A. 求考研數學必備公式
數學高考基礎知識、常見結論詳解
一、集合與簡易邏輯：
一、理解集合中的有關概念
（1）集合中元素的特徵： 確定性 ， 互異性 ， 無序性 。
集合元素的互異性：如： ， ，求 ；
（2）集合與元素的關系用符號 ， 表示。
（3）常用數集的符號表示：自然數集 ；正整數集 、 ；整數集 ；有理數集 、實數集 。
（4）集合的表示法： 列舉法 ， 描述法 ， 韋恩圖 。
注意：區分集合中元素的形式：如： ； ； ； ； ；
；
（5）空集是指不含任何元素的集合。（ 、 和 的區別；0與三者間的關系）
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
注意：條件為 ，在討論的時候不要遺忘了 的情況。
如： ，如果 ，求 的取值。
二、集合間的關系及其運算
（1）符號「 」是表示元素與集合之間關系的，立體幾何中的體現 點與直線（面）的關系 ；
符號「 」是表示集合與集合之間關系的，立體幾何中的體現 面與直線(面)的關系 。
（2） ； ；
（3）對於任意集合 ，則：
① ； ； ；
② ； ；
； ；
③ ； ；
（4）①若 為偶數，則 ；若 為奇數，則 ；
②若 被3除餘0，則 ；若 被3除餘1，則 ；若 被3除餘2，則 ；
三、集合中元素的個數的計算：
（1）若集合 中有 個元素，則集合 的所有不同的子集個數為_________，所有真子集的個數是__________，所有非空真子集的個數是 。
（2） 中元素的個數的計算公式為： ；
（3）韋恩圖的運用：
四、 滿足條件 ， 滿足條件 ，
若 ；則 是 的充分非必要條件 ；
若 ；則 是 的必要非充分條件 ；
若 ；則 是 的充要條件 ；
若 ；則 是 的既非充分又非必要條件 ；
五、原命題與逆否命題，否命題與逆命題具有相同的 ；
注意：「若 ，則 」在解題中的運用，
如：「 」是「 」的 條件。
六、反證法：當證明「若 ，則 」感到困難時，改證它的等價命題「若 則 」成立，
步驟：1、假設結論反面成立；2、從這個假設出發，推理論證，得出矛盾；3、由矛盾判斷假設不成立，從而肯定結論正確。
矛盾的來源：1、與原命題的條件矛盾；2、導出與假設相矛盾的命題；3、導出一個恆假命題。
適用與待證命題的結論涉及「不可能」、「不是」、「至少」、「至多」、「唯一」等字眼時。
正面詞語 等於 大於 小於 是 都是 至多有一個
否定
正面詞語 至少有一個 任意的 所有的 至多有n個 任意兩個
否定
二、函數
一、映射與函數：
（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函數的概念：
如：若 ， ；問： 到 的映射有 個， 到 的映射有 個； 到 的函數有 個，若 ，則 到 的一一映射有 個。
函數 的圖象與直線 交點的個數為 個。
二、函數的三要素： ， ， 。
相同函數的判斷方法：① ；② (兩點必須同時具備)
（1）函數解析式的求法：
①定義法（拼湊）：②換元法：③待定系數法：④賦值法：
（2）函數定義域的求法：
① ，則 ； ② 則 ；
③ ，則 ； ④如： ，則 ；
⑤含參問題的定義域要分類討論；
如：已知函數 的定義域是 ，求 的定義域。
⑥對於實際問題，在求出函數解析式後；必須求出其定義域，此時的定義域要根據實際意義來確定。如：已知扇形的周長為20，半徑為 ，扇形面積為 ，則 ；定義域為 。
（3）函數值域的求法：
①配方法：轉化為二次函數，利用二次函數的特徵來求值；常轉化為型如： 的形式；
②逆求法（反求法）：通過反解，用 來表示 ，再由 的取值范圍，通過解不等式，得出 的取值范圍；常用來解，型如： ；
④換元法：通過變數代換轉化為能求值域的函數，化歸思想；
⑤三角有界法：轉化為只含正弦、餘弦的函數，運用三角函數有界性來求值域；
⑥基本不等式法：轉化成型如： ，利用平均值不等式公式來求值域；
⑦單調性法：函數為單調函數，可根據函數的單調性求值域。
⑧數形結合：根據函數的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域。
求下列函數的值域：① （2種方法）；
② （2種方法）；③ （2種方法）；
三、函數的性質：
函數的單調性、奇偶性、周期性
單調性：定義：注意定義是相對與某個具體的區間而言。
判定方法有：定義法（作差比較和作商比較）
導數法（適用於多項式函數）
復合函數法和圖像法。
應用：比較大小，證明不等式，解不等式。
奇偶性：定義：注意區間是否關於原點對稱，比較f(x) 與f(-x)的關系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)為偶函數；
f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)為奇函數。
判別方法：定義法， 圖像法 ，復合函數法
應用：把函數值進行轉化求解。
周期性：定義：若函數f(x)對定義域內的任意x滿足：f(x+T)=f(x),則T為函數f(x)的周期。
其他：若函數f(x)對定義域內的任意x滿足：f(x+a)=f(x－a),則2a為函數f(x)的周期.
