多尺度計算方法

① 求數值計算方法 第三版 李有法 朱建新 課後答案

數值計算方法如下：

1、有限元法：有限元方法的基礎是變分原理和加權餘量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變數改寫成由各變數或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式。

藉助於變分原理或加權餘量法，將微分方程離散求解。採用不同的權函數和插值函數 形式，便構成不同的有限元方法。

在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元 上的近似解構成。

根據所採用的權函數和插值函數的不同 ，有限元方法也分為多種計算格式。從權函數的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網格的形狀來劃分，有三角形網格、四邊形網格和多邊形網格，從插值函數的精度來劃分，又分為線性插值函數和高次插值函數等。不同的組合 同樣構成不同的有限元計算格式。

2、多重網格方法：多重網格方法通過在疏密不同的網格層上進行迭代,以平滑不同頻率的誤差分量。具有收斂速度快,精度高等優點。

多重網格法基本原理微分方程的誤差分量可以分為兩大類，一類是頻率變化較緩慢的低頻分量；另一類是頻率高，擺動快的高頻分量。

一般的迭代方法可以迅速地將擺動誤差衰減，但對那些低頻分量，迭代法的效果不是很顯著。高頻分量和低頻分量是相對的，與網格尺度有關，在細網格上被視為低頻的分量，在粗網格上可能為高頻分量。

多重網格方法作為一種快速計算方法，迭代求解由偏微分方程組離散以後組成的代數方程組，其基本原理在於一定的網格最容易消除波長與網格步長相對應的誤差分量。

該方法採用不同尺度的網格，不同疏密的網格消除不同波長的誤差分量，首先在細網格上採用迭代法，當收斂速度變緩慢時暗示誤差已經光滑，則轉移到較粗的網格上消除與該層網格上相對應的較易消除的那些誤差分量，這樣逐層進行下去直到消除各種誤差分量，再逐層返回到細網格上。

3、有限差分方法：有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。

有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。

對於有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。

構造差分的方法有多種形式，目前主要採用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：

一階向前差分、一階向後差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，後兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。

4、有限體積法：有限體積法（Finite Volume Method）又稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，並使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變數的數值。

為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布的分布剖面。從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬於加權剩餘法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬於採用局部近似的離散方法。簡言之，子區域法屬於有限體積發的基本方法。

有限體積法的基本思路易於理解，並能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變數在有限大小的控制體積中的守恆原理，如同微分方程表示因變數在無限小的控 制體積中的守恆原理一樣。

限體積法得出的離散方程，要求因變數的積分守恆對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當網格極其細密時，離散方程才滿足積分守恆。

而有限體積法即使在粗網格情況下，也顯示出准確的積分守恆。就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網格點之間的變化規律（既插值函數），並將其作為近似解。

有限差分法只考慮網格點上的數值而不考慮值在網格點之間如何變化。有限體積法只尋求的結點值 ，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網格點之間的分布，這又與有限單元法相類似。

在有限體積法中，插值函數只用於計算控制體積的積分，得出離散方程之後，便可忘掉插值函數；如果需要的話，可以對微分方程 中不同的項採取不同的插值函數。

5、近似求解的誤差估計方法：近似求解的誤差估計方法共有三大類:單元餘量法,通量投射法及外推法。

單元餘量法廣泛地用於以FEM離散的誤差估計之中,它主要是估計精確運算元的餘量,而不是整套控制方程的全局誤差。

這樣就必須假定周圍的單元誤差並不相互耦合,誤差計算採用逐節點演算法進行。單元餘量法的各種不同做法主要來自對單元誤差方程的邊界條件的不同處理辦法。基於此,該方法能夠有效處理局部的殘餘量,並能成功地用於網格優化程序。

通量投射法的基本原理來自一個很簡單的事實:精確求解偏微分方程不可能有不連續的微分,而近似求解卻可以存在微分的不連續,這樣產生的誤差即來自微分本身,即誤差為系統的光滑求解與不光滑求解之差。該方法與單元餘量法一樣,對節點誤差採用能量范數,故也能成功地用於網格優化程序。

單元餘量法及通量投射法都局限於局部的誤差計算(採用能量范數),誤差方程的全局特性沒有考慮。另外計算的可行性(指誤差估計方程的計算時間應小於近似求解計算時間)不能在這兩種方法中體現,因為獲得的誤差方程數量,階數與流場控制方程相同。

外推是指採用後向數值誤差估計思想由精確解推出近似解的誤差值。各類文獻中較多地採用Richardson外推方法來估計截斷誤差。無論是低階還是高階格式,隨著網格的加密數值計算結果都會趨近於准確解。但由於計算機內存與計算時間的限制,實際上不能採用這種網格無限加密的辦法。

