『壹』 模糊交換如何計算如圖
這是矩陣相乘，矩陣A即租卜盯為你圖中列向量的轉置，實際上是一個行向量，具體計算時把A中弊盯每一弊和個數和R中不同列對應的數字相乘後求和，如下所示：
0.0581*0.33+0.0321*0.13+...+0.1723*0.09=0.1864
0.0581*0.33+0.0321*0.34+...+0.1723*0.17=0.3178
0.0581*0.20+0.0321*0.38+...+0.1723*0.41=0.3692
0.0581*0.14+0.0321*0.15+...+0.1723*0.33=0.1904
『貳』 模糊數學法
模糊數學是用數學方法研究和處理具有「模糊性」現象的一門科學，它是由美國控制論專家查德（Zadeh L.A.）在1965年創立的。模糊數學的理論和方法雖然還不很完善，但是已顯示出強大的生命力。
模糊數學的方法彌補了「綜合指數法」忽略水質分級界線的模糊性的缺陷。因為地下水環境系統存在如下特徵。
1）水環境系統中污染物質之間存在著復雜的、難以明確的相關關系。水污染是由各污染因子共同作用的結果，它是一個連續、漸變、邊界模糊的復雜過程，在評價時客觀昌肢上存在模糊性。
2）根據水的用途和環境指標來確定水質分級標准時，若用單一的每個因素的數值來表徵其特模培征和用途，在標准選取上，人為因素極大，在客觀上人們對水質的要求而制定的標准也存在模糊性。
3）經過各種單項及綜合運算後，對水質量給出一個結論，由於水質量是一個連續的變化的事件，因此給出的結論也存在模糊性（孫幼平等，1988）。
根據上述特徵，為了真實地刻畫這個過程，針對其模糊性，運用模糊數學理論進行處理，對地下水水質的評價會給出比較客觀的結果。
（一）模糊綜合評判法
所謂模糊評判，就是根據給出的評價標准和實測值，經過模糊變換，對事物的全體作出總的評價的一種方法。
模糊綜合評判問題，實際上就旦迅唯是模糊變換問題，它的原理可用模式（4-27）表示：
B=A·R （4-27）
式中：A為因子權重。
為了突出地下水水質成分的主要因子，對各種樣品、各因子視其在模糊分級標准中不同情況，分別賦權，得權重A。A是由各評價因子的權重處理後所構成的1×m階行矩陣，稱為輸入。
權重A與評價的方法和目的有關。賦權應以各評價因子對地下水質量影響的貢獻為主要考慮因素。若多種因子對地下水質量影響時，應能反映出多因子之間的協同、頡頏作用狀況。在實際評價中，由於化學組分在地下水系統介質中遷移轉化的機制不易認清，所以合理賦權是比較困難的。一般採用環境質量分指數法求出權重A。
為了進行模糊變換，Wi應滿足歸一化要求：
區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究
進行歸一化，計算公式為
區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究
式中：Wi為經歸一化i因子的權重。
由此構成（1×m）權重矩陣：A=（W1，W2，…，Wm）
R為模糊轉換器，是由若干個單因子評價行向量構成的，它表示從被考查要素到評定最高等級的一種模糊轉化關系，其模糊關系矩陣為
區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究
B為綜合評判結果，稱為輸出。
B是要求的評價結果，它是評價集上一個模糊子集，用一個1×n行向量的形式表示。
B=（μ（x1），μ（x2），…，μ（xi））
上式中各個元是各因子對於評價等級的隸屬度。
μmn的計算採用降半梯形法，換算公式如表4-4所示（韓銀富等，2000）。
表4-4 隸屬度μmn計算公式一覽表
續表
概括地說，已知輸入和模糊轉換器求輸出，就是模糊綜合評判（付雁鵬等，1987）。
綜合評判，即A與R兩個模糊矩陣的復合運算，採用（∧，∨）型綜合評判計演算法，類似於普通矩陣乘法，只是將矩陣乘法運算中的「×」號改為「∧」號，將「+」號改為「∨」號，「∧」意為兩數中取小值，「∨」意為兩數中取大值。復合運算的結果，表示某水樣相對於各個質量類別的綜合評判隸屬度。
根據所評價的綜合隸屬度，比較各級隸屬度的大小。其中，隸屬度最大者所在等級，即為水樣點的分類等級。
若Bi=max｛B1，B2，…，Bn｝，則該樣品水質等級定為第i級。
多樣品水質按從優到劣排序的原則；同級別水質，比較各樣品其鄰級較優級別的隸屬度，大的先排；不同級別水質，較劣的後排。
將模糊綜合評判法應用到地下水質量評價中，可得出一個客觀的綜合評價結論，以及各種組分影響程度的順序。
模糊綜合判別法的局限性：
1）B=A·R是通過「∨」，「∧」得到的，這種運算形式過分強調了極值的作用，這就勢必丟掉一些數據所提供的信息，使判斷結果顯得「粗糙」，如評價函數呈現b1=b2=…=bm的情況時，就給最後的判別造成困難。
2）由於強調「取小，取大」，如果A中各分量小於R中各量，復合結果R中各量將全部被篩選掉，使單因素判別失去作用，結果形成以權數作為評判函數的現象。
