行列三對角形式的計算方法

❶ 計算行列式

行列式的計算方法

1.遞推法

例1 求行列式的值：

（1）

的構造是：主對角線元全為；主對角線上方第一條次對角線的元全為，下方第一條次對角線的元全為1，其餘元全為0；即為三對角線型。又右下角的（n）表示行列式為n階。

解 把類似於，但為k階的三對角線型行列式記為。

把（1）的行列式按第一列展開，有兩項，一項是

另一項是

上面的行列式再按第一行展開，得乘一個n – 2 階行列式，這個n – 2 階行列式和原行列式的構造相同，於是有遞推關系：

（2）

移項，提取公因子β：

類似地：

（遞推計算）

直接計算

若；否則，除以後移項：

再一次用遞推計算：

∴， 當β≠α （3）

當β = α，從

從而。

由（3）式，若。

∴

注 遞推式（2）通常稱為常系數齊次二階線性差分方程.

注1 仿照例1的討論，三對角線型的n階行列式

（3）

和三對角線型行列式

（4）

有相同的遞推關系式

（5）

（6）

注意

兩個序列

和

的起始值相同，遞推關系式（5）和（6）的構造也相同，故必有

由（4）式，的每一行都能提出一個因子a ，故等於乘一個n階行列式，這一個行列式就是例1的。前面算出，故

例2 計算n階范德蒙行列式行列式

解:

即n階范德蒙行列式等於這n個數的所有可能的差的乘積

2．拆元法

例3：計算行列式

解

①×（x + a）

②×（x – a）

3．加邊法

例4 計算行列式

分析：這個行列式的特點是除對角線外,各列元素分別相同.根據這一特點,可採用加邊法.

解

4．數學歸結法

例5 計算行列式

解：

猜測：

證明

（1）n = 1, 2, 3 時，命題成立。假設n≤k – 1 時命題成立,考察n=k的情形：

故命題對一切自然數n成立。

5.消去法求三對角線型行列式的值

例6 求n階三對角線型行列式的值：

（1）

的構造是：主對角線元全為2，主對角線上方第一條次對角線與下方第一條次對角線的元全為1，其餘的元全為0。

解 用消去法，把中主對角線下方第一條次對角線的元1全部消成0：首先從第二行減去第一行的倍，於是第二行變為

其次從第三行減去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，則第三行變為

再從第四行減去第三行的倍，則第四行變為

類似地做下去，直到第n行減去第n – 1行的倍，則第n行變為

最後所得的行列式為

（2）

上面的行列式是三角型行列式，它的主對角線元順次為

93）

又主對角線下方的元全為0。故的值等於（3）中各數的連乘積，即。

注3 一般的三對角線型行列式

（4）

也可以按上述消去法把次對角線元全部消去，得到一個三角型行列式，它的值等於該三角型行列式的主對角線元的連乘積。

6 乘以已知行列式

例7 求行列式的值：

稱為循環行列式，各行自左到右均由循環排列而得，並使主對角線元全為

解 設1的立方根為，即

其中i是虛數單位，又

右乘以行列式

則

（1）

用，得

故（1）的行列式的第一列可由提出公因子，提後的元順次為，類似地，（1）的行列式的第二列和第三列可提出公因子

和

於是

因互不相等，幫它們所構成的凡德蒙行列式的值不為零，可以從上式的左右兩邊約去，得

。

注4 在n階的一般情形，設1的n次方根為

則得行列式的值為

這里的是由構成的n階循環行列式：

7 利用線性代數方程組的解

例8 求n階行列式的值：

（1）

的構造是：第i行的元順次為

又第n行的元順次為。

解 （1）的行列式與凡德蒙行列式

（2）

的比值可以看成線性代數方程組

（3）

的解。如能解出，乘以凡德蒙行列式（2），即是原行列式

但方程組（3）又可以看成n次多項式方程

（4）

（t是未知數，看作系數）有n個根

用根與系數的關系，即得

∴

8 遞推方程組方法

例9 求行列式的值：

（1）

是n階行列式（在右下角用（n）表示），其結構是：主對角線元全為x ；主對角線上方的元全為y , 下方的元全為z 。

解 從 （1）的行列式的第一列減第二列，第二列減第三列，…，第n – 1列減第n列，得

（2）

上面的行列式按第一行展開，有兩項，一項是（x – y）乘一個n – 1階行列式，這個n – 1階行列式和（2）中的n階行列式的構造相同，即上述展開的第一項可表示為；展開的另一項是

故遞推式

（3）

若z = y，則上式化為

（4）

類似地有

又

故可對（4）式遞推計算如下：

上面得到原行列式當z = y時的值。下面討論z≠y的情形。

把（1）的行列式的y與z對調，這相當於原行列式的行與列互換，這樣的做法，行列式的值不變。於是y和z對調後，的值不變，這時（3）式變為

（5）

從（3）與（5）（遞推方程組）消去，即（3）式乘以（x – z），（5）乘以（x – y），相減得

∴

注5 當z = y時，行列式也可以用極限計算：

又行列式當z = y時可以用余式定理來做。

❷ 三階行列式計算方法

三階行列式可用對角線法則：

D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32- a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32。

矩陣A乘矩陣B，得矩陣C，方法是A的第一行元素分別對應乘以B的第一列元素各元素，相加得C11，A的第一行元素對應乘以B的第二行各元素，相加得C12，C的第二行元素為A的第二行元素按上面方法與B相乘所得結果，N階矩陣都是這樣乘，A的列數要與B的行數相等。

三階行列式性質：

性質1：行列式與它的轉置行列式相等。

性質2：互換行列式的兩行(列)，行列式變號。

推論：如果行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式為零。

性質3：行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數k，等於用數k乘此行列式。

推論：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。

性質4：行列式中如果有兩行(列)元素成比例，則此行列式等於零。

性質5：把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數然後加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變。