2．根據二項分布的特點，bopm模型中只要對u與d及p作出適當的界定，它就可以回答跳動情況下的期權的定價問題。這是布－肖模型所不能夠的。同時，當n達到一定規模後，二項分布趨向於正態分布，只要u、d及p的選擇正確，bopm模型會逼近布－肖模型。
與布－肖模型一樣，二項分布定價模型也被推廣到外匯、利率、期貨等的期權定價上，受到理論界與實業界的高度重視。
三、對西方期權定價理論的評價
以布萊克－肖萊斯模型和bopm模型為代表的西方期權定價理論，是伴隨著期權交易，特別是場內期權交易的擴大與發展而逐漸豐富與成熟起來的。這些理論基本上是以期權交易的實踐為背景，並直接服務於這種實踐，具有一定的科學價值與借鑒意義。
首先，模型將影響期權價格的因素歸納為基礎商品價格、協定價格、期權有效期、基礎商品價格離散度以及無風險利率和股息等，並認為期權價格是這些因素的函數，即：
c或p=(s,x,t，σ，γ，d)
在此基礎上得到了計算期權價格的公式，具有較高的可操作性。比如在布－肖模型中，s、x及t都可以直接得到，γ亦可以通過相同期限的國庫券收益率而求出，因而運用該模型進行估價，只需求出相應的σ值即基礎商品的價格離散度即可。實踐中，σ值既可通過對歷史價格的分析得到，亦可假定未行使的期權的市場價格即為均衡價格，將相應變數代入求得（此時稱為隱含的離散度implicit volatility）。因而操作起來比較方便。同時，這種概括是基於期權的內在特點，把它放在統一的資本市場考慮的結果。其分析觸及到了期權價格的實質，力圖揭示期權價格「應當是」多少，而不是「可能是」多少的問題，因而比早期的計量定價模型向前邁了一大步。
其次，模型具有較強的實踐性，對期權交易有一定的指導作用。布－肖模型以及二項分布模型都被編製成了計算機軟體，成為投資者分析期權市場的一種有效工具。金融界也根據模型編製成現成的期權價格計算表，使用方便，一目瞭然，方便了投資者。正如羅伯特·海爾等所編著的《債券期權交易與投資》一書所言：「（布－肖）模型已被證明在基本假設滿足的前提下是十分准確的，已成為期權交易中的一種標准工具。」具體來講，這些模型在實踐中的運用主要體現於兩方面：1．指導交易。投資者可以藉助模型發現市場定價過高或過低的期權，買進定價過低期權，賣出定價過高期權，從中獲利。同時，還可依據其評估，制定相應的期權交易策略。此外，從模型中還可以得到一些有益的參數，比如得耳他值（△），反映的是基礎商品價格變動一單位所引起的期權價格的變化，這是調整期權頭寸進行保值的一個十分有用的指標。此外還有γ值（衡量△值變動的敏感性指標）；q值（基礎商品價格不變前提下，期權價格對於時間變動的敏感度或彈性大小），值（利率每變動一個百分點所引起的期權價格的變化）等。這些參數對於資產組合的管理與期權策略的調整，具有重要參考價值。2．研究市場行為。可以利用定價模型對市場效率的高低進行考察，這對於深化期權市場的研究也具有一定意義。

『叄』 西方期權定價理論的西方期權定價理論

早在1900年法國金融專家勞雷斯·巴舍利耶就發表了第一篇關於期權定價的文章。此後，各種經驗公式或計量定價模型紛紛面世，但因種種局限難於得到普遍認同。70年代以來，伴隨著期權市場的迅速發展，期權定價理論的研究取得了突破性進展。研究西方期權定價理論，不僅有助於深化我們對期權及其他金融創新工具的研究，且對中國實業界在條件成熟時進入國際期權市場具有一定指導意義。由於當今西方主要期權理論均是從股票期權的定價發展而成，本文亦將結合股票期權進行討論。