應用：求函數值和某個區間上的函數解析式。
四、圖形變換：函數圖像變換：（重點）要求掌握常見基本函數的圖像，掌握函數圖像變換的一般規律。
常見圖像變化規律：（注意平移變化能夠用向量的語言解釋，和按向量平移聯系起來思考）
平移變換 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b
注意：（ⅰ）有系數，要先提取系數。如：把函數y＝f(2x)經過 平移得到函數y＝f(2x＋4)的圖象。
（ⅱ）會結合向量的平移，理解按照向量 （m，n）平移的意義。
對稱變換 y=f(x)→y=f(－x),關於y軸對稱
y=f(x)→y=－f(x) ,關於x軸對稱
y=f(x)→y=f|x|,把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關於x軸對稱
y=f(x)→y=|f(x)|把y軸右邊的圖象保留，然後將y軸右邊部分關於y軸對稱。（注意：它是一個偶函數）
伸縮變換：y=f(x)→y=f(ωx),
y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具體參照三角函數的圖象變換。
一個重要結論：若f(a－x)＝f(a+x)，則函數y=f(x)的圖像關於直線x=a對稱；
如： 的圖象如圖，作出下列函數圖象：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
（7） ；（8） ；
（9） 。
五、反函數：
（1）定義：
（2）函數存在反函數的條件： ；
（3）互為反函數的定義域與值域的關系： ；
（4）求反函數的步驟：①將 看成關於 的方程，解出 ，若有兩解，要注意解的選擇；②將 互換，得 ；③寫出反函數的定義域（即 的值域）。
（5）互為反函數的圖象間的關系： ；
（6）原函數與反函數具有相同的單調性；
（7）原函數為奇函數，則其反函數仍為奇函數；原函數為偶函數，它一定不存在反函數。
如：求下列函數的反函數： ； ；
七、常用的初等函數：
（1）一元一次函數： ，當 時，是增函數；當 時，是減函數；
（2）一元二次函數：
一般式： ；對稱軸方程是 ；頂點為 ；
兩點式： ；對稱軸方程是 ；與 軸的交點為 ；
頂點式： ；對稱軸方程是 ；頂點為 ；
①一元二次函數的單調性：
當 時： 為增函數； 為減函數；當 時： 為增函數； 為減函數；
②二次函數求最值問題：首先要採用配方法，化為 的形式，
Ⅰ、若頂點的橫坐標在給定的區間上，則
時：在頂點處取得最小值，最大值在距離對稱軸較遠的端點處取得；
時：在頂點處取得最大值，最小值在距離對稱軸較遠的端點處取得；
Ⅱ、若頂點的橫坐標不在給定的區間上，則
時：最小值在距離對稱軸較近的端點處取得，最大值在距離對稱軸較遠的端點處取得；
時：最大值在距離對稱軸較近的端點處取得，最小值在距離對稱軸較遠的端點處取得；
有三個類型題型：
(1)頂點固定，區間也固定。如：
(2)頂點含參數(即頂點變動)，區間固定，這時要討論頂點橫坐標何時在區間之內，何時在區間之外。
(3)頂點固定，區間變動，這時要討論區間中的參數．
③二次方程實數根的分布問題： 設實系數一元二次方程 的兩根為 ；則：
根的情況
等價命題 在區間 上有兩根 在區間 上有兩根 在區間 或 上有一根
充要條件
注意：若在閉區間 討論方程 有實數解的情況，可先利用在開區間 上實根分布的情況，得出結果，在令 和 檢查端點的情況。
（3）反比例函數：
（4）指數函數：
指數運演算法則： ； ； 。
指數函數：y= (a>o,a≠1)，圖象恆過點（0，1），單調性與a的值有關，在解題中，往往要對a分a>1和0<a<1兩種情況進行討論，要能夠畫出函數圖象的簡圖。
（5）對數函數：
指數運演算法則： ； ； ；
對數函數：y= (a>o,a≠1) 圖象恆過點（1，0），單調性與a的值有關，在解題中，往往要對a分a>1和0<a<1兩種情況進行討論，要能夠畫出函數圖象的簡圖。
注意：（1） 與 的圖象關系是 ；
（2）比較兩個指數或對數的大小的基本方法是構造相應的指數或對數函數，若底數不相同時轉化為同底數的指數或對數，還要注意與1比較或與0比較。
（3）已知函數 的定義域為 ，求 的取值范圍。
已知函數 的值域為 ，求 的取值范圍。
六、 的圖象：
定義域： ；值域： ； 奇偶性： ； 單調性： 是增函數； 是減函數。
七、補充內容：
抽象函數的性質所對應的一些具體特殊函數模型：
① 正比例函數
② ； ；
③ ； ；
④ ；
三、導 數
1．求導法則：
(c)/=0 這里c是常數。即常數的導數值為0。
(xn)/=nxn－1 特別地：(x)/=1 (x－1)/= ( )/=－x-2 (f(x)±g(x))/= f/(x)±g/(x) (k•f(x))/= k•f/(x)
2．導數的幾何物理意義：
k＝f/(x0)表示過曲線y=f(x)上的點P(x0,f(x0))的切線的斜率。
V＝s/(t) 表示即時速度。a=v/(t) 表示加速度。
3．導數的應用：
①求切線的斜率。
②導數與函數的單調性的關系
一 與 為增函數的關系。
能推出 為增函數，但反之不一定。如函數 在 上單調遞增，但 ，∴ 是 為增函數的充分不必要條件。
二 時， 與 為增函數的關系。
若將 的根作為分界點，因為規定 ，即摳去了分界點，此時 為增函數，就一定有 。∴當 時， 是 為增函數的充分必要條件。
三 與 為增函數的關系。
為增函數，一定可以推出 ，但反之不一定，因為 ，即為 或 。當函數在某個區間內恆有 ，則 為常數，函數不具有單調性。∴ 是 為增函數的必要不充分條件。
