常用的數值計算方法

① 什麼是有限元法和有限差分法

有限元法（finite element method）是一種高效能、常用的數值計算方法。科學計算領域，常常需要求解各類微分方程，而許多微分方程的解析解一般很難得到，使用有限元法將微分方程離散化後，可以編製程序，使用計算機輔助求解。

有限差分方法（finite difference method）一種求偏微分（或常微分）方程和方程組定解問題的數值解的方法，簡稱差分方法。

(1)常用的數值計算方法擴展閱讀：

有限差分法（FDM）的起源，討論其在靜電場求解中的應用。以鋁電解槽物理模型為例，採用FDM對其場域進行離散，使用MATLAB和C求解了各節點的電位。由此，繪制了整個場域的等位線和電場強度矢量分布。同時，討論了加速收斂因子對超鬆弛迭代演算法迭代速度的影響，以及具有正弦邊界條件下的電場分布。

有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。

該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。

該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。

② 數值計算方法丁麗娟pdf

《數值計算方法》是作者丁麗娟、程杞元團隊根據數值計算方法課程的基本要求,在多年的教學實踐和原有教材基礎上編寫而成的,包含了數值代數、數值逼近和常微分方程數值解法的基本內容。力求全面、系統地介紹求解各類數學問題近似解的基本、常用的方法,並且著重闡明構造演算法的基本思想與原理。

汽車公司會利用電腦模擬汽車撞擊來提升汽車受到撞擊時的安全性。電腦的模擬會需要求出偏微分方程的數值解。對沖基金會利用各種數值分析的工具來計算股票的市值及其變異程度。航空公司會利用復雜的最佳化演算法決定票價、飛機、人員分配及用油量。此領域也稱為作業研究。保險公司會利用數值軟體進行精算分析。計算太空船的軌跡需要求出常微分方程的數值解。