6、多尺度計算方法：近年來發展的多尺度計算方法包括均勻化方法、非均勻化多尺度方法、以及小波數值均勻化方法、多尺度有限體積法、多尺度有限元法等。

該方法通過對單胞問題的求解，把細觀尺度的信息映射到宏觀尺度上，從而推導出宏觀尺度上的均勻化等式，即可在宏觀尺度上求解原問題。均勻化方法在很多科學和工程應用中取得了巨大成功，但這種方法建立在系數細觀結構周期性假設的基礎上，因此應用范圍受到了很大限制。

鄂維南等提出的非均勻化多尺度方法，是構造多尺度計算方法的一般框架。該方法有兩個重要的組成部分：基於宏觀變數的整體宏觀格式和由微觀模型來估計缺少的宏觀數據，多尺度問題的解通過這兩部分共同得到。

該方法基於多分辨分析，在細尺度上建立原方程的離散運算元，然後對離散運算元進行小波變換，得到了大尺度上的數值均勻化運算元。此方法在大尺度上解方程，大大地減小了計算時間。

該法在宏觀尺度上進行網格剖分，然後通過在每個單元里求解細觀尺度的方程(構造線性或者振盪的邊界條件)來獲得基函數。從而把細觀尺度的信息反應到有限元法的基函數里，使宏觀尺度的解包含了細觀尺度的信息。但多尺度有限元方法在構造基函數時需要較大的計算量。

藉助於變分原理或加權餘量法，將微分方程離散求解。採用不同的權函數和插值函數 形式，便構成不同的有限元方法。

在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元 上的近似解構成。

根據所採用的權函數和插值函數的不同 ，有限元方法也分為多種計算格式。從權函數的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網格的形狀來劃分，有三角形網格、四邊形網格和多邊形網格，從插值函數的精度來劃分，又分為線性插值函數和高次插值函數等。不同的組合 同樣構成不同的有限元計算格式。

2、多重網格方法：多重網格方法通過在疏密不同的網格層上進行迭代,以平滑不同頻率的誤差分量。具有收斂速度快,精度高等優點。

多重網格法基本原理微分方程的誤差分量可以分為兩大類，一類是頻率變化較緩慢的低頻分量；另一類是頻率高，擺動快的高頻分量。

一般的迭代方法可以迅速地將擺動誤差衰減，但對那些低頻分量，迭代法的效果不是很顯著。高頻分量和低頻分量是相對的，與網格尺度有關，在細網格上被視為低頻的分量，在粗網格上可能為高頻分量。

多重網格方法作為一種快速計算方法，迭代求解由偏微分方程組離散以後組成的代數方程組，其基本原理在於一定的網格最容易消除波長與網格步長相對應的誤差分量。

該方法採用不同尺度的網格，不同疏密的網格消除不同波長的誤差分量，首先在細網格上採用迭代法，當收斂速度變緩慢時暗示誤差已經光滑，則轉移到較粗的網格上消除與該層網格上相對應的較易消除的那些誤差分量，這樣逐層進行下去直到消除各種誤差分量，再逐層返回到細網格上。

3、有限差分方法：有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。

有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。

對於有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。

構造差分的方法有多種形式，目前主要採用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：

一階向前差分、一階向後差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，後兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。

4、有限體積法：有限體積法（Finite Volume Method）又稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，並使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變數的數值。

為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布的分布剖面。從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬於加權剩餘法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬於採用局部近似的離散方法。簡言之，子區域法屬於有限體積發的基本方法。

有限體積法的基本思路易於理解，並能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變數在有限大小的控制體積中的守恆原理，如同微分方程表示因變數在無限小的控 制體積中的守恆原理一樣。

限體積法得出的離散方程，要求因變數的積分守恆對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當網格極其細密時，離散方程才滿足積分守恆。

而有限體積法即使在粗網格情況下，也顯示出准確的積分守恆。就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網格點之間的變化規律（既插值函數），並將其作為近似解。

有限差分法只考慮網格點上的數值而不考慮值在網格點之間如何變化。有限體積法只尋求的結點值 ，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網格點之間的分布，這又與有限單元法相類似。

在有限體積法中，插值函數只用於計算控制體積的積分，得出離散方程之後，便可忘掉插值函數；如果需要的話，可以對微分方程 中不同的項採取不同的插值函數。

5、近似求解的誤差估計方法：近似求解的誤差估計方法共有三大類:單元餘量法,通量投射法及外推法。

單元餘量法廣泛地用於以FEM離散的誤差估計之中,它主要是估計精確運算元的餘量,而不是整套控制方程的全局誤差。

這樣就必須假定周圍的單元誤差並不相互耦合,誤差計算採用逐節點演算法進行。單元餘量法的各種不同做法主要來自對單元誤差方程的邊界條件的不同處理辦法。基於此,該方法能夠有效處理局部的殘餘量,並能成功地用於網格優化程序。

通量投射法的基本原理來自一個很簡單的事實:精確求解偏微分方程不可能有不連續的微分,而近似求解卻可以存在微分的不連續,這樣產生的誤差即來自微分本身,即誤差為系統的光滑求解與不光滑求解之差。該方法與單元餘量法一樣,對節點誤差採用能量范數,故也能成功地用於網格優化程序。

