中職數學第六章數列的教學方法

1. 在學習數列中有哪些常見的經典題型和解題方法

一、 高中數學與初中數學特點的變化。 1、數學語言在抽象程度上突變。 不少學生反映，集合、映射等概念難以理解，覺得離生活很遠，似乎很「玄」。確實，初、高中的數學語言有著顯著的區別。初中的數學主要是以形象、通俗的語言方式進行表達。而高一數學一下子就觸及抽象的集合語言、邏輯運算語言以及以後要學習到的函數語言、空間立體幾何等。 2、思維方法向理性層次躍遷。 高一學生產生數學學習障礙的另一個原因是高中數學思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老師為學生將各種題建立了統一的思維模式，如解分式方程分幾步，因式分解先看什麼，再看什麼，即使是思維非常靈活的平面幾何問題，也對線段相等、角相等、、、分別確定了各自的思維套路。因此，初中學習中習慣於這種機械的，便於操作的定勢方式，而高中數學在思維形式上產生了很大的變化，正如上節所述，數學語言的抽象化對思維能力提出了高要求。當然，能力的發展是漸進的，不是一朝一夕的事，這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應，故而導致成績下降。高一新生一定要能從經驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡，最後還需初步形成辯證形思維。 3、知識內容的整體數量劇增 高中數學與初中數學又一個明顯的不同是知識內容的「量」上急劇增加了，單位時間內接受知識信息的量與初中相比增加了許多，輔助練習、消化的課時相應地減少了。這就要求第一，要做好課後的復習工作，記牢大量的知識；第二，要理解掌握好新舊知識的內在聯系，使新知識順利地同化於原有知識結構之中；第三，因知識教學多以零星積累的方式進行的，當知識信息量過大時，其記憶效果不會很好。因此要學會對知識結構進行梳理，形成板塊結構，實行「整體集裝」，如表格化，使知識結構一目瞭然；類化，由一例到一類，由一類到多類，由多類到統一；使幾類問題同構於同一知識方法；第四，要多做總結、歸類，建立主體的知識結構網路。 二、不良的學習狀態。 1、 學習習慣因依賴心理而滯後。 初中生在學習上的依賴心理是很明顯的。第一，為提高分數，初中數學教學中教師將各種題型都一一羅列，學生依賴於教師為其提供套用的「模子」；第二，家長望子成龍心切，回家後輔導也是常事。升入高中後，教師的教學方法變了，套用的「模子」沒有了，家長輔導的能力也跟不上了，由「參與學習」轉入「督促學習」。許多同學進入高中後，還象初中那樣，有很強的依賴心理，跟隨老師慣性運轉，沒有掌握學習的主動權。表現在不定計劃，坐等上課，課前沒有預習，對老師要上課的內容不了解，上課忙於記筆記，沒聽到「門道」。 2、 思想鬆懈。有些同學把初中的那一套思想移植到高中來。他們認為自已在初一、二時並沒有用功學習，只是在初三臨考時才發奮了一、二個月就輕而易舉地考上了高中，而且有的可能還是重點中學里的重點班，因而認為讀高中也不過如此，高一、高二根本就用不著那麼用功，只要等到高三臨考時再發奮一、二個月，也一樣會考上一所理想的大學的。存有這種思想的同學是大錯特錯的。因為在我們廣州市可以說是普及了高中教育，因此中考的題目並不具有很明顯的選撥性，同學們都很容易考得高分。但高考就不同了，目前我們國家還不可能普及高等教育，高等教育可以說還是屬於一種精英教育，只能選撥一些成績好的同學去讀大學，因此高考的題目具有很強的選撥性，如果心存僥幸，想在高三時再發奮一、二個月就考上大學，那到頭來你會後悔莫及的。同學們不妨打聽打聽現在的高三，有多少同學就是因為高一、二不努力學習，現在臨近高考了，發現自己缺漏了很多知識而而焦急得到處請家教。 3、 學不得法。老師上課一般都要講清知識的來龍去脈，剖析概念的內涵，分析重點難點，突出思想方法。而一部分同學上課沒能專心聽課，對要點沒聽到或聽不全，筆記記了一大本，問題也有一大堆，課後又不能及時鞏固、總結、尋找知識間的聯系，只是趕做作業，亂套題型，對概念、法則、公式、定理一知半解，機械模仿，死記硬背，還有些同學晚上加班加點，白天無精打采，或是上課根本不聽，自己另搞一套，結果是事倍功半，收效甚微。 4、 不重視基礎。一些「自我感覺良好」的同學，常輕視基本知識、基本技能和基本方法的學習與訓練，經常是知道怎麼做就算了，而不去認真演算書寫，但對難題很感興趣，以顯示自己的「水平」，好高騖遠，重「量」輕「質」，陷入題海。到正規作業或考試中不是演算出錯就是中途「卡殼」。 5、 進一步學習條件不具備。高中數學與初中數學相比，知識的深度、廣度，能力要求都是一次飛躍。這就要求必須掌握基礎知識與技能為進一步學習作好准備。高中數學很多地方難度大、方法新、分析能力要求高。如二次函數值的求法，實根分布與參變數的討論，三角公式的變形與靈活運用，空間概念的形成，排列組合應用題及實際應用問題等。有的內容還是初中教材都不講的脫節內容，如不採取補救措施，查缺補漏，就必然會跟不上高中學習的要求。 三、 科學地進行學習。 高中學生僅僅想學是不夠的，還必須「會學」，要講究科學的學習方法，提高學習效率，才能變被動學習為主動學習，才能提高學習成績。 1、培養良好的學習習慣。反復使用的方法將變成人們的習慣。什麼是良好的學習習慣？良好的學習習慣包括制定計劃、課前自學、專心上課、及時復習、獨立作業、解決疑難、系統小結和課外學習幾個方面。 (1)制定計劃使學習目的明確，時間安排合理，不慌不忙，穩打穩扎，它是推動我們主動學習和克服困難的內在動力。但計劃一定要切實可行，既有長遠打算，又有短期安排，執行過程中嚴格要求自己，磨煉學習意志。 (2)課前自學是上好新課，取得較好學習效果的基礎。課前自學不僅能培養自學能力，而且能提高學習新課的興趣，掌握學習的主動權。自學不能搞走過場，要講究質量，力爭在課前把教材弄懂，上課著重聽老師講思路，把握重點，突破難點，盡可能把問題解決在課堂上。 (3)上課是理解和掌握基本知識、基本技能和基本方法的關鍵環節。「學然後知不足」，課前自學過的同學上課更能專心聽課，他們知道什麼地方該詳，什麼地方可以一帶而過，該記的地方才記下來，而不是全抄全錄，顧此失彼。
記得採納啊

