變限積分的值計算方法

A. 求問，這個變上限定積分是怎麼算出來的

分部積分法，不過一般被積變數和上下限的變數會選擇不同的表達，比如用t。

以分子為例，原本的定積分被積函數自變數是t，下限是0，上限是x。

令u=x-t，那麼當t=0的時候，u=x；當t=x的時候，u=0。

所以當原本下限是t=0的時候，在新的定積分中，就是對應u=x。

在原本上限是t=x的時候，在新的定積分中，就是對應u=0。

所以這並不是什麼上下限對調，而是根據u=x-t這個關系式，計算出當t=0和t=x的時候，u對應的值作為新的上下限。而這個「對調」，只是因為u=x-t這個關系的特殊性而已。

定積分

定積分的正式名稱是黎曼積分。用黎曼自己的話來說，就是把直角坐標繫上的函數的圖象用平行於y軸的直線把其分割成無數個矩形，然後把某個區間［a，b］上的矩形累加起來，所得到的就是這個函數的圖象在區間［a，b］的面積。實際上，定積分的上下限就是區間的兩個端點a，b。

B. 變上限積分計算公式是什麼

變上限積分公式是∫f(t)dt（積分限a到x），根據映射的觀點，每給一個x就積分出一個實數，因此這是關於x的一元函數，記為g(x)=∫f(t)dt（積分限a到x），注意積分變數用什麼符號都不影響積分值，改用t是為了不與上限x混淆。

積分下限為a，下限是g(x) 那麼對這個變上限積分函數求導， 就用g(x)代替f(t)中的t， 再乘以g(x)對x求導，即g'(x) 所以導數為f[g(x)]*g'(x)。注意積分變數用什麼符號都不影響積分值，改用t是為了不與上限x混淆。

變上限積分 是微積分基本 定理之一，通過它可以得到「牛頓——萊布尼茨」定理，它是連接不定積分和定積分的橋梁，通過它把求定積分轉化為求原函數，這樣就使數學家從求定積分的和式 極限中解放出來了，從而可以通過原函數來得到積分的值！

變上限積分定理：連續函數f(x)在[a,b]有界，x屬於（a,b)，取βX足夠小，使x+βX屬於（a,b），則存在函數F(x)=∫(0,x)f(t)dt, 使F(x)的導數為f(x)。