1. 計算方法問題
工程問題
因此，在教學中，如何讓學生建立正確概念是數學應用題的關鍵。本節課從始至終都以工程問題的概念來貫穿，目的在於使學生理解並熟練掌握概念。 聯系實際談話引入。引入設懸，滲透概念。目的在於讓學生復習理解工作總量、工作時間、工作效率之間的概念及它們之間的數量關系。初步的復習再次強化工程問題的概念。 通過比較，建立概念。在教學中充分發揮學生的主體地位，運用學生已有的知識「包含除」來解決合作問題。 合理運用強化概念。學生在感知的基礎上，於頭腦中初步形成了概念的表象，具備概念的原型。一部分學生只是接受了概念，還沒有完全消化概念。所以我編擬了練習題，目的在於通過學生運用，來幫助學生認識、理解、消化概念，使學生更加熟練的找到了工程問題的解題方法。在學生大量練習後，引出含有數量的工作問題，讓學生自己找到問題的答案。從而又一次突出工程問題概念的核心。 在日常生活中，做某一件事，製造某種產品，完成某項任務，完成某項工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作時間這三個量，它們之間的基本數量關系是 ——工作量=工作效率×時間. 在小學數學中，探討這三個數量之間關系的應用題，我們都叫做「工程問題」. 舉一個簡單例子.：一件工作，甲做15天可完成，乙做10天可完成.問兩人合作幾天可以完成？ 一件工作看成1個整體，因此可以把工作量算作1.所謂工作效率，就是單位時間內完成的工作量，我們用的時間單位是「天」，1天就是一個單位， 再根據基本數量關系式，得到 工作效率×工作時間=工作總量 =6（天） 答：兩人合作需要6天. 這是工程問題中最基本的問題，這一講介紹的許多例子都是從這一問題發展產生的。為了計算整數化（盡可能用整數進行計算），如第三講例3和例8所用方法，把工作量多設份額.還是上題，10與15的最小公倍數是30。設全部工作量為30份，那麼甲每天完成2份，乙每天完成3份，兩人合作所需天數是 : 30÷（2+ 3）= 6（天） 如果用數計算，更方便. 3：2.或者說「工作量固定，工作效率與時間成反比例」.甲、乙工作效率的比是10∶15=2∶3
編輯本段工程問題方法總結
一：基本數量關系：
工效×時間=工作總量
二：基本特點：
設工作總量為「1」，工效=1/時間
三：基本方法：
算術方法、比例方法、方程方法。
四：基本思想：
分做合想、合做分想。
五：類型與方法：
一：分做合想:1.合想,2.假設法,3.巧抓變化(比例),4.假設法。 二：等量代換：方程組的解法→代入法，加減法。 三：按勞分配思路：每人每天工效→每人工作量→按比例分配 四：休息請假： 方法：1.分想：劃分工作量。2.假設法：假設不休息。 五：休息與周期： 1.已知條件的順序：①先工效，再周期，②先周期，再天數。 2.天數：①近似天數，②准確天數。 3.列表確定工作天數。 六：交替與周期：估算周期，注意順序！ 七：注水與周期：1.順序，2.池中原來是否有水，3.注滿或溢出。 八：工效變化。 九：比例：1.分比與連比，2.歸一思想，3.正反比例的運用，4.假設法思想(周期)。 十：牛吃草問題：1.新生草量，2.原有草量，3.解決問題。
編輯本段工程問題
.當知道了兩者工作效率之比，從比例角度考慮問題，也 需時間是 因此，在下面例題的講述中，不完全採用通常教科書中「把工作量設為整體1」的做法，而偏重於「整數化」或「從比例角度出發」，也許會使我們的解題思路更靈活一些. 一、兩個人的問題 標題上說的「兩個人」，也可以是兩個組、兩個隊等等的兩個集體. ●例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。現在甲先做了3天，餘下的工作由乙繼續完成，乙需要做幾天可以完成全部工作？ 解一：把這件工作看作1，甲每天可完成這件工作的九分之一，做3天完成的1/3。 乙每天可完成這件工作的六分之一，（1-1/3）÷1/6=4（天） 答：乙需要做4天可完成全部工作. 解二：9與6的最小公倍數是18.設全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成餘下工作所需時間是 （18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）. 解三：甲與乙的工作效率之比是 6∶ 9= 2∶ 3. 甲做了3天，相當於乙做了2天.乙完成餘下工作所需時間是6-2=4（天）. ●例2 一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天後，甲離開了，由乙繼續做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？ 解：共做了6天後， 原來，甲做 24天，乙做 24天， 現在，甲做0天，乙做40=（24+16）天. 這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替.