廣義逆矩陣的計算方法

1. 矩陣理論：求廣義逆矩陣的應用 論文

http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_syhkgyxyxb200502026.aspx 矩陣是工程技術以及經濟管理等領域的不可缺少的數學工具,凡是用到矩陣的地方,基本上都要涉及廣義逆矩陣,尤其數值分析與數理統計有著重要作用.廣義逆矩陣共15類,但最常用有5類,包括A{1},A{1,2},A{1,3},A{1,4},A{1,2,3,4}.主要討論這5類廣義逆矩陣的計算及其應用.作 者： 馬秀珍 韓靜華 MA Xiu-zhen HAN Jing-hua 作者單位： 沈陽航空工業學院理學系,遼寧,沈陽,110034 刊 名： 沈陽航空工業學院學報 英文刊名： JOURNAL OF SHENYANG INSTITUTE OF AERONAUTICAL ENGINEERING 年，卷(期)： 2005 22(2) 分類號： O175.14 關鍵詞： 廣義逆矩陣 矩陣方程 自反廣義逆 最小范數廣義逆 通解 機標分類號： 機標關鍵詞： 廣義逆矩陣應用數值分析數學工具數理統計經濟管理工程技術計算 基金項目：

2. 如何利用消去變換計算逆矩陣，廣義逆矩陣，求解線性

別的你都可以自己看教材，我就告訴你怎麼求Moore-Penrose廣義逆
先利用消去法得到滿秩分解A=FG，其中F列滿秩，G行滿秩
然後A^+=G^+F^+，所以歸結為求F^+和G^+
對於列滿秩矩陣F而言，F^+=(F^*F)^{-1}F^*，這本質上就是最小二乘法
類似地，對於行滿秩矩陣G而言，G^+=G^*(GG^*)^{-1}

3. 廣義逆矩陣的計算方法

廣義逆矩陣的計算方法大致可分為三類：以滿秩分解和奇異值分解為基礎的直接法，迭代法和其他一些常用於低階矩陣的非凡方法。
以A+的計算為例。若A是一個秩為r的m×n階非零矩陣，記作（圖6），,有滿秩分解A=F·G,其中（圖7），則（圖8），即將廣義逆矩陣的計算化為通常逆矩陣的計算。常用LU分解和QR分解等方法實現滿秩分解，然後求出A+。若A有奇異值分解A=UDV*，其中U、V為m階和n階酉矩陣，（圖9）是m×n階矩陣，∑是r階對角陣，對角元（圖10）是A的r個非零奇異值（AA*的非零特徵值的平方根），則A+=VD+U*，其中（圖11）是n×m階矩陣。也可用豪斯霍爾德變換先將 A化為上雙對角陣J0=P*AQ，然後再對J0使用QR演算法化為矩陣D=G*J0h，於是A=(PG)D(Qh)*，故A+1=(Qh)D+(PG)*。設λ1是AA*的最大非零特徵值，若0<α<2/λ1，則計算A+的一個迭代法是x0=αA*，xn+1=(2I-Axn)，當n→∞時，xn收斂於A+。
格雷維爾逐次遞推法也是計算A+的常用方法。設A的第k列為αk(k=1,2,…,n)，A1=α1,Ak=(Ak-1,αk)(k=2,3，…,n),則（圖12），式中（圖13）（圖14）。
1955年以後，出現了大量的關於廣義逆矩陣的理論、應用和計算方法的文獻。70年代還出版了一些專著和會議錄，指出廣義逆矩陣在控制論、系統辨識、規劃論、網路理論、測量、統計和計量經濟學等方面的應用。

4. 求矩陣的廣義逆 滿秩分解

設A是矩m*n階矩陣,秩r(A)=r<=min(m,n),求出m*r階矩陣B,r*n階矩陣C,使得A=BC,其中r(B)=r(C)=r,即B是列滿秩的,C是行滿秩的,稱為滿秩分解,實現滿秩分解的方法很多,常用的演算法穩定的方法是正交化的方法,求出滿秩分解後,此時B^T*B,C*C^T均是r階非奇異矩陣,則C^T(C*C^T)^-1*(B^T*B)^-1*B^T就是A的Moore-Penrose廣義逆矩陣.如果A是復矩陣,將上面的轉置改為共軛轉置即可.

