共梯度計算方法

A. 共軛梯度法是什麼

共軛梯度法指的是：

共軛梯度法是介於最速下降法與牛頓法之間的一個方法，它僅需利用一階導數信息，但克服了最速下降法收斂慢的缺點，又避免散含了牛頓法需要存儲和計算Hesse矩陣並求逆的缺點。

共軛梯度法不僅是解茄凳決大型線性方程組最有用的方法之一，也是解大型非線性最優化最有效的演算法之一。在各種優化演算法中，共軛梯度法是非常重要的一種。其優點是所需存儲量小，具有步收斂性，穩定性高，而且不需要任何外來參數。

共軛梯度法的提出和應用：

共軛梯度法最早是由Hestenes和Stiefle提出來的，在這個基礎上，Fletcher和Reeves 首先提出了解非線性最優化問題的共軛梯度法。由於共軛梯度法不需要矩陣存儲，且有較快的收斂速度和二次終止性等優點，現在共軛梯度法已經廣泛地應用於沖納笑實際問題中。

B. 函數的偏導數,方向導數和梯度怎麼計算

1、當函數 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的兩個偏導數 f'x(x0,y0) 與 f'y(x0,y0)都存在時，稱 f(x,y) 在 (x0,y0)處可導。如果函數 f(x,y) 在域 D 的每一點均可導，那麼稱函數 f(x,y) 在域 D 可導。

此時，對應於域 D 的每一點 (x,y) ，必有一個對 x (對 y )的偏導數，因而在域 D 確定了一個新的二元函數，稱為 f(x,y) 對 x (對 y )的偏導函數。

方向導數和梯度計算方法如下圖：

(2)共梯度計算方法擴展閱讀：

偏導數 f'x(x0,y0) 表示固定面上一點對 x 軸的切線斜率；偏導數 f'y(x0,y0) 表示固定面上一點對 y 軸的切線斜率。

高階偏導數：如果二元函數 z=f(x,y) 的偏導數 f'x(x,y) 與 f'y(x,y) 仍然可導，那麼這兩個偏導函數的偏導數稱為 z=f(x,y) 的二階偏導數。二元函數的二階偏導數有四個：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

f"xy與f"yx的區別在於：前者是先對 x 求偏導，然後將所得的偏導函數再對 y 求偏導；後者是先對 y 求偏導再對 x 求偏導。當 f"xy 與 f"yx 都連續時，求導的結果與先後次序無關。

C. 方向導數和梯度grad計算公式

方向導數和梯度(grad)是微積分中的兩個概念，用來描述函數在給定點處的變化率和方向。下面是它們的計算公式：

1.方向導數：

梯度(grad)是函數在某一點處的變化率最大的方向，是一個向量。具體地，設函數f(x, y, z)在點P(x0, y0, z0)處可導，則函數f在點P的梯度為：

grad(f(P)) = (fx(x0, y0, z0), fy(x0, y0, z0), fz(x0, y0, z0))

其中，fx, fy, fz分別為f對x, y, z的偏導數。

總之，方向導數和梯度是微積分中兩個重要的概念，它們可以幫助我們理解函數在某個點處的變化情況，為實際問題的求解提供了重要的數學工具。

D. 梯度grad計算公式

梯度grad計算公式：在二元函數的情形，設函數z=f(x,y)在平面區域D內具有一階連續偏導數，則對於每一點P(x,y)∈D，都可以定出一個向量(δf/x)*i+(δf/y)*j，這向量稱為函數z=f(x,y)在點P(x,y)的梯度，記作gradf(x,y)。類似的對三元函數也可以定義一個：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k記為grad[f(x,y,z)]。
梯度的本意是一個向量（矢量），表示某一函數在該點處的方向導數沿著該方向取得最大值，即函數在該點處沿著該方向（此梯度的方向）變化最快，變化率最大（為該梯度的模）。

