㈠ 神奇的乘法（四）
最最平常的乘法，也是一種卷積。
例如，計算 123×456，可以這樣做：
製作如圖的兩個滑塊，123豎著往下寫，456倒著往上寫。
然後，讓456從123的旁邊滑下來。
每滑動一格，都把兩個數重疊的部分進行點積運算，結果記錄下來。每次結果的個位向後移動一位。
當滑動結束以後，把那些結果加起來，即可。
這種運算就是卷積的直觀展示。
類比乘法的卷積方法，可以定義兩個序列的乘積。讓一個序列從另一個序列旁邊滑過，形成很多的點積，把這些點積加起來，得到序列積。
序列可以是有限的，也可以是無限的。
無限的序列可以有生成函數，生成函數，就是類似對等比數列求和的結果。用那結果，就可以生成等比數列。
序列乘積的時候，一個序列可以轉化成向量，另外一個轉化為矩陣。用矩陣，意味著乘法不可交換。
卷積常用在傅立葉分析。
印度乘法，是指普通的數字乘法，特別的地方有兩處。
格子乘法最早記載在1150年印度數學家婆什迦羅的《麗羅娃提》一書，後來傳到阿拉伯，再後來傳到歐洲，由義大利人傳到中國，中國數學家程大位給起了個好聽的名字，叫「鋪地錦」。
但中國人還是習慣用珠算，用「一口清」來計算乘法。
中國傳統的大九九乘法口訣，只是把普通的小九九擴充一倍，例如「三九二十七」成為兩句口訣「三九二七」與「九三二七」。而印度的大九九則更大，要求背誦所有的兩位數乘以兩位數，背誦以後，計算速度無疑會大大提升。
當然，背誦是有技巧的。不是單純的死記硬背。例如十幾乘以十幾，方法就是，把乙的個位數加在甲的末尾，添零，再加上兩數個位與個位相乘，得結果。
例如：18×13,（18+3）=21，添零以後是210,個位乘積是8×3=24，結果就是210+24=234。
俄羅斯農民的乘法，直觀思想十分樸素，舉個特殊例子來看：
16×17=8×34=4×68=2×136=1×272=272
指導思想就是，不斷的把被乘數減半，把乘數加倍，直到被乘數變為1,結果就出來了。
上面的例子，碰巧被乘數減半的過程中，一直是偶數，如果是奇數，怎麼辦呢？如果是奇數，就單獨記錄下那一步的乘數，把被乘數減一，繼續運算，在最後，把記錄的結果加上去即可。
例如：
35×37
=34×37+37
=17×74+37
=16×74+74+37
=8×148+111
=4×296+111
=2×592+111
=1×1184+111
=1295
這種運算，表面上看，步驟很多，很笨拙。但正應了中國的古訓「大巧若拙」，其實這種演算法，是極其迅速的。尤其到了計算機的時代，到了二進制的時代。
俄羅斯農民的演算法，可以用極快的速度完成大數的乘法。所謂大數，就是幾百位或者幾千位的數字相乘。
用普通的乘法是很慢的，要做多次的乘法和加法，復雜程度一般是N的平方;而俄羅斯農民演算法的復雜度是N×(log N)。因此，是及其迅速的。並且，計算機中，除以2或者乘以2,很多時候是不需要計算的，只需要移動一位，因為計算機經常使用2進制。
俄羅斯農民演算法可以擴展為使用4進制，16進制都可以，64進制等都可。
在大數乘法中，能比俄羅斯農民的乘法更快的演算法並不多。
離散傅立葉變換，可以用來計算乘法。
但如果不是快速傅立葉變換，復雜度仍然是N的平方。
如果用快速傅立葉變換，就可以超越俄羅斯農民演算法。
僅僅因為，傅立葉變換應用太廣泛，人們針對傅立葉變換，研究了各種快速演算法，使得快速傅立葉變換可以達到N(log N)的復雜度。
本質上講，快速傅立葉變換的速度並沒有超過俄羅斯農民的演算法。僅僅因為，它已經有了各種成熟的庫，各種優化的演算法，因此，應用更廣泛，就得到更多的優化，速度更快了。