單元餘量法及通量投射法都局限於局部的誤差計算(採用能量范數),誤差方程的全局特性沒有考慮。另外計算的可行性(指誤差估計方程的計算時間應小於近似求解計算時間)不能在這兩種方法中體現,因為獲得的誤差方程數量,階數與流場控制方程相同。

外推是指採用後向數值誤差估計思想由精確解推出近似解的誤差值。各類文獻中較多地採用Richardson外推方法來估計截斷誤差。無論是低階還是高階格式,隨著網格的加密數值計算結果都會趨近於准確解。但由於計算機內存與計算時間的限制,實際上不能採用這種網格無限加密的辦法。

6、多尺度計算方法：近年來發展的多尺度計算方法包括均勻化方法、非均勻化多尺度方法、以及小波數值均勻化方法、多尺度有限體積法、多尺度有限元法等。

該方法通過對單胞問題的求解，把細觀尺度的信息映射到宏觀尺度上，從而推導出宏觀尺度上的均勻化等式，即可在宏觀尺度上求解原問題。均勻化方法在很多科學和工程應用中取得了巨大成功，但這種方法建立在系數細觀結構周期性假設的基礎上，因此應用范圍受到了很大限制。

鄂維南等提出的非均勻化多尺度方法，是構造多尺度計算方法的一般框架。該方法有兩個重要的組成部分：基於宏觀變數的整體宏觀格式和由微觀模型來估計缺少的宏觀數據，多尺度問題的解通過這兩部分共同得到。

該方法基於多分辨分析，在細尺度上建立原方程的離散運算元，然後對離散運算元進行小波變換，得到了大尺度上的數值均勻化運算元。此方法在大尺度上解方程，大大地減小了計算時間。

該法在宏觀尺度上進行網格剖分，然後通過在每個單元里求解細觀尺度的方程(構造線性或者振盪的邊界條件)來獲得基函數。從而把細觀尺度的信息反應到有限元法的基函數里，使宏觀尺度的解包含了細觀尺度的信息。但多尺度有限元方法在構造基函數時需要較大的計算量。

② 什麼是多尺度問題

多尺度問題指的是所研究的問題涉及到多個數量級。譬如目標檢測中我們希望能夠檢測出很小的物體和很大的物體，這就涉及到兩種不同數量的幾何尺度。但受到技術限制，大部分研究都是在單一尺度下進行。
以上是個人理解。

③ 基於多尺度視覺特徵的釣魚檢測最高准確率

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④ 多尺度分割

與傳統的基於像元的分類方法不同，面向對象的遙感影像分類方法處理的基本單元是影像對象，而不是單個的像元。其採用一種基於遙感影像的多尺度分割方法，可以生成任意尺度的、屬性信息相似的影像多邊形 ( 對象) ，運用模糊數學方法獲得每個對象的屬性信息，以影像對象為信息提取的基本單元，實現分類和信息提取。面向對象的遙感影像分類有兩個獨立的模塊: 對象生成 ( 影像分割) 與信息提取 ( 影像分類) ( Blaschket et al. ，2000; Metzler et al. ，2002) 。對象生成即採用多尺度分割技術生成同質對象，其是進行分類識別和信息提取的必要前提。信息提取是基於模糊邏輯分類的思想，建立特徵屬性的判別規則體系，計算出每個對象屬於某一類別的概率，達到分類識別和信息提取的目的。

地表信息在不同的尺度 ( 時間或空間跨度) 上有著不同的表現，例如從圖 5 －1 中分辨出的就是兩個圓形的物體，當把觀察距離拉遠時，我們看到了圖5 －2，這時我們根據其與相鄰物體之間的關系能立刻分辨出左邊的圓形物體是盤子，右邊的圓形物體是車輪。這是空間尺度上的一個簡單例子。時間尺度就更加簡單，例如一片耕地，在夏季的時候是綠色的，到了秋季變成黃色的。上述的例子說明，當我們要正確識別目標地物的時候，必須要選擇一個合適的尺度，達到最佳的分辨效果。傳統的基於像元的信息提取方法均是在同一個尺度上進行，該尺度即影像的空間解析度，由於它無法兼顧地物的宏觀和微觀特徵，導致在影像信息十分豐富的時候 ( 高解析度影像) ，往往達不到很好的提取效果，出現許多破碎的區域，這也就是常說的高解析度影像分類的 「胡椒鹽效應」。針對這一問題，面向對象的分類方法引進了多尺度分割的概念。