『肆』 二叉樹期權定價的基本原理是什麼

二叉樹期權定價模型是一種金融期權價值的評估方法，包括單期二叉樹定價模型、兩期二叉樹模型、多期二叉樹模型。
1.單期二叉樹定價模型 期權價格=（1+r-d）/（u-d）×c/（1+r）+（u-1-r）/（u-d）×c/（1+r） u：上行乘數=1+上升百分比 d：下行乘數=1-下降百分比 【理解】風險中性原理的應用 其中： 上行概率=（1+r-d）/（u-d） 下行概率=（u-1-r）/（u-d） 期權價格=上行概率×Cu/（1+r）+下行概率×Cd/（1+r）
2.兩期二叉樹模型 基本原理：由單期模型向兩期模型的擴展，不過是單期模型的兩次應用。 方法： 先利用單期定價模型，根據Cuu和Cud計算節點Cu的價值，利用Cud和Cdd計算Cd的價值；然後，再次利用單期定價模型，根據Cu和Cd計算C0的價值。從後向前推進。
3.多期二叉樹模型
原理：從原理上看，與兩期模型一樣，從後向前逐級推進，只不過多了一個層次。
股價上升與下降的百分比的確定： 期數增加以後帶來的主要問題是股價上升與下降的百分比如何確定問題。期數增加以後，要調整價格變化的升降幅度，以保證年報酬率的標准差不變。 把年報酬率標准差和升降百分比聯系起來的公式是： u=1+上升百分比= d=1-下降百分比= 其中：e-自然常數，約等於2.7183 σ-標的資產連續復利報酬率的標准差 t-以年表示的時段長度
拓展資料：
期權交易最重要的是權利金價格。期權定價的過程，是根據影響期權價格的因素，通過適當的數學模型，去分析模擬期權價格的市場變動情況，最後獲得合理理論價格的過程。由於期權交易中期權市場價格有時會偏離公允價格，無論是一般投資者還是做市商，都需要有自己的判斷，利用模型獲得較為合理的定價，交易所也需要發布理論上的合理價位供大家參考。 通過定價模型可以給出期權價格的風險指標，從而用於控制投資風險。期權定價模型主要是基於無套利均衡定價理論，基本思想是指如果市場上存在無風險的套利機會，那麼市場處於不均衡狀態，套利的力量會推動市場重新均衡，而套利機會消除後的均衡價格即是市場的真實價格。

『伍』 如何運用金融數學技巧進行期權定價

如果是分類，具體可以分成資金業務、信息業務和渠道業務。

1、資金業務
含義是規模和資金的需求量成正比的業務，而這些業務在擁有一定的規模以後，資金的需求量將會增大。互聯網企業多數都是小公司且資金不多。如果是強行執行這種業務，可能業務規模受限制，甚至是需要出去借錢，再付完借款利息之後利潤率下降，而業務也不捨得放棄。

此外，資金業務監管也同樣不得不去考慮。就銀行而言，存款准備金必須交，存貸比會有限制，資本充足率也會有限制，另外加上央行有時會強迫購買一些定向債券，就這樣被扣走不少錢了。互聯網金融規模做大之後少不了要監管，但如果也像銀行那樣零零碎碎的扣一通，還能否再掙錢。

其中資金業務還包括：企業貸款（如阿里小貸）、個人貸款（如阿里的免息借款）、投資業務（余額寶）等等。這些沉重的吃資金的業務都是沒有競爭力的。

2、信息業務
對於互聯網而言，它所在的企業數據也非常豐富，做渠道也很強，尤其是賣基金、理財和保險等都是非常有優勢，且成本較低及覆蓋率廣，絲毫不遜色於傳統的營業廳和代理人銷售渠道。而純信息業務現在還很少，多數有信息優勢的企業希望自己可以開銀行來運作上百億的資金。但現實的情況是開銀行肯定開不動，倒不如賣信息服務，想通後來做信息服務的企業將會逐漸增多。

