分形維數的計算方法

① 分形維數的計算方法有那些能具體說一下嗎

它與動孫鋒亂力系統的混沌理論交叉結合，相輔相成。它承認世界的局部可能在一定條件下。過程中，在某一方面（形態，結構，信息，功能，時間，能量等）表現出與整體的相似性，它承認空間維數的變化既可以是離散的也可以是連續的，因而拓展了視野。 分形幾何的概念是美籍法國數學家曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德國數學家維爾斯特拉斯（K.Weierestrass）構造了處處連續但處處不可微的函數，集合論創始人康托（G.Cantor，德國數學家）構造了有許多奇異性質的三分康托集。1890年，義大利數學家皮亞諾（G.Peano）構造了填充空間的曲線。1904年，瑞典數學家科赫（H.von Koch）設計出類似雪花和島嶼邊緣則檔的一類曲線。1915年，波蘭數學家謝爾賓斯基（W.Sierpinski）設計了象地毯和海綿一樣的幾何圖形。這些都是為解決分析與拓樸學中的問題而提出的反例，但它們正是分形幾何思想的源泉。1910年，德國數學家豪斯道夫（F.Hausdorff）開始了奇異集合性質與量的研究，提出分數維概念。1928年布利干（G.Bouligand）將閔可夫斯基容度應用於非整數維，由此能將螺線作很好的分類。1932年龐特里亞金（L.S.Pontryagin）等引入盒維數。1934年，貝塞考維奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫測度的性質和奇異集的分數維，他在豪斯道夫測度及其幾何的研究領域中作出了主要貢獻，從而產生了豪斯道夫-貝塞考維奇維數概念。以後，這一領域的研究工作沒有引起更多人的注意，先驅們的工作只是作為分析與拓撲學教科書中的反例而流傳開來。二1960年，曼德爾布羅特在研究棉價變化的長期性態時，發現了價格在大小尺度間的對稱性。同年在研究信號的傳輸誤差時，發現誤差傳輸與無誤差傳輸在時間上按康托集排列。在對尼羅河水位和英國海岸線的數學分析中，發現類似規律。他總結自然界中很多現象從標度變換角度表現出的對稱性。他將這類集合稱作自相似集，其嚴格定義可由相似映射給出。他認為，歐氏測度不能刻劃這類集的本質，轉向維數的研究，發現維數是尺度變換下的不變數，主張用維數來刻劃這類集合。1975年，曼德爾布羅特用法文出版了分形幾何第一部著作《分開：形狀、機遇和維數》。1977年該書再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德爾布羅特關於分形幾何的主要思想，它將分形定義為豪斯道夫維數嚴格大於其拓樸維數的集合，總結了根據自相似性計算實驗維數的方法，由於相似維數只對嚴格自相似這一小類集有意義，豪斯道夫維數雖然廣泛，但在很多情形下難以用計算方法求得，因此分形幾何的應用受到局限。1982年，曼德爾布羅特的新著《自然界的分形幾何》出版，將分形定義為局部以某種方式與整體相似的集，重新討論盒維數，它比豪斯道夫維數容易計算，但是稠密可列集盒維數與集所在空間維數相等。為避免這一缺陷，1982年特里科特（C.Tricot）引入填充維數，1983年格拉斯伯格（P.Grassberger）和普羅克西婭（I.Procaccia）提出根據觀測記錄的時間數據列直接計算動力系統吸引子維數的演算法。1985年，曼德爾布羅特提出並研究自然界中廣泛存在的自仿射集，它包括自相似集並可通過仿射映射嚴格定義。1982年德金（基兆F.M.Dekking）研究遞歸集，這類分形集由迭代過程和嵌入方法生成，范圍更廣泛，但維數研究非常困難。德金獲得維數上界。1989年，鍾紅柳等人解決了德金猜想，確定了一大類遞歸集的維數。隨著分形理論的發展和維數計算方法的逐步提出與改進，1982年以後，分形理論逐漸在很多領域得到應用並越來越廣泛。建立簡便盛行的維數計算方法，以滿足應用發展的需要，還是一項艱巨的任務。 自然界中的分形，與概率統計、隨機過程關系密切。確定性的古典分形集加入隨機性，就會產生出隨機康托集、隨機科契曲線等各種隨機分形。1968年，曼德爾布羅特研究布朗運動這一隨機過程時，將其推廣到與分形有關的分數布朗運動。1974年他又提出了分形滲流模型。1988年，柴葉斯（j.T.Chayes）給出了詳細的數學分析。1984年，扎樂（U.Zahle）通過隨機刪除而得到十分有趣的分形構造，隨機分形能更真實地描述和模擬自然現象。三動力系統中的分形集是近年分形幾何中最活躍和引人入勝的一個研究領域。動力系統的奇異吸引子通常都是分形集，它們產生於非線性函數的迭代和非線性微分方程中。1963年，氣象學家洛倫茲（E.N.Lorenz）在研究流體的對流運動時，發現了以他的名字命名的第一個奇異吸引子，它是一個典型的分形集。1976年，法國天文學家伊儂（M.Henon）考慮標准二次映射迭代系統時獲得伊儂吸引子。