圖 5 －1 兩個圓形物體

圖 5 －2 盤子和車輪

( 一) 多尺度分割的概念

多尺度分割是指在影像信息損失最小的前提下，以任意尺度生成異質性最小、同質性最大的有意義影像多邊形對象的過程，其是一種影像抽象 ( 壓縮) 的手段，即把高解析度像元的信息保留到低解析度的對象上，不同的地物類型可以在相應尺度的對象上得到反映( 黃慧萍，2003) 。影像的多尺度分割從任意一個像元開始，採用自下而上的區域合並方法形成對象。小的對象可以經過若干步驟合並成大的對象，每一對象大小的調整都必須確保合並後對象的異質性小於給定的閾值 ( 王岩等，2009) 。因此，多尺度分割可以理解為一個局部優化過程，而對象的同質性標准則是由對象的顏色 ( color) 因子和形狀 ( shape)因子確定，分別代表了影像分割時 「顏色」和 「形狀」各自所佔的權重，兩者之和為 1。而 「形狀因子」又由光滑度 ( smoothness) 和緊致度 ( compactness) 兩部分組成，兩者權重之和為 1，這四個參數共同決定分割效果 ( 圖 5 －3) 。

圖 5 －3 多尺度分割的參數構成

( 二) 多尺度分割參數的選擇

同質性標准包括光譜 ( 顏色) 和形狀兩個因子，其中形狀因子又包括光滑度和緊致度。大多數情況下，顏色因子對生成對象最重要，形狀因子有效控制著影像對象的破碎程度，可以避免 「同物異譜」和 「同譜異物」現象與 「胡椒鹽效應」，以此提高分類精度( 田新光，2007) 。傳統的基於像元的方法不考慮形狀因子，而將光譜因子設置為 1，即完全依靠像元的光譜值進行信息提取。光滑度是通過邊界平滑來優化影像對象的，其描述的是對象邊界與一個正方形的相似度; 緊致度是通過聚集度來優化影像對象的，其作用是利用較小的差別把緊湊和不緊湊的目標對象區分開。光滑度和緊致度兩個形狀因子相互作用、相互影響，但並不完全對立，即通過光滑度優化的對象也可能會有好的緊致度，反之，通過緊致度優化過的對象也可能會有光滑的邊界。

在參數設置時，首先應當明確光譜信息的重要性，應充分利用光譜 ( 顏色) 信息，形狀因子權重太高會導致對象同質性的破壞，出現一個對象包含若乾地類的情況，不利於信息提取。因此，在進行多尺度分割時要遵循兩條基本原則: ① 盡可能使用較大的顏色因子; ② 如果遇到邊界不很光滑但是聚集度較高的影像對象，可嘗試使用較大的形狀因子來加以控制。

( 三) 分割尺度的選擇

多尺度分割的一個突出貢獻是同一空間解析度的遙感影像信息不再只由一種尺度來表示，而是在同一遙感影像中可以由多種適宜的尺度來描述 ( 黃慧萍，2003) 。多尺度分割不僅生成了有意義的影像對象，並且將原解析度的影像信息擴展到不同尺度上，實現了信息的多尺度表達與描述。多尺度分割表示在影像分割過程中採用不同的分割尺度值，所生成的對象大小取決於分割前確定的分割尺度值，其值越大，所生成對象的多邊形面積就越大而數目越少，反之多邊形面積越小，數目越多。因此，影像分割時尺度的選擇很重要，其直接決定了分類和信息提取的精度。

最優尺度的確定一直是面向對象分類方法的一個研究重點，但是最優尺度是相對的，是相對於某一特定目標或要求的，某一特定變數的最優分割尺度值不一定適用於其他變數，所以最優尺度只能是一個數值范圍。但是分割尺度的選擇應當遵守以下規則: 對於某一特定地物類別，最適合的尺度是指分割後的對象邊界清晰，能用一個或者多個對象來表達這種地物類別，既不能太破碎也不能出現混合類別對象，單個對象能夠很好地表達這種地物類別特有的屬性特徵，使其能很好地與其他地物類別區分開來 ( 黃慧萍，2003) 。一般來看，分割尺度越小，產生的對象就越 「純」，不同地物類別被劃分到單個對象的概率就越小，這樣信息提取的精度就越高; 但是分割尺度越小會導致同一地物類別對象之間差異性增加，不同地物類別對象之間的異質性反而降低，並不利於分類和識別，而且分割對象數目過多，過於破碎，反而增加了計算機的運算量，降低了提取的精度，並不可取，所以，必須在分割尺度和分類精度之間尋找到平衡點。

( 四) 多尺度分割的網路層次關系

不同的分割尺度生成相應的對象層，從而構建影像對象之間的層次等級網路，它以不同的空間尺度表達了影像所包含的信息，每一個對象都有它的鄰域 ( 左右) 對象、上層父對象和下層子對象 ( 圖 5 －4) 。對象網路層次結構按照從大到小、從上到下的方式安排:原始層 ( 像元層) 放在最底層，尺度最大的放在最高層。分割尺度較小的層中包含的對象數量較多，每個對象包含的像元數較少; 而分割尺度較大的層中，單個對象包含的像元數目比較多，而包含的對象數量比較少。在這個對象網路層次結構中，每一個對象都包含了鄰域對象、下層子對象和上層父對象之間復雜的屬性關系，在處理這些關系的時候，上、下層次對象間的關系顯得尤為重要，因為通常可以根據父對象的屬性確定子對象類別、根據子對象的平均屬性對父對象的紋理屬性進行分類以及根據已確定類別的子對象組成對父對象進行分類等。此外，相鄰對象也十分重要，因為如果有些對象的光譜、紋理和形狀信息都十分相似，若以它們的對象作為分類判定的一個標准，則信息提取就容易得多。

