⑴ 什麼是畢達哥斯拉數
數的藝術
畢達哥拉斯學派認為「1」是數的第一原則，萬物之母，也是智慧；「2」是對立和否定的原則，是意見；「3」是萬物的形體和形式；「4」是正義，是宇宙創造者的象徵；「5」是奇數和偶數，雄性與雌性和結合，也是婚姻；「6」是神的生命，是靈魂；「7」是機會；「8」是和諧，也是愛情和友誼；「9」是理性和強大；「10」包容了一切數目，是完滿和美好。
畢達哥拉斯的黃金分割：（a:b=<a+b>:a）
畢達哥拉斯學派認為由太陽、月亮、星辰的軌道和地球的距離之比，分別等於三種協和的音程，即八度音、五度音、四度音。
畢達哥拉斯學派認為從數量上看，夏天是熱占優勢，冬天是冷占優勢，春天是干占優勢，秋天是濕占優勢，最美好的季節則是冷、熱、干、濕等元素在數量上和諧的均衡分布。
畢達哥拉斯學派從數學的角度，即數量上的矛盾關系列舉出有限與無限、一與多、奇數與偶數、正方與長方、善與惡、明與暗、直與曲、左與右、陽與陰、動與靜等十對對立的范疇，其中有限與無限、一與多的對立是最基本的對立，並稱世界上一切事物均還原為這十對對立。
萬物皆數
最早把數的概念提到突出地位的是畢達哥拉斯學派。他們很重視數學，企圖用數來解釋一切。宣稱數是宇宙萬物的本原，研究數學的目的並不在於使用而是為了探索自然的奧秘。他們從五個蘋果、五個手指等事物中抽象出了五這個數。這在今天看來很平常的事，但在當時的哲學和實用數學界，這算是一個巨大的進步。在實用數學方面，它使得算術成為可能。在哲學方面，這個發現促使人們相信數是構成實物世界的基礎。
他同時任意地把非物質的、抽象的數誇大為宇宙的本原，認為「萬物皆數」，「數是萬物的本質」，是「存在由之構成的原則」，而整個宇宙是數及其關系的和諧的體系。畢達哥拉斯將數神秘化，說數是眾神之母，是普遍的始原，是自然界中對立性和否定性的原則。
畢達哥拉斯定理提出後，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數√2 的誕生。小小√2的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊。對於當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。這一結論的悖論性表現在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內都可以表示成有理數。這不但在希臘當時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術已經高度發展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的√2的存在而推翻了！這應該是多麼違反常識，多麼荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數學史上一場大的風波，史稱「第一次數學危機」。
勾股定理
畢達哥拉斯本人以發現勾股定理(西方稱畢達哥拉斯定理)著稱於世。這定理早已為巴比倫人所知（在中國古代大約是公元前2到1世紀成書的數學著作《周髀 算經》中假託商高同周公的一段對話。商高說：「…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。」商高那段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。以後人們就簡單地把這個事實說成「勾三股四弦五」。這就是中國著名的勾股定理。），不過最早的證明大概可歸功於畢達哥拉斯。他是用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和，即畢達哥拉斯定理（勾股定理）。
勾股定理是一個初等幾何定理，是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。「勾三股四弦五」是勾股定理的一個最著名的例子。當整數a,b,c滿足a²+b²=c²這個條件時，(a,b,c)叫做勾股數組。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼a²+b²=c²。在中國數學史中同樣源遠流長，是中算的重中之重。《周髀算經》中已有「勾三股四弦五」的記述，趙爽的《周髀算經注》中將勾股定理表述為「勾股各自乘，並之，為弦實。開方除之，即弦。」。
數論
畢達哥拉斯對數論作了許多研究，將自然數區分為奇數、偶數、素數、完全數、平方數、三角數和五角數等。在畢達哥拉斯派看來，數為宇宙提供了一個概念模型，數量和形狀決定一切自然物體的形式，數不但有量的多寡，而且也具有幾何形狀。在這個意義上，他們把數理解為自然物體的形式和形象，是一切事物的總根源。因為有了數，才有幾何學上的點，有了點才有線面和立體，有了立體才有火、氣、水、土這四種元素，從而構成萬物，所以數在物之先。自然界的一切現象和規律都是由數決定的，都必須服從「數的和諧」，即服從數的關系。
畢達哥拉斯還通過說明數和物理現象間的聯系，來進一步證明自己的理論。他曾證明用三條弦發出某一個樂音，以及它的第五度音和第八度音時，這三條弦的長度之比為6:4:3。他從球形是最完美幾何體的觀點出發，認為大地是球形的，提出了太陽、月亮和行星作均勻圓運動的思想。他還認為十是最完美的數，所以天上運動的發光體必然有十個。
理論
他還有一套這樣的理論：地球沿著一個球面圍繞著空間一個固定點處的「中央火」轉動，另一側有一個「對地星」與之平衡。這個「中央火」是宇宙的祭壇，是人永遠也看不見的。這十個天體到中央火之間的距離，同音節之間的音程具有同樣的比例關系，以保證星球的和諧，從而奏出天體的音樂。
整數
畢達哥拉斯和他的學派在數學上有很多創造，尤其對整數的變化規律感興趣。例如，把（除其本身以外）全部因數之和等於本身的數稱為完全數（如6，28， 496等），而將本身小於其因數之和的數稱為盈數；將大於其因數之和的數稱為虧數。
其他貢獻
在幾何學方面，畢達哥拉斯學派證明了「三角形內角之和等於兩個直角」的論斷；研究了黃金分割；發現了正五角形和相似多邊形的作法；還證明了正多面體只有五種——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。
在音樂方面，畢達哥拉斯把音程的和諧與宇宙星際的和諧秩序相對應，把音樂納入他的以數為中心、對世界進行抽象解釋的理論之中。他對弦長比例與音樂和諧關系的的探討已經帶有科學的萌芽。對五度相生律有重大貢獻。