3、渠道業務
至於渠道業務就很多了，特別是賣基金的網站。當然賣保險也可以做，如果是監管能放開，那麼長期來看賣信託、賣股票甚至代理存款也完全沒有問題。做渠道的更好過做信息服務的，因為渠道是強勢資源，信息服務是輔助性業務。

互聯網金融的分支，也是和金融的分支一樣豐富。

『陸』 什麼是金融資產定價理論

金融學主要研究人們在不確定環境中進行金融資產的最優配置，資產時間價值，資產定價理論(資源配置系統)和風險管理理論是現代金融經濟學的核心內容，資源配置系統中核心問題就是資產的價格，而金融資產的最大特點就是結果的不確定性，因此金融資產的定價也就是金融理論中最重要的問題之一。
目前，金融資產的定價主要包括以股票、債券、期權等為代表的單一產品定價以及採用風險收益作為研究基礎的資產組合定價理論、套利理論和多因素理論等。不同的定價理論和方法是隨著時間發展，統計方法、計算機技術的進步而不斷修正改進的，使其逐步與現實要求接近。
金融資產定價是當代金融理論的核心，資金的時間價值和風險的量化是金融資產定價的基礎。金融資產價格是有資金時間價值和風險共同決定的。
(一)現金流貼現方法
資金的時間價值是指資金隨著時間的推移會發生貶值，現在的資金比未來的資金更有價值，或者說購買力更高。因而不同時點的現金流難以比較其價值。要對未來現金流貼現，關鍵的是折現率的確定。而貼現率不是任意選擇的，應該是由市場決定的資金使用的機會成本，也就是同一筆資金用於除考察的用途之外所有其他用途中最好的用途所能得到的收益率。機會成本是市場反映的金融資產的收益率，而資產的收益率(資本成本)一定與該資產的風險水平對應。一般來說，較高風險的資產一般對應較高的收益率。在金融實踐中，折現率往往用一個無風險利率再加上一個風險補償率表示。無風險利率是指貨幣資金不冒任何風險可取得的收益率，常用國庫券的短期利率為代表；風險補償率取決於金融資產風險的大小，風險越大需要的風險補償率越高，因此折現率的確定需要解決兩個問題，無風 險利率和風險補償率。
理論上，不同期間使用不同的貼觀率進行貼現，因為資本的機會成本在不同時期會隨著市場條件的變化而變化。既是說，同一資產的收益率對於不同的投資期限是不一樣的，對這一問題的研究就是利率的期限結構，利率是金融市場上最重要的價格變數之一，它直接決定了相關金融產品的定價和利率風險的管理。利率期限結構是指不同期限證券的到期收益率和到期期限之間的關系，它對於利率風險的管理和金融資產的定價十分重要。
(二)投資組合理論(MPT)
哈里·馬科維茨（Harry Markowit,1952）提出的投資組合理論(Modern portfolio theory)是現代金融學的開端。在基本假定：（1）所有投 資者都是風險規避的，（2）所有投資者處於同一單期投資期，（3）投資者根據收益率的均值和方差選擇投資組台的條件下，投資組合理論認為投資者的效用是關於投資組合的期望收益率和標准差的函數，使在給定風險水平下期望收益率最高或者在給定期望收益率水平風險最小。理性的投資者通過選擇有效的投資組合，實現期望效用最大化。這一選擇過程藉助於求解兩目標二次規劃模型實現。模型的本質是使投資組合在給定期望收益率上實現風險最小化，並具體說明在該收益率水平上投資組合中各種風險資產類型及權重。求解得到標准差-預期收益率圖，是一條向左凸的雙曲線，其中雙曲線的上半枝是有效組合邊界。投資者在有效組合邊界上根據其風險-收益偏好選擇投資組合，結果必然是投資者的效用函數與有效組合邊界的切點。通過增加組合中的資產種類，可以降低非系統風險，但不能消除系統風險，只有市場所承認的風險(系統風險)才能獲得風險補償。
(三)資本資產定價理論(CAPM)
威廉·夏普(William F. Sharpe,1964)和約翰·K·林特納（Prof.John K.Lintner1965)在馬柯維茨均值-方差組合投資模型理論的基礎上提出著名的資本資產定價模型（CAMP）。在假設條件(1)(2)(3)的基礎上,假設(4)所有投資者對同一證券的所有統計特徵（均值，協方差）等有相同的認識，(5)市場是完全的，即沒有稅負和交易費用等，(6)存在可供投資的無風險證券，投資者可以以無風險利率無限制地進行借貸或賣空一種證券。CAPM是在投資組合理論的基礎上進一步討論單項I風險資產在市場上的定價問題，導出證券市場線SML(Security Market Line)。
(四)套利定價理論(APT)
針對CAPM在應用中存在的一些問題，例如假定條件強，市場風險計算困難等，Stephen Ross於1976年提出套利定價理論(Arrbitrage Pricing Theory)。與資本資產定價模型類似，APT也是一個決定資產價格的均衡模型，認為風險性資產的收益率不但受市場風險的影響，還受到許多其他因素(宏觀經濟因素、某些指數)的影響。套利就是買進或賣出某種資產以利用差價來獲取無風險利潤。一般認為，比較成熟的市場不存在套利機會，由此達到無套利均衡狀態。
APT假定：市場完全競爭，不存在摩擦；每種資產的隨機收益率受同樣的幾種因素的支配。
1.單因素APT模型：假定資產的收益率由某一個因素(不一定是風險資產的市場組合)決定，並與該因素成線性函數。這里的因素可以是各種宏觀因素。也可以是某些指數
2.多因素APT模型：當多個宏觀經濟因素共同影響一種風險資產的預期收益時，該資產的預期收益可以表示為多個因素可加線性函數。
(五)期權定價理論
1973年，費歇爾·布萊克（Fischer Black）和邁倫·斯科爾斯(Myron Schole)對期權定價進行了研究，提出的7個重要假定：(1)股票價格服從期望收益率和變動率為常數的隨機過程；(2)投資者可以賣空衍生證券，並使用賣空所得：(3)市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本；(4)所有證券都是高度可分的；期權是歐式期權，在期權有效期內不存在現金股利的支付：(5)市場不存在無風險套利機會；(6)市場為投資者提供了連續交易的機會；(7)無風險利率為常數，而且對所有期限均相等。並在此基礎上建立了對歐式期權定價的Black-Scholes模型。Robert Merton(1973)建立了另外一個極為相似的模型．可以給出以支付紅利的資產、期貨和外匯等標的資產的期權定價公式。

