系統模型的計算方法

Ⅰ 常用的系統建模方法的適用范圍和局限性

常用的系統建模方法的適用范圍和局限性？系統建模方法

2.1系統抽象與數學描述

2.1.1 實際系統的抽象

本質上講，系統數學模型是從系統概念出發的關於現實世界的一小部分或幾個方面的抽象的「映像」。

為此，系統數學模型的建立需要建立如下抽象:輸入、輸出、狀態變數及其間的函數關系。這種抽象過程稱為模型構造。抽象中，必須聯系真實系統與建模目標，其中描述變數起著很重要的作用，它可觀測，或不可觀測。

從外部對系統施加影響或干擾的可觀測變數稱為輸入變數。 系統對輸入變數的響應結果稱為輸出變數。

輸入、輸出變數對的集合，表徵著真實系統的「輸入-輸出」性狀(關系)。

綜上述，真實系統可視為產生一定性狀數據的信息源，而模型則是產生與真實系統相同性狀數據的一些規則、指令的集合，抽象在其中則起著媒介作用。系統數學建模就是將真實系統抽象成相應的數學表達式(一些規則、指令的集合)。

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(可觀測)

輸入變數 (可觀測) 輸出變數

ωt) 黑箱

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灰箱

白箱 ω(t)、ρ(t)---輸入輸出變數對

真實系統建模的抽象過程

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2.1.2 系統模型的一般描述及描述級(水平)

2.1.2.1 系統模型的一般描述:

一個系統的數學模型可以用如下七元組集合來描述:

S??T,X,?,Q,Y,?,??

其中:

T:時間基，描述系統變化的時間坐標，T為整數則稱為離散時間系統，為實數則稱為連續時間系統;

X:輸入集，代表外部環境對系統的作用。

?:輸入段集，描述某個時間間隔內的輸入模式，是?X,T?的一個子集。

Q:內部狀態集，描述系統內部狀態量，是系統內部結構建模的核心。 ?:狀態轉移函數，定義系統內部狀態是如何變化的，是一個映射。 Y:輸出集，系統通過它作用於環境。

?:輸出函數，是一個映射，給出了一個輸出段集。

2.1.2.2 系統模型描述級(水平):

按照系統論的觀點，實際系統可在某種級(水平)上被分解，因此系統的數學模型可以有不同的描述級(水平):

? 性狀描述級

性狀描述級或稱為行為描述級(行為水平)。在此級上描述系統是將

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系統堪稱黑箱，並施加輸入信號，同時測得輸出響應，結果是得出一個輸入-輸出對:(ω，ρ) 及其關系Rs={(ω，ρ):Ω，ω，ρ}。 - 3 -

因此，系統的性狀級描述只給出輸入-輸出觀測結果。其模型為五元組集合結構:

S=(T，X，Ω，Y， R)

當ω，ρ滿足ρ =f(ω)函數關系時，其集合結構變為: S=(T，X，Ω，Y， F)

黑箱

? 狀態描述級

在狀態結構級(狀態結構水平)上，系統模型不僅能反映輸入-輸出關系，而且應能反映出系統內部狀態，以及狀態與輸入、輸出間的關系。即不僅定義了系統的輸入與輸出，而且定義了系統內部的狀態集及狀態轉移函數

系統的數學模型對於動態結構可用七元組集合來描述:

S=(T，X，Ω，Q，Y，δ，λ)

對於靜態結構有:

S=(X，Q，Y，λ)

白箱

? 復合結構級

系統一般由若干個分系統組成，對每個分系統都給出行為級描述，被視為系統的一個「部件」。這些部件有其本身的輸入、輸出變數，以及部件間的連接關系和介面。於是，可以建立起系統在復合結構級(分解結構

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級)上的數學模型。

這種復合結構級描述是復雜系統和大系統建模的基礎。

應該強調:

? 系統分解為復合結構是無止境的，即每個分系統還會有自己的復合結構;

? 一個有意義的復合結構描述只能給出唯一的狀態結構描述， - 4 -

而一個有意義的狀態結構描述本身只有唯一的性狀(行為)描述;

? 系統上述概念必須允許分解停止，又允許進一步分解，既包含遞歸可分解性。

灰箱

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2.2 相似概念簡介

2.2.1 相似概念及含義

模擬的理論依據:相似論。

自然界中廣泛存在著「相似」概念，最普遍的是:

幾何相似:最簡單、最直觀，如多變形、三角形相似;

現象相似:幾何相似的拓展，如物理量之間存在的比例關系。 採用相似技術來建立實際系統的相似模型，這是相似理論在系統模擬中基礎作用的根本體現。

2.2.2 相似分類

絕對相似:兩個系統(如系統原型與模型)全部幾何尺寸和其他相應參數在時空域上產生的全部變化(或全部過程)都是相似的;

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完全相似:兩個系統在某一相應方面的過程上相似，如發電機的電流電壓問題，模型與原型在電磁現象方面是完全相似即可，而無需考慮熱工和機械方面的相似;

不完全相似(局部相似):僅保證研究部分的系統相似，而非研究和不要求部分的過程可能被歪曲，為研究目的所允許;

近似相似:某些簡化假設下的現象相似，數學建模要保證有效性。

不同領域中的相似有各自的特點，對領域的認識水平也不一樣: 環境相似(幾何相似、參量比例相似等):結構尺寸按比例縮小得到的模型-縮比模型，如風洞、水洞實驗所用的模型。

離散相似:差分法、離散相似法把連續時間系統離散化為等價的離散時間系統。

性能相似(等效、動力學相似、控制響應相似等):數學描述相同或者頻率特性相同，用於構造各類模擬的相似原則。

感覺相似(運動感覺、視覺、音響感覺等):耳、眼、鼻、舌、 - 6 -

身等感官和經驗，MIL模擬把感覺相似轉化為感覺信息源相似，培訓模擬器、VR均是利用這種相似原則。

思維相似:邏輯思維相似和形象思維相似(比較、綜合、歸納等)，專家系統、人工神經元網路。

系統具有內部結構和外部行為，因此系統的相似有兩個基本水平:結構水平和行為水平。

同構必具有行為等價的特性，但行為等價的兩個系統並不一定具有同構關系。

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Ⅱ 系統模型的建模方法

根據系統對象的不同，則系統建模的方法可頃兆分為推理法、實驗法、統計分析法、混合法和類似法。
根據系統特性的不 同描述，則系信敬統建模的方法可以有狀態空間法、結構模型解析法（ISM）雀坦租以及最小二乘估計法（LKL）等。其中，最小二乘估計法 （LKL）是一種基於工程系統的統計學特徵和動態辨識，尋求在小樣本數據下克服較大觀測誤差的參數估計方法，它屬於動態建模範疇。

Ⅲ 系統分析方法與步驟，和模型建立

上面那個人的回答好搞笑= =

簡單來說，包括四個部分：建立概念模型，建立定量模型，模型檢驗，模型應用。
建立生態數學模型的方法一般認為至少有兩種途徑：
一種是分室方法，用以研究生態系統中各分室的物質與能量的流動，並給出定量的表示。
一種是實驗組成成分法，主要用於復雜生態系統的生態過程(如捕食，競爭等)的分析。
可以概括如下：

