向量等式計算方法

㈠ 數學向量的所有公式

設虧氏哪a=（x,y）,b=(x',y').

1、向量的加法

向量加法的運算律：

交換律：a+b=b+a。

結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量,那麼a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量為0。

AB-AC=CB.即「共同起點,指向被減」。

a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y')。

4、數乘向量

向量對於數的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa。

數對於向量的分配銷碼律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb。

相關概念

幾何向量的概念在線性代數中經由抽象化，得到更一般的向量概念。此處向量定義為向量空間的元素，要注意這些抽象意義上的向量不一定以數對表示，大小和方向的概念亦不一核困定適用。

因此，平日閱讀時需按照語境來區分文中所說的"向量"是哪一種概念。不過，依然可以找出一個向量空間的基來設置坐標系，也可以透過選取恰當的定義，在向量空間上介定范數和內積，這允許我們把抽象意義上的向量類比為具體的幾何向量。

㈡ 向量的運算的所有公式是什麼

向量的運算的所有公式是：

1、加法：已知向量AB、BC，再作向量AC，則向量AC叫做AB、BC的和，記作AB+BC，即有：AB+BC=AC。

2、減法：AB-AC=CB，這種計演算法則叫做向量減法的三角形法則，簡記為：共起點、連中點、指被減。

3、數乘：實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa。當λ>0時，λa的方向和a的方向相同，當λ<0時，λa的方向和a的方向相反，當λ = 0時，λa=0。

向量代數規則：

1、反交換律：a×b=-b×a。

2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。

3、與標量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。

4、不滿足結合律，但滿足雅可比恆等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。

㈢ 平面向量的運算公式

設a=（x，y）
b=(x'，y')

1、向量的加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則

AB+BC=AC

a+b=(x+x'，y+y')

a+0=0+a=a

向量加法的運算律

交換律：a+b=b+a

結合律：(a+b)+c=a+(b+c)

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量
那麼a=-b
b=-a
a+b=0
0的反向量為0

AB-AC=CB
即「共同起點，指向被減」

a=(x,y)
b=(x',y')
則
a-b=(x-x',y-y')

4、數乘向量

實數λ和向量a的乘積是一個向量
記作λa
且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣

當λ＞0時
λa與a同方向

當λ＜0時
λa與a反方向

當λ=0時
λa=0，方向任意

當a=0時
對於任意實數λ
都有λa=0

註：按定義知
如果λa=0
那麼λ=0或a=0

實數λ叫做向量a的系數
乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮

當∣λ∣＞1時
表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍

當∣λ∣＜1時
表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上縮短為原來的∣λ∣倍

數與向量的乘法滿足下面的運算律

結合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)

向量對於數的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa

數對於向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb

數乘向量的消去律：①
如果實數λ≠0且λa=λb
那麼a=b
②
如果a≠0且λa=μa
那麼λ=μ

3、向量的的數量積

定義：已知兩個非零向量a
b
作OA=a
OB=b
則角AOB稱作向量a和向量b的夾角
記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π

定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量
記作a•b
若a、b不共線
則a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉
若a、b共線
則a•b=+-∣a∣∣b∣

向量的數量積的坐標表示：a•b=x•x'+y•y'

向量的數量積的運算律

a•b=b•a（交換律）

(λa)•b=λ(a•b)(關於數乘法的結合律)

（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）

向量的數量積的性質

a•a=|a|的平方

a⊥b
〈=〉a•b=0

|a•b|≤|a|•|b|

向量的數量積與實數運算的主要不同點

1、向量的數量積不滿足結合律
即：(a•b)•c≠a•(b•c)
例如：(a•b)^2≠a^2•b^2

2、向量的數量積不滿足消去律
即：由
a•b=a•c
(a≠0)
推不出
b=c

3、|a•b|≠|a|•|b|

4、由
|a|=|b|
推不出
a=b或a=-b

4、向量的向量積

定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量
記作a×b
若a、b不共線
則a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉
a×b的方向是：垂直於a和b
且a、b和a×b按這個次序構成右手系
若a、b共線
則a×b=0

向量的向量積性質

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積

a×a=0

a‖b〈=〉a×b=0

向量的向量積運算律

a×b=-b×a

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）

（a+b）×c=a×c+b×c

註：向量沒有除法
「向量AB/向量CD」是沒有意義的

向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

①
當且僅當a、b反向時
左邊取等號

②
當且僅當a、b同向時
右邊取等號

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣

①
當且僅當a、b同向時
左邊取等號

②
當且僅當a、b反向時
右邊取等號

定比分點

定比分點公式（向量P1P=λ•向量PP2）

設P1、P2是直線上的兩點
P是l上不同於P1、P2的任意一點
則存在一個實數
λ
使
向量P1P=λ•向量PP2
λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比

若P1（x1,y1)
P2(x2,y2)
P(x,y)
則有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ)
（定比分點向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ)

y=(y1+λy2)/(1+λ)（定比分點坐標公式）

我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式

三點共線定理

若OC=λOA
+μOB
且λ+μ=1
則A、B、C三點共線

三角形重心判斷式

在△ABC中
若GA
+GB
+GC=O,則G為△ABC的重心
[編輯本段]向量共線的重要條件

若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實數λ
使a=λb

a//b的重要條件是
xy'-x'y=0

零向量0平行於任何向量
[編輯本段]向量垂直的充要條件

a⊥b的充要條件是
a•b=0

a⊥b的充要條件是
xx'+yy'=0

零向量0垂直於任何向量