『柒』 期權的定價方法

這是一個老題目了，在知乎里也有一些類似的問題，但總感覺所有回答都有所欠缺，所以希望在這里對所有的數值方法進行一個梳理。按照我個人的分類，期權定價的數值方法分為五個大類：解析解方法，樹方法，偏微分方程數值解方法，蒙特卡洛方法，傅立葉變換方法。

1）解析解方法：

一個期權定價問題，其實就是根據已知的隨機微分方程（SDE）模型，然後來求解關於這個隨機過程函數表達式的過程。這也是為什麼隨機微積分和Ito lemma會是金融工程的核心知識之一，因為Ito直接告訴了我們一個隨機過程的函數所滿足的新SDE：

m{d}f(t, X_{t})=frac{partial f}{partial t} m{d}t + frac{partial f}{partial X_t} m{d}X_t + frac{1}{2}frac{partial^2 f}{partial X_t^2} m{d}[X, X]_t

然後，如果我們可以求出這個SDE的解析解，那麼一個歐式無路徑依賴期權的價格就是它在終值時刻折現的期望值。這就是一種期權定價的解析解方法，當然你也可以利用PDE來求解，由於Feynman Kac定理的存在，PDE和條件期望的答案會是一致的。

而這類方法的優點是顯而易見的，一旦解析解存在，那麼期權的價格公式計算速度就會非常之快，不論做擬合還是優化都會有效率上質的提升，而這類方法的缺點也很明顯，那就是，對於大部分模型和大部分奇異期權，解析解未必存在。