函數的單調性是函數一條重要性質，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上三個關系，用導數判斷好函數的單調性。因此新教材為解決單調區間的端點問題，都一律用開區間作為單調區間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應用中還會遇到端點的討論問題，要謹慎處理。
四單調區間的求解過程，已知 （1）分析 的定義域;（2）求導數 （3）解不等式 ，解集在定義域內的部分為增區間（4）解不等式 ，解集在定義域內的部分為減區間。
我們在應用導數判斷函數的單調性時一定要搞清以下三個關系，才能准確無誤地判斷函數的單調性。以下以增函數為例作簡單的分析，前提條件都是函數 在某個區間內可導。
③求極值、求最值。
注意：極值≠最值。函數f(x)在區間[a,b]上的最大值為極大值和f(a) 、f(b)中最大的一個。最小值為極小值和f(a) 、f(b)中最小的一個。
f/(x0)＝0不能得到當x=x0時，函數有極值。
但是，當x=x0時，函數有極值 f/(x0)＝0
判斷極值，還需結合函數的單調性說明。
4.導數的常規問題：
（1）刻畫函數（比初等方法精確細微）；
（2）同幾何中切線聯系（導數方法可用於研究平面曲線的切線）；
（3）應用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導數方法顯得簡便）等關於 次多項式的導數問題屬於較難類型。
2．關於函數特徵，最值問題較多，所以有必要專項討論，導數法求最值要比初等方法快捷簡便。
3．導數與解析幾何或函數圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應引起注意。
四、不等式
一、不等式的基本性質：
注意：(1)特值法是判斷不等式命題是否成立的一種方法，此法尤其適用於不成立的命題。
(2)注意課本上的幾個性質，另外需要特別注意：
①若ab>0，則 。即不等式兩邊同號時，不等式兩邊取倒數，不等號方向要改變。
②如果對不等式兩邊同時乘以一個代數式，要注意它的正負號，如果正負號未定，要注意分類討論。
③圖象法：利用有關函數的圖象（指數函數、對數函數、二次函數、三角函數的圖象），直接比較大小。
④中介值法：先把要比較的代數式與「0」比，與「1」比，然後再比較它們的大小
二、均值不等式：兩個數的算術平均數不小於它們的幾何平均數。
若 ，則 （當且僅當 時取等號）
基本變形：① ； ；
②若 ，則 ，
基本應用：①放縮，變形；
②求函數最值：注意：①一正二定三取等；②積定和小，和定積大。
當 （常數），當且僅當 時， ；
當 （常數），當且僅當 時， ；
常用的方法為：拆、湊、平方；
如：①函數 的最小值 。
②若正數 滿足 ，則 的最小值 。
三、絕對值不等式：
注意：上述等號「＝」成立的條件；
四、常用的基本不等式：
（1）設 ，則 （當且僅當 時取等號）
（2） （當且僅當 時取等號）； （當且僅當 時取等號）
（3） ； ；
五、證明不等式常用方法：
（1）比較法：作差比較：
作差比較的步驟：
⑴作差：對要比較大小的兩個數（或式）作差。
⑵變形：對差進行因式分解或配方成幾個數（或式）的完全平方和。
⑶判斷差的符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號。
注意：若兩個正數作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。
（2）綜合法：由因導果。
（3）分析法：執果索因。基本步驟：要證……只需證……，只需證……
（4）反證法：正難則反。
（5）放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的。
放縮法的方法有：
⑴添加或捨去一些項，如： ；
⑵將分子或分母放大（或縮小）
⑶利用基本不等式，如： ；
⑷利用常用結論：
Ⅰ、 ；
Ⅱ、 ； （程度大）
Ⅲ、 ； （程度小）
（6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變數，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。如：
已知 ，可設 ；
已知 ，可設 ( )；
已知 ，可設 ；
已知 ，可設 ；
（7）構造法：通過構造函數、方程、數列、向量或不等式來證明不等式；
六、不等式的解法：
（1）一元一次不等式：
Ⅰ、 ：⑴若 ，則 ；⑵若 ，則 ；
Ⅱ、 ：⑴若 ，則 ；⑵若 ，則 ；
（2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次項系數小於零的，同解變形為二次項系數大於零；註：要對 進行討論：
（5）絕對值不等式：若 ，則 ； ；
注意：(1).幾何意義： ： ； ： ；
(2)解有關絕對值的問題，考慮去絕對值，去絕對值的方法有：
⑴對絕對值內的部分按大於、等於、小於零進行討論去絕對值；①若 則 ；②若 則 ；③若 則 ；
(3).通過兩邊平方去絕對值；需要注意的是不等號兩邊為非負值。
(4).含有多個絕對值符號的不等式可用「按零點分區間討論」的方法來解。
（6）分式不等式的解法：通解變形為整式不等式；
⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷ ；
（7）不等式組的解法：分別求出不等式組中，每個不等式的解集，然後求其交集，即是這個不等式組的解集，在求交集中，通常把每個不等式的解集畫在同一條數軸上，取它們的公共部分。
（8）解含有參數的不等式：
解含參數的不等式時，首先應注意考察是否需要進行分類討論.如果遇到下述情況則一般需要討論：
①不等式兩端乘除一個含參數的式子時，則需討論這個式子的正、負、零性.
②在求解過程中，需要使用指數函數、對數函數的單調性時，則需對它們的底數進行討論.