③ 除有限單元法外，岩土工程常用到哪些數值方法，並對比其優缺點

岩土工程常用的數值方法包括：有限差分法、邊界元法、離散元法、顆粒元法、不連續變形分析法、流形元法、模糊數學方法、概率論與可靠度分析方法、灰色系統理論、人工智慧與專家系統、神經網路方法、時間序列分析法。
有限單元法的優缺點：有限單元法的理論基礎是虛功原理和基於最小勢能的變分原理，它將研究域離散化，對位移場和應力場的連續性進行物理近似。有限單元法適用性廣泛，從理論上講對任何問題都適用，但計算速度相對較慢。即，物理概念清晰、靈活、通用、計算速度叫慢。
有限差分法：該方法適合求解非線性大變形問題，在岩土力學計算中有廣泛的應用。有限差分法和有限單元法都產生一組待解方程組。盡管這些方程是通過不同方式推導出來的，但兩者產生的方程是一致。另外，有限單元程序通常要將單元矩陣組合成大型整體剛度矩陣，而有限差分則無需如此，因為它相對高效地在每個計算步重新生成有限差分方程。在有限單元法中，常採用隱式、矩陣解算方法，而有限差分法則通常採用「顯式」、時間遞步法解算代數方程。
邊界元法：該方法的理論基礎是Betti功互等定理和Kelvin基本解，它只要離散求解域的邊界，因而得到離散代數方程組中的未知量也只是邊界上的量。邊界元法化微分方程為邊界積分方程，離散劃分少，可以考慮遠場應力，有降低維數的優點，可以用較少的內存解決較大的問題，便於提高計算速度。
離散元法：離散元法的理論基礎是牛頓第二定律並結合不同的本構關系，適用對非連續體如岩體問題求解。該方法利用岩體的斷裂面進行網格劃分，每個單元就是被斷裂面切割的岩塊，視岩塊的運動主要受控於岩體節理系統。它採用顯式求解的方法，按照塊體運動、弱面產生變形，變形是接觸區的滑動和轉動，由牛頓定律、運動學方程求解，無需形成大型矩陣而直接按時步迭代求解，在求解過程中允許塊體間開裂、錯動，並可以脫離母體而下落。離散元法對破碎岩石工程，動態和准動態問題能給出較好解答。
顆粒元法：顆粒元方法是通過離散單元方法來模擬圓形顆粒介質的運動及其相互作用，它採用數值方法將物體分為有代表性的多個顆粒單元，通過顆粒間的相互作用來表達整個宏觀物體的應力響應，從而利用局部的模擬結果來計算顆粒群群體的運動與應力場特徵。 不連續變形分析方法：該方法是並行於有限單元法的一種方法，其不同之處是可以計算不連續面的錯位、滑移、開裂和旋轉等大位移的靜力和動力問題。此方法在岩石力學中的應用備受關注。
流形元法；該方法是運用現代數學「流形」的有限覆蓋技術所建立起來的一種新的數值方法。有限覆蓋是由物理覆蓋和數學覆蓋所組成的，它可以處理連續和非連續的問題，在統一解決有限單元法、不連續變形分析法和其他數值方法的耦合計算方面，有重要的應用前景。
無單元法：該方法是一種不劃分單元的數值計算方法，它採用滑動最小二乘法所產生的光滑函數去近似場函數，而且又保留了有限單元法的一些特點。它只要求結點處的信息，而不需要也沒有單元的信息。無單元法可以求解具有復雜邊界條件的邊值問題，如開裂問題，只要加密離散點就可以跟蹤裂縫的傳播。它在解決岩石力學非線性、非連續問題等方面具有重要價值和發展前景。
混合法：對於復雜工程問題，可採用混合法，即有限單元法、邊界元法、離散元法等兩兩耦合來求解。
模糊數學方法：模糊理論用隸屬函數代替確定論中的特徵函數描述邊界不清的過渡性問題，模糊模式識別和綜合評判理論對多因素問題分析適用。 概率論與可靠度分析方法：運用概率論方法分析事件發生的概率，進行安全和可靠度評價。對岩土力學而言，包括岩石（土）的穩定性判斷、強度預測預報、工程可靠度分析、頂板穩定性分析、地震研究、基礎工程穩定性研究等。
灰色系統理論：以「灰色、灰關系、灰數」為特徵，研究介於「黑色」和「白色」之間事件的特徵，在社會科學及自然科學領域應用廣泛。岩土力學中，用灰色系統理論進行岩體分類、滑坡發生時間預測、岩爆分析與預測、基礎工程穩定性、工程結構分析，用灰色關聯度分析岩土體穩定性因素主次關系等。
人工智慧與專家系統：應用專家的知識進行知識處理、知識運用、搜索、不確定性推理分析復雜問題並給出合理的建議和決策。岩石力學中，可進行如岩土（石）分類、穩定性分析、支護設計、加固方案優化等研究。 神經網路方法：試圖模擬人腦神經系統的組織方式來構成新型的信息處理系統，通過神經網路的學習、記憶和推理過程進行信息處理。岩石力學中，用於各種岩土力學參數分析、地應力處理、地壓預測、岩土分類、穩定性評價與預測等。
時間序列分析法：通過對系統行為的漲落規律統計，用時間序列函數研究系統的動態力學行為。岩石力學中，用於礦壓顯現規律研究、岩石蠕變、岩石工程的位移、邊坡和硐室穩定性等、基礎工程中降水、開挖、沉降變形等與時間相關的問題。