2. 高中數學，數列的這一章節，做數列的題目有多少種方法，比如裂項相消法，疊加法（累加法）等，請一一列舉

分組求和法；
倒序相加法；
裂項法。
倒序相加法：當前面的項和最後的項加起來是常數或有規律的數。
錯位相減法：單項數列的表達式是由等比數列和等差數列相乘得到。如：an=n*a^(n+1)
裂項法：用於分數的數列。
分組求和法：數列的項可以拆分成其他典型數列。
識；

直接利用公式求和；
倒序相加法；
錯位相減法；
分解轉化（拆項）法；
裂項相消法；
並項法。
函數思想：將數列上升為特殊的函數來認識；數形結合思想方法：函數的圖象能直接反映數列的本質；

方程（組）思想：等差、等比數列中在求時，知三求二，所用的就是方程思想。

觀察分析法：求通項公式時常用；

分類討論法：求等比數列的前n項和公式時要考慮公比是否為1，公比是字母時要進行討論

3. 如何實現中職數學數列的有效教學

一、因材施教,積極改革教學方法
（一）更新教學觀念,提高教學的主觀能動性
以往教師的教學工作,是按照教學大綱的具體要求,以教科書為准繩,進行一系列的教學活動,而對「課程論」研究甚少.因此,教師的教和學生的學都比較被動,為了改變這種狀況,教師應積極引導學生主動鑽研,鼓勵學生自己去思考和解決問題.如「正切函數」概念的教學,按傳統的教法,學生只停留於死記概念,至於為什麼要在一定區間上研究這一概念,很少有學生主動去思考,學生的學習完全處於被動狀態.為此,在教學中通過提出一系列與「正切函數」概念內容相關的問題（正切函數的定義域、周期性等）,不一定由概念講性質,而是根據性質研究概念,啟發學生去思考.學生通過看書和討論,找到這些問題的答案,理解了正切函數的概念.實踐證明,採用這種先提出問題,再引導學生通過自己思考和探索去理解概念來龍去脈的教學方法,不僅加深了學生對概念的理解,而且還調動了學生的學習主動性,使教學達到了良好的效果.
（二）運用信息技術,提高教學的生動性
對數學教師而言,信息化技術應用的不多,原因是數學不像其他學科,課件形式很單一,很多是簡單的把公式或例題呈現在屏幕上,這樣感覺不如直接在黑板上板書；二是大多數教師不會用動畫做課件,課件對學生也沒多大的吸引力.那麼怎樣才能吸引學生呢,教師應該大力推廣信息技術在數學教學過程中的普遍使用,充分利用信息技術的優勢,改進數學教材的呈現方式,將中職數學教材與信息技術整合,促進中職數學課程內容的現代化.
（三）採取探究性教學,培養學生發散性思維
在數學教學中運用探究性教學主要是通過開放題來實現的,數學開放題具有促使學生掌握科學的思維方式以及優良的思維品質和正確的數學觀,提高數學表達能力等多種教育功能.由於在開放題的教學中,學生是以知識的主動發現者、探索者和研究者的身份出現,因此,學生不再是「裝」數學,而是「搞」數學,這就可以使他們在一定程度上去體驗數學家進行數學研究的活動過程(盡管兩者完全不同)
,深切領會數學的實質,因此,數學開放題用於學生的探究性學習是十分有意義的.比如,有兩個二面角,它們的面對應平行,仔細觀察你能得到哪些結論?試說明或證明之.策略：隱去結論,讓學生猜測,並檢驗.通過開放題的形式進行的探究性學習,激發了學生的探究熱情,培養了學生的探索精神和應變能力,鍛造了學生不怕困難、堅忍不拔的意志品質.
