電磁場的數值計算方法

① 電磁場基本方程式

由電磁學中基本實驗定律綜合分析可知，介質中的電磁場滿足麥克斯韋方程組：

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式中：

為電場強度（單位：V/m）；

為磁場強度（單位：A/m）；

為磁感應強度（單位：Wb/m²）；

為電位移矢量（單位：C/m²）；

為電荷密度（單位：C/m³）。

方程組簡單的物理意義是，電場可以是由電荷密度分布q引起的發散場，也可以是由變化磁場

引起的渦旋場。磁場

是由傳導電流

和位移電流

激勵產生的渦旋場，空間中無孤立的磁荷存在。

電磁場四個基本量通過介質電性參數ε和μ聯系起來，在各向同性介質中，它們的關系為

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式中：

為電流密度（單位：A/m²）；σ為介質的導電率；ε為介質的介電常數；μ為導磁率。

電磁場應滿足的邊界條件為：

的切線分量連續

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的切線分量不連續

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的法線分量連續

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的法線分量不連續

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式中：

為兩種介質邊界面的法線方向單位矢量；

為面傳導電流密度，q_S為自由電荷面密度。

利用傅氏變換，可使隨時間變化的電磁場分解為一系列諧變場的總和。若取時間因子為e^-iωt，則在諧變電磁場情況下麥克斯韋方程組為：

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8.3.1 大地電磁測深

在大地電磁測深中，它所討論的電磁場頻率是極低的，一般取周期T＞1s。在這種低頻的情況下，介質中位移電流

的影響可以忽略，即可取（8.3.10）式中iωε=0。把大地電磁場近似地看作是由高空向地球垂直入射的平面電磁波，已為許多學者所證實，因為大地電磁場來源於太空，在地面有限范圍內，只是它的波面中極小的部分。自然，這一部分可以近似看作是垂直入射的平面波。設其源電流是位於研究區域之外，於是這時介質中的麥克斯韋方程簡化為：

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式中Δ·

=0是因為導電介質內部體電荷密度實際上是不存在的，這里時間因子都包含在場

和

之中，隨時間變化的電場和磁場相互激勵、相互轉化，並以波的形式在介質中傳播。當然傳播特性將與介質的電性參數有關。

對（8.3.13）式兩邊取旋度

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由於

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故

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或寫成

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其中

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類似地可以求出

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（8.3.17）和（8.3.18）式稱為赫姆霍茲方程。它是電磁場所滿足的基本方程式，它描述了電磁場空間變化和時間變化的規律。

依照麥克斯韋方程組導出的邊界條件，對於大地電磁波情況，導電介質之間分界面上的邊界條件為：

和

的切線分量是連續的，即E_1t=E_2t，H_1t=H_2t]]

和

的法線分量是連續的，即D_1n=D_2n，B_1n=B_2n]]

1n=j_2n

設x和y軸水平，z軸垂直向下，麥克斯韋方程可寫成分量形式

對於Δ×

=iωμ

，有

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對於Δ×

=σ

，有

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設介質是二維的，取x軸垂直構造走向，y軸平行構造走向，z軸仍然垂直向下。這時由於電阻率（或導電率）沿y軸無變化，相應的電磁場沿y軸也應是穩定的。即有

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這時上述麥克斯韋方程可分解成兩組偏振波，我們首先考慮E偏振，有

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將後兩式代入前面一式中，可得

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其次再考慮H偏振，有

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將後兩式代入前一式中，可得

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（8.3.20）和（8.3.22）式就是二維介質垂直入射平面波的波動方程，即赫姆霍茲方程。應當指出，二維介質中的線性偏振波只能沿走向y加以分解，其赫姆霍茲方程只依賴於x和z方向的電阻率分布，對於給定的二維介質模型電阻率分布和邊界條件，波動方程的解可得出E_y和H_y，再藉助於E 偏振和H 偏振中電磁場本身的關系式，可求得相應的 E_x和H_x。

在進行計算時，有關場的計算區域和其邊界條件通常可以這樣給出。

對於H偏振，區域的上邊界可以取為地面，其上給出磁場為任意常數，如給H_y=1，最終解將按該常數規格化，底部邊界磁場取為零，兩側邊界可取磁場的法線導數為零，即取自然邊界條件。有時也可按一維或層狀模型計算邊界磁場值，作為強加邊界條件給出。

對於E偏振，底面電場E_y可取為零，兩側面邊界也可取電場的法線導數為零，或按一維或層狀介質計算給值。上邊界的位置要取在地面以上，即要存在一個空氣層作為模型的頂層給出，這是由於空氣中E_y不是常數，需要把上邊界取在遠離地面的高空，使得界面上不均勻體的影響可以忽略，在空氣層的頂部，即上邊界可給定一個常數電場，如E_y=1。

8.3.2 甚低頻法

甚低頻（VLF）電法勘探中所測量的頻率帶為15～25kHz。在離所測定的軍用電台較遠處可視為平面波，其源電流位於研究區域之外，式（8.3.10）中j=0，但這時與大地電磁測深不同，介質中位移電流

的影響不能忽略。

當考慮二維地質體時，設y軸平行於地質體的走向，與（8.3.19）的推導相似可得：

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且

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這樣相應的赫姆霍茲方程為

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8.3.3 線源情況

當使用平行y軸（地質體走向）的線源時，麥克斯韋方程與甚低頻法相同，但帶有源項，即

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式中I為線源的量值，將上面兩式代入最後一式中可得：

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相似也可得出H_y的赫姆霍茲方程。

若計算網格足夠大，當線源在網格內時，所有邊界上的邊界條件均可取電場為零。若線源在網格外，電場在邊界上的數值可由兩層模型的理論公式計算。

總結以上（8.2.14），（8.2.17），（8.3.20），（8.3.22），（8.3.23），（8.3.24）及（8.3.25）等式，對二維情況我們可提出它們所共同滿足的偏微分方程式

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該式在數學上稱為二維橢圓型偏微分方程，在物理上是已知的二維赫姆霍茲方程，式中與上述（8.2.14）、（8.2.17）、（8.3.20）、（8.3.22）、（8.3.23）、（8.3.24）及（8.3.25）各式相應的u，α，β及f的值列入表8.1中。

表8.1 有關微分方程的對比

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