以上情況會影響評價的精度。為了得到更好的評價結果，可根據實際情況，將「∨」，「∧」換成其他形式的運算元進行評判，表4-5列出了幾種常見的運算元形式（付雁鵬等，1987）。
表4-5 其他幾種常見的運算元形式
註：a，b分別表示μa（x），μb（x）；a·b表示普通實數乘法；⊕表示有界和運算。
如果採用一種運算元評判把握不準，可以同時採用多種運算元分別評判，最後進行評判結果比較，確定客觀的較優的結論。
（二）相似優先比法
相似優先比法是模糊數學中的一種計算方法，是在被選擇對象所組成的集合上，根據一些因素建立一個模糊相似關系，然後由表現這個模糊關系的模糊矩陣來決定元素的優劣。藉助這種方法，可以對集合中元素按優劣程度排序。
模糊相似矩陣是以海明距離比為基礎構建的，使用λ截矩陣概念計算各分區與環境目標值相似程度的次序。
1.海明距離
dki=xk-xi （4-29）
dkj=xk-xj （4-30）
式中：xk為某級水質（環境目標值）標准值；xi，xj為被比較的兩個區的實測平均值。
2.模糊相似優先比
區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究
rji=1-rij （4-32）
若rij在（0.5，1）之間，表示xi比xj優先；若rij在（0，0.5）之間，表示xj比xi優先。
理想情況有3種：若rij=1，表示xi顯然比xj優先；若rij=0，表示xj顯然比xi優先；若rij=0.5，無法確定優先比，兩個選擇等價。
3.模糊相似優先比矩陣
區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究
4.相似程度
根據實際情況，在［0，1］之間由大到小選定一系列λ值（λ為評價樣品與標准值相似程序的界限），作出相似的矩陣Rλ，得出各因子與目標之間的相似程度，並按求λ截矩陣的次序將元素排序。
區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究
5.綜合排序
綜合排序，即將各元素的多種排序的序號求和，序號和越小，則該元素越優，反之，則差。
應用相似優先比法對地下水質量進行優劣排序，效果較好。但是建立模糊相似關系矩陣和求λ截矩陣的工作比較繁瑣，為避免較大的計算量，建議當樣品少時，應用此方法（胡志榮等，1996）。
（三）Fuzzy距離定序法
Fuzzy距離定序法是在相似優先比法的基礎上，將繁瑣的建立模糊相似關系矩陣和求λ截矩陣的工作，通過變換待定序樣品的序列，分析利用Fuzzy距離確定的Fuzzy優先矩陣的性質給出Fuzzy優先關系定序的簡化方法。
Fuzzy距離定序法簡介：
設已知給定一標准樣品為
B=（b1，b2，…，bi） （4-35）
式中：i=1，2，…，m。
給定待序樣品序列為A′：
A′1，A′2，…，A′i，…，A′n （4-36）
式中：A′i=（ai1，ai2，…，aij），1≤i≤n，1≤j≤m，即每一個樣品由m個指標構成。
由於樣品的各項指標單位各異，同一指標可能相差較大，為充分發揮樣品各項指標在綜合評比中的作用，首先對樣品序列A′中每一樣品的各項指標進行標准化處理。然後計算待定序樣與標准樣品之間的Fuzzy距離，具體計算時採用下述公式：
區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究
式中：d（Ai，B）為樣品Ai與標准樣品B的Fuzzy距離；xik為待定序樣品Ai的第k項指標；dk為樣品第k項指標的權重，且
用式（4-35）通過計算得到待定序樣品A′與標准樣品B之間Fuzzy距離序列D′：
d（A1，B），d（A2，B），…，d（Ai，B），…，d（An，B） （4-38）
對序列（4-36）按從小到大的次序排列，得到新的Fuzzy距離序列d：
d1，d2，…，di，…，dn （4-39）
其中：d1＜d2，…＜di…＜dn
對樣品序列式（4-36），按樣品在序列式（4-39）中相應出現的先後次序進行重新排列，得到新的樣品序列A：
A1，A2，…，Ai，…，An （4-40）
若在序列式（4-39）中，存在di=dj，則相應把序列式（4-40）寫成：
A1，…，A2，…，Ai，Aj，…，An
把Fuzzy距離按從小到大的順序排列，待定序樣品在距離序列中相應出現的先後次序即為所求的排列結果。對地下水質量優劣排序而言，Fuzzy距離由小到大代表地下水質量由優到劣。
利用Fuzzy距離定序法進行地下水質量優劣排序，比相似優先比法簡便，計算量小，評別易行，尤其當樣品多時，更體現出此方法的有效性。但是此方法存在許多問題需進一步研究和探討，如Fuzzy距離公式的選用、樣品指標權數的確定等。因為Fuzzy距離定序法，定序的結果與Fuzzy距離有關，因此，應根據實際問題選用適當的計算公式，並結合研究區的水文地質條件及監測數據進行優劣排序；樣品指標權數的選取是人為根據諸指標對地下水質量貢獻大小來進行的，需要對各因素的影響有比較清楚的認識，才能夠把握權重值。