因此甲的工作效率 如果乙獨做，所需時間是 50天 如果甲獨做，所需時間是 75天 答：甲或乙獨做所需時間分別是75天和50天. ●例3 某工程先由甲獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成.現在甲先單獨做42天，然後再由乙來單獨完成，那麼乙還需要做多少天？ 解：先對比如下： 甲做63天，乙做28天； 甲做48天，乙做48天. 就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的 甲先單獨做42天，比63天少做了63-42=21（天），相當於乙要做 因此，乙還要做 28+28= 56 （天）. 答：乙還需要做 56天. ●例4 一件工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做30天完成.現在兩隊合作，其間甲隊休息了2天，乙隊休息了8天（不存在兩隊同一天休息）.問開始到完工共用了多少天時間？ 解一：甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天，共完成工作量 餘下的工作量是兩隊共同合作的，需要的天數是 2+8+ 1= 11（天）. 答：從開始到完工共用了11天. 解二：設全部工作量為30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天之後，還需兩隊合作 （30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）. 解三：甲隊做1天相當於乙隊做3天. 在甲隊單獨做 8天後，還餘下（甲隊） 10-8= 2（天）工作量.相當於乙隊要做2×3=6（天）.乙隊單獨做2天後，還餘下（乙隊）6-2=4（天）工作量. 4=3+1， 其中3天可由甲隊1天完成，因此兩隊只需再合作1天. 解四： 方法：分休合想（題中說甲乙兩隊沒有在一起休息，我們就假設他們在一起休息.) 甲隊每天工作量為1/10，乙為1/30，因為甲休息了2天，而乙休息了8天，因為8>2，所以我們假設甲休息兩天時，乙也在休息。那麼甲開始工作時，乙還要休息：8-2=6(天）那麼這6天內甲獨自完成了這項工程的1/10×6=6/10，剩下的工作量為1-6/10=4/10，而這剩下的4/10為甲乙兩人一起合作完成的工程量，所以，工程量的4/10 需要甲乙合作：(4/10)÷(1/10+1/30)=3天。所以從開始到完工共需：8+3=11(天） ●例5 一項工程，甲隊單獨做20天完成，乙隊單獨做30天完成.現在他們兩隊一起做，其間甲隊休息了3天，乙隊休息了若干天.從開始到完成共用了16天.問乙隊休息了多少天？ 解一：如果16天兩隊都不休息，可以完成的工作量是 （1÷20）×16+（1÷30）×16=4/3 由於兩隊休息期間未做的工作量是4/3-1=1/3 乙隊休息期間未做的工作量是 1/3-1/20×3=11/60 乙隊休息的天數是 11/60÷(1/30)=11/2 答：乙隊休息了5天半. 解二：設全部工作量為60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份. 兩隊休息期間未做的工作量是 （3+2）×16- 60= 20（份）. 因此乙休息天數是 （20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）. 解三：甲隊做2天，相當於乙隊做3天. 甲隊休息3天，相當於乙隊休息4.5天. 如果甲隊16天都不休息，只餘下甲隊4天工作量，相當於乙隊6天工作量，乙休息天數是 16-6-4.5=5.5（天）. ●例6 有甲、乙兩項工作，張單獨完成甲工作要10天，單獨完成乙工作要15天；李單獨完成甲工作要 8天，單獨完成乙工作要20天.如果每項工作都可以由兩人合作，那麼這兩項工作都完成最少需要多少天？ 解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲，張先做乙. 設乙的工作量為60份（15與20的最小公倍數），張每天完成4份，李每天完成3份. 8天，李就能完成甲工作.此時張還餘下乙工作（60-4×8）份.由張、李合作需要 （60-4×8）÷（4+3）=4（天）. 8+4=12（天）. 答：這兩項工作都完成最少需要12天. ●例7 一項工程，甲獨做需10天，乙獨做需15天，如果兩人合作，他 要8天完成這項工程，兩人合作天數盡可能少，那麼兩人要合作多少天？ 解：設這項工程的工作量為30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份. 兩人合作，共完成 3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2（份）. 因為兩人合作天數要盡可能少，獨做的應是工作效率較高的甲.