集合計算方法和技巧

A. 集合的 運算和方法怎麼解

參考 http://..com/question/31801898.html

集合論是當代數學的基礎．學習集合，不僅應從本質上去理解與集合有關的各個概念、性質和運演算法則，更重要的是在解題的過程中自覺地應用集合的語言和方法去表示各種數量關系，解決各種數學問題． 映射刻劃的是兩個集合之間元素的特殊對應關系，是我們進一步學習函數的基礎，同時也是一個重要的數學方法．數學競賽中的許多題目都與映射有關，恰當地使用映射法解題，可以使問題化繁為簡、化難為易，有時還可以出奇制勝.

1．集合 （1）集合的概念．元素與集合、集合與集合的關系． （2）集合的運演算法則． （3）集合的劃分． 如果非空集合A1、A2、…、An都是集合A的子集，並且滿足A1∪A2∪…∪An＝A，且Ai∩Aj＝Φ（1≤i＜j≤n），那 么（A1，A2，…，An）叫做集合A的一個劃分．

2．映射 理解映射f：A→B的關鍵是抓住集合A中元素在集合B中的象的存在性和惟一性．根據映射中象與原象的不同狀態，有下面幾種很有用的特殊映射． （1）單射．對於映射f：A→B，如果A中不同的元素在B中有不同的象，那麼稱映射 f：A→B為集合A到集合B的單射． 對於單射f：A→B，有｜A｜≤｜B｜．這里｜M｜表示集合M中的元素的個數，下同． （2）滿射．對於映射f：A→B，如果B中的每一個元素在A中都有原象，那麼稱映射f：A→B為集合A到集合B的滿射． 對於滿射f：A→B，有｜A｜≥｜B｜． （3）雙射．如果f：A→B同時是A到B上的單射和滿射，那麼稱映射f：A→B為集合A到集合B的雙射．雙射也叫做一一映射． 對於雙射f：A→B，有｜A｜＝｜B｜．（配對原理）

例1 設集合A＝（－3，－2），已知x，y∈N，且x^3＋19y＝y^3＋19x，試判斷a＝log（1/2）（x＋y）與A的關系． 導析：關鍵是確定a＝log（1/2）（x＋y）的取值范圍．這是學生力所能及的，可鼓勵學生積極參與． ∵ x^3－y^3＝19（x－y），且x，y∈N，x＞y， ∴ x^2＋x＋1≤x^2＋xy＋y^2＝19＜3x2． 由此及x∈N，得x＝3，從而y＝2． ∴ －3＜a＝log（1/2）5＜－2，即a∈A． 例2 某次乒乓球比賽，採用單淘汰制，從105名參賽選手中決出冠軍，需進行多少場比賽? 導析：如果先算出第一輪的場數，第二輪的場數……然後相加，是比較麻煩的．可引導學生從結果出發考慮，因為冠軍只有1 個，所以共需淘汰104名選手．而每場比賽恰好淘汰1名選手，故比賽的場數應為104．

集合問題的表述簡單，所涉及的知識較少，而解決起來往往要求有較高的探索能力和創造能力．常見的集合競賽題有兩類：集合劃分問題和特殊子集的計算和論證問題．巧妙的構造，恰當的劃分、反設、局部調整等，是解決這兩類問題的有效途徑． 映射是特殊的對應，研究對應規律，尋求對應的特徵，是解決計數、圖論、組合數學的重要手段．

