分型維數的計算方法

❶ 分維數的定義與計算

分形（B.B.Mandelbrot，1982）是其組成部分以某種方式與整體相似的形（A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way）.它是以分維數、自相似性、統計自相似性和冪函數等為工具，研究不具有特徵標度，極不規則和高度分割但具有自相似性的復雜現象（如地形起伏、雲朵、水系、樹的形態等），定量描述這種自相似性的參數稱為「分維數」或簡稱「分維」，記為D，它可以是分數.

維數是一定時空的數值特徵.普遍應用維數觀，正是現代非線性科學獲得的共識.低維與高維、有限維與無限維、整數維與分數維的轉化，在探索復雜世界的物質機制中已充分顯示了它的威力.

1919年數學家豪斯道夫引入豪斯棗冊道夫維.他提出連續空間的概念，也就是空間維數不是躍變的，而是蔽扮連續變化的，即可以是整數，也可以是分數，通過具體計算來確定維，該維數稱為豪斯道夫維，記為D_f.例如，對於三維圖形，考慮一個棱長為單位長度的立方體，若令每個棱邊長度放大兩倍，則立方體體積放大8倍，其表達式為2³=8.例如，對於一個D_f維的幾何對象，若每個棱邊長度都放大L倍，則這個幾何對象相應地放大K倍，其D_f、L和K三者關系應為.該式兩邊取對數後，則D_f=lnK/lnL.對具有奇異構形的分形，這里D_f一般是分數.豪斯道夫維數衍生的各種分形維數，如容量維、信息維、關聯維、質量維、空隙維、相似維等等，可以從不同側面描述客觀世界的復雜現象.它們的一個共性，就是在雙對數坐標系的尺度變換下，嚴格地或統計地保持不變.

在測量分維時，有一規律（通常稱為zero-sets）是有用的.傳統的歐氏幾何體與一平面相交，形成圖形的維數要減少一維；三維球變成二維圓；二維平面變成一維線；一凳並宏維線變成零維點.分形和傳統的歐氏幾何體一樣，統計分形體的分維是D，在與其相交的平面上進行測量，分維是D-1，在與其相交的直線上測量，分維是D-2.它們與平面相交構成的圖形要減少一維；它們與直線相交形成的點集要減少二維.

不同的分維數往往刻畫不同的物理類型，劃分不同成因，不同性質的群體.如某些相變的發生只有在二維及以上的空間中才會出現，在一維的情況下就不行.因此，在研究某一類事物的規律時，往往需要藉助於分維數的差異來幫助判別和分析.例如，將具有不同面積的平面圖形放到一維坐標系中，其測度（長度）都是無窮大；放到三維空間，其測度（長度）都是無窮小；只有在二維坐標系中，它們在面積方面的差異才能顯現出來.另一方面，由點到線，由線到面和由面到體，隨著維數的增加，它們所刻劃的客體復雜程度也相應增加，且其佔領空間的能力也隨之增強.因此，維數的差異直觀地反映了客體復雜程度的差異.

分形的定義：設集合A∈Eⁿ（Eⁿ是n維歐氏空間）的豪斯道夫維為D_f和拓撲維為D_t，如果公式D_f≥D_t成立，則稱集合A是分形集（或分形）（A fractal is by definition a set for which the Hausdorff Besicovitch dimension exceeds the topological dimension）.

例如康托爾集合，D_f=ln2/ln3≈0.6301，而D_t=0，有D_f＞D_t，故康托爾集合是一種分形.又如科曲折線，D_f=ln4/ln3≈1.2618，而D_t=1，有D_f＞D_t，故科曲折線也是一種分形.

由於研究的具體對象（分形）不同，其分維數計算的具體形式和名稱也有多種.最常見的分維數有相似維（similarity dimension）或容量維（capacity dimension）D₀、信息維（information dimension）D₁、關聯維（correlation dimension）D₂和廣義維（generalized dimension）D_q.

1.相似維（similarity dimension）或容量維（capacity dimension）D₀

在測量地質體邊界的長度時，設測量尺度為r，覆蓋整個邊界的最少次數為N（r），此時將容量維數定義為：

分形混沌與礦產預測

將這一定義推廣到n維空間Eⁿ（Eⁿ為n維Euclide空間）中，上式中的r為覆蓋Eⁿ中圖形所需的立方體的邊長或球體的直徑，N（r）為所需的立方體或球體的最少數目.可以證明D₀=D_f（豪斯道夫維數）.

2.信息維（information dimension）D₁

容量維數D₀只考慮了覆蓋圖形所需的立方體或球體的數目與其邊長或直徑的關系.對於那些非確定性的事物，一般是用概率的形式表示出來的，為此引入信息維數的定義：

分形混沌與礦產預測

式中P_i是覆蓋概率，當用邊長為r的小盒子去覆蓋分形結構時，P_i是分形結構中某些點落入小盒子的概率.如果P_i=1/N（r）時，則有D₁=D_f.

3.關聯維（correlation dimension）D₂

P.Grassberger和J.Procaccia（1983）應用關聯函數C（r）給出了關聯維數的定義：

分形混沌與礦產預測

式中是相空間中兩點之間距離小於r的概率，|X_i-X_j|為兩點距離間的向量距離，r為指定的距離上限，，它是 Heavisideh函數.

4.廣義維（generalized dimension）D_q

分形混沌與礦產預測

式中P_i是覆蓋概率，當用邊長為r的小盒子去覆蓋分形結構時，P_i是分形結構中某些點落入小盒子的概率.當q取不同值時，D_q表示不同分維，如D_q=0=D₀，D_q=1=D₁，D_q=2=D₂.應當注意上述分維數之間的關系只是形式上（或定義上）的，但在實際問題計算中，上述關系不一定成立.

5.分維Brown函數

嚴格的自相似性在自然界並不多見，為了描述大量自然形狀，需要用統計自相似性的概念來推廣分維的定義，這就要用到分維Brown函數.

設x∈Eⁿ（Eⁿ為n維Euclide空間），f（x）是關於點x的隨機實值函數，若存在常數H（0＜H＜1）使得函數：

分形混沌與礦產預測

是一個與x，Δx無關的分布函數，則稱f（x）為分維Brown函數，其分維值為：D_B=n+1-H.

❷ 請問關聯維數（分形維數）和分數維有什麼聯系與區別

關聯維數實際上是分形維數的一種，因為有很成熟的G-P演算法的存在，利於計算和應用。

分形維數除了用分形維旦掘數計算，還可以用盒子維數來計算，此外還有折線法等等。

關聯維數（分模返核形維數）等於二世桐減去赫斯特指數，分數維是赫斯特指數的倒數，都是經驗公式。很多情況下並不滿足，理論上的分形維數應該是豪斯道夫維數，但這很難計算。