圖 5 －4 多尺度分割的網路層次結構圖

( 五) 基於異質性最小原則的區域合並演算法

多尺度分割採用的是基於異質性最小原則的區域合並演算法，其基本思想是把具有相同或相似性質的相鄰像元集合起來組成區域多邊形 ( 對象) 。首先在每個需要分割的區域中找一個種子像元作為生長起點，然後將種子像元鄰域中與種子像元有相同或相似性質的像元合並到種子像元所在的區域中，將這些新的像元當作新的種子像元繼續進行上面的過程，直到再沒有滿足條件的像元，由此生成一個區域 ( 對象) ( 章毓晉，2000) 。區域合並演算法的目的是實現分割後影像對象的權重異質性最小，如果僅考慮光譜異質性最小會導致分割後的對象邊界比較破碎，因此，需要把光譜異質性的標准和空間異質性的標准配合使用。在分割前，需要首先確定影響異質性大小的光譜因子和形狀因子，因為只有同時滿足光譜異質性、光滑度異質性和緊致度異質性最小，才能使整幅影像中所有對象的平均異質性最小 ( 戴昌達等，2004) 。

( 六) 模糊分類方法

面向對象的遙感影像分類方法採用的是基於模糊邏輯分類系統的模糊數學分析方法。模糊理論是由美國加州伯克萊分校 Zadeh 教授於 1965 年提出的，主要用來處理模糊不清、不嚴密和不明確的問題。模糊性是客觀世界存在的普遍現象 ( 陳文凱，2007) ，遙感影像中的模糊性主要表現在一個對象 ( 像元) 內可能出現多個地物類別在這種情況下如何確定其歸屬。

模糊分類系統一般由模糊化、模糊推理和去模糊三個部分組成。模糊化就是把特徵值向模糊值轉化的過程，實質上是一個特徵標准化的過程，成員函數是一個模糊表達式，能把任意特徵值范圍轉換為 ［0，1］ 這個統一的范圍。模糊推理是指對模糊集合建立相關的模糊判斷規則並進行最終推理。去模糊實際上是通過模糊推理以及綜合評價方法最終確定結果的過程。

遙感影像經過分割後得到的對象不再是硬性地屬於某個特定的地物類別，而是在不同程度上與該類別相關，它們之間的關系不再是 「是」與 「非」的硬性關系，而是不確定的。模糊分類方法是一種量化不確定狀態的數學分析方法。採用模糊分類方法有以下三點優勢:① 特徵值向模糊值轉化，這實際上是一個特徵標准化的過程; ② 允許特徵之間的相互組合，甚至是范圍和大小迥異的特徵也可以組合起來作為分類的規則; ③ 提供了靈活的、可調整的特徵描述，通過模糊運算和層次分析，能夠進行復雜的分類和信息提取 ( 張永生等，2004) 。

本研究面向對象的地物分類方法技術流程如圖 5 －5 所示。

圖 5 －5 面向對象的地物分類方法技術流程圖

⑤ hog多尺度檢測和單尺度檢測有什麼區別

1. hog描述子在opencv中為HOGDescriptor。

2. 2. 可以調用該描述子setSVMDetector方法給用於對hog特徵進行分類的svm模型的系數賦值，這里的參數為HOGDescriptor::getDefaultPeopleDetector()時表示採用系統默認的參數，因為這些參數是用很多圖片訓練而來的。

3. 3. 對輸入圖片進行行人檢測時由於圖片的大小不一樣，所以要用到多尺度檢測。這里是用hog類的方法detectMultiScale。參數解釋如下：

4. HOGDescriptor::detectMultiScale(const GpuMat img, vector<Rect> found_locations, doublehit_threshold=0, Size win_stride=Size(), Size padding=Size(), double scale0=1.05, int group_threshold=2)

5. 該函數表示對輸入的圖片img進行多尺度行人檢測 img為輸入待檢測的圖片；found_locations為檢測到目標區域列表；參數3為程序內部計算為行人目標的閾值，也就是檢測到的特徵到SVM分類超平面的距離;參數4為滑動窗口每次移動的距離。它必須是塊移動的整數倍；參數5為圖像擴充的大小；參數6為比例系數，即滑動窗口每次增加的比例；參數7為組閾值，即校正系數，當一個目標被多個窗口檢測出來時，該參數此時就起了調節作用，為0時表示不起調節作用。