2）樹方法

之所以叫樹方法而不叫二叉樹，是因為我們也將討論三叉樹模型，但其實本質思想是一模一樣的。

如果告知你了一個標的資產的波動率，那麼你可以通過下述式子構造一個N段的二叉樹的上下波動：

u = m{e}^{sigmasqrt{T/N}}, d = m{e}^{-sigmasqrt{T/N}}

然後利用逆推，來得到初始時刻的期權價格。

那麼三叉樹呢？首先要明白一個道理，除了滿足了下列條件的三叉樹模型(u是上叉，d是下叉，l是中叉)

其餘的三叉樹都是incomplete market。在其餘的樹模型下，我們只能做到super-replicate，而不能完成perfect hedge。而這獨有的一種三叉樹模型，也成為了最常用的樹模型之一。或許有人好奇為什麼有二叉樹了，還有人使用更麻煩的三叉樹。這是因為三叉樹的收斂速度要高於二叉樹。

那麼樹模型的優缺點又是什麼呢？樹模型有一個任何連續時間模型都無法取代的優點，那就是每一個定價，在樹模型里，不論美式、歐式、路徑依賴、奇異，通過Backward Inction Principle得到價格，永遠都是伴隨著顯式對沖策略的。而在連續時間模型里，想獲得連續時間對沖策略的這類問題，是一個倒向隨機微分方程（BSDE）問題，有很多時候並不是那麼好解決的，尤其是當期權有奇異或美式屬性的時候。

另一方面，樹模型缺點也顯而易見，高維度問題樹模型是不能解決的，所以對於多個標的資產的問題，尤其是具有相關系數的資產，我們只能訴之於他法。而從速度上來講，樹模型的收斂速度是要低於PDE方法的。

3）PDE方法

很多對於quantitative finance陌生的人也會聽說過Black Scholes PDE。而實際上，不同的隨機模型，都會對應不同的PDE。BS PDE只不過是單資產符合幾何布朗運動隨機模型的PDE表達罷了。因為對於期權，我們往往知曉它最終到期日的payoff，所以我們用payoff函數來作為這個PDE的終值條件。

如果PDE存在解析解，最優辦法自然也是求解析解。然而，如果解析解不存在，我們就必須訴諸數值方法。最常用的數值解方法就是有限差分，也就是將所有變數構造一個網格，然後利用網格上的差分方法來估計偏導數，進而將PDE問題轉化為代數問題。而對於期權定價的PDE，我們會根據期權的性質，獲得這個PDE終值條件和邊值條件。然而，有時候根據不同的模型，我們可能得到的並不是一個簡單的PDE，而可能是PIDE（partial integral differential equation），也就是在PDE中多了積分項，這時候，我們需要同時再藉助數值積分來完成數值計算。

PDE的數值問題自然還有很多的選擇，有限元、譜方法都在列。但期權定價PDE本身並不像很多物理PDE有很大的非線性程度，邊界也並沒有那麼奇怪，所以基本上有限差分是可以解決絕大部分問題的。

有限差分法分三種：顯式差分，隱式差分，交錯差分。我們不深入研究演算法，但幾個點就是：穩定性上，顯式差分是條件穩定的，另外兩種都是無條件穩定；計算復雜度上，顯示最簡單，隱式次之，交錯最繁瑣；精確性上，顯式、隱式是同階的，交錯差分的特殊情形，顯式和隱式各佔一半時，也就是Crank-Nicolson差分，精度會在時間上也上升一階。

另外，在期權定價中PDE有兩大類，正向和倒向。傳統的BS PDE就是倒向的一個典型例子，它的終值條件就是期權的payoff function。而一個倒向PDE所對應的正向PDE，它不再是期權價格滿足的PDE，而是這個標的的「價格密度」所滿足的PDE。這個「價格密度」被稱為State price，或者Arrow Debreu price，抑或是Green function。而這個在我之前的一篇文章有介紹過