(四)注重數學思想滲透, 拓展學生認知能力
在課堂教學過程中,表層知識的發生過程實際上也是思想方法的發生過程.像概念的形成過程,新舊知識的對比過程,結論的推導過程,規律的被揭示過程,解題思路的思考過程等,都是向學生滲透數學思想方法、訓練思維的極好機會.此時提高學習效果,往往會起到事半功倍的作用.如教「反函數」這一節內容時,學生思維往往容易出現「混亂」,搞不清為什麼有的函數有反函數,有的函數沒有反函數.這時需要教師積極引導學生的思維,讓他們知道函數是一種特殊的映射,反函數作為一種函數,也必須符合函數的定義,從而推導出在定義域和值域間只有一一映射的函數才有反函數.不是一一映射,就沒有反函數.
（五）堅持以人為本,構建和諧教學氛圍
師生是以民主、寬松、和諧的關系為基礎的,教師必須用尊重、平等的情感去感染學生,使課堂充滿「愛」的氣氛.只有在輕松愉快的情緒氛圍下,學生才能對所學的知識產生濃厚的興趣,當學生付出努力,獲得好的學習成績並得到贊揚後,就會得到心理滿足,這種滿足會促使他們產生進一步的學習動機,相反,如果學生學習成績長期較差,缺少因學習成功而產生的精神上的有益刺激,得到的總是老師的批評、同學的嘲笑和家長的指責,學習必然沒有興趣,因此,對學習差的學生,在教學中必須以較低的起點來幫助他們獲得較好的成績,並及時鼓勵,使之獲得自信.
二、聯系實際,靈活設置教學內容
由於中等職業學校的學生普遍基礎差、底子薄、對自己沒信心、學習沒興趣,而且有相當一部分學生對數學課有抵觸情緒.為了重拾他們的學習信心,提高學習興趣,首先必須要降低數學教材的難度,更新數學教學的內容.第二,各個專業應該立足所開的專業課特點,中職數學課應服從專業特色教學,不同類型的專業對數學課的課時及要求應有所不同.因此,數學教師應從提高素質和加強應用的角度選擇教材的內容,滿足專業崗位需求.為實行各專業數學區別化教學奠定基礎.確定不同專業學生應該具備的數學內容,使數學教學能聯系實際,突出專業個性.例如,模具班在上數學課時,在立體幾何上可多安排一些時間,這樣增強學生的立體感.不同的類型的專業,該部分內容不同.如機電專業,對立體幾何、平面向量、解析幾何有所側重；而財會專業則對排列、組合、統計初步應用較多；計算機專業,對集合、數列、一元二次方程,計算方法等經常用到.
三、重視實踐,轉變考核評價方式應該說,現行的對學生評價與考試制度與全面推進素質教育的要求是不大相適應的,突出反映在：注重學習成績,忽視學生全面發展和個體差異；關注結果而忽視過程.這種只依據學生的卷面成績評價學生的單一評價辦法不知使多少中職學生的學習積極性被打擊,多少中職學生應有的希望被強行破滅.對中職學生的數學學習,甚至進步與成長都十分不利.因此,在課程評價上,我們必須轉變考核方式,探索科學的評價辦法,發現和發展學生的潛能.如此才能幫助學生樹立自信心,促進學生積極主動地發展.例如有些學生綜合實踐能力很強,就是學習成績不怎麼樣,假如就拿考試來衡量一個學生的好壞,那隻會打消學生的積極性.