因為要在8天內完成，所以兩人合作的天數是 （30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）. 很明顯，最後轉化成「雞兔同籠」型問題. ●例8 甲、乙合作一件工作，由於配合得好，甲的工作效率比單獨做時快 如果這件工作始終由甲一人單獨來做，需要多少小時？ 解：乙6小時單獨工作完成的工作量是 乙每小時完成的工作量是 兩人合作6小時，甲完成的工作量是 甲單獨做時每小時完成的工作量 甲單獨做這件工作需要的時間是 答：甲單獨完成這件工作需要33小時. 這一節的多數例題都進行了「整數化」的處理.但是，「整數化」並不能使所有工程問題的計算簡便. 例8就是如此.例8也可以整數化，當求出乙每 有一點方便，但好處不大.不必多此一舉. 二、多人的工程問題 我們說的多人，至少有3個人，當然多人問題要比2人問題復雜一些，但是解題的基本思路還是差不多. ●例9 一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.問甲一人獨做需要多少天完成？ 解：設這件工作的工作量是1. 甲、乙、丙三人合作每天完成 減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成 答：甲一人獨做需要90天完成. 例9也可以整數化，設全部工作量為180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.請試一試，計算是否會方便些？ ●例10 一件工作，甲獨做要12天，乙獨做要18天，丙獨做要24天.這件工作由甲先做了若干天，然後由乙接著做，乙做的天數是甲做的天數的3倍，再由丙接著做，丙做的天數是乙做的天數的2倍，終於做完了這件工作.問總共用了多少天？ 解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）. 說明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了 2+6+12=20（天）. 答：完成這項工作用了20天. 本題整數化會帶來計算上的方便.12，18，24這三數有一個易求出的最小公倍數72.可設全部工作量為72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.總共用了 ●例11 一項工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天.問這項工程由甲獨做需要多少天？ 解：丙2天的工作量，相當乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當於乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍. 他們共同做13天的工作量，由甲單獨完成，甲需要 答：甲獨做需要26天. 事實上，當我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相當於乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉化為甲再做13天來完成. ●例12 某項工作，甲組3人8天能完成工作，乙組4人7天也能完成工作.問甲組2人和乙組7人合作多少時間能完成這項工作？ 解一：設這項工作的工作量是1. 甲組每人每天能完成 乙組每人每天能完成 甲組2人和乙組7人每天能完成 答：合作3天能完成這項工作. 解二：甲組3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙組4人7天能完成，因此7人4天能完成. 現在已不需顧及人數，問題轉化為： 甲組獨做12天，乙組獨做4天，問合作幾天完成？ 小學算術要充分利用給出數據的特殊性.解二是比例靈活運用的典型，如果你心算較好，很快就能得出答數. ●例13 製作一批零件，甲車間要10天完成，如果甲車間與乙車間一起做只要6天就能完成.乙車間與丙車間一起做，需要8天才能完成.現在三個車間一起做，完成後發現甲車間比乙車間多製作零件2400個.問丙車間製作了多少個零件？ 解一：仍設總工作量為1. 甲每天比乙多完成 因此這批零件的總數是 丙車間製作的零件數目是 答：丙車間製作了4200個零件. 解二：10與6最小公倍數是30.設製作零件全部工作量為30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份. 乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知 乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7. 已知 甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8. 綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是 12∶8∶7. 