例3 能否給出集合｛1，2，3，…，2001｝的一個劃分（A1，A2，A3，A4），使得A1，A2，A3，A4中的各數之和 組成一個等差數列? 導析：這是一個探索性問題，可從假設存在入手展開討論． 若存在一個劃分（A1，A2，A3，A4）滿足要求，則A1，A2，A3，A4中各數之和可分別表示為a，a＋d，a＋2d，a＋3d，其中a，d∈N．於是，有 a＋（a＋d）＋（a＋2d）＋（a＋3d）＝1＋2＋3＋…＋2001，即 2（2a＋3d）＝2001×1001． 上式顯然不能成立，故這樣的劃分不存在． 本題雖然解完了，但思維不能就此中斷，可引導學生進一步探索上述劃分的存在性．不難發現：如果集合中連續自然數的個數是4k（k∈N），那麼這樣的劃分是存在的． 不妨設A＝｛1，2，3，…，4k｝，（A1，A2，A3，A4）是集合A的一個劃分，若取A1＝｛1，2，…，k｝，A2＝｛k＋1，k＋2，…，2k｝，A3＝｛2k＋1，2k＋2，…，3k｝，A4＝｛3k＋1，3k＋2，…，4k｝，則A1，A2，A3，A4中各數之和便組成了以k（k＋1）/2為首項，k^2為公差的等差數列．

例4 設n∈N，n≥15，A、B都是｛1，2，…，n｝的真子集，且A∩B＝Φ，A∪B＝｛1，2，…，n｝．證明A或B中必有兩個不同數的和為完全平方數． 導析：根據題目的特點，從反面考慮較為合適．假設存在滿足題設的集合A和B，不論是A還是B中任意兩個數的和都不是完全平方數．不妨設1∈A，那麼3！∈A（否則1＋3＝2^2，與假設矛盾），於是3∈B．同樣，6！∈B，應有6∈A．這樣，10！∈A，應有10∈B．由於n≥15，所以15∈A或15∈B．若15∈A，則1＋15＝4^2；若15∈B，則10＋15＝5^2．均與假設矛盾，問題得證．

例5 從8×8的棋盤中，取出一個由三個小方格組成的「L」型，問共有多少種不同的取法． 導析：一個由四個小方格組成的「田」字形中可以取出4個「L」形，因此我們只需考察棋盤上可以取出多少個「田」字形．由於每個「田」字形的中心是棋盤內橫線與縱線的一個交點（不包括邊界點）；反過來，每個位於棋盤內部的交點，它四周的小方格恰好形成一個「田」字形圖案，因此，映射f：「田」字形→「田」字形中心，它是棋盤上所有可取出的小方格組成的「田」形集合到棋盤內每個橫線與縱線的交點集的雙射（一一映射）．易知，棋盤內的交點數共有（9－2）×（9－2）＝49（個），所以棋盤上可取出49個「田」字形．而一個「田」字形對應著4個「L」形，故棋盤上共可取出49×4＝196個「L」形．

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祝：學習進步哦！！
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B. 集合的計算

有沒有列題或是基本概念；
集合的概念

一定范圍的，確定的，可以區別的事物，當作一個整體來看待，就叫做集合，簡稱集，其中各事物叫做集合的元素或簡稱元。如（1）阿Q正傳中出現的不同漢字（2）全體英文大寫字母。任何集合是它自身的子集.

元素與集合的關系：
元素與集合的關系有「屬於」與「不屬於」兩種。

集合的分類:
並集：以屬於A或屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的並（集），記作A∪B（或B∪A），讀作「A並B」（或「B並A」），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}
交集： 以屬於A且屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的交（集），記作A∩B（或B∩A），讀作「A交B」（或「B交A」），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}
差：以屬於A而不屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的差（集）
注:空集包含於任何集合，但不能說「空集屬於任何集合」.

某些指定的對象集在一起就成為一個集合，含有有限個元素叫有限集，含有無限個元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集，任何集合是它本身的子集，子集，真子集都具有傳遞性。
『說明一下：如果集合 A 的所有元素同時都是集合 B 的元素，則 A 稱作是 B 的子集，寫作 A ⊆ B。若 A 是 B 的子集，且 A 不等於 B，則 A 稱作是 B 的真子集，寫作 A ⊂ B。
所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』

集合的性質：
確定性：每一個對象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能成為集合，例如「個子高的同學」「很小的數」都不能構成集合。
互異性：集合中任意兩個元素都是不同的對象。不能寫成{1，1，2}，應寫成{1，2}。
無序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一個集合。
集合有以下性質：若A包含於B，則A∩B=A，A∪B=B