③在解含有字母的一元二次不等式時，需要考慮相應的二次函數的開口方向，對應的一元二次方程根的狀況（有時要分析△），比較兩個根的大小,設根為 （或更多）但含參數，要分 、 、 討論。
五、數列
本章是高考命題的主體內容之一，應切實進行全面、深入地復習，並在此基礎上，突出解決下述幾個問題：（1）等差、等比數列的證明須用定義證明，值得注意的是，若給出一個數列的前 項和 ，則其通項為 若 滿足 則通項公式可寫成 .（2）數列計算是本章的中心內容，利用等差數列和等比數列的通項公式、前 項和公式及其性質熟練地進行計算，是高考命題重點考查的內容.（3）解答有關數列問題時，經常要運用各種數學思想.善於使用各種數學思想解答數列題，是我們復習應達到的目標. ①函數思想：等差等比數列的通項公式求和公式都可以看作是 的函數，所以等差等比數列的某些問題可以化為函數問題求解.
②分類討論思想：用等比數列求和公式應分為 及 ；已知 求 時，也要進行分類；
③整體思想：在解數列問題時，應注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢，運用整
體思想求解.
（4）在解答有關的數列應用題時，要認真地進行分析，將實際問題抽象化，轉化為數學問題，再利用有關數列知識和方法來解決.解答此類應用題是數學能力的綜合運用，決不是簡單地模仿和套用所能完成的.特別注意與年份有關的等比數列的第幾項不要弄錯.
一、基本概念：
1、 數列的定義及表示方法：
2、 數列的項與項數：
3、 有窮數列與無窮數列：
4、 遞增（減）、擺動、循環數列：
5、 數列{an}的通項公式an：
6、 數列的前n項和公式Sn:
7、 等差數列、公差d、等差數列的結構：
8、 等比數列、公比q、等比數列的結構：
二、基本公式：
9、一般數列的通項an與前n項和Sn的關系：an=
10、等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項、ak為已知的第k項) 當d≠0時，an是關於n的一次式；當d=0時，an是一個常數。
11、等差數列的前n項和公式：Sn= Sn= Sn=
當d≠0時，Sn是關於n的二次式且常數項為0；當d=0時（a1≠0），Sn=na1是關於n的正比例式。
12、等比數列的通項公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0)
13、等比數列的前n項和公式：當q=1時，Sn=n a1 (是關於n的正比例式)；
當q≠1時，Sn= Sn=
三、有關等差、等比數列的結論
14、等差數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數列。
15、等差數列{an}中，若m+n=p+q，則
16、等比數列{an}中，若m+n=p+q，則
17、等比數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數列。
18、兩個等差數列{an}與{bn}的和差的數列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數列。
19、兩個等比數列{an}與{bn}的積、商、倒數組成的數列
{an bn}、 、 仍為等比數列。
20、等差數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等差數列。
21、等比數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等比數列。
22、三個數成等差的設法：a-d,a,a+d；四個數成等差的設法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
23、三個數成等比的設法：a/q,a,aq；
四個數成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3 (為什麼？)
24、{an}為等差數列，則 (c>0)是等比數列。
25、{bn}（bn>0）是等比數列，則{logcbn} (c>0且c 1) 是等差數列。
26. 在等差數列 中：
（1）若項數為 ，則
（2）若數為 則， ，
27. 在等比數列 中：
（1） 若項數為 ，則
（2）若數為 則，
四、數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。關鍵是找數列的通項結構。
28、分組法求數列的和：如an=2n+3n
29、錯位相減法求和：如an=(2n-1)2n
30、裂項法求和：如an=1/n(n+1)
31、倒序相加法求和：如an=
32、求數列{an}的最大、最小項的方法：
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函數f(n)的增減性 如an=
33、在等差數列 中,有關Sn 的最值問題——常用鄰項變號法求解：
(1)當 >0,d<0時，滿足 的項數m使得 取最大值.
(2)當 <0,d>0時，滿足 的項數m使得 取最小值。
在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。
六、平面向量
1．基本概念：
向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量。
2． 加法與減法的代數運算：
(1) ．
(2)若a=（ ）,b=（ ）則a b=（ ）．
向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。
以向量 = 、 = 為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量 = + , = － , = －
且有｜ ｜－｜ ｜≤｜ ｜≤｜ ｜+｜ ｜．
向量加法有如下規律： ＋ = ＋ (交換律); +( +c)=( + )+c （結合律）;
+0= ＋(－ )=0.