4. 高中數學數列的構造法是什麼怎麼使用最好有例題分析

數列構造法能解決很多數列難求的問題，但不是絕對好用。碰到無法構造的需要猜想，證明等方法。
例1： a1=1， an+1=2an + 3*（1/2）^(n+1)
看好，前後像等比，卻又多了一項，且此時該等比數2和後面加的那個（1/2）不一樣。這一點很重要，我們構造形式一致：
【an+1+p*（1/2）^(n+1)】=2【an + p*（1/2）^(n+1)】 看到一定要湊形式上的一致。 待定系數，反過來展開和原來式子作比對。對應系數，項都相等。
得p=1
【an+（1/2）^(n)】這個數列成等比數列，公比為2 ，看好 ，裡面的n在變化，這是第n項，下一項是n+1 裡面1/2的指數那裡當然相應地也是n+1 ，這就是形式上嚴格一致。滲透了待定系數的思想原理。

例2： 已知正數數列列：nan -（n+1）a（n+1）=2n（n+1）an*an+1 ，求an，n∈N*
此題連同上面一道題都是我親手現編的，可以看到比較復雜。
但是這道題目不難發現，兩邊n（n+1）存在重復情形，所以兩邊做除法，反正n∈N*，可以除。而且一樣的是，an*a（n+1）和上面n（n+1）也是一樣重復，又是正數列，除吧。
一做除法，欣然歡喜：1/(n+1)*a(n+1) - 1/n*an=2 原來1/n*an 是倒數成等差數列啊。
此題上來一個大式子很嚇人，稍作變形，而且往倒數方向考慮，約去重復對稱的項和式子。撥雲見日。