E. 梯度的計算公式是什麼

梯度的計算公式：gra=aₓ（∂u/∂x）+aᵧ（∂u/∂y）+az（∂u/∂z）

梯度的本意是一個向量（矢量），表示某一函數在該點處的方向導數沿著該方向取得最大值，即函數在該點處沿著該方向（此梯度的方向）變化最快，變化率最大（為該梯度的模）。

(5)共梯度計算方法擴展閱讀：

在向量微積分中，標量場的梯度是一個向量場。標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向，梯度的長度是這個最大的變化率。更嚴格的說，從歐幾里得空間Rn到R的函數的梯度是在Rn某一點最佳的線性近似。在這個意義上，梯度是雅可比矩陣的特殊情況。

在單變數的實值函數的情況，梯度只是導數，或者，對於一個線性函數，也就是線的斜率。

F. 共軛梯度法的演算法介紹

又稱共軛斜量法，是解線性代數方程組和非線性方程組的一種數值方法，例如對線性代數方程組 Ax=ƒ, (1)式中A為n階矩陣，x和ƒ為n維列向量,當A對稱正定時,可以證明求(1)的解X*和求二次泛函
的極小值問題是等價的。此處(x,у)表示向量x和у的內積。由此，給定了初始向量x（0），按某一方向去求(2)式取極小值的點x(1),就得到下一個迭代值x(2),再由x(2)出發，求x(3)等等，這樣來逼近x*。若取求極小值的方向為F在 x(k=1,2,…)處的負梯度方向就是所謂最速下降法，然而理論和實際計算表明這個方法的收斂速度較慢，共軛梯度法則是在 x(k-1)處的梯度方向r(k-1)和這一步的修正方向p(k-1)所構成的二維平面內，尋找使F減小最快的方向作為下一步的修正方向p(k),即求極小值的方向p（其第一步仍取負梯度方向）。計算公式為
再逐次計算(k=1,2,…)。可以證明當i≠j時，
從而平p(1),p(2)形成一共軛向量組;r(0),r(1),…形成一正交向量組。後者說明若沒有舍入誤差的話，至多 n次迭代就可得到(1)的精確解。然而在實際山行滲計算中,一般都有舍入誤差，所以r(0),r(1),…並不真正互相正交，而尣(0)尣(1),…等也只是逐步逼近(1)的真解,故一般將共軛梯度法逗脊作為迭代法來使用。
近來在解方程組(1)時,常將共軛梯度法同其他一些迭代法結合作用。特別是對病態方程組這種方法往往能收到比較顯著的效果。其方法是選取一對稱正定矩陣B並進行三角分解，得B=LLT。將方程組(1)化為 hу=b, (3)
此處y=lTx,b=l-1ƒ,h=l-1Al-T,而
再對(3)用共軛梯度法，計算公式為
k=0,1,2,…)適當選取B，當B很接近A時，h的條件數較之A大大減小,從而可使共軛梯度法的收斂速度大為加快，由一些迭代法的矩陣分裂A=M -N，可選取M 為這里的B，例如對稱超鬆弛迭代(SSOR)，強隱式迭代(SIP)等,這類方法常稱為廣義共軛梯度法或預帶含條件共軛梯度法，它也可用於解代數特徵值問題。

G. 計算梯度：解析解和數值解

計算梯度有兩種方法：一種是計算方便但是很慢的 數值解（numerical gradient） ，一種是通過公式運算、較快、准確但是可能出錯的 解析解（喚燃analytic gradient） 。

數值解 有限元法、數值逼近、插值法等。數值銀絕解只能根據給定的數字求出對應的梯度。

解析解 則是根據公式來計算的，也就是方程求解，對於任意自變數都能得到結果。對於求不出來解析解的方程，就只能算數值解了。

舉個栗子🌰
求函數 在[0,5]范圍鋒鏈姿內的梯度，解析解求導的答案是 在[0，5]范圍內的值，數值解里步長 ，可以對比以下結果。稍微有點差別，0.1作為步長有點大。

在神經網路里計算的應該是解析解，因為每一層基本上都是可微的。

參考：
解析解與數值解
neural network