6. 4. 最後對檢測出來的目標矩形框，要採用一些方法處理，比如說2個目標框嵌套著，則選擇最外面的那個框。

7. 5. 因為hog檢測出的矩形框比實際人體框要稍微大些,所以需要對這些矩形框大小尺寸做一些調整。
   

⑥ 函數的多尺度逼近

函數（模擬信號）f（t）∈L²（R）可以用一系列具有不同尺度j的函數序列｛f^j（t）｝來逼近，這種方法稱為函數的多尺度逼近。特別在圖像處理方面，在不同尺度上分析圖像並將其結果進行比較，是一種流行的方法。在實踐中，常給定等距采樣間隔T作為基本單位，對應j尺度的采樣間隔為 T^j=T/2^j，j∈Z。在固定的 j 尺度，分劃的節點為｛t_j，k｝，采樣值為｛f（t_j，k）｝，基函數為｛φ_j，k（t）｝。特別是，基函數可以選擇為同一個函數φ（t），然後經平移伸縮形成函數系，如φ_j，k（t）=φ（2^jt-k），這樣可作出在j尺度下的近似函數f^j（t），即

地球物理信息處理基礎

因此只要計算出｛c_j，k｝，就能得出f^j（t）。在j尺度下，若φ_j，k（t）是內插型基函數，即φ_j，k（t）｜_tj，m=δ_k，m，如δ 脈沖串函數、矩形函數或線性樣條函數等，則系數｛c_j，k｝正好就是樣本值｛f（t_j，k）｝，此時，式（6-50）中 f^j（t）➝f（t）是容易實現的。若採用非內插型基函數，而｛c_j，k｝仍採用樣本值｛f（t_j，k）｝，那麼，據式（6-50）的線性組合形式雖然可以在一定程度上近似f（t），但T^j➝0時，近似函數f^j（t）是不能逼近目標函數f（t）的。圖6-9和圖6-10給出用矩形函數和線性樣條函數作基函數時，分別用階梯函數和折線函數近似f^j（t）的示意圖。