模型准備 首先要明確地定義所研究的問題，確定建模目的，確定系統邊界，確定模型的組分（輸入和輸出變數，初始和驅動變數，參數，時空尺度），建立流程圖。了解問題的實際背景，明確建模的目的搜集建模必需的各種信息如現象、數據等，盡量弄清對象的特徵,由此初步確定用哪一類模型，總之是做好建模的准備工作．情況明才能方法對，這一步一定不能忽視，碰到問題要虛心向從事實際工作的同志請教，盡量掌握第一手資料.
模型假設 根據對象的特徵和建模的目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言做出假設，可以說是建模的關鍵一步．一般地說，一個實際問題不經過簡化假設就很難翻譯成數學問題，即使可能，也很難求解．不同的簡化假設會得到不同的模型．假設作得不合理或過份簡單，會導致模型失敗或部分失敗，於是應該修改和補充假設；假設作得過分詳細，試圖把復雜對象的各方面因素都考慮進去，可能使你很難甚至無法繼續下一步的工作．通常，作假設的依據，一是出於對問題內在規律的認識，二是來自對數據或現象的分析，也可以是二者的綜合．作假設時既要運用與問題相關的物理、化學、生物、經濟等方面的知識，又要充分發揮想像力、洞察力和判斷力，善於辨別問題的主次，果斷地抓住主要因素，舍棄次要因素，盡量將問題線性化、均勻化．經驗在這里也常起重要作用．寫出假設時，語言要精確，就象做習題時寫出已知條件那樣．
模型構成 根據所作的假設分析對象的因果關系，利用對象的內在規律和適當的數學工具，構造各個量(常量和變數)之間的等式(或不等式)關系或其他數學結構．這里除需要一些相關學科的專門知識外，還常常需要較廣闊的應用數學方面的知識，以開拓思路.當然不能要求對數學學科門門精通,而是要知道這些學科能解決哪一類問題以及大體上怎樣解決．相似類比法，即根據不同對象的某些相似性，借用已知領域的數學模型，也是構造模型的一種方法．建模時還應遵循的一個原則是，盡量採用簡單的數學工具，因為你建立的模型總是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少數專家欣賞.
建立定量模型（或概念模型的定量化）： 選擇模型類型，建立模型（確定變數間的函數關系）， 參數估計和校準（calibration），編寫計算機程序，模型確認（model verification）：仔細檢查數學公式和計算機程序，撰寫模型文檔資料。
模型求解 可以採用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值計算等各種傳統的和近代的數學方法，特別是計算機技術．
模型分析 對模型解答進行數學上的分析，有時要根據問題的性質分析變數間的依賴關系或穩定狀況，有時是根據所得結果給出數學上的預報，有時則可能要給出數學上的最優決策或控制，不論哪種情況還常常需要進行誤差分析、模型對數據的穩定性或靈敏性分析等．
模型檢驗 把數學上分析的結果翻譯回到實際問題，並用實際的現象、數據與之比較，檢驗模型的合理性和適用性．這一步對於建模的成敗是非常重要的，要以嚴肅認真的態度來對待．當然，有些模型如核戰爭模型就不可能要求接受實際的檢驗了．模型檢驗的結果如果不符合或者部分不符合實際，問題通常出在模型假設上，應該修改、補充假設，重新建模．有些模型要經過幾次反復，不斷完善，直到檢驗結果獲得某種程度上的滿意．
模型時空延擴：把建立好的模型在時間和空間尺度進行擴展
模型應用： 應用的方式自然取決於問題的性質和建模的目的。
模型運行和評價 Levins(1966)曾提出組建數學模型的三條標准：
⑴真實性，模型的數學描述要符合生態系統實際；
⑵精確性，是指模型的預測值與實際值之間的差異程度，
⑶普遍性，即模型的適用范圍和廣度。
實際中，一個模型要同時滿足這三條標準是十分困難的，Walters對此做了較精闢的論述，同時還介紹了兩個與真實性和普遍性有關的指標，即分辯率(resolution)和完整性(wholeness)。這兩個概念分別由Bledsoe和Jamieson(1969)及Holling(1966)提出的。
總之，並不是所有建模過程都要經過這些步驟，有時各步驟之間的界限也不那麼分明．建模時不應拘泥於形式上的按部就班，在實際建模過程中可以靈活採取。

Ⅳ 地下水資源模型計算

數值模型模擬計算方法適用於非均質性、各向異性的復雜地下水系統，包括存在越流和具有不規則形狀各類邊界條件等情況。但是該方法對資料的要求比較嚴格，要求研究程度較高和資料較豐富。應用數值模型方法的一般程式為：①氣象、水文、水文地質資料分析→②水文地質概念模型概化→數學模型建立（水動力方程和定解條件）→③選擇計算程序→④模型設計→⑤模型識別和檢驗→⑥計算模擬。

一、水文地質概念模型建立

在對黑河流域地下水系統做了全面、深入分析的基礎上，根據研究目的，對地下水系統的組成要素和相互關系作出合理的簡化和假設，並且用文字、框圖、平面圖、剖面圖等形式把系統再現出來，即為地下水系統概念模型。

（一）地下水系統空間結構概化與邊界確定

1.圖式表示地下水系統空間結構

根據黑河流域水文地質圖和水文地質剖面圖，梳理和劃分主要含水層、隔水層與弱透水層，闡明它們的產狀、分布范圍和厚度等，確定透水、阻水等斷層屬性。分析地下水系統的各類等值線圖，包括第四系基底埋深等值線圖、地下水水頭等值線圖、含水層頂底板高程等值線圖、含水層和隔水層的厚度等值線圖等。