5. 如何改進教學方法，提高中職數學教學質量

近年來，隨著中職招生規模的不斷擴大，加之中職生從中考中分流而來，入學成績低，尤其是在數學這門學科中學習基礎較差。中職數學的教學正面臨著前所未有的困惑和挑戰，如何優化中職數學的教學方法勢在必行。筆者認為，中職數學的教學要適應新時期發展的要求，做到與時俱進，以服務專業為導向，要多注重教學方法的完善，最終達到期望的教學目標。
一 我國目前中職數學的教學質量現狀分析
中職學生數學底子薄弱，缺乏一個良好的學習習慣。學生對於數學的認知存在一定的偏差，多數學生認為中職學校只要學好專業課就可以了，文化課則沒必要學。當前，中職數學的理論性及邏輯性較強，數學教學的內容同專業課之間的聯系不夠緊密，是目前中職學校數學教學中存在的主要問題。這些方面都導致學生對數學學習興趣的缺乏，對中職數學的教學質量造成了直接影響。
因此，中職數學教學應當改變傳統的教學模式，結合專業課教學，採用新型教學手段及多元化評價方式，以激發學生的學習興趣，達到提高中職數學的教學質量的目的。
二 改善教學方法以提高中職數學的教學質量分析
1.多媒體信息技術在中職數學教學中的應用探索
數學本身是具有抽象性、知識深度及廣度都非常強的學科，中職數學更加體現數與形的高度結合統一。多媒體信息技術具有較強的直觀性、可控制性、交互性、信息容量大、教學方式多樣、靈活快速，正是符合了中職數學教學的各項要求，教學過程可以以點對點、多角度及方向、網狀等方式進行。利用多媒體信息技術編制的數學教學課件可以很好地輔助教師完成教學目標，為教學計劃的順利實施提供了更加形象生動的表現方式。
「知之者不如好之者，好之者不如樂之者。」中職數學教學的特點是具有抽象的內容。在課堂教學中，可以利用多媒體計算機製作圖文、聲情並茂的教學課件，使中職數學教學抽象且復雜的學習活動瞬間變得直觀簡單。最大限度地激發了學生的學習興趣，增強了學生學習的主動性及實際應用能力，便於學生更容易地理解與掌握數學教學內容。使多媒體信息技術完全貫穿於整個中職數學教學過程中，久而久之，教學效果收效較大。
2.中職數學的教學要與學生自身的專業特點相結合
中職數學教師要在保證教學基本知識的同時，結合學生自身各專業的特點，針對其專業對數學知識實際應用，按需取捨教學內容。本著「以夠用為尺度，以實用為目的」的原則，讓學生更多地了解數學在將來專業課當中的一些應用，使所學知識能更多地在專業課、實際生產和日常生活中找到相應的模型。積極鼓勵學生運用數學知識解決專業及實際問題，這樣既培養了學生的數學應用能力，又使學生有了成就感，覺得數學學有所用，從而提高了對數學的學習興趣。
按照上述理念，以電子專業的數學教學為例，可以將中職數學的教學內容分為以下三部分：（1）基礎部分：集合、函數與三角函數、直線與圓、數列、立體幾何。這些是每個學生的必修內容，是各類專業與現代職業崗位對高素質勞動者的最基本要求。（2）專業部分：數的運算、指數、對數、三角函數的性質與應用、向量、復數、邏輯關系。這部分內容是電子專業學生所必備的數學知識，它們是工具，提供了學習專業技能的保障。（3）提高部分：圓、橢圓、雙曲線、概率、統計、數學模型訓練。這些內容可以作為學生的選修內容，以保證學生將來的繼續學習、轉崗和創業。教師可根據不同學生的基礎、興趣和自身素質指導學生學習；也可以有組織地成立數學課外小組，集體合作、討論學習。在教學的過程中，可以將基礎與專業知識穿插進行，按照每學期專業課用到的數學知識和用到的時間，以及各個知識點的邏輯關系來安排這些內容的教學順序。
3.中職數學教學評價的調整實踐
傳統的學生學業評價總是以期中和期末考試來定局，為了使中職數學的教學更能體現自身的教學目標，筆者在校本教材的編寫中增加了培養學生數學應用能力的內容，這就必須體現在考核中。為此，筆者將考試和教學結合起來，採用綜合評定成績的方法，其考核內容如下：
平時成績佔15%，包括課上回答問題和討論、課堂檢測及作業等成績；實驗成績佔25%，包括對學生的數學應用能力的考核，主要體現在數學建模方面；期末考試成績佔60%，包括考核學生平時的學習和對基本知識的理解與掌握情況。通過這種完善後的考試方式，能積極促進學生學習的主動性，把握好學生在整個學習過程中的每一個環節，杜絕了「考前搞突擊，平時不努力」的不良學風，為學生日後的專業學習打下良好的基礎。
三 結束語
如何提高中職數學的教學質量，優化教學方法，是中職數學教師永恆的研究課題和奮斗目標。中職數學教師要切實轉變傳統的教學觀念和方法，在教學過程中理論聯系實際，以學生為主體，設法激發學生的學習積極性，同時注重自身素質的提高，以情感人，使學生們不僅願意學數學，而且更願意學好數學。

6. 中職數學知識點有哪些

一、冪函數：

1、定義形如y=xα的函數叫冪函數，其中α為常數，在中學階段只研究α為有理數的情形

二、指數函數和對數函數：

1、定義：指數函數，y=ax(a＞0，且a≠1)，注意與冪函數的區別。對數函數y＝logax(a＞0，且a≠1)。指數函數y=ax與對數函數y=logax互為反函數．

2、指數函數：y=ax(a＞0，且a≠1)與對數函數y=logax(a＞0，且a≠1)的圖象和性質。

三、指數方程和對數方程：

指數方程和對數方程屬於超越方程，在中學階段只要求會解一些簡單的特殊類型指數方程和對數方程，基本思想是將它們化成代數方程來解。

四、數列的概念：

1、數列定義：按一定次序排列的一列數叫做數列； 數列中的每個數都叫這個數列的項。記作na，在數列第一個位置的項叫第1項（或首項）。在第二個位置的叫第2項，……，序號為n 的項叫第n項（也叫通項）記作na。