④ 計算物理學中常用的數學方法有哪些

計算物理學是一門新興的邊緣學科。利用現代電子計算機的大存儲量和快速計算的有利條件，將物理學、力學、天文學和工程中復雜的多因素相互作用過程，通過計算機來模擬。如原子彈的爆炸、火箭的發射，以及代替風洞進行高速飛行的模擬試驗等。
理論物理是從一系列的基本物理原理出發，列出數學方程，再用傳統的數學分析方法求出解析解，通過這些解析解所得到的結論和實驗觀測結果進行對比分析，從而解釋已知的實驗現象並預測未來的發展。
隨著計算機技術的飛速發展和計算方法的不斷完善，計算物理學在物理學進一步發展中扮演著越來越重要的不可替代的角色，計算物理學越來越經常地與理論物理學和實驗物理學一起被並稱為現代物理學的三大支柱。很難想像一個21世紀的物理系畢業生，不具備計算物理學的基本知識，不掌握計算物理學的基本方法。
它主要包括在傳統物理課題中常用的數值計算方法(如偏微分方程的數值求解方法、計算機模擬方法中的隨機模擬方法-蒙特卡羅方法和確定性模擬--分子動力學方法以及神經元網路方法)以及計算機符號處理等內容。

⑤ 數值分析中常用的求積公式有哪幾中

構造一個多項式近似代替某個未知函數或復雜函數.據此,可以推導用來近似計算該未知函數或復雜函數的定積分或導數的公式.這就是數值積分與數值微分的基本內容.推導積分和導數的數值計算公式的重要性是顯而易見的
插值理論是解決數值計算定積分的有效途徑之一.
插值型求積公式
復合求積公式
Romberg求積公式
牛頓－科特斯求積公式及其餘項
機械型求積公式
梯形求積公式
龍貝格求積公式
辛普森(Simpson)求積公式
拋物線求積公式
復合Simpson求積公式
牛頓求積公式
Gauss型求積公式
有理Gauss-Lobatto求積公式
Gauss - Legendre求積公式
復化Gauss型求積公式
柯特斯求積公式及其餘項公式
三角形三斜求積公式
辛普森 (Simpson) 求積公式或拋物線求積公式:
梯形求積公式對所有次數不超過1 的多項式是准確成立的；
辛普森求積公式對所有次數不超過3 的多項式是准確成立的；
牛頓求積公式對所有次數不超過3 的多項式是准確成立的；
柯特斯求積公式對所有次數不超過5 多項式是准確成立的.
此牛頓-柯特斯求積公式在求積系數不為負數時是數值穩定的.
由於龍格現象存在,不難得知,牛頓-柯特斯求積公式不一定具有收斂性.
穩定性和收斂性可知,數值計算中應主張使用低階的牛頓-柯特斯求積公式.太多了,不再列舉了,有時間切磋切磋

⑥ 計算方法這門課主要學什麼

計算方法這門課主要學現代科學計算中常用的數值計算方法及其原理。

計算方法是信息與計算科學專業的一門主要專業基礎課程。使學生學習並掌握現代科學計算中常用的數值計算方法及其原理。

包括線性方程組的數值解、非線性方程（組）的數值解法、插值法、函數的最佳一致逼近與最佳平方逼近、曲線擬合、數值積分與數值微分、常微分方程的數值解法以及數值求解矩陣的特徵值與特徵向量等。

並通過上機實習熟練數值方法與一些數學軟體的結合運用，達到理論與實踐的和諧統一。為解決科學與工程中的實際問題打好基礎，同時為後繼課程的學習提供必要的知識。

課程性質：

計算方法是數學學科的一個分支，是一門與計算機使用密切結合的實用性很強的數學課程，也是科學計算的基礎。地位十分重要。授課對象為信息與計算機科學專業第三學期學生，課程總學時60學時。

計算方法是以各類數學問題的數值解法作為研究對象，並結合現代計算機科學與技術為解決科學與工程中遇到的各類數學問題提供基本的演算法。

⑦ 求數值計算方法 第三版 李有法 朱建新 課後答案

數值計算方法如下：

1、有限元法：有限元方法的基礎是變分原理和加權餘量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變數改寫成由各變數或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式。

