1. 運算元范數的定義
范數(norm)是數學中的一種基本概念。在泛函分析中，它定義在賦范線性空間中，並滿足一定的條件，即①非負性；②齊次性；③三角不等式。它常常被用來度量某個向量空間（或矩陣）中的每個向量的長度或大小。
中文名
范數
外文名
norm
應用學科
數學
適用領域范圍
代數
本質
函數
快速
導航
運算元范數空間范數矩陣范數
名詞定義
范數
范數，是具有「長度」概念的函數。在線性代數、泛函分析及相關的數學領域，范數是一個函數，是矢量空間內的所有矢量賦予非零的正長度或大小。半范數可以為非零的矢量賦予零長度。
定義范數的矢量空間是賦范矢量空間；同樣，定義半范數的矢量空間就是賦半范矢量空間。
註：在二維的歐氏幾何空間 R中定義歐氏范數，在該矢量空間中，元素被畫成一個從原點出發的帶有箭頭的有向線段，每一個矢量的有向線段的長度即為該矢量的歐氏范數。
半范數
假設
是域
上的矢量空間，V的半范數是一個函數
，
，滿足：
（非負性）
（正值齊次性）
(三角不等式).
范數=半范數+額外性質
賦范線性空間
若
是數域上的線性空間，泛函
滿足：
(1)正定性：
，且
；
(2)正齊次性：
；
(3)次可加性（三角不等式）：
。
那麼，
稱為
上的一個范數。
如果線性空間上定義了范數，則稱之為賦范線性空間。
當且僅當
是零矢量(正定性）時，
是零矢量；若拓撲矢量空間的拓撲可以被范數導出，那麼這個拓撲矢量空間被稱為賦范矢量空間。
內積、度量、拓撲和范數的關系
(1) 范數
度量
拓撲：
，因此賦范線性空間是度量空間；但是由度量不一定可以得到范數。
(2) 如果賦范線性空間作為（由其范數自然誘導度量
的）度量空間是完備的，即任何柯西(Cauchy）序列在其中都收斂，則稱這個賦范線性空間為巴拿赫（Banach）空間。
(3) 內積
范數：
；范數不一定可以推出內積；當范數滿足平行四邊形公式
時，這個范數一定可以誘導內積；完備的內積空間稱為希爾伯特空間。
2. 什麼是范數向量的范數公式是什麼
向量范數
定義1.
設
,滿足
1.
正定性:║x║≥0,║x║=0
iff
x=0
2.
齊次性:║cx║=│c│║x║,
3.
三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║
則稱Cn中定義了向量范數,║x║為向量x的范數.
可見向量范數是向量的一種具有特殊性質的實值函數.
常用向量范數有,令x=(
x1,x2,…,xn)T
1-范數:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│
2-范數:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2
∞-范數:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)
易得
║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞
定理1.Cn中任意兩種向量范數║x║α,║x║β是等價的,即有m,M>0使
m║x║α≤║x║β≤M║x║
可根據范數的連續性來證明它.由定理1可得
定理2.設{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,則
║x(k)-x║→0(k→∞)
iff
xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→
∞)
其中xj(k)是x(k)的第j個分量,xj是x的第j個分量.此時稱{x(k)}收斂於x,記作x(k)
→x(k→∞),或
.
三、
矩陣范數
定義2.
設
,滿足
1.
正定性:║X║≥0,║X║=0
iff
X=0
2.
齊次性:║cX║=│c│║X║,
3.
三角不等式:║X+Y║≤║X║+║Y║
4.
相容性:
║XY║≤║X║║Y║
則稱Cn×n中定義了矩陣范數,║X║為矩陣X的范數.
注意,
矩陣X可視為n2維向量,故有前三條性質.因此定理1,2中向量的等價性和向量
序列收斂的概念與性質等也適合於矩陣.第四條,是考慮到矩陣乘法關系而設.更有矩
陣向量乘使我們定義矩陣范數向量范數的相容性:
║Ax║≤║A║║x║
所謂由向量范數誘導出的矩陣范數與該向量范數就是相容的.
定理3.
設A是n×n矩陣,║?║是n維向量范數則
║A║=max{║Ax║:║x║=1}=
max{║Ax║/║x║:
x≠0}
是一種矩陣范數,稱為由該向量范數誘導出的矩陣范數或運算元范數,它們具有相容性
或者說是相容的.
單位矩陣的運算元范數為1
可以證明任一種矩陣范數總有與之相容的向量范數.例如定義:
║x║=║X║,X=(xx…x)
常用的三種向量范數誘導出的矩陣范數是
1-范數:║A║1=
max{║Ax║1:║x║1=1}=
2-范數:║A║2=max{║Ax║2:║x║2=1}=
,λ1是AHA的
最大特徵值.
∞-范數:║A║∞=max{║Ax║∞:║x║∞=1}=
此外還有Frobenius范數:
.它與向量2-范數相容.但非向量范數誘導出的矩陣范數.
四、
矩陣譜半徑
定義3.設A是n×n矩陣,λi是其特徵值,i=1,2,…,n.稱
為A的譜半徑.
譜半徑是矩陣的函數,但非矩陣范數.對任一矩陣范數有如下關系:
ρ(A)≤║A║
因為任一特徵對λ,x,Ax=λx,令X=(xx…x),可得AX=λX.兩邊取范數,由矩陣范數的
相容性和齊次性就導出結果.
定理3.矩陣序列I,A,A2,…Ak,…收斂於零的充分必要條件是ρ(A)