當三個車間一起做時，丙製作的零件個數是 2400÷（12- 8） × 7= 4200（個）. ●例14 搬運一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時.有同樣的倉庫A和B，甲在A倉庫、乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫助甲搬運，中途又轉向幫助乙搬運.最後兩個倉庫貨物同時搬完.問丙幫助甲、乙各多少時間？ 解：設搬運一個倉庫的貨物的工作量是1.現在相當於三人共同完成工作量2，所需時間是 答：丙幫助甲搬運3小時，幫助乙搬運5小時. 解本題的關鍵，是先算出三人共同搬運兩個倉庫的時間.本題計算當然也可以整數化，設搬運一個倉庫全部工作量為 60.甲每小時搬運 6，乙每小時搬運 5，丙每小時搬運4. 三人共同搬完，需要 60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小時）. 甲需丙幫助搬運 （60- 6× 8）÷ 4= 3（小時）. 乙需丙幫助搬運 （60- 5× 8）÷4= 5（小時）. 三、水管問題 從數學的內容來看，水管問題與工程問題是一樣的.水池的注水或排水相當於一項工程，注水量或排水量就是工作量.單位時間里的注水量或排水量就是工作效率.至於又有注入又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了.因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相同. 例15 甲、乙兩管同時打開，9分鍾能注滿水池.現在，先打開甲管，10分鍾後打開乙管，經過3分鍾就注滿了水池.已知甲管比乙管每分鍾多注入0.6立方米水，這個水池的容積是多少立方米？ 解：甲每分鍾注入水量是 ：（1-1/9× 3）÷10=1/15 乙每分鍾注入水量是：1/9-1/15=2/45 因此水池容積是：0.6÷（1/15-2/45）=27（立方米） 答：水池容積是27立方米. 例16 有一些水管，它們每分鍾注水量都相等.現在打開其中若干根水管，經過預定的時間的1/3，再把打開的水管增加一倍，就能按預定時間注滿水池，如果開始時就打開10根水管，中途不增開水管，也能按預定時間注滿水池.問開始時打開了幾根水管？ 分析：增開水管後，有原來2倍的水管，注水時間是預定時間的1-1/3=2/3，2/3是1/3的2倍，因此增開水管後的這段時間的注水量，是前一段時間注水量的4倍。 設水池容量是1，前後兩段時間的注水量之比為：1：4， 那麼預定時間的1/3（即前一段時間）的注水量是1/（1+4）=1/5。 10根水管同時打開，能按預定時間注滿水，每根水管的注水量是1/10，預定時間的1/3，每根水官的注水量是1/10×1/3=1/30 要注滿水池的1/5，需要水管1/5÷1/30=6（根） 解：前後兩段時間的注水量之比為：1：[（1-1/3）÷1/3×2]=1：4 前段時間注水量是：1÷（1+4）=1/5 每根水管在預定1/3的時間注水量為：1÷10×1/3=1/30 開始時打開水管根數：1/5÷1/30=6（根） 答：開始時打開6根水管。 例17 蓄水池有甲、丙兩條進水管，和乙、丁兩條排水管.要灌滿一池水，單開甲管需3小時，單開丙管需要5小時.要排光一池水，單開乙管需要 4小，丁管需要6小時，現在水池內有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙……的順序輪流打開1小時，問多少時間後水開始溢出水池？ 分析： ，否則開甲管的過程中水池裡的水就會溢出. 以後（20小時），池中的水已有 此題與廣為流傳的「青蛙爬井」是相仿的：一隻掉進了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到達井口，每小時它總是爬3尺，又滑下2尺.問這只青蛙需要多少小時才能爬到井口？ 看起來它每小時只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小時後，它再爬1小時，往上爬了3尺已到達井口. 因此，答案是28小時，而不是30小時. 例18 一個蓄水池，每分鍾流入4立方米水.如果打開5個水龍頭，2小時半就把水池水放空，如果打開8個水龍頭，1小時半就把水池水放空.現在打開13個水龍頭，問要多少時間才能把水放空？ 解：先計算1個水龍頭每分鍾放出水量. 2小時半比1小時半多60分鍾，多流入水 4 × 60= 240（立方米）. 時間都用分鍾作單位，1個水龍頭每分鍾放水量是 240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米）， 8個水龍頭1個半小時放出的水量是 8 × 8 × 90， 其中 90分鍾內流入水量是 4 × 90，因此原來水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）. 