五、函數的表示方法：

表示函數的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種。

解析法：就是用數學表達式表示兩個變數之間的對應關系。

列表法：就是列出表格來表示兩個變數之間的對應關系。

圖象法：就是用圖象表示兩個變數之間的對應關系。

7. 數學：數列的解題方法

直譯法
設元後，視元為已知數，根據題設條件，把數學語言直譯為代數式，即可列出方程。
例1.（2004年山西省）甲、乙兩個建築隊完成某項工程，若兩隊同時開工，12天就可以完成工程；乙隊單獨完成該工程比甲隊單獨完成該工程多用10天。問單獨完成此項工程，乙隊需要多少天？
解：設乙單獨完成工程需x天，則甲單獨完成工程需（x－10）天。根據題意，得

去分母，得x
2
-34x+120=0
解得x
1
=30,x
2
=4
經檢驗，x
1
,x
2
都是原方程的根，但當時x=30，x-10=20，當x=4時，x-10=-6，因時間不能為負數，所以只能取x=30。
答：乙隊單獨完成此項工程需要30天。
點評：設乙單獨完成工程需x天後，視x為已知，則根據題意，原原本本的把語言直譯成代數式，則方程很快列出。
列表法
設出未知數後，視元為已知數，然後綜合已知條件，把握數量關系，分別填入表格中，則等量關系不難得出，進而列出方程（組）。
例2.（2004年海淀區）在某校舉辦的足球比賽中規定：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分。某班足球隊參加了12場比賽，共得22分，已知這個隊只輸了2場，那麼此隊勝幾場？平幾場？
解：設此隊勝x場，平y場
由列表與題中數量關系，得
解這個方程組，得
答：此隊勝6場，平4場。
點評：通過列表格，將題目中的數量關系顯露出來，使人明白，從勝、平、負的場數之和等於12，總得分22分是勝場、平場、負場得分之和。建立方程組，利用列表法求解使人易懂。

8. 做數列題的方法

公式法、累加法、累乘法、待定系數法、對數變換法、迭代法、數學歸納法、換元法、不動點法、特徵根的方法等等。

類型一
歸納—猜想—證明
由數列的遞推公式可寫出數列的前幾項，再由前幾項總結出規律，猜想出數列的一個通項公式，最後用數學歸納法證明．

類型二
「逐差法」和「積商法」
(1)當數列的遞推公式可以化為an+1-an=f(n)時，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1個式子：
a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，
且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得時，兩邊累加得通項an，此法稱為「逐差法」．
(2)當數列的遞推公式可以化為an+1/an=f(n)時，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1個式子，即
a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得時，兩邊連乘可求出an，此法稱為「積商法」．

類型三
構造法
遞推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不為零的常數)，可用待定系數法構造一個新的等比數列求解．

類型四
可轉化為類型三求通項
(1)「對數法」轉化為類型三．
遞推式為an+1=qan�k(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，兩邊取常用對數，得lgan+1=klgan+lgq，令lgan=bn，則有bn+1=kbn+lgq，轉化為類型三．

(2)「倒數法」轉化為類型三．
遞推式為商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)．
若b=0，得an+1=pan/(qan+c)．因為an≠0，所以兩邊取倒數得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,則bn+1=(c/p)bn+q/p，轉化為類型三．
若b≠0，設an+1+x=y(an+x)/qan+c，與已知遞推式比較求得x、y，令bn=an+x，得bn+1=ybn/qan+c，轉化為b=0的情況．

類型五
遞推式為an+1/an=qn/n+k(q≠0,k∈N)
可先將等式(n+k)an+1=qnan兩邊同乘以(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)，得(n+k)(n+k-1)(n+k-2)… (n+1)an+1=q(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)nan，令bn=(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)�6�1nan,則bn+1= (n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1．
從而bn+1=qbn，因此數列｛bn｝是公比為q，首項為b1=k(k-1)(k-2)…2�6�11�6�1a1=k!a1的等比數列，進而可求得an．

總之，由數列的遞推公式求通項公式的問題比較復雜，不可能一一論及，但只要我們抓住遞推數列的遞推關系，分析結構特徵，善於合理變形，就能找到解決問題的有效途徑．

類型一�歸納—猜想—證明
由數列的遞推公式可寫出數列的前幾項，再由前幾項總結出規律，猜想出數列的一個通項公式，最後用數學歸納法證明．
�例1�設數列｛an｝是首項為1的正項數列，且(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…)，則它的通項公式是an=______________．(2000年全國數學卷第15題)
解：將(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…)分解因式得(an+1+an)〔(n+1)an+1-nan〕=0．
��由於an＞0，故(n+1)an+1=nan，即an+1=n/(n+1)an．
��因此a2=(1/2)a1=(1/2)，a3=(2/3)a2=(1/3),…．猜想an=(1/n),可由數學歸納法證明之，證明過程略．