5. 初等變換法求廣義逆矩陣

直接求不就得了。。幹嘛用初等矩陣法？？？、

6. 用廣義逆矩陣方法判斷線性方程組 ax=b 是否有解 並求極小范數 最小二乘 解

如下：

線性方程組：A(mxn)X = b ------ (1)

A是m行n列(m>n)的行列式:A'是A的轉置矩陣，將(1)變成

（A'A）X = A'b - - - - (2)

(A'A)是nxn階方陣，它的逆矩陣稱為廣義逆矩陣。

(A'A)行列式不為零，方程組(2)有唯一解，且與(1)的最小二乘解相對應！此結論的證明也不復雜。

思想：

廣義逆的思想可追溯到1903年（E.）I.弗雷德霍姆的工作，他討論了關於積分運算元的一種廣義逆（他稱之為偽逆）。

1904年，D.希爾伯特在廣義格林函數的討論中，含蓄地提出了微分運算元的廣義逆。而任意矩陣的廣義逆定義最早是由E.H.穆爾在1920年提出的，他以抽象的形式發表在美國數學會會刊上。

7. 請問奇異矩陣如何求廣義逆矩陣，都說用svd，請問如何用svd分解的三個矩陣求取廣義逆矩陣

Ref: http://www.docin.com/p-523643488.html, Page 5

8. 列矩陣怎麼求廣義逆矩陣

A=0時A^+=A^T
A非零時可以用A^+=(A^TA)^{-1}A^T=A^T/(A^TA)

9. 廣義逆矩陣的簡介

註：下文中^後面的內容為上標
廣義逆矩陣是對逆矩陣的推廣。 若A為非奇異矩陣，則線性方程組Ax=b的解為x=A^(-1)b，其中A的逆矩陣A^(-1)滿足A^(-1)A=AA^(-1)=I(I為單位矩陣)。若A是奇異陣或長方陣，Ax=b可能無解或有很多解。若有解，則解為x=Xb+(I-XA)у，其中у是維數與A的列數相同的任意向量，X是滿足AXA=A的任何一個矩陣，通常稱X為A的廣義逆矩陣，用A^g、A^-或A^(1)等符號表示，有時簡稱廣義逆。當A非奇異時，A^(-1)也滿足AA^(-1)A=A，且x=A^(-1)b+(I-A^(-1)A)у=A^(-1)b。故非異陣的廣義逆矩陣就是它的逆矩陣，說明廣義逆矩陣確是通常逆矩陣概念的推廣。
存在一個唯一的矩陣M使得下面三個條件同時成立：
(1) AMA=A;
(2)MAM=M;
(3)AM與MA均為對稱矩陣。
這樣的矩陣M成為矩陣A的Moore-Penrose廣義逆矩陣，記作M=A(^+).
註：^後面的內容為上標 1955年R.彭羅斯證明了對每個m×n階矩陣A，都存在唯一的n×m階矩陣X，滿足：①AXA=A；②XAX=X；③(AX)*=AX；④(XA)*=XA。通常稱X為A的穆爾-彭羅斯廣義逆矩陣，簡稱M-P逆，記作A^+。當A非奇異時，A^(-1)也滿足①～④，因此M-P逆也是通常逆矩陣的推廣。在矛盾線性方程組Ax=b的最小二乘解中，x=A^(-1)b是范數最小的一個解。
若A是n階方陣，k為滿足（圖1）的最小正整數（rank為矩陣秩的符號），記作k=Ind(A)，則存在唯一的n階方陣X，滿足：(1) AkXA=Ak；(2) XAX=X； (3) AX=XA。 廣義逆的思想可追溯到1903年（E.）I.弗雷德霍姆的工作，他討論了關於積分運算元的一種廣義逆（他稱之為偽逆）。1904年，D.希爾伯特在廣義格林函數的討論中，含蓄地提出了微分運算元的廣義逆。而任意矩陣的廣義逆定義最早是由E.H.穆爾在1920年提出的，他以抽象的形式發表在美國數學會會刊上。當時人們對此似乎很少注意。這一概念在以後30年中沒有多大發展。曾遠榮在1933年，F.J.默里和J.馮·諾伊曼在1936年對希爾伯特空間中線性運算元的廣義逆作過討論。20世紀50年代圍繞著某些廣義逆的最小二乘性質的討論重新引起了人們對這個課題的興趣。1951年瑞典人A.布耶爾哈梅爾重新發現了穆爾所定義的廣義逆，並注意到廣義逆與線性方程組的關系。T.N.E.格雷維爾、C.R.拉奧和其他人也作出了重要的貢獻。1955年，彭羅斯證明了存在唯一的X=A+滿足前述性質①～④，並以此作為 A+的定義。1956年，R.拉多證明了彭羅斯定義的廣義逆與穆爾定義的廣義逆是等價的，因此通稱A+為穆爾-彭羅斯廣義逆矩陣。