3．實數與向量的積：實數 與向量 的積是一個向量。
(1)｜ ｜=｜ ｜·｜ ｜;
(2) 當 ＞0時， 與 的方向相同；當 ＜0時， 與 的方向相反；當 =0時， =0．
(3)若 =（ ），則 · =（ ）．
兩個向量共線的充要條件：
(1) 向量b與非零向量 共線的充要條件是有且僅有一個實數 ，使得b= ．
(2) 若 =（ ）,b=（ ）則 ‖b ．
平面向量基本定理：
若e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任一向量 ，有且只有一對實數 ， ，使得 = e1+ e2．
4．P分有向線段 所成的比：
設P1、P2是直線 上兩個點，點P是 上不同於P1、P2的任意一點，則存在一個實數 使 = ， 叫做點P分有向線段 所成的比。
當點P在線段 上時， ＞0；當點P在線段 或 的延長線上時， ＜0；
分點坐標公式：若 = ； 的坐標分別為（ ）,（ ）,（ ）；則 （ ≠－1）， 中點坐標公式： ．
5． 向量的數量積：
（1）．向量的夾角：
已知兩個非零向量 與b，作 = , =b,則∠AOB= （ ）叫做向量 與b的夾角。
（2）．兩個向量的數量積：
已知兩個非零向量 與b，它們的夾角為 ，則 ·b=｜ ｜·｜b｜cos ．
其中｜b｜cos 稱為向量b在 方向上的投影．
（3）．向量的數量積的性質：
若 =（ ）,b=（ ）則e· = ·e=｜ ｜cos (e為單位向量);
⊥b ·b=0 （ ，b為非零向量）;｜ ｜= ;
cos = = ．
(4) ．向量的數量積的運算律：
·b=b· ;( )·b= ( ·b)= ·( b);( ＋b)·c= ·c+b·c．
6.主要思想與方法：
本章主要樹立數形轉化和結合的觀點，以數代形，以形觀數，用代數的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等。由於向量是一新的工具，它往往會與三角函數、數列、不等式、解幾等結合起來進行綜合考查，是知識的交匯點。
七、立體幾何
1.平面的基本性質：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。
能夠用斜二測法作圖。
2.空間兩條直線的位置關系：平行、相交、異面的概念；
會求異面直線所成的角和異面直線間的距離；證明兩條直線是異面直線一般用反證法。
3.直線與平面
①位置關系：平行、直線在平面內、直線與平面相交。
②直線與平面平行的判斷方法及性質,判定定理是證明平行問題的依據。
③直線與平面垂直的證明方法有哪些？
④直線與平面所成的角：關鍵是找它在平面內的射影，范圍是{00.900}
⑤三垂線定理及其逆定理：每年高考試題都要考查這個定理. 三垂線定理及其逆定理主要用於證明垂直關系與空間圖形的度量.如：證明異面直線垂直，確定二面角的平面角，確定點到直線的垂線.
4.平面與平面
(1)位置關系：平行、相交，（垂直是相交的一種特殊情況）
(2)掌握平面與平面平行的證明方法和性質。
(3)掌握平面與平面垂直的證明方法和性質定理。尤其是已知兩平面垂直，一般是依據性質定理，可以證明線面垂直。
(4)兩平面間的距離問題→點到面的距離問題→
(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法：
①定義法，一般要利用圖形的對稱性；一般在計算時要解斜三角形；
②垂線、斜線、射影法，一般要求平面的垂線好找，一般在計算時要解一個直角三角形。
③射影面積法，一般是二面交的兩個面只有一個公共點，兩個面的交線不容易找到時用此法? 多但是有用自己慢記！
B. 明天福彩3D能出什麼號
福彩3D第08242-08243期的走勢顯示，近期中小號強勢，大號則較為稀缺。從近期獎號的分布來看，0-4的中小號區域表現強勁，大號區則相對冷門。預計未來三期內，小號區域將繼續保持強勢，重點關注1、3、4等號碼。此外，1路號碼在近兩期連續開出兩碼，這與之前的預測相吻合，預計1路號碼將繼續表現強勢，重點關注1、4等號碼。
近期，中小號區域相對強勢，根據「橫者恆強」的規律，這些號碼在未來三期可能繼續走強。綜合來看，重點關注號碼1、2、3、4、6等。具體而言，1號近期表現較熱，尤其是上期與0相連開出，需防其延續為三連星；2號近期走勢溫和，下期處於對稱分布之位，仍需關注；3號近期強勢，預計在接下來的三期中至少還會開出一次；4號前段時期表現熱，近期轉冷，下期可能成為中值號，應重點關注；6號近期偏熱，下期為鄰號，適當關注。
組三號碼近期雖強勢，但總量仍虧損，需重點關注其回補。百位連續在低位振盪，預計會升至中大號區域，關注4、6、8等號碼。十位則急速探底，預計會回升，重點關注3、4等號碼。
第08242-08244期的具體推薦如下：412、314、984、548、619、745、592、075、672、429、487、980、720、982、441、114。1D推薦：3**、*4*、**2。2D推薦：41*、5*8、*75。和數選：8、11、12。
建議玩家根據自己的喜好和風險承受能力選擇合適的號碼進行投注。
C. 地形地貌研究常用工具軟體的應用方法研究
羅偉東 李 剛
（廣州海洋地質調查局 廣州 510760）
作者簡介：羅偉東，男，廣東人，碩士，高級工程師，主要從事海洋地形地貌調查和研究工作。
E-mail：loky＿luo＠sina.com，電話：020-82250319，13609057863。
摘要 本文介紹了地形地貌研究主要工具軟體的基本功能，針對主要工具軟體的特點和實際應用情況，從地形數據的瀏覽、編輯、提取和轉換，數據的網格化，等深線和彩色陰影底圖等的編輯，調色板的製作與獲取，地形圖和三維立體圖的製作等方面探討地形地貌研究工具軟體應用的方法，為地形地貌研究工作的開展創造有利條件，大大提高了工作效率和質量。
關鍵詞 地形地貌 工具軟體 應用方法