藉助於變分原理或加權餘量法，將微分方程離散求解。採用不同的權函數和插值函數 形式，便構成不同的有限元方法。

在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元 上的近似解構成。

根據所採用的權函數和插值函數的不同 ，有限元方法也分為多種計算格式。從權函數的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網格的形狀來劃分，有三角形網格、四邊形網格和多邊形網格，從插值函數的精度來劃分，又分為線性插值函數和高次插值函數等。不同的組合 同樣構成不同的有限元計算格式。

2、多重網格方法：多重網格方法通過在疏密不同的網格層上進行迭代,以平滑不同頻率的誤差分量。具有收斂速度快,精度高等優點。

多重網格法基本原理微分方程的誤差分量可以分為兩大類，一類是頻率變化較緩慢的低頻分量；另一類是頻率高，擺動快的高頻分量。

一般的迭代方法可以迅速地將擺動誤差衰減，但對那些低頻分量，迭代法的效果不是很顯著。高頻分量和低頻分量是相對的，與網格尺度有關，在細網格上被視為低頻的分量，在粗網格上可能為高頻分量。

多重網格方法作為一種快速計算方法，迭代求解由偏微分方程組離散以後組成的代數方程組，其基本原理在於一定的網格最容易消除波長與網格步長相對應的誤差分量。

該方法採用不同尺度的網格，不同疏密的網格消除不同波長的誤差分量，首先在細網格上採用迭代法，當收斂速度變緩慢時暗示誤差已經光滑，則轉移到較粗的網格上消除與該層網格上相對應的較易消除的那些誤差分量，這樣逐層進行下去直到消除各種誤差分量，再逐層返回到細網格上。

3、有限差分方法：有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。

有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。

對於有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。

構造差分的方法有多種形式，目前主要採用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：

一階向前差分、一階向後差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，後兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。

4、有限體積法：有限體積法（Finite Volume Method）又稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，並使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變數的數值。

為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布的分布剖面。從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬於加權剩餘法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬於採用局部近似的離散方法。簡言之，子區域法屬於有限體積發的基本方法。

有限體積法的基本思路易於理解，並能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變數在有限大小的控制體積中的守恆原理，如同微分方程表示因變數在無限小的控 制體積中的守恆原理一樣。

限體積法得出的離散方程，要求因變數的積分守恆對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當網格極其細密時，離散方程才滿足積分守恆。

而有限體積法即使在粗網格情況下，也顯示出准確的積分守恆。就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網格點之間的變化規律（既插值函數），並將其作為近似解。

有限差分法只考慮網格點上的數值而不考慮值在網格點之間如何變化。有限體積法只尋求的結點值 ，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網格點之間的分布，這又與有限單元法相類似。

在有限體積法中，插值函數只用於計算控制體積的積分，得出離散方程之後，便可忘掉插值函數；如果需要的話，可以對微分方程 中不同的項採取不同的插值函數。

5、近似求解的誤差估計方法：近似求解的誤差估計方法共有三大類:單元餘量法,通量投射法及外推法。

單元餘量法廣泛地用於以FEM離散的誤差估計之中,它主要是估計精確運算元的餘量,而不是整套控制方程的全局誤差。

這樣就必須假定周圍的單元誤差並不相互耦合,誤差計算採用逐節點演算法進行。單元餘量法的各種不同做法主要來自對單元誤差方程的邊界條件的不同處理辦法。基於此,該方法能夠有效處理局部的殘餘量,並能成功地用於網格優化程序。

通量投射法的基本原理來自一個很簡單的事實:精確求解偏微分方程不可能有不連續的微分,而近似求解卻可以存在微分的不連續,這樣產生的誤差即來自微分本身,即誤差為系統的光滑求解與不光滑求解之差。該方法與單元餘量法一樣,對節點誤差採用能量范數,故也能成功地用於網格優化程序。

單元餘量法及通量投射法都局限於局部的誤差計算(採用能量范數),誤差方程的全局特性沒有考慮。另外計算的可行性(指誤差估計方程的計算時間應小於近似求解計算時間)不能在這兩種方法中體現,因為獲得的誤差方程數量,階數與流場控制方程相同。

