超定三類線性方程組計算方法

A. 高等代數中解線性方程組的方法有幾種

高等代數中解線性方程組的方法：分兩大類：
一、直接法：按選元分不選主元法和選主元法(列選、全選)。接不同消元方法又分：1、高斯消元法。2、高斯主元素法。3、三角解法。4、追趕法。
二、迭代法：1、雅可比迭代法。2、高斯—塞德爾迭代法。3、超松馳迭代法。

B. 線性方程組的解的三種情況是什麼

線性方程組的解的三種情況如下：

第一種是無解。也就是說，方程之間出現有矛盾的情況。

第二種情況是解為零。這也是其次線性方程組唯一解的情況。

第三種是齊次線性方程組系數矩陣線性相關。這種情況下有無數個解。

線性方程組是各個方程關於未知量均為一次的方程組（例如2元1次方程組）。對線性方程組的研究，中國比歐洲至少早1500年，記載在公元初《九章算術》方程章中。

1、解線性方程組的方法大致可以分為兩類：直接方法和迭代法。直接方法是指假設計算過程中不產生舍入誤差，經過有限次運算可求得方程組的精確解的方法；迭代法是從解的某個近似值出發，通過構造一個無窮序列去逼近精確解的方法。

2、消去法：Gauss（高斯）消去法——是最基本的和最簡單的直接方法，它由消元過程和回代過程構成，基本思想是：將方程組逐列逐行消去變數，轉化為等價的上三角形方程組（消元過程）；然後按照方程組的相反順序求解上三角形方程組，得到原方程組的解（回代過程）。

優缺點：簡單易行，但是要求主元均不為0，適用范圍小，數值穩定性差。

列主元素消去法——基本思想是在每次消元前，在要消去未知數的系數中找到絕對值大的系數作為主元，通過方程對換將其換到主對角線上，然後進行消元。

優點：計算簡單，工作量大為減少，數值穩定性良好，是求解中小型稠密線性方程組的最好方法之一。

全主元素消去法——基本思想是在全體待選系數a(ij)（k）中選取主元，並通過行與列的互換把它換到a(kk)（k）的位置，進行消元。

優缺點：這種方法的精度優於列主元素法，它對控制舍入誤差十分有效，但是需要同時作行列變換，因而程序比較復雜，計算時間較長。

3、直接三角分解法：消元過程實際上是把系數矩陣A分解成單位下三角形矩陣與上三角形矩陣乘積的過程，其中L為單位下三角形矩陣，U為上三角形矩陣。這種分解過程稱為杜利特爾（Doolittle分解)，也稱為LU分解。當系數矩陣進行三角分解後，求解方程組Ax = b的問題就等價於求解兩個三角形方程組Ly=b和Ux=y。

矩陣的直接三角分解——設A為n階方陣，若A的順序主子式A(i)均不為0，則矩陣A存在唯一的LU分解；直接三角分解法——如果線性方程組Ax = b的系數矩陣已進行三角分解A=LU,則解方程組Ax=b等價於求解兩個三角形方程組Ly=b和Ux=y。

列主元素的三角分解法——設矩陣A非奇異，則存在置換矩陣P，使得PA有唯一的LU分解（即PA=LU），且|l(ij)|≤1。

4、排列陣：單位矩陣經過若干次行變換所得到的矩陣。

5、克勞特（Crout）分解：將矩陣A分解成一個下三角形矩陣L與一個單位上三角形矩陣U的乘積。

6、特殊矩陣的三角分解法：在工程實際計算中，如三次樣條插值或用差分法求解常微分方程邊值問題，導出的線性方程組的系數矩陣A常常是稀疏的三對角形矩陣或A是對稱正定陣，使得A的三角分解也具有更簡潔的形式。

C. 求解線性方程組的方法

解線性方程組的方法：
①克萊姆法則.用克萊姆法則求解方程組 有兩個前提，一是方程的個數要等於未知量的個數，二是系數矩陣的行列式要不等於零。用克萊姆法則求解方程組實際上相當於用逆矩陣的方法求解線性方程組，它建立線性方程組的解與其系數和常數間的關系，但由於求解時要計算n+1個n階行列式，其工作量常常很大，所以克萊姆法則常用於理論證明，很少用於具體求解。

②矩陣消元法.將線性方程組的增廣矩陣通過行的初等變換化為行簡化階梯形矩陣 ，則以行簡化階梯形矩陣為增廣矩陣的線性方程組與原方程組同解。當方程組有解時，將其中單位列向量對應的未知量取為非自由未知量，其餘的未知量取為自由未知量，即可找出線性方程組的解。

D. 線性方程組有哪些解法

第一種 消元法 ,此法 最為簡單,直接消掉只剩最後一個未知數,再回代求餘下的未知數,但只適用於未知數個數等於方程的個數,且有解的情況.
第二種 克拉姆法則,如果行列式不等於零,則用常數向量替換系數行列式中的每一行再除以系數行列式,就是解；
第三種 逆矩陣法,同樣要求系數矩陣可逆,直接建立AX=b與線性方程組的關系,X=A^-1.*b就是解
第四種 增光矩陣法,利用增廣矩陣的性質(A,b)通過線性行變換,化為簡約形式,確定自由變數,（各行中第一個非零元對應的未知數除外餘下的就是自由變數）,對自由變數進行賦值,求出其它未知數,然後寫成基礎解析的形式,最後寫出通解.
這種方法需要先判別:增廣矩陣的秩是否等於系數矩陣的秩,相等且小於未知數個數,則無窮多解；等於未知數個數,唯一解.秩不想等,無解.
第五種 計算機編程,隨便用個軟體,譬如Matlab,輸入密令,
目前這5中教為適用,適合一切齊次或者非齊次線性方程組.