1 前言
海洋地形地貌調查和研究是大多數海洋調查研究的基本內容和重要組成部分。我國自20世紀90年代初引進多波束測深系統後開展了我國近海和鄰近海域多波束海底地形地貌調查和綜合研究，積累了豐富的資料和研究成果。提高地形地貌研究水平和工作效率是研究人員不斷探索的方向。地形地貌研究工作常用的工具軟體發揮了重要作用，能進行原始數據處理、數據網格化、數據提取轉換瀏覽、制圖等，還能進行地形坡度、距離和面積計算，地形剖面的提取製作，方便對海底地形分區、分析分布特徵和識別地貌單元等。熟練掌握地形地貌研究工作常用的工具軟體是研究人員必須具備的基本技能，合理選擇和恰當應用工具軟體是提高工作效率的有效途徑。目前，地形地貌研究可用的工具軟體有許多，如MapGIS、ArcGIS、Golden Software Surfer、CorelDRAW、Global Mapper、Fledermaus、GMT、MB-System和Caris Hips and Sips等。我國的地形地貌研究人員在以往的使用過程中，對相關軟體積累了一些經驗，但是面對種類繁多的工具軟體，要恰當合理綜合應用以提高工作效率和質量卻不是一件容易的事。在實踐工作中，常常會因為沒有掌握軟體的使用方法或沒有發揮各軟體的特點，而遇到一些困難，降低工作效率和質量。作者通過充分應用軟體已有的功能，開發其潛在功能，結合工作實際，揚長避短，綜合應用，使相應軟體更好地服務地形地貌調查和研究工作，發揮更大的作用。
2 地形地貌研究主要工具軟體概述
2.1 MapGIS、ArcGIS和Golden Software Surfer功能概述
這三款軟體，特別是MapGIS和Surfer在國內得到廣泛應用，相關文章對用法和功能的介紹很多。地形地貌研究主要的應用是利用MapGIS、ArcGIS製作規范的地形圖和地貌圖等；Surfer主要的應用是製作坡度圖和地形圖、地貌圖和三維立體圖等。
2.2 GMT功能概述
GMT（Generic Mapping Tools）是一個通用地學制圖工具軟體，發展至今已在大氣、海洋、地震等研究領域得到較為廣泛的應用。GMT是全命令行軟體，需要用戶錄入命令及其指定的輸入輸出數據和各種配置參數（如經度、緯度、顏色配置等）來進行操作。GMT雖然操作相對繁瑣，但執行效率很高，而且圖形文件輸出的主要格式為PostScript文件，這種格式可提供高質量、跨平台的圖形列印，這也是GMT得以廣泛應用的原因。
實際應用中，主要是製作二維三維地形圖。利用GMT強大的顏色渲染和標准圖框輸出功能，製作顏色逼真的彩色陰影圖、報告和論文插圖，大數據量的網格化功能也是其強項。
2.3 Global Mapper功能概述
Global Mapper（簡稱GM）是美國Global Mapper公司開發的一個簡單、實用的圖形管理與應用軟體。它可以在指定投影和地理坐標的基礎上，編輯、轉換光柵和矢量地形圖，繪制二維、三維地形圖以及點、線自編圖形，具有良好的繪圖、編輯、顯示以及數據輸出界面。其主要功能特點和實際應用包括以下四個方面：
1）瀏覽、合成、輸入、輸出、顯示大部分流行的柵格圖形和高程及矢量數據
實際應用中，主要用來直接打開瀏覽各類型如Surfer和GMT網格文件；輸入輸出（特定范圍）網格、XYZ文件及點、線文件；合成相同或不同格式、大小的數據（網格、XYZ）文件。
2）具有數據、圖形的轉換、編輯、拼接、列印功能和投影轉換
主要進行數據、圖形的格式轉換，如將GMT網格文件轉換成Surfer網格文件，重新網格化數據，將XYZ文件轉換成網格文件，網格、XYZ文件轉換（輸出）成圖片等。在網格文件中選取製作特定位置的地形剖面。進行坡度、距離和面積計算。結合不同地理位置的地圖，設置和改變、轉換圖片的投影方式。
3）具有簡單的地理信息功能和動態GPS接收功能
為沒有位置信息的圖片添加坐標信息，在同一個項目中打開的文件都會在相同投影下的大地坐標系中顯示。
4）在實際應用中，GM也存在不足之處：等深線功能簡單，不能調整標注間距和字體樣式及大小；地形圖圖框、比例尺不規范，文字大小和標注不可調節。
2.4 Fledermaus功能概述
加拿大IVS 3D公司生產的Fledermaus是全球海測數據3D具體化的領先商業軟體之一，是一套功能強大的互動式三維數值數據虛擬實境的系統。它可以幫助使用者完成包括海洋（海岸、海底）資源調查與制圖、環境影響評估、采礦、地質調查以及各種研究等工作。Fledermaus可直接支持廣泛的工業數據格式輸入。可直接導入、顯示數字地形圖，點、線、多邊形數據集合、衛星影像並進行分析。瀏覽器iView4D可以隨時瀏覽處理過或分析後的數據結果。
實際應用中，主要是利用其三維可視化功能和復雜區域編輯模塊，用於導入網格文件，對三維數據進行三維可視化顯示和操作，可任意角度觀察地形地貌特徵，可方便進行海底地形分區、分析分布特徵和識別地貌單元。
3 工具軟體的綜合應用
常用工具軟體在地形地貌研究中發揮了重要作用，工具軟體種類繁多，各有優點缺點，科研人員要全部掌握其功能和操作方法有一定難度也沒有必要，應該根據實際工作需要，重點掌握幾個主要軟體，揚長避短，合理應用，其他軟體的應用能滿足工作需要即可。針對所從事的工作，主要的應用情況從以下幾個方面進行闡述。
圖1 GM軟體主界面窗口
3.1 地形數據的瀏覽、編輯、提取和轉換
海底地形分區、分析分布特徵和識別地貌單元等是地形地貌的工作之一，這些工作都要對地形數據進行瀏覽、觀察、描述，以往一般是通過列印的地形圖和三維地形圖等圖件來進行識別和描述。隨著計算機軟硬體技術的發展，目前，更科學的方法是利用工具軟體完成上述工作，也可結合圖件列印的方法。利用工具軟體觀察更直觀簡便高效，可直接導入、顯示數字地形圖，調節著色、等值線間距和垂直比例，進行地形坡度、距離和面積計算，特定位置剖面顯示提取和製作，多角度、隨意縮放、顯示任意位置水深和點線多邊線標注等。GM軟體在這方面具有強大的功能（圖1），結合Fledermaus，Golden SoftwareVoxler軟體能方便地實現上述常用功能，大大提高工作效率，非常適合地形地貌研究和海洋調查使用。