外推是指採用後向數值誤差估計思想由精確解推出近似解的誤差值。各類文獻中較多地採用Richardson外推方法來估計截斷誤差。無論是低階還是高階格式,隨著網格的加密數值計算結果都會趨近於准確解。但由於計算機內存與計算時間的限制,實際上不能採用這種網格無限加密的辦法。

6、多尺度計算方法：近年來發展的多尺度計算方法包括均勻化方法、非均勻化多尺度方法、以及小波數值均勻化方法、多尺度有限體積法、多尺度有限元法等。

該方法通過對單胞問題的求解，把細觀尺度的信息映射到宏觀尺度上，從而推導出宏觀尺度上的均勻化等式，即可在宏觀尺度上求解原問題。均勻化方法在很多科學和工程應用中取得了巨大成功，但這種方法建立在系數細觀結構周期性假設的基礎上，因此應用范圍受到了很大限制。

鄂維南等提出的非均勻化多尺度方法，是構造多尺度計算方法的一般框架。該方法有兩個重要的組成部分：基於宏觀變數的整體宏觀格式和由微觀模型來估計缺少的宏觀數據，多尺度問題的解通過這兩部分共同得到。

該方法基於多分辨分析，在細尺度上建立原方程的離散運算元，然後對離散運算元進行小波變換，得到了大尺度上的數值均勻化運算元。此方法在大尺度上解方程，大大地減小了計算時間。

該法在宏觀尺度上進行網格剖分，然後通過在每個單元里求解細觀尺度的方程(構造線性或者振盪的邊界條件)來獲得基函數。從而把細觀尺度的信息反應到有限元法的基函數里，使宏觀尺度的解包含了細觀尺度的信息。但多尺度有限元方法在構造基函數時需要較大的計算量。

藉助於變分原理或加權餘量法，將微分方程離散求解。採用不同的權函數和插值函數 形式，便構成不同的有限元方法。

在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元 上的近似解構成。

根據所採用的權函數和插值函數的不同 ，有限元方法也分為多種計算格式。從權函數的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網格的形狀來劃分，有三角形網格、四邊形網格和多邊形網格，從插值函數的精度來劃分，又分為線性插值函數和高次插值函數等。不同的組合 同樣構成不同的有限元計算格式。

2、多重網格方法：多重網格方法通過在疏密不同的網格層上進行迭代,以平滑不同頻率的誤差分量。具有收斂速度快,精度高等優點。

多重網格法基本原理微分方程的誤差分量可以分為兩大類，一類是頻率變化較緩慢的低頻分量；另一類是頻率高，擺動快的高頻分量。

一般的迭代方法可以迅速地將擺動誤差衰減，但對那些低頻分量，迭代法的效果不是很顯著。高頻分量和低頻分量是相對的，與網格尺度有關，在細網格上被視為低頻的分量，在粗網格上可能為高頻分量。

多重網格方法作為一種快速計算方法，迭代求解由偏微分方程組離散以後組成的代數方程組，其基本原理在於一定的網格最容易消除波長與網格步長相對應的誤差分量。

該方法採用不同尺度的網格，不同疏密的網格消除不同波長的誤差分量，首先在細網格上採用迭代法，當收斂速度變緩慢時暗示誤差已經光滑，則轉移到較粗的網格上消除與該層網格上相對應的較易消除的那些誤差分量，這樣逐層進行下去直到消除各種誤差分量，再逐層返回到細網格上。

3、有限差分方法：有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。

有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。

對於有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。

構造差分的方法有多種形式，目前主要採用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：

一階向前差分、一階向後差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，後兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。

4、有限體積法：有限體積法（Finite Volume Method）又稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，並使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變數的數值。

為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布的分布剖面。從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬於加權剩餘法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬於採用局部近似的離散方法。簡言之，子區域法屬於有限體積發的基本方法。

