裂項放縮數學計算方法

『壹』 高中數學數列里常用的裂項方法

裂項法裂項法求和
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.
裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.
通項分解（裂項）如：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）
n·n!=(n+1)!-n!
[例1]
【分數裂項基本型】求數列an=1/n(n+1)
的前n項和.
解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（裂項）
則
Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂項求和）
＝
1-1/(n+1)
＝
n/(n+1)

[例2]
【整數裂項基本型】求數列an=n(n+1)
的前n項和.
解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂項）
則
Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂項求和）
＝
(n-1)n(n+1)/3
小結：此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。
注意：
餘下的項具有如下的特點
1餘下的項前後的位置前後是對稱的。
2餘下的項前後的正負性是相反的。
易錯點：注意檢查裂項後式子和原式是否相等，典型錯誤如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右邊應當除以2）
附：數列求和的常用方法：
公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。(關鍵是找數列的通項結構)
1、分組法求數列的和：如an=2n+3n
2、錯位相減法求和：如an=n·2^n
3、裂項法求和：如an=1/n(n+1)
4、倒序相加法求和：如an=
n
5、求數列的最大、最小項的方法：
①
an+1-an=……
如an=
-2n2+29n-3
②
(an>0)
如an=
③
an=f(n)
研究函數f(n)的增減性
如an=
an^2+bn+c(a≠0)
6、在等差數列
中,有關Sn
的最值問題——常用鄰項變號法求解：
(1)當
a1>0,d<0時，滿足{an}的項數m使得Sm取最大值.
(2)當
a1<0,d>0時，滿足{an}的項數m使得Sm取最小值.
在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。

『貳』 楂樹腑鏁板﹀備綍鏀劇緝鏁板垪錛

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『叄』 求高考放縮法總結性常用公式。

一. 分子分母的形式

一般是裂項放縮，這個方法在數列的裂項相消里是經常用到的。

例如：求下圖的值

雖然僅僅只是總結了幾個放縮的形式，但其實每個例題都是干貨滿滿，並且需要大家消化和練習。

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