GM軟體可方便地打開XYZ和多種格式的網格文件（包括大數據量文件），還能把數據轉換成自己的網格格式Global mapper grid顯示，文件小，佔用內存少，可隨意進行操作，如放大縮小編輯等，顯示效果好，這是GM軟體的主要特點之一，相比其他軟體具有明顯優勢。顯示二、三維地形圖，具有標注等深線、測線、標注符號和簡單的3D view功能，能從各個角度瀏覽地形；能實時顯示當前或指定位置的水深和經緯度；具備生成地形剖面功能，可選取任意位置進行地形剖面提取和製作；能進行地形坡度、距離和面積計算，地形坡度的計算和顯示是在應用地形剖面功能時，在地形剖面窗口中的Options/showpath detais查看。地形剖面可輸出為CSV或XYZ數據和圖片格式，CSV或XYZ數據可用Grapher等專業軟體製作成剖面圖；圖片格式可直接在CorelDRAW中導入編輯，為保證輸出後的圖片質量和字體大小合適，字體編輯時要注意調節字體的大小，輸出的圖片長度應在2000像素左右，輸出後在word中的字體大小約為小5號。剖面圖如圖2所示。
微地形地貌的瀏覽和描述方面，需要用到相關三維可視化系統，GM軟體具有簡單的3D view功能，並不能滿足實際應用的要求，目前最好的三維可視化系統是Fledermaus，Golden Software Voxler也有不錯的表現，實際應用時應結合使用。
圖2 典型地形剖面
3.2 數據的網格化
隨著多波束海底地形地貌調查和綜合研究的技術發展，對研究人員的要求也越來越高，數據網格化和數據轉換方法已經成為研究人員必須掌握的技能之一。過去認為數據的網格化是由專業處理人員完成的想法已經不符合實際。研究人員在進行研究時不是簡單地利用網格文件，實際可能應用的情況：簡單的數據編輯；數據（網格文件）的格式轉換；重新網格化，生成不同網格間距的網格文件；提取特定區域網格數據等。
在進行XYZ數據的網格化時，不同的網格化（插值）方法的繪圖效果是不一樣的。一般地，各軟體都會提供多種網格化方法供用戶選擇，如Surfer提供多達12種方法、GMT有4種方法和ArcGIS提供5種方法。合理選擇網格化方法和工具軟體能有效提高圖件製作質量，地形地貌的制圖具體使用的網格化方法，需要根據客觀環境特徵和數據本身的特點，進行相應的數據分析，才能繪制出准確、有意義的圖件。一般地，中大數據量的數據用加權反距離法（Inverse distance to a power）或者最小曲率法效果好、效率高，小數據量數據可使用克里格法（Kriging）。單一的工具軟體不能滿足實際要求，Surfer軟體只適應於網格數據量較小的數據（幾百兆的數據文件），Surfer的工作效率很低；大數據量的數據一般要選用GMT或MB-System軟體進行網格化；進行數據瀏覽轉換時可使用GM軟體。
GMT網格化採用gmtmbgrid和Surface命令；MB-System軟體採用mbgrid命令；Sur-face是張性樣條網格化法，是一種經過改良的標准最小曲率演算法，允許用戶把張量引入表面。執行surface程序前要對數據進行預處理，消除混淆現象。地形數據採用block-median對網格間隔框內的值返回中值。Gmtmbgrid演算法跟mbgrid命令一樣是採用加權反距離插值法。具體根據實際需要選擇。MB-System和GMT軟體一般配合使用。使用的具體命令如下：
blockmedian文件名.xyz -R113/120/11/13 -I200e -V ＞ ship＿ 5m.xyz
Surface文件名.xyz -R113/120/11/13 -I200e -G文件名.grd
mbgrid -I文件名 -0文件名.grd -R113/120/11/13 -A2 -C2 -E 200/200 -N -V
GM軟體網格化採用三角剖分法（triangulation/liner interpolation），這種方法對大數據量的數據處理效率低，數據邊緣效果稍差，具體操作流程：打開XYZ文件，出現Ge-neric ASCII Text File Import Options窗口，在Import type選項中，選擇Elevation Grid from3D Point Data，其他選項可以採用默認。確定後，出現Elevation Grid Creation Options窗口，在Grid Spacing中可自定義網格大小；確認後即可完成網格化過程，然後在File/Ex-port Elevation grid format，選擇合適的格式輸出數據。圖3是不同軟體網格化及制圖效果圖。左圖是用GM軟體採用三角剖分法網格化繪制而成，中圖是GMT軟體用改良的標准最小曲率演算法（surface命令）進行網格化，右圖是Surfer採用加權平均演算法；從圖中可清楚地看出，三個軟體繪制的地形圖一致性很好；GMT軟體在網格化效果和調色效果方面都是最出色的，能較好的反映微地形且色彩逼真。
3.3 等深線和彩色陰影底圖等的編輯
多波束數據經過後處理後，數據質量一般都能達到要求，特殊情況時也會有局部小范圍數據質量較差的數據，在製作成圖件時，在彩色陰影圖和等深線上都會有直接的反映。一般地，都要對其進行編輯，去偽存真。彩色陰影底圖的製作一般用GMT或Surfer，彩色陰影底圖的編輯一般選用Photoshop或者CorelDRAW，等深線的生成可用MapGIS、Surfer和GMT軟體，MapGIS具有等深線編輯功能，也可以在CorelDRAW中進行編輯，效果都很不錯。在CorelDRAW中進行編輯時，等深線一般是在Surfer生成*.emf格式文件，在Corel-DRAW中打開進行編輯，刪除等深線時應選用虛擬段刪除工具，CorelDRAW是把顯示的整條線段定義為由多條虛擬段組成，用虛擬段刪除工具選中整條線段或線段的一部分後，程序將會自動刪除選中的部分，操作很方便。添加線段時選中手繪工具，調節合適粗細，進行曲線和直線繪制。圖片輸出時同樣要注意像素的調節，確保圖像質量和字體合適。圖4為等深線和彩色陰影底圖編輯前後對比圖，底圖是用Surfer製作的，編輯方法如上述。右圖為編輯後的情況，效果非常明顯。