類型二�「逐差法」和「積商法」
(1)當數列的遞推公式可以化為an+1-an=f(n)時，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1個式子：
a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，
且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得時，兩邊累加得通項an，此法稱為「逐差法」．
例2�已知數列｛an｝滿足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2),證明：an=(3n-1)/2．
(2003年全國數學卷文科第19題)
證明：由已知得an-an-1=3n-1，故
an=(an-an-1)+(an-1－an-2)+…+(a2-a1)+a1=3n-1+3��n-2�+…+3+1=3n-1/2．
所以得證．
(2)當數列的遞推公式可以化為an+1/an=f(n)時，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1個式子，即
a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,a��n�/an-1�=f(n－1)�，�且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得時，兩邊連乘可求出an，此法稱為「積商法」．
例3�(同例1)(2000年全國數學卷第15題)
另解：將(n+1)a2n+1-nan2＋an+1an=0(n�=1,2,3,…)化簡，得(n+1)an+1=nan，即
an+1/an=n/(n+1)．�
故an=an/an-1�6�1an-1/an-2�6�1an-2/an-3�6�1…�6�1a2/a1�=n-1/n�6�1n-2/n-1�6�1n-3/n-2�6�1 … �6�11/2�=1/n．

類型三�構造法
遞推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不為零的常數)，可用待定系數法構造一個新的等比數列求解．
例4�(同例2)(2003年全國數學卷文科第19題)
另解：由an=3n-1+an-1得3�6�1an/3n=an-1/3n-1+1．
令bn＝an/3n，則有
bn=1/3bn-1+1/3． (*)
設bn+x=1/3(bn-1+x)，則bn=1/3bn-1+1/3x-x，與(*)式比較，得x=-1/2，所以bn-1/2=1/3(bn-1-1 /2)．因此數列｛bn-1/2｝是首項為b1-1=a1/3=-1/6，公比為1/3的等比數列，所以bn-1/2=-1/6�6�1(1/3)n-1，即 an/3n-1/2=-1/6(1/3)n-1．故an=3n〔1/2-1/6(1/3)n-1〕=3n-1/2．
例5�數列｛an｝中，a1=1,an+1=4an+3n+1，求an．�
解：令an+1+(n+1)x+y=4(an+nx+y)，則
an+1=4an+3nx+3y-x,與已知an+1=4an+3n+1比較，得

3x=3， 所以
x=1,
3y-x=1， y=(2/3)．
故數列｛an+n+(2/3)｝是首項為a1+1+(2/3)=(8/3)，公比為4的等比數列，因此an+n+(2/3)=(8/3)�6�14n-1,即
an=(8/3)�6�14n-1-n-(2/3)．
另解：由已知可得當n≥2時，an=4an-1+3(n-1)+1，與已知關系式作差，有an+1-an=4(an-an-1)+3，即an+1- an+1=4(an-an-1+1)，因此數列｛an+1-an+1｝是首項為a2-a1+1=8-1+1=8，公比為4的等比數列，然後可用「逐差法」 求得其通項an=(8/3)�6�14n-1-n-(2/3)．

類型四�可轉化為
類型三求通項
(1)「對數法」轉化為
類型三．
遞推式為an+1=qan�k(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，兩邊取常用對數，得lgan+1=klgan+lgq，令lgan=bn，則有bn+1=kbn+lgq，轉化為
類型三．
例6�已知數列｛an｝中，a1=2,an+1=an2，求an．
解：由an+1=an2＞0，兩邊取對數得lgan+1=2lgan．令bn=lgan則bn+1=2bn．因此數列｛bn｝是首項為b1=lga1=lg2，公比為2的等比數列，故bn=2n-1lg2=lg22n-1，即an=22n-1．
(2)「倒數法」轉化為
類型三．
遞推式為商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)．
若b=0，得an+1=pan/(qan+c)．因為an≠0，所以兩邊取倒數得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,則bn+1=(c/p)bn+q/p，轉化為
類型三．
若b≠0，設an+1+x=y(an+x)/qan+c，與已知遞推式比較求得x、y，令bn=an+x，得bn+1=ybn/qan+c，轉化為b=0的情況．
例7�在數列｛an｝中，已知a1=2,an+1=(3an+1)/(an+3)，求通項an．
解：設an+1+x=y(an+x)/an+3，則an+1=(y-x)an+(y-3)x/an+3，結合已知遞推式得