2.確定地下水系統邊界

地下水系統的邊界，包括自然邊界（固定邊界）和水力邊界（可移動邊界）。自然邊界包括不透水岩層、不透水斷層或斷裂帶、較大的地表水體等；水力邊界包括地下水分水嶺和地下水流線等。

數值模型模擬研究，其對象的底界一般為不透水岩層。側向邊界可以是自然邊界，也可以是水力邊界或無窮遠邊界（邊界水頭或流量不受輸入條件的影響）。模擬頂界，對於承壓水系統而言，一般為不透水邊界或越流邊界，對於潛水系統一般採用大氣邊界（蒸發和入滲）。地下水系統內部邊界包括零流量邊界（不透水岩體）和流量邊界（河流、湖泊或水庫的滲流帶）等。

3.水文地質參數

水文地質參數是數值模型模擬研究的靈魂，一般包括含水層組的滲透系數、導水系數、給水度、儲水率、儲水系數、孔隙度、垂向滲透系數和越流系數，以及包氣帶的降水入滲系數、河道滲漏系數、井灌回歸系數、田間與渠道滲漏系數、潛水蒸發系數和陸面蒸發系數等。

確定降水入滲補給系數、灌溉滲漏系數、蒸發系數等方法，有水文分析法（降水量、河流徑流量曲線、地下水水頭動態曲線等）、直接試驗法（地滲儀、張力計、同位素示蹤等）、計演算法（氯質量平衡法、非飽和模型法等）、經驗公式法和ZFP零通量面實測法等。

（二）地下水流系統概化

對地下水流系統進行概化，包括確定地下水的基本流向、地下水補給要素組成、排泄模式、地下水與地表水之間轉化關系、不同層位含水層之間水力關系等。主要依據有，地下水水頭等值線圖、水化學信息、同位素信息、地下水溫度信息和水位動態曲線等。

根據地下水流狀態及其特徵，確定所研究的地下水流系統具體屬性，例如穩定流或非穩定流，一維流、二維流、准三維流或三維流等。

（三）模型輸入量計算

降水入滲、地表水入滲（河渠）、地下水側向流入、灌溉入滲、蒸發蒸騰、泉水排泄、基流排泄、地下水側向流出、開采等。

二、建立數學模型

根據建立的水文地質概念模型，選擇適宜數學模型。一般由描述地下水運動規律的偏微分方程和反映地下水系統邊界條件及初始條件的定解條件組成。

非均質承壓水三維非穩定流偏微分方程為

西北內陸黑河流域水循環與地下水形成演化模式

非均質無壓水三維非穩定流偏微分方程有下列幾種情況：第一類邊界條件（狄利克雷邊界）為

西北內陸黑河流域水循環與地下水形成演化模式

第二類邊界條件（紐曼邊界）為

西北內陸黑河流域水循環與地下水形成演化模式

初始條件為

西北內陸黑河流域水循環與地下水形成演化模式

三、計算程序、模型設計與識別

（一）計算程序與模型設計

計算程序分為一維流、二維流、准三維流或三維流模型，以及對均質、非均質、各向同性或各向異性和對不同輸入項的處理能力。目前，可供軟體有MODFLOW、FEWFLOW、PM、GMS、GWVISTA、MODME、PM等，它們多為有限差分法和有限元法。模型設計，包括網格剖分（規則剖分或不規則剖分、三角剖分或矩形剖分）、選擇時間步長（試演算法）、設置模型邊界、設置初始條件、數據輸入（降水入滲速率、田間灌溉入滲速率、蒸發速率、水井位置及開采或回灌強度、地下水與地表水相互作用的時空分布、泉的時空分布、邊界水位或邊界流量、觀測井位置及觀測水位等）。