圖3 不同軟體網格化及制圖效果圖
圖4 等深線和彩色陰影底圖編輯前後對比圖
3.4 調色板的製作與獲取
制圖的美觀程度主要取決於調色板的著色效果，製作美觀實用的圖件是科研工作者的不懈追求。根據實際需要選擇合適的工具軟體及製作或引用合適的調色板是制圖工作的重中之重。不同的工具軟體的調色效果是有區別的。實踐應用中，GMT軟體的調色效果最好，Surfer、MapGIS和ArcGIS調色效果稍差，GM的調色效果次之。這也是GMT軟體被廣泛應用的主要原因之一。因此，在實際應用中，正式圖件及成果報告插圖等可應用GMT軟體制圖或製作彩色陰影圖。GMT軟體自身提供了許多獨有且全球流行的調色板，自身也提供相應的命令如makecpt和grd2cpt根據相應的調色板模板對特定數據進行調色板製作，但並不能滿足實際應用的需求。因此，製作或者獲取第三方調色板是可行的辦法。
調色板模板製作與管理的有效可行辦法：首先，根據工作實際，確定工作中常用的幾種地形數據類型如海陸結合數據、淺水數據和深水數據等，每種數據類型製作幾個常用的調色方案，所有的調色方案都做成各軟體特定的格式，可直接或稍為更改即可引用。由於GMT是全命令行軟體，調色板的製作並不像Surfer等友好界面軟體那麼直觀方便。一般地，在利用GMT自帶調色板模板稍加修改或者直接在Surfer軟體中製作調色板後，導出後再轉換為GMT格式的調色板。
獲取調色板的方法有兩種：一種為通過專業網站獲取相關調色板，專業網站提供多個領域的世界上主流的調色板和大量用戶自主設計的調色板。另一種方法是手頭只有地形圖圖片而沒有相應數據調色板的情況，這時最好的方法是利用相關軟體如Photoshop或其他具有取色功能的軟體進行調色板製作，著色效果跟原有圖片基本一致。
3.5 地形圖和三維立體圖的製作
發揮各地學繪圖軟體的優勢，結合應用才能做出規范且最佳效果的圖件。地形圖和三維立體圖正式圖件的製作，單一工具軟體不能滿足要求。Surfer軟體功能較全面但特點不明顯且沒有投影功能，等深線製作和編輯功能較弱；GMT的網格化和調色功能強大，等深線製作也不錯，但沒有編輯功能；由於製作正式圖件時，可採用由GMT軟體製作地形圖和三維立體圖的彩色陰影底圖，再導入MapGIS或ArcGIS製成圖件的方法，製作時要注意投影方式的匹配問題，GMT製作彩色陰影圖時應選擇合適的投影，導入前應該把PS文件轉換成BMP或JPG圖片，且要根據列印圖件的大小選擇合適的輸出像素。圖5為西太平洋地形圖，是由GMT軟體製作彩色陰影圖導入MapGIS進行中文標注等。正式圖件的等深線可直接由MapGIS生成並編輯或由GMT生成導入等。
4 結 語
地形地貌研究常用的工具軟體種類多、功能很強大。本文針對常用工具軟體的特點和實際應用情況，總結了這套工具軟體應用方法的主要特點：把各軟體的優勢應用到實際工作，揚長避短，最大限度服務地形地貌研究工作，提高工作效率和質量；根據實際應用制定相應操作流程，綜合應用，簡化操作，提高效率；挖掘新工具軟體，把GM軟體應用於地形地貌研究工作，起到非常好的應用效果。這套方法為地形地貌研究工作的開展創造有利條件，大大提高了工作效率和質量。
圖5 西太平洋三維立體圖
參考文獻
［1］陳歡歡等.Surfer 8.0等值線繪制中的十二種插值方法.工程地球物理學報，2007，2.
［2］劉方蘭等.Global Mapper系統在海洋調查中的應用.海洋技術，2011，01.
The application method study of the general-used software for studying the topographic and geomorphic features
Luo Weidong Li Gang
（Guangzhou Marine Geological Survey，Guangzhou，510760）
Abstract：The paper introces the basic function of the general-used software for studying thetopographic and geomorphic features.Focuses on the characteristic features and the comprehen-sive application in practical experience，talking about the usages of the general-used software forstudying the topographic and geomorphic features on scanning，editing，collecting and conversionof the geographic data，data gridding，edit for the bathymetric contour and the color shader basemaps，palette make and abtain，topographic map and Creates the advantages for studying the top-ographic and geomorphic features，and also increases the efficiency and the quality of the study.
Key words：Topographic and geomorphic features Software Application method