⑦ 如何從數學上描述一個多尺度問題

解決問題的教學內涵豐富，如何讓學生喜歡它，這是我們當前所面臨的問題。如何上好小學數學解決問題教學的幾點體會
《基礎教育課程改革綱要》中指出：改變課程實施中過於強調接受學習，死記硬背，機械訓練的現狀，倡導學生主動參與、樂於探究、勤於動手，培養學生收集和處理信息的能力。《課程標准》明確指出：「學生是學習的主人。」前蘇聯教育家蘇霍姆林斯基也曾說過：「人的心靈深處，總有一種把自己當作發現者、研究者、探索者的固有需要，這種需要在小學生精神世界尤為重要。」長期束縛在教師、教材、課堂圈子裡，不敢越雷池半步的學生，在今天更需要我們極力改變學習方式，而探究即為自主學習的方式。因此，要講究自主探究的學習策略，使之成為發現者、研究者、探索者，從而把他們心靈深處被壓抑的個性釋放出來。數學解決問題教學更能充分發揮學生自主探究學習的能動性。
一、引導發現、感悟，注重自主探究的嘗試性
發現是探究的開始。由於好奇是少年兒童的心理特點，它往往可促使學生作進一步深入細致的觀察、思考和探索，從而提出探究性的問題。讓學生提出問題，自主合作探究，不僅僅是一個方式方法問題，而是一種教育觀念的問題，是一種教學質量觀的問題，是學生觀的反映。如果我們能營造一個積極寬松和諧的課堂教學氛圍，讓學生成為「問」的主體，成為一個「信息源」，那麼，學生學習的積極性和主動性將被大大激發。因為學生提問題總是以自身積極思考為前提的。正因為這樣，我們說教師與其「給」學生10個問題，不如讓學生自己去發現，去「產生」一個問題。
兩步計算的解決問題教學時，我將例題巧作變動，大大激發了學生探究的慾望。
師：大家想不想來做一個猜數游戲啊？
生：想！
師：我這兒有三個不同顏色的盒子（分別出示紅、白、黑三個盒子），盒子里分別裝了一些硬幣。現在，我請你猜一猜，紅盒子里裝了多少個硬幣？
生：（七嘴八舌亂猜）
師：大家都沒有猜對。在你沒有得到相關的信息之前，你能一下子准確地猜出紅盒子里裝了多少個硬幣嗎？
生：不能。
師：那我給你一個信息：黑盒子里有15個硬幣。依靠這個信息，你能准確猜出紅盒子里的硬幣個數嗎？為什麼？
生：不能。紅盒子里硬幣的個數與黑盒子無關。
師：我再給你一個信息：白盒子里有10個硬幣。現在，你能不能猜出紅盒子里硬幣的個數？為什麼？
生：還是不能。因為紅盒子里的個數與白盒子的個數無關。
師：知道了這兩個信息，你還想知道什麼方面的信息就能猜出紅盒子里硬幣的個數了？把你的想法和小組里的成員交流一下。
學生通過交流，歸納出如果再知道一個能把紅盒子與白盒子和黑盒子里的個數聯系起來的信息，就能猜出紅盒子里硬幣的個數。學生舉例：紅盒子里的硬幣個數比黑（白）盒子多（少）多少個；紅盒子里的硬幣個數是黑（白）盒子的多少倍；紅盒子里的硬幣個數比黑盒子和白盒子的總數多（少）多少個；紅盒子里的硬幣個數是黑盒子和白盒子的總數的多少倍等等。這時，引導比較學生自己提出的問題，可以發現有的只需一步計算，有的卻需兩步計算。讓學生說說為什麼要兩步計算。在提出問題、比較問題的過程中，學生不僅強化了兩步解決問題的結構，而且對解決問題教學中數量關系的選擇有了初步的定位。教師最後出示相關信息，學生終於順利猜出紅盒子里的硬幣個數。
只有學生自己主動提出問題，主體作用才能得以真正的發揮，才能體現自主探究發現。因此，教師要隨時注意挖掘教材中隱藏的「發現」因素，創設一種使學生主動發現問題、提出問題的情境，啟發學生自己發現問題、探索知識，使教學過程圍繞學生在學習中產生的問題而。教師必須積極創設問題情境，引導學生提出與學習過程有密切關系的問題，使所提出的問題提到點子上，才能促進自主合作探究，達到學會學習之目的。
二、鼓勵參與合作，追求自主探究的互動性
1、創設情景，激發興趣，提供主動探究的空間。
教學時不要把學生死死地捆在教科書上，讓學生死記那些他們認為很枯燥的東西。教師要根據學生的數學學習心理規律盡可能選他們樂於接受的，有價值的數學內容為題材編出問題。如給數學找到生活中的原型，讓學生體驗到「學數學」不是在「記數學、背數學、練數學、考數學」，而是在 「用數學」。
人教版九年義務教育六年制第九冊教材第45頁，應用題例1是這樣的：
一個服裝廠計劃做660套衣服，已經做了5天，平均每天做75套。剩下的要3天做完，平均每天要做多少套？
這種類型的解決問題枯燥得很，離學生比較遠，學生肯定沒有興趣。沒有了興趣不能產生探究的興趣。我對此題做了如下改動：
（1）課件展示情境或組織學生進行對話表演。
客戶：周廠長，！我們訂做的660套衣服，生產得怎麼樣了？
廠長：已經做了5天，平均每天做75套。
客戶：我們等著要貨，你們3天之內能完成了嗎？
廠長：能。
（2）師：同學們！你們根據廠長、客戶提供的信息想到什麼數學問題？
教師根據學生的回答，整理出以上出示的例1。
（3）師：你們會解答嗎？如果不會，可以小組討論。
生：略
這種方式較好地體現了「數學問題生活化」和「自主學習、探索創新」兩大方面，將學習活動置於社會生活問題之中，巧妙地把要解決的問題變為對話展現給學生。讓學生主動積極地獲取知識，將感性的實際活動與學生的內心感受體驗結合起來。這樣的數學，學生不僅學得好，而且也為他們以後到社會上去成為各行各業的成功者打好基礎。
2、給學生自由選擇的權利，提供主動探究空間。
每個學生都有自己獨特的內心世界、精神世界和內心感受，有著不同於他人的觀察、思考、解決問題的方式。現代教育越來越重視每個學生潛能的開發和個性的發展。由於學生的認知水平和認知習慣的不同，常常會想出不同的計算方法，這正是學生具有不同獨特性的體現。因此在教學過程中，教師要鼓勵學生靈活運用知識，嘗試各種演算法的多樣化。