如果對俄羅斯農民演算法進行適當的優化，也可以達到快速傅立葉變換的速度。
日常如果要做大數乘法，用俄羅斯農民演算法足矣。如果有更高的要求，可以用GNU的庫函數，其中各種演算法的實現都有，尤其是用快速傅立葉變換來計算乘法。
大數的乘法有什麼用處呢？一般的，還真沒什麼用處。無聊的時候，可以把圓周率計算個幾萬位，就只有這種用處。
而幾萬位的圓周率，本身就沒有什麼用處。50位以內的小數，足夠地球上的天文學家和物理學家用了。
大數乘法的其它用處包括：彰顯科技，比拼電腦的計算速度，RSA加密，破解RSA加密等。
傅立葉變換怎樣做乘法，以及為什麼能做乘法，需要專門來討論。
在沒有計算器的年代裡，三角函數專門有一個表，叫做三角函數表。已知角度，可以查詢三角函數值。已知三角函數值，如正弦值，也可以查到角度。
利用這個表，可以進行乘法運算。把需要相乘的兩個數字，通過適當的移位，變成三角函數可以表示的范圍。然後查到對應的兩個角度，用積化和差公式來計算。最後，對結果重新移位恢復。
例如，計算 4766×8848
先變成 0.4766×0.8848，
然後假設這是兩個角度的正弦，查表的到兩個角度：
28.463575度
62.22692度
根據公式
sinA × sin B = [cos (A-B) - cos(A+B)]/2
需要查計算：
兩個角度的差是33.763344度，差表得餘弦為 0.83134;
兩個角度的和是90.6905度，差表得餘弦為 -0.01205;
兩者做差，平均以後，為0.421695。
按照這個結果，移位，原來乘積就是 42169500。
實際上，前面的部分都很精確，只有最後兩位不同。
真實的結果是42169568。
在精確程度允許的情況下，足夠了。
關鍵是，這種方法，只用加減法來計算乘法。
對數非常神奇，甚至可以說吊詭：
對數最自然的底，竟然就是自然對數底。一開始，人們各種嘗試，就使得底非常接近自然對數底。
自然對數底，無疑是神秘的，歐拉對此剖析的最透徹，關於e的故事，三天三夜也說不完。
後來，有了常用對數，對數用來做乘法就更方便了。
外國人，有一種精神，是我們所沒有的：在沒有對數表格的情況下，他們可以經過幾代人的努力，來編制長長的表格，做這樣的苦功，枯燥且乏味。然後印刷下來，供大家使用，世界人民共享勞動成果。在有了表格的情況下，他們又嘗試發明各種儀器，來簡化運算，終於把計算尺，計算器和計算機搞出來了，還是大家都能用。這里，既有厚德載物的精神，又有自強不息的精神。
我們，卻還在培養珠心算，用「一口清」這些高端乘法技術。盡量的，連筆和紙都不使用，來完成計算。這些技術，只能適用於少數有天賦的兒童，而且要經過辛苦的訓練才能掌握。並且，這種技能的傳承非常困難。並且，如果不經常使用，很快就會退化。
有工具，為什麼不用呢？人類最高超的技能，不就是製造和使用工具嗎？其實，根本不用擔心加減乘除的技能退化。
現在，沒有多少人會手動開平方。加減乘除並不比開平方重要。所以，就算大多數人不懂口算，也沒什麼關系。
能機械運算的，就用機械運算。能查表的，就查表。這樣，才是真正的解放生產力，發展生產力。
數學需要運算。但運算不是數學的本質。
我們常常嘲笑外國人太笨，但他們才是真正的大智若愚啊！他在菜市場或者超市不會口算，是因為他們不需要計算，所以不需要會算。
中國古人，鄙視會算術的人，認為這些是屬於底層人民的東西。屬於「奇擠淫巧」一類。上層社會的人完全不懂得算術。這樣的做法似乎也不妥。
理想的狀態應該是：不同職業的人都得到應有的尊重，有體面的收入。職業平等，不分高低貴賤。