有限體積法的基本思路易於理解，並能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變數在有限大小的控制體積中的守恆原理，如同微分方程表示因變數在無限小的控 制體積中的守恆原理一樣。

限體積法得出的離散方程，要求因變數的積分守恆對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當網格極其細密時，離散方程才滿足積分守恆。

而有限體積法即使在粗網格情況下，也顯示出准確的積分守恆。就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網格點之間的變化規律（既插值函數），並將其作為近似解。

有限差分法只考慮網格點上的數值而不考慮值在網格點之間如何變化。有限體積法只尋求的結點值 ，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網格點之間的分布，這又與有限單元法相類似。

在有限體積法中，插值函數只用於計算控制體積的積分，得出離散方程之後，便可忘掉插值函數；如果需要的話，可以對微分方程 中不同的項採取不同的插值函數。

5、近似求解的誤差估計方法：近似求解的誤差估計方法共有三大類:單元餘量法,通量投射法及外推法。

單元餘量法廣泛地用於以FEM離散的誤差估計之中,它主要是估計精確運算元的餘量,而不是整套控制方程的全局誤差。

這樣就必須假定周圍的單元誤差並不相互耦合,誤差計算採用逐節點演算法進行。單元餘量法的各種不同做法主要來自對單元誤差方程的邊界條件的不同處理辦法。基於此,該方法能夠有效處理局部的殘餘量,並能成功地用於網格優化程序。

通量投射法的基本原理來自一個很簡單的事實:精確求解偏微分方程不可能有不連續的微分,而近似求解卻可以存在微分的不連續,這樣產生的誤差即來自微分本身,即誤差為系統的光滑求解與不光滑求解之差。該方法與單元餘量法一樣,對節點誤差採用能量范數,故也能成功地用於網格優化程序。

單元餘量法及通量投射法都局限於局部的誤差計算(採用能量范數),誤差方程的全局特性沒有考慮。另外計算的可行性(指誤差估計方程的計算時間應小於近似求解計算時間)不能在這兩種方法中體現,因為獲得的誤差方程數量,階數與流場控制方程相同。

外推是指採用後向數值誤差估計思想由精確解推出近似解的誤差值。各類文獻中較多地採用Richardson外推方法來估計截斷誤差。無論是低階還是高階格式,隨著網格的加密數值計算結果都會趨近於准確解。但由於計算機內存與計算時間的限制,實際上不能採用這種網格無限加密的辦法。

6、多尺度計算方法：近年來發展的多尺度計算方法包括均勻化方法、非均勻化多尺度方法、以及小波數值均勻化方法、多尺度有限體積法、多尺度有限元法等。

該方法通過對單胞問題的求解，把細觀尺度的信息映射到宏觀尺度上，從而推導出宏觀尺度上的均勻化等式，即可在宏觀尺度上求解原問題。均勻化方法在很多科學和工程應用中取得了巨大成功，但這種方法建立在系數細觀結構周期性假設的基礎上，因此應用范圍受到了很大限制。

鄂維南等提出的非均勻化多尺度方法，是構造多尺度計算方法的一般框架。該方法有兩個重要的組成部分：基於宏觀變數的整體宏觀格式和由微觀模型來估計缺少的宏觀數據，多尺度問題的解通過這兩部分共同得到。

該方法基於多分辨分析，在細尺度上建立原方程的離散運算元，然後對離散運算元進行小波變換，得到了大尺度上的數值均勻化運算元。此方法在大尺度上解方程，大大地減小了計算時間。

該法在宏觀尺度上進行網格剖分，然後通過在每個單元里求解細觀尺度的方程(構造線性或者振盪的邊界條件)來獲得基函數。從而把細觀尺度的信息反應到有限元法的基函數里，使宏觀尺度的解包含了細觀尺度的信息。但多尺度有限元方法在構造基函數時需要較大的計算量。