無論學生用哪種方法解決這個問題，都應該給予肯定，不能強求學生使用統一的方法解決同樣的問題，在學生獨立思考解決這個問題的基礎上，進行小組內的交流，每個學生都發表自己的觀點，傾聽同伴的解決方法，使每個學生感受到解決方法的靈活性、多樣化。這樣的教學有利於培養學生獨立思考的能力，有利於學生進行學習交流。使每個學生都有獲得成功的愉悅，而且還能使不同的人學到不同的數學，不同的人在數學上得到不同的發展。
3、建立合作小組，提供主動參與的合作夥伴。
課前先建立合作小組，將不同學習能力、學習態度、學習興趣、性別、個性的學生分配在同一組內，組成4人或6人的小組，再給組內成員一個特殊的身份，一項特殊的職責。如「主持人」（掌管小組討論的全局，分配發言機會，協調小組學習的進程，觀察組內同學合作技巧的表現，如討論時的聲音控制、提問和應答時的禮貌）等，最後要求每一組設計組名、組標，促使合作學習小組形成「組內互助合作，組間競爭奪標」的氛圍。
解決問題具有抽象性，有時學生不能很好地理解題意，造成解題障礙。在這種情況下，教師應重視問題解決的過程，讓學生理解題意，從而輕松掌握解題方法。
4、選擇專題，分工合作，加強主動探究能力。
在有限的課堂時間里，可緊扣教材，選擇重點、難點、疑點作為專題，運用研究性學習，分工合作，提高學生的主動性、研究性和發現的能力。為了減少學生研究探索學習的梯度，課堂上利用教材特點進行專題研究是必不可少的，可在課外探究學習中面對更多的是如何搜集處理信息怎樣與人合作。為此要引導學生遇到困難時能主動尋求幫助，要熱情地幫助他人排憂解難。若自己擁有材料正是別人急需的，能成全他人的計劃，使自己在學會探究的同時，更學會做人。
三、激活求異思維，培養自主探究的獨創性
通過不同的途徑，從不同的角度，用不同的方法解決問題，這樣不僅活躍了學生的思維，開闊了思路，同時也促進學生養成善於求異的習慣，對於培養學生的創新能力有著決定性的作用。在教師的教學中，通過表達方式的變異，理解角度的變更，思考方法的變遷，題型設計的變化等來提供多形態的知識信息，創造多樣化的思維環境，接通多方位的解題思路，從而促進內容的深化，理解的深入，提高學生思維的變通性和廣闊性。人們在理解知識的過程中，習慣運用某種思維方式，便會產生定勢心理。教師在教學中要不失時機地創設思維情境，千方百計地為學生提供創新素材和空間。用「教」的創新火種點燃「學」的創新火，才能有成效地培養學生自主探究的獨創性。
比如針對五年級的學生，在學習了三步計算的應用題後，我設計了一道與學生生活比較接近的開放題，以此來激活學生的變通思維：
學校組織師生看電影。學生950人，教師27人。影劇院售票處寫著：
今日放映
《宇宙與人》
成人票： 每張8元
學生票： 每張4元
團體票： 每張6元
（30人或30人以上可購買團體票）
請設計一種你認為最省錢的購票方案，並算出購票一共需要多少錢？
題目一出示，學生就頗有興趣，積極開動腦筋，力求找到最佳方案。
以下是 學生不同的解題方法：
方法1：827+4950=4016（元）
方法2：（27+950）6=5862（元）
方法3：從學生人數中拿出3人，和教師組成一個團體。
306+9474=3968（元）
……
針對這樣的問題，不同層次的學生有不同的解法，每位學生在這樣的問題情境中都得到了充分地發揮。通過練習，培養了學生主動應用數學知識的能力
四、設計開放作業，強化自主探究實踐性
數學教學是一個開放的系統，生活中處處有數學，也處處用數學。皮亞傑認為「兒童如果不具有自己的真實活動，教育就不可能成功。」如何設計開放的作業，讓學生在自主探究的實踐中有所收獲呢？首先要尊重學生擇業的要求，其次要開放作業的形式與內容。
1、遷移例題解法。
如講授了植樹問題後，可建議學生去步行街上走一走，數一數步行街上有多少個垃圾桶，目測一下每兩個垃圾桶之間的距離大約是多少米，再算一算從起始的垃圾桶到最後一個垃圾桶之間的總長度約是多少米？
2、結合生活熱點。
國慶、元旦等節日期間，許多商店推出打折的促銷手段，可以在家長的帶領下，去商店購物，看看商品的原價是多少，打幾折，打折以後的價錢是多少，比原價便宜多少？記錄下你的考察結果。返校後可組織討論：商店利用打折的手段促銷商品，它是賺多了，還是賺少了？會不會虧本？讓學生真切的感受到數學就在我們的身邊。
3、加強專題實踐。
學習了長方形和正方形面積的計算以後，就可以跟爸爸媽媽一起給家設計一些裝修方案。比如：量一量房間的長和寬，算一算房間的面積大約是多少平方米。如果購買地板的話，根據家庭的經濟實力，再去市場了解地板的價格，選擇合適的價位，進行購買，大約需要支出多少。
這樣開放的作業內容，既與教材內容相聯系，又與學生生活相結合，還「接軌」了社會活動，學生有了「自由馳騁」的自主學習，自由探索的空間，在實踐中才能煥發生命的活力，充滿成長的氣息，書寫一個創造的人生。
解決問題的教學內涵豐富，如何讓學生喜歡它，這是我們當前所面臨的問題。但我堅信，只要教師通過一定的策略，為學生營造輕松的氛圍，讓學生覺得要解決 的問題，離自己並不遙遠，問題解決才有價值。這樣才能讓學生喜歡上解決問題。從而真正掌握解決方法。達到了這種境界才算是一堂成功的優秀的教學。

⑧ 什麼是多尺度法

多尺度法是在平均法的基礎上發展起來的一種近似解析方法。平均法是利用兩種不同的時間尺度，將系統的振動分解為快變和慢變兩種過程。將標志運動的主要參數，如振幅和初相角，在快變過程的每個周期內平均化，然後著重討論其慢變過程。為了提高平均法的計算精度，可以將時間尺度劃分的更為精細，由此發展為二十世紀六十年代的多尺度法。

⑨ 小波多尺度分解 怎樣計算每層的總能量

各層小波細節或逼近重構信號的各點幅值平方後的求和。

⑩ 什麼是圖像多尺度幾何分析技術

通過像小波變換這樣的數學分析方法，把圖像分解在不同的尺度（不同的精細程度，如不同的低頻高頻子帶）上，來進行處理的一種數學分析方法。