Arrow Debreu price與快速擬合

而PDE方法的缺點主要有兩點：路徑依賴問題，高維度問題。很多路徑依賴問題的PDE形式是很麻煩，甚至無法表達的，比如亞氏期權，比如回望期權。而對於高維度問題，如果PDE的數值方法會從平面網格上升到空間網格，在復雜度上不但繁瑣，而且在邊值條件上更難以控制。而PDE的優點則是速度快，而且根據差分的數值方法，在計算Greeks的時候不需要加以再次的bumping計算。舉個例子，如果不降維，一個具有兩個assets的期權的有限差分就是這樣的一個立方網格：

4）蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法是目前應用范圍最廣泛的方法了。因為不存在提前行權屬性的期權價格其實就是一個期望，所以我們就可以通過模擬很多的路徑，來用平均數估計真實期望。而美式或百慕大這種具有提前行權屬性的期權，它的期權價格其實是一個隨機優化問題。這類問題我們可以採用regression-based Monte Carlo，也就是最小二乘蒙特卡洛，利用regression來估計conditional NPV，然後再用蒙特卡洛求解當前價值。

所以說，蒙特卡洛方法是最為general的方法了。然而，蒙特卡洛的缺點也是顯而易見：因為要模擬上百萬條路徑，而且對於奇異期權還要做路徑上的計算，美式更要做回歸，蒙特卡洛方法成為了計算時間長的代名詞。但幸運的是，我們有三種提速的方法：1，利用方差縮減，在保證方差恆定的基礎上，可以減少模擬路徑；2，利用Multi-level 蒙特卡洛，減少complexity；3，利用GPU或超級計算機，進行並行計算。

對於普通蒙特卡洛方法，上述三種方法都是可行的，而且GPU的提速是非常顯著的。對於方差縮減，得強調一點的就是，一般而言，最簡單的方式是對偶變數，其次是控制變數，然後是利用條件期望，最難的是importance sampling，而在效果和適用范圍上，它們的排序往往是剛好相反的。比如美式期權的最小二乘蒙特卡洛，方差縮減的最有效手法就是important sampling，其他方法的效果很小。

這里另外再著重強調一下最小二乘蒙特卡洛。最小二乘蒙特卡洛的流程大致如下：首先，正向模擬標的路徑；其次，倒向在每個時間節點，對所有路徑值進行回歸，估算條件期望，直到初始時間點；最後，求平均。所以值得注意的一點就是，在這里，如果單純使用GPU cluster進行提速，效果並不是很理想，因為路徑模擬並不是最消耗時間的步驟，對所有路徑回歸才是。雖然如此，但其實還是可以用GPU cluster來對回歸精度加以提升，比如可以將路徑進行歸類，然後將global regressor轉換成多個local regressor。

總的來說，蒙特卡洛方法是期權定價中適用范圍最廣的數值方法，但也是最慢的方法。然而，我們可以利用方差縮減、復雜度縮減，以及GPU計算來優化我們的蒙特卡洛演算法，達到提速與增加精確性的目的。

5）傅立葉方法

傅立葉方法也被稱為特徵函數法，利用的就是對於很多的模型，它們的特徵函數往往是顯式表達的，比如靠具有independent increment的infinitely divisible process來決定的模型，因為在這樣的情況下，我們有Levy-Khintchine representation，很多擬合性質很好的過程，比如Variance Gamma，Normal Inverse Gaussian都屬於這一類。而特徵函數實際上可以看作是一個隨機變數的傅立葉變換，這也就是這個名字的由來。

如果我們有顯式表達的特徵函數，我們可以通過傅立葉逆變換來得到原隨機變數的密度，進而達到求解期權價格的目的。一般來講，這樣的方法要比PDE方法更加快速，因為數值積分的速度要比微分方程數值解的速度要快。然而，這類方法的缺陷也是顯而易見的，路徑依賴性和維度問題，以及我們必須要有顯式表達的特徵函數。

總結：

在這里，我們只講一些面上的東西。具體深入的東西，我會在公眾號：衍生財經上詳談。

『捌』 金融期權定價等問題

MARK，圍觀樓主