（二）模型識別與檢驗

1.模型識別

模型識別亦稱反演問題，即利用實測地下水動態資料和抽水試驗資料，反求水文地質參數或源匯項和定解條件的過程。模型識別是為了解決選用的偏微分方程是否合適問題，確定模型中的水文地質參數和源匯項及定解條件，從而建立一個能再現地下水系統實際功能（水頭或濃度）的模擬模型。模型識別一般採用試估-校正法。就是選擇一合適的時段，根據水文地質條件和經驗數據估算一組水文地質參數輸入模型，利用所選時段的輸入輸出數據，求解模型。然後以模型計算結果與實測結果比較，如果擬和結果不符合精度要求，適當調整參數，重復上述過程，直到符合精度要求為止。也可以採用試估-校正法與最優化方法相結合的方法。首先用試估-校正法粗調，然後用最優化方法細調，即用最優化方法求得一組最佳的參數值，使得計算水頭值與觀測值之間的差值在給定的約束條件下，達到極小。

模型識別的結果具有多解性。要識別的參數數目應少於總數據數目。也就是說必須要有已知量。已知量愈多，反求的參數愈精確，由此建立的模型的適用性就愈好。正因為模型識別結果的多解性，所以對於同一個問題，不同的人所求得的參數組合不同，甚至同一個人在不同的時間所求得的參數也不同。顯然，模型識別的參數不一定是含水層所固有的參數。因此，有人稱模型識別的參數為「模型參數」，以示區別。盡管模型參數不能完全反映實際系統的參數，但是模型參數有其特殊作用，它能夠使得數學模型在行為和功能上代替實際的地下水系統，成為地下水系統的「復製品」。

2.模型檢驗

為了檢驗識別後的模型的可靠性，需要採用同一系統的另一時段的數據資料輸入模型進行檢驗。如果計算結果符合實際資料，則可以說明模型能真實反映實際系統。需要指出的是，在模型識別和模型檢驗階段所用的兩組數據資料，必須是相對獨立的不同時間段的資料。

模型靈敏度分析的目的是了解參數變化對計算結果的影響，同時識別重要參數。靈敏度分析一般在模型識別之前進行，也可以在模型識別之後進行。

選取要分析的一個參數（θ），然後固定其餘參數，改變θ的數值分析計算結果。這時計算水頭（g）就是θ的函數，即g=f（θ）。則有如下定義：在θ=θ₀附近，水頭變數g（θ）相對於原值g^*（θ）的變化率和參數θ相對於θ₀的變化率之比稱為水頭對參數θ的靈敏度，以下式表示：

西北內陸黑河流域水循環與地下水形成演化模式

四、黑河流域模擬區水文地質條件概化

地下水數量轉化研究的數值模型模擬區，選擇了張掖盆地和酒泉東盆地，包括張掖、臨澤、高台的所有灌區和民樂及山丹的個別灌區，還有肅南縣明花區，面積近9000 km²。

數值模擬區是只有側向流入而沒有側向流出的山間斷陷盆地，其間充填了巨厚的鬆散沉積物，構成賦存地下水的天然場所，為連續和統一的第四紀含水岩系綜合體，周邊山體為天然的地質邊界。在張掖盆地，地下水自南東向北西運動，泄於黑河幹流而流出區外。西部酒泉東盆地，地下水由南西向北東運動，榆木山至高台縣城一線為兩盆地天然匯水線。

數值模擬區地下水的主要補給來源是河水（含雨洪水）、渠系引水和田間灌溉水的垂直入滲，而泉水溢出、蒸發和人工開采是主要排泄方式。

據均衡計算結果，1999年區內補給量為11.94×10⁸ m³，排泄量為14.09×10⁸ m³，均衡差為-2.15×10⁸ m³，數值模擬區處於負均衡狀態，地下水水位呈下降態勢。

數值模擬區周邊皆為二類流量邊界。山區邊界沿山前大斷裂分布，流入量主要為基岩裂隙水側向流入和溝谷潛流。東部民樂、山丹斷面和西部明花區斷面為區外側向流入量，利用斷面法求得。南部新壩-紅崖子隱伏斷層使地下水流不連續，作為該段邊界，概化的水文地質模型如圖5-1。

五、數學模型概化

數值模擬區南半部為潛水、北半部為承壓水，適宜採用潛水-承壓水數學模型。但是各灌區開采地下水的程度不同，一些地帶已將潛水與承壓水連通，承壓水頭與潛水水位動態變化具有一致性。因此，將模型概化為非均質各向同性二維流潛水模型。鑒於區域面積大，地下水水位年變幅小，與含水層厚度相比可忽略，所以用導水系數（T）近似代替滲透系數（K）與含水層厚度（H）之積。

