函數極限的計算方法

A. 函數極限求法

這個是需要背到爛的重要極限之一，
等價無窮小代換的依據
ln(1+x)~x~e^x-1
sinx~x~arcsinx
tanx~x~arctanx

B. 計算函數極限

一、利用極限四則運演算法則求極限函數極限的四則運演算法則：設有函數，若在自變數f（x），g（x）的同一變化過程中，有limf（x）=A，limg（x）=B，則 lim［f（x）±g（x）］=limf（x）±limg（x）=A±B lim［f（x）?g（x）］=limf（x）?limg（x）=A?B lim==（B≠0）（類似的有數列極限四則運演算法則）現以討論函數為例。對於和、差、積、商形式的函數求極限，自然會想到極限四則運演算法則，但使用這些法則，往往要根據具體的函數特點，先對函數做某些恆等變形或化簡，再使用極限的四則運演算法則。方法有： 1.直接代入法對於初等函數f（x）的極限f（x），若f（x）在x點處的函數值f（x）存在，則f（x）=f（x）。直接代入法的本質就是只要將x=x代入函數表達式，若有意義，其極限就是該函數值。 2.無窮大與無窮小的轉換法在相同的變化過程中，若變數不取零值，則變數為無窮大量?圳它的倒數為無窮小量。對於某些特殊極限可運用無窮大與無窮小的互為倒數關系解決。（1）當分母的極限是「0」，而分子的極限不是「0」時，不能直接用極限的商的運演算法則，而應利用無窮大與無窮小的互為倒數的關系，先求其的極限，從而得出f（x）的極限。（2）當分母的極限為∞，分子是常量時，則f（x）極限為0。 3.除以適當無窮大法對於極限是「」型，不能直接用極限的商的運演算法則，必須先將分母和分子同時除以一個適當的無窮大量x。 4.有理化法適用於帶根式的極限。二、利用夾逼准則求極限函數極限的夾逼定理：設函數f（x），g（x），h（x），在x的某一去心鄰域內（或|x|＞N）有定義，若①f（x）≤g（x）≤h（x）；②f（x）=h（x）=A（或f（x）=h（x）=A），則g（x）（或g（x））存在，且g（x）=A（或g（x）=A）。（類似的可以得數列極限的夾逼定理）利用夾逼准則關鍵在於選用合適的不等式。 三、利用單調有界准則求極限單調有界准則：單調有界數列必有極限。首先常用數學歸納法討論數列的單調性和有界性，再求解方程，可求出極限。四、利用等價無窮小代換求極限常見等價無窮小量的例子有：當x→0時，sinx～x；tanx～x；1-cosx～x；e-1～x；ln（1+x）～x；arcsinx～x；arctanx～x；（1+x）-1～x。等價無窮小的代換定理：設α（x），α′（x），β（x）和β′（x）都是自變數x在同一變化過程中的無窮小，且α（x）～α′（x），β（x）～β′（x），lim存在，則lim=lim。五、利用無窮小量性質求極限在無窮小量性質中，特別是利用無窮小量與有界變數的乘積仍是無窮小量的性質求極限。六、利用兩個重要極限求極限使用兩個重要極限=1和（1+)=e求極限時，關鍵在於對所給的函數或數列作適當的變形，使之具有相應的形式，有時也可通過變數替換使問題簡化。七、利用洛必達法則求極限如果當x→a（或x→∞）時，兩個函數f（x）與g（x）都趨於零或趨於無窮小，則可能存在，也可能不存在，通常將這類極限分別稱為「」型或「」型未定式，對於該類極限一般不能運用極限運演算法則，但可以利用洛必達法則求極限。

C. 函數極限的12種計算方法

很多 1.極限定義 2.洛比達 3.泰勒公式 4.定積分定義 5.等價無窮小代換
6.極限的運演算法則 7.夾逼准則 8.數列極限法則（單調有界） 9.函數連續性
10.兩個重要極限 尼瑪想不出來了 筆記本沒帶 要不然一定說到12個

D. 函數極限的計算

1.利用函數的連續性求函數的極限（直接帶入即可）
如果是初等函數，且點在的定義區間內，那麼，因此計算當時的極限，只要計算對應的函數值就可以了。

2.利用有理化分子或分母求函數的極限
a.若含有，一般利用去根號

b.若含有，一般利用，去根號

3.利用兩個重要極限求函數的極限


4.利用無窮小的性質求函數的極限
性質1：有界函數與無窮小的乘積是無窮小
性質2：常數與無窮小的乘積是無窮小
性質3：有限個無窮小相加、相減及相乘仍舊無窮小

5.分段函數的極限
求分段函數的極限的充要條件是:

6.利用抓大頭准則求函數的極限

其中為非負整數

7.利用洛必達法則求函數的極限
對於未定式「 」型，「 」型的極限計算，洛必達法則是比較簡單快捷的方法。

8.利用定積分的定義求函數的極限
利用公式：

E. 請歸納並闡述求函數極限的各種計算方法

洛必達法則，等價無窮小

F. 函數極限的計算方法

原式=3.5*5/4+5/4*2.7+3.8*5/4=(5/4)(3.5+2.7+3.8)
=(5/4)*10=12.5
(3)原式=(7/32)/(3/8+1/4) [分子和分母都乘以32]
=7/(12+8)=7/20=0.35
(4)原式=(48/5+12/5)(3/4)=(60/5)(3/4)=12*3/4=9
(5)原式=(3/2)(4/3)(5/4)...(2008/2007) [前式分子與後式分母約去]
=2008/2=1004
(6)原式=[(9/41)*13+6/41]+13/63=123/41+13/63
=3+13/63=202/63

G. 怎麼計算一個函數的左右極限

解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了！！！！！你還能有補充么？？？）
1 等價無窮小的轉化， （只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用 但是前提是必須證明拆分後極限依然存在） e的X次方-1 或者 （1+x）的a次方-1等價於Ax 等等 。 全部熟記
（x趨近無窮的時候還原成無窮小）

2落筆他 法則 （大題目有時候會有暗示 要你使用這個方法）
首先他的使用有嚴格的使用前提！！！！！！
必須是 X趨近 而不是N趨近！！！！！！！（所以面對數列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限， 當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件
（還有一點 數列極限的n當然是趨近於正無窮的 不可能是負無窮！）
必須是 函數的導數要存在！！！！！！！！（假如告訴你g（x）, 沒告訴你是否可導， 直接用無疑於找死！！）
必須是 0比0 無窮大比無窮大！！！！！！！！！
當然還要注意分母不能為0
落筆他 法則分為3中情況
1 0比0 無窮比無窮 時候 直接用
2 0乘以無窮 無窮減去無窮 （ 應為無窮大於無窮小成倒數的關系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數形式了。通項之後 這樣就能變成1中的形式了
3 0的0次方 1的無窮次方 無窮的0次方
對於（指數冪數）方程 方法主要是取指數還取對數的方法， 這樣就能把冪上的函數移下來了， 就是寫成0與無窮的形式了 ， （ 這就是為什麼只有3種形式的原因， LNx兩端都趨近於無窮時候他的冪移下來趨近於0 當他的冪移下來趨近於無窮的時候 LNX趨近於0）

3泰勒公式 (含有e的x次方的時候 ，尤其是含有正余旋 的加減的時候要 特變注意 ！！！！）
E的x展開 sina 展開 cos 展開 ln1+x展開
對題目簡化有很好幫助

4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法
取大頭原則 最大項除分子分母！！！！！！！！！！！
看上去復雜處理很簡單 ！！！！！！！！！！

5無窮小於有界函數的處理辦法
面對復雜函數時候， 尤其是正余旋的復雜函數與其他函數相乘的時候，一定要注意這個方法。
面對非常復雜的函數 可能只需要知道它的范圍結果就出來了！！！

6夾逼定理（主要對付的是數列極限！）
這個主要是看見極限中的函數是方程相除的形式 ，放縮和擴大。

7等比等差數列公式應用（對付數列極限） （q絕對值符號要小於1）

8各項的拆分相加 （來消掉中間的大多數） （對付的還是數列極限）
可以使用待定系數法來拆分化簡函數

9求左右求極限的方式（對付數列極限） 例如知道Xn與Xn+1的關系， 已知Xn的極限存在的情況下， xn的極限與xn+1的極限時一樣的 ，應為極限去掉有限項目極限值不變化

10 2 個重要極限的應用。 這兩個很重要 ！！！！！對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x比值 。 地2個就如果x趨近無窮大 無窮小都有對有對應的形式
（地2個實際上是 用於 函數是1的無窮的形式 ）（當底數是1 的時候要特別注意可能是用地2 個重要極限）

11 還有個方法 ，非常方便的方法
就是當趨近於無窮大時候
不同函數趨近於無窮的速度是不一樣的！！！！！！！！！！！！！！！
x的x次方 快於 x！ 快於 指數函數 快於 冪數函數 快於 對數函數 （畫圖也能看出速率的快慢） !!!!!!
當x趨近無窮的時候 他們的比值的極限一眼就能看出來了

12 換元法 是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元， 但是換元會夾雜其中

13假如要算的話 四則運演算法則也算一種方法 ，當然也是夾雜其中的

14還有對付數列極限的一種方法，
就是當你面對題目實在是沒有辦法 走投無路的時候可以考慮 轉化為定積分。 一般是從0到1的形式 。

15單調有界的性質
對付遞推數列時候使用 證明單調性！！！！！！

16直接使用求導數的定義來求極限 ，
（一般都是x趨近於0時候，在分子上f（x加減麽個值）加減f（x）的形式， 看見了有特別注意）
（當題目中告訴你F(0)=0時候 f（0）導數=0的時候 就是暗示你一定要用導數定義！！！！）

H. 函數極限計算

對的哦 要相信自己！！

I. 總結求函數極限的方法,每個方法寫出一個例題並解答

新年好！Happy New Year !

1、下面的圖片，是通常用來計算極限的常用方法，足夠應付到考研究生；

2、每種計算方法，都至少配有一道例題；

3、如果看不清楚，請點擊放大，放大後圖片將非常清晰。

請參看：