平面向量的內積計算方法

㈠ 向量內積的坐標表

有關向量內積的坐標表如下：

下面我們用直角坐標表達以上過程：

z1=x1+iy1

z2=x2+iy2

z2'=x2-iy2

根據復數乘法法則，

z1z2'=x1x2+y1y2+i(x2y1-x1y2)。

我們只看實部：x1x2+y1y2，

這不就是平面向量內積的代數形式嗎？

根據兩復數相等，我們得到：

r1r2cosθ=x1x2+y1y2。

這說明平面向量內積的兩種形式是等價的。

其實，假設我們不曾學過平面向量內積的定義，那麼我們不妨可以這樣定義平面向量的內積：

設α、β為兩個平面向量，對應的復數分別為z1、z2。定義α、β的的內積

(α,β)=R(z1z2')，

其中z2'是z2的共軛復數，R是函數：z=a+bi→a。

從這個定義出發，我們容易知道，內積的幾何形式和代數形式只不過是復數的極坐標系和直角坐標系運算的不同表達方式。

對於空間向量，我們同樣可以這樣定義空間向量的內積：

設α、β為兩個空間向量，對應的純四元數分別為q1、q2。定義α、β的的內積

(α,β)=R(q1q2')，

其中，q2'是q2的共軛四元數，R是函數：z=a+bi+cj+dk→a。