y-x=3, 所以
x=1,
y-3=1， y=4，
則有an+1+1=4(an+1)/an+3，令bn=an+1，則bn+1=4bn/bn+2，求倒數得1/bn+1=1/2�6�11/bn+1/4，即1/bn+1-1/2=1/2(1/bn-1/2)．
因此數列｛1/bn-1/2｝是首項為1/b1-1/2=1/a1+1-1/2=-1/6，公比為1/2的等比數列．
故1/bn-1/2=(-1/6)(1/2)n-1，從而可求得an． 求數列的前n項和是高中數學《數列》一章的教學重點之一，而對於一些非等差數列，又非等比數列的某些數列求和，是教材的難點。不過，只要認真去探求這些數列的特點。和結構，也並非無規律可循。
典型示例：
1、 用通項公式法：
規律：能用通項公式寫出數列各項，從而將其和重新組合為可求數列和。
例1：求5，55，555，…，的前n項和。
解：∵an= 5 9(10n-1)
∴Sn = 5 9(10-1)+ 5 9(102-1) + 5 9(103-1) + … + 5 9(10n-1)
= 5 9[（10+102+103+…+10n）-n]
= （10n＋1-9n-10）
2、 錯位相減法：
一般地形如{an�6�1bn}的數列，{ an }為等差數列， { bn }為等比數列，均可用錯位相減法求和。
例2：求：Sn=1+5x+9x2+�6�1�6�1�6�1�6�1+(4n-3)xn-1
解：Sn=1+5x+9x2+�6�1�6�1�6�1�6�1+(4n-3)xn-1 ①
①兩邊同乘以x，得
x Sn=x+5 x2+9x3+�6�1�6�1�6�1�6�1+(4n-3)xn ②
①-②得，（1-x）Sn=1+4（x+ x2+x3+�6�1�6�1�6�1�6�1+ ）-（4n-3）xn
當x=1時，Sn=1+5+9+�6�1�6�1�6�1�6�1+（4n-3）=2n2-n
當x≠1時，Sn= 1 1-x [ 4x(1-xn) 1-x +1-（4n-3）xn ]
3、 裂項抵消法：
這一類數列的特徵是：數列各項是等差數列某相鄰兩項或幾項的積，
一般地，{an}是公差為d的等差數列，則：

即裂項抵消法， 多用於分母為等差數列的某相鄰k項之積，而分子為常量的分式型數列的求和，對裂項抵消法求和，其裂項可採用待定系數法確定。
例3：求 1 3， 1 1 5， 1 3 5， 1 63之和。
解：
4、 分組法：
某些數列，通過適當分組，可得出兩個或幾個等差數列或等比數列，從而可利用等差數列或等比數列的求和公式分別求和，從而得出原數列之和。
例4：求數列 的前n項和。
解：
5、 聚合法：
有的數列表示形式較復雜，每一項是若干個數的和，這時常採用聚合法，
先對其第n項求和，然後將通項化簡，從而改變原數列的形式，有利於找出解題辦法。
例5：求數列2，2+4，2+4+6，2+4+6+8，…，2+4+6+…+2n，…的前n項和
解：∵an=2+4+6+…+2n= n(n+1)=n2+n
∴Sn=(12+1)+(22+2)+(32+3) +……+( n2+n)
=（12+22+32+…+ n2）+（+2+3+…+n）
= n（n+1）（2n+1）+ n(n+1)
= 1 3n（n+1）（n+2）
6、 反序相加法：
等差數列前n項和公式的推導，是先將和式中各項反序編排得出另一個和式，然後再與原來的和式對應相加，從而解得等差數列的前n項和公式，利用這種方法也可以求出某些數列的前n項和。
例6：已知lg(xy)=a，求S，其中
S=

解: 將和式S中各項反序排列，得

將此和式與原和式兩邊對應相加，得
2S= + + �6�1 �6�1 �6�1 +
(n+1)項
=n(n+1)lg(xy)
∵ lg(xy)=a ∴ S= n(n+1)a
以上一個6種方法雖然各有其特點，但總的原則是要善於改變原數列的形式結構，使其能進行消項處理或能使用等差數列或等比數列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來解決，只要很好地把握這一規律，就能使數列求和化難為易，迎刃而解。