打開13個水龍頭每分鍾可以放出水8×13，除去每分鍾流入4，其餘將放出原存的水，放空原存的5400，需要 5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分鍾）. 答：打開13個龍頭，放空水池要54分鍾. 水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的. 例19 一個水池，地下水從四壁滲入池中，每小時滲入水量是固定的.打開A管，8小時可將滿池水排空，打開C管，12小時可將滿池水排空.如果打開A，B兩管，4小時可將水排空.問打開B，C兩管，要幾小時才能將滿池水排空？ 解：設滿水池的水量為1. A管每小時排出 A管4小時排出 因此，B，C兩管齊開，每小時排水量是 B，C兩管齊開，排光滿水池的水，所需時間是 答： B， C兩管齊開要 4 小時 48分才將滿池水排完. 本題也要分開考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量.由於不知具體數量，像工程問題不知工作量的具體數量一樣.這里把兩種水量分別設成「1」.但這兩種量要避免混淆.事實上，也可以整數化，把原有水設為8與12的最小公倍數 24. 17世紀英國偉大的科學家牛頓寫過一本《普遍算術》一書，書中提出了一個「牛吃草」問題，這是一道饒有趣味的算術題.從本質上講，與例18和例19是類同的.題目涉及三種數量：原有草、新長出的草、牛吃掉的草.這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類同的. 例20 有三片牧場，場上草長得一樣密，而且長得一 草；21頭牛9星期吃完第二片牧場的草.問多少頭牛18星期才能吃完第三片牧場的草？ 解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量×牛頭數×星期數.根據這一計算公式，可以設定「一頭牛每星期吃草量」作為草的計量單位. 原有草+4星期新長的草=12×4. 原有草+9星期新長的草=7×9. 由此可得出，每星期新長的草是 （7×9-12×4）÷（9-4）=3. 那麼原有草是 7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）. 對第三片牧場來說，原有草和18星期新長出草的總量是 這些草能讓 90×7.2÷18=36（頭） 牛吃18個星期. 答：36頭牛18個星期能吃完第三片牧場的草. 例20與例19的解法稍有一點不一樣.例20把「新長的」具體地求出來，把「原有的」與「新長的」兩種量統一起來計算.事實上，如果例19再有一個條件，例如：「打開B管，10小時可以將滿池水排空.」也就可以求出「新長的」與「原有的」之間數量關系.但僅僅是例19所求，是不需要加這一條件.好好想一想，你能明白其中的道理嗎？ 「牛吃草」這一類型問題可以以各種各樣的面目出現.限於篇幅，我們只再舉一個例子. 例21 畫展9點開門，但早有人排隊等候入場.從第一個觀眾來到時起，每分鍾來的觀眾人數一樣多.如果開3個入場口，9點9分就不再有人排隊，如果開5個入場口，9點5分就沒有人排隊.問第一個觀眾到達時間是8點幾分？ 解：設一個入場口每分鍾能進入的觀眾為1個計算單位. 從9點至9點9分進入觀眾是3×9， 從9點至9點5分進入觀眾是5×5. 因為觀眾多來了9-5=4（分鍾），所以每分鍾來的觀眾是 （3×9-5×5）÷（9-5）=0.5. 9點前來的觀眾是 5×5-0.5×5=22.5. 這些觀眾來到需要 22.5÷0.5=45（分鍾）. 答：第一個觀眾到達時間是8點15分. 挖一條水渠，甲、乙兩隊合挖要六天完成。甲隊先挖三天，乙隊接著挖一天，可挖這條水渠的3/10，兩隊單獨挖各需幾天？ 分析: 甲乙合作1天後,甲又做了2天共3/10-1/6=4/30 2÷(3/10-1/6) =2÷4/30 =15(天) 1÷(1/6-1/15)=10(天) 答:甲單獨做要15天,乙單獨做要10天 . .一件工作，如果甲單獨做，那麼甲按規定時間可提前2天完成，乙則要超過規定時間3天才完成。現在甲乙二人合作二天後，剩下的乙單獨做，剛好在規定日期內完成。若甲乙二人合作，完成工作需多長時間？ 解設:規定時間為X天.(甲單獨要X-2天,乙單獨要X+3天,甲一共做了2天,乙一共做了X天) 1/(X-2)×2 + X/(X+3)=1 X=12 規定要12天完成 1÷[1/(12-2)+1/(12+3)] =1÷(1/6) =6天 答:兩人合作完成要6天. 例：一項工程，甲單獨做63天，再由乙做28天完成，甲乙合作需要48天完成。甲先做42天，乙做還要幾天？ 答：設甲的工效為x,乙的工效為y 63x+28y=1 48x+48y=1 x=1/84 y=1/112 乙還要做（1-42/84）÷（1/112）=56（天）