數學模型及定解條件如下：

圖5-1 黑河流域模擬區水文地質模型概化圖

西北內陸黑河流域水循環與地下水形成演化模式

式中：T——含水層導水系數（m²/d）；

μ——含水層給水度（無量綱）；

Wb——各項補給項強度之和（m³/km²·d）；

Wp——各項排泄項強度之和（m³/km²·d）；

q——流量邊界單寬流量（m³/km²·d）；

Γ₂——流量邊界代號；

n——邊界上的內法線方向。

採用線性插值，伽遼金有限元法解上述方程組，見程序框圖（圖5-2）。

圖5-2 黑河流域數值模型模擬程序求解流程

六、定 解 條 件

（一）初始條件

以1999年水位統測結果為基礎，結合地下水動態長觀資料，繪制1月份等水位線圖為初始流場。採用三角剖分法將計算區剖分成1421個單元，799個結點。其中內結點624個，邊界點175個。水位觀測點33個，均分布於結點上（圖5-3）。同時盡量把結點布置在概化的灌區邊界上。

（二）計算時段

以1999年元月初至12月末每個自然月實際天數為時段長度，全年共分12個時段。

（三）水文地質參數

根據黑河勘察報告研究成果，數值模擬區參數取值范圍T值為100～6500 m²/d，μ值為0.1～0.25之間。參數分區以灌區為基礎，按不同埋深劃分。

（四）源匯項

計算區地下水主要靠河水、渠系引水、灌溉水、降水凝結水入滲及邊界流入補給。消耗於蒸發蒸騰、泉水溢出和人工開采。有關參數的選取，主要依據黑河報告和各縣水利部門研究成果，補給量與排泄量通過水量均衡方法計算求得。

由於數值模擬區范圍較大，而且區內農業發達、干支渠密布，沿主要河流（黑河）引水口眾多，所能收集到的水文和水利資料有限，所以剖分不宜過細，可將河水（含雨洪）、渠系水、灌溉水和降凝水入滲及人工開采處理為面狀量，把各灌區不同埋深均衡計算結果以單位面狀量進入模型，補給項為正，排泄項為負。非灌溉期（1～3月，10～12月）的渠系水和灌溉水入滲及人工開采量強度為0，灌溉期（4～9月）攤分全年入滲量。

圖5-3 黑河流域數值計算區剖分圖

1999年河水入滲量占當年黑河（鶯落峽）徑流量的32%，每月徑流量佔全年徑流量的比例分配到12個時段。降水、蒸發強度按各月份所佔全年比值分配到12個時段。1～3月和10～12月的降水為0，4～6月降水佔30%，7～9月降水佔70%。按地下水水位不同埋深，計算蒸發量，其中1～3月佔13%，4～6月佔41%，7～9月佔35%，10～12月佔11%。

泉水溢出帶均分布於細土平原、地下水水位埋深小於3.5m的地帶，各泉溝及黑河河床地下水水位高於河床標高，實際為線狀量。但是因剖分單元較大，無法准確描述，所以將線狀量處理成面狀量，假設地下水水位埋深小於3.5m帶為泉水溢出帶，具體做法將所有結點地面高程減去3.5m，於是該區地下水水位埋深值為負。將1999年泉水溢出量除以該區面積，再除以平均水頭差1.5m，獲得單位水頭差條件下泉水溢出強度，引入模型。然後根據各時段水頭變化，獲得不同時段的泉水溢出量。

數值模擬區邊界為透水邊界或弱透邊界，均給出單寬流量，全年一致，不再按時段劃分。

七、數 模 結 果

按上述補給與排泄要素及其參數，採用觀測點的地下水水位擬合，對1999年實施模型進行識別。

區內共有觀測點33個，集中在張掖、臨澤、高台的細土平原帶。在調參過程中，不斷縮小擬合點誤差，兼顧初始流場與計算流場形態一致，並且每個節點水位偏差不宜過大。調參結果，數值模擬區共有60個參數分區，如圖5-4和表5-2所示。觀測點擬合結果如圖5-5和圖5-6所示，地下水流場擬合情況如圖5-7所示。

圖5-4 黑河流域數值模擬參數分區圖

表5-2 黑河流域模型採用的有關水文地質參數