集合的表示方法：常用的有列舉法和描述法。
1.列舉法：常用於表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來，寫在大括弧內，這種表示集合的方法叫做列舉法。{1，2，3，……}
2.描述法：常用於表示無限集合，把集合中元素的公共屬性用文字，符號或式子等描述出來，寫在大括弧內，這種表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x為該集合的元素的一般形式，P為這個集合的元素的共同屬性）如：小於π的正實數組成的集合表示為：{x|0<x<π}
3.圖式法：為了形象表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線（或者說圓圈），用它的內部表示一個集合。

常用數集的符號：
（1）全體非負整數的集合通常簡稱非負整數集（或自然數集），記作N
（2）非負整數集內排除0的集，也稱正整數集，記作N+（或N*）
（3）全體整數的集合通常稱作整數集，記作Z
（4）全體有理數的集合通常簡稱有理數集，記作Q
（5）全體實數的集合通常簡稱實數集，級做R

C. 集合運算公式大全

1.等冪律
A∪A=A
A∩A=A
2.同一律
A∪?=A
A∩E=A
3.互補律
A∪A'=U
A∩A'=?
4交換律
A∪B=B∪A
A∩B=B∩A
5.結合律
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
6.分配律
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
7.吸收律
A∪(A∩B)=A
A∩(A∪B)=A
8.反演律
(A∪B)'=A'∩B'
(A∩B)'=A'∪B'

D. 集合運算的五種方式有哪些

集合的基本運算：交集、並集、相對補集、絕對補集、子集。

（1）交集：集合論中，設A，B是兩個集合，由所有屬於集合A且屬於集合B的元素讓液所組成的集合，叫做集合A與集合B的交集（intersection），記作A∩B。

（2）並集：給定兩個集合A，B，把他們所有的元素合並在一起組成的集合，叫做集合A與集合B的並集，記作A∪B，讀作A並B。

（3）相對補集：若A和B是集合，則A在B中的相對補集是這樣一個集合：其元素屬於B但不屬於A，B-A= { x| x∈B且x∉A}。

（4）絕對補集：若給定全集睜物U，有A⊆U，則A在U中的相對補集稱為A的絕對補集（或簡稱補集），寫作∁UA。

（5）子集：子集是一個數學概念：如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素，那坦早物么集合A稱為集合B的子集。符號語言：若∀a∈A，均有a∈B，則A⊆B。

E. 高中數學集合解題方法與技巧

高中數學集合解題方法與技巧

適用條件：[直線過焦點]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A為直線與焦點所在軸夾角，是銳角。x為分離比，必須大於1。註上述公式適合一切圓錐曲線。如果焦點內分(指的是焦點在所截線段上)，用該公式;如果外分(焦點在所截線段延長線上)，右邊為(x+1)/(x-1)，其他不變。

5，數列爆強定律：1，等差數列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7為下角標);2等差數列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差3，等比數列中，上述2中各項在公比不為負一時成等比，在q=-1時，未必成立4，等比數列爆強公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q

6，數列的終極利器，特徵根方程。(如果看不懂就算了)。首先介紹公式：對於an+1=pan+q(n+1為下角標，n為下角標)，a1已知，那麼特徵根x=q/(1-p)，則數列通項公式為an=(a1-x)p²(n-1)+x，這是一階特徵根方程的運用。二階有點麻煩，且不常用絕纖。所以不贅述。希望同學們牢記上述公式。當然這種類型的數列可以構造(兩邊同時加數)

F. 集合的基本運算

集合的基本運算如下：

分析：定位法中的「個位」定位、「十位」定位、交度換法。例如用1、2、3組成兩位數，每個兩位數的十位數和個位數不能一樣，定位衟法中的「個位」定位、「十位」定位、交換法。

「個位」定位法是把1定位在個位：度21、31；把2定位在個位：12、32；把3定位在個位：13、23。

相關知識點：容斥原知理。

在計數時，必須注意沒有重復，沒有遺漏。為了使重疊部分不被重復計衜算知，人們研究出一種新的計數方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情衟況，把包含於某內容中的所有對象的數目先計算出來，然後再把計數時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復，這種計數的方法稱為容斥原理。