它具有某種自相似性和分形性質。1986年勞威爾（H.A.Lauwerier）將斯梅爾的馬蹄映射變形成勞威爾映射，其迭代下不穩定流形的極限集成為典型的奇異吸引子，它與水平線的截面為康托集。1985年，格雷波基（C.Grebogi）等構造了一個二維迭代函數系統，其吸附界是維爾斯特拉斯函數，並得到盒維數。1985年，邁克多納（S.M.MacDonald）和格雷波基等得到分形吸附界的三種類型：（！）局部不連通的分形集；（2）局部連通的分形擬圓周；（3）既不局部連能又不是擬圓周。前兩者具有擬自相似性。 動力系統中另一類分形集來源於復平面上解析映射的迭代。朱利亞（G.Julia）和法圖（P.Fatou）於1918-1919年間開創這一研究。他們發現，解析映射的迭代把復平面劃分成兩部分，一部分為法圖集，另一部分為朱利亞集（J集）。他們在處理這一問題時還沒有計算機，完全依賴於他們自身固有的想像力，因此他們的智力成就受到局限。隨後50年間，這方面的研究沒有得到什麼進展。隨著可用機算機來做實驗，這一研究課題才又獲得生機。1980年，曼德爾布羅特用計算機繪出用他名字命名的曼德爾布羅特集（M集）的第一張圖來。1982道迪（A.Douady）構造了含參二次復映射fc ，其朱利亞集J（fc）隨參數C的變化呈現各種各樣的分形圖象，著名的有道迪免子，聖馬科吸引子等。同年，茹厄勒（D.Ruelle）得到J集與映射系數的關系，解新局面了解析映射擊集豪斯道夫維數的計算問題。茄勒特（L.Garnett）得到J（fc）集豪斯道夫維數的數值解法。1983年，韋當（M.Widom）進一步推廣了部分結果 。法圖1926年就就開始整函數迭代的研究。1981年密休威茨（M.Misiuterwicz）證明指數映射的J集為復平面，解決了法圖提出的問題，引起研究者極大興趣。發現超越整函數的J集與有理映射J的性質差異，1984年德萬尼（R.L.Devanney）證明指數映射Eλ的J（Eλ）集是康托束或復平面而J（fc）是康托塵或連通集。 復平面上使J（fc）成為連通集的點C組成M集即曼德爾布羅特集，尤更斯（H.Jurgens）和培特根（H-O.Peitgen）認為，M集的性質過去一直是並且將來繼續是數學研究的一個巨大難題。通過將數學理論與計算機圖形學實驗加以融合，及道迪、扈巴德（H.Hubbard）等人在這方面進行的基礎性研究工作，在解決這一難題方面已取得重大進展，使人們加深了對M集的了解。道迪和扈巴德1982年證明M集是連通的和單連通的，人們猜測M集是局部連通的，目前每一張計算機圖形都證實了這一猜測，但至今還沒有人能給予證明。M是否為弧連通，目前尚不清楚。M集邊界的維數也是值得研究的問題之一。 M集除了將J集分成連通與非連通的兩類之外，還起著無窮個J集的圖解目錄表作用，即把M集C點周圍的圖形放大就是與C點有關的J集的組成部分。但這一發現的數學密性至今仍未確定，譚磊（Tan Lei）1985年證明了在每一個密休威茨點鄰近M集與相關的J集之間存在著相似性。尤金斯等在M集的靜電位研究中獲得與自然形貌相似的分形圖象。目前包括尤金斯等在內的很多研究人員都致力於藉助計算機活動錄象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得進展。1990年德萬尼通過數值實驗觀察到M集的復雜圖形由許多不同周期的周期軌道的穩定區域共同構成。1991年黃永念運用他提出的代數分析法證明了這一事實，研究了M集及其廣義情況周期軌道整體解析特性。 巴斯萊（B.M.Barnsley）和德門科（S.Demko）1985年引入迭代函數系統，J集及其其它很多分形集都是某些迭代函數的吸引集，用其它方法產生的分形集也可用迭代函數系逼近。1988年，勞威爾通過數值研究發現畢達哥拉斯樹花是一迭代函數系的J集。1985年巴斯萊等研究含參數的函數系迭代動力系統，得到M集D並D與M在連通性上的差異。在一線性映射系迭代下，可以產生著名的分形曲線——雙生龍曲線。1986年水谷（M.Mitzutani）等對其動力系統進行了研究。 一般動力系統中的分形集，其豪斯道夫維數dH難以通過理論方法或計算方法求得。對於有迭式構造的分形集，貝德浮德（T.Bedford）等在1986年已給出卓有成效的演算法，但對一般非線性映射迭代動力系統產生的分形集，這些結果都難以應用，其豪斯道夫維數dH的結論與演算法實際上沒有。卡普蘭（j.L.Kaplan）和約克（J.A.York） 1979年引入李雅普洛夫維數dL並猜測dL=dH。1981年勒拉皮爾證明dH≤dL。楊（L.S.Young）1982年證明二維情況下dH=dL。艾茄瓦（A.K.Agarwal）等1986年給出例子說明高維情形卡普蘭-約克猜測不成立。這一猜測力圖從動力學特徵推斷幾何結構，其反問題是由吸引子維數推斷混沌力學，這是值得研究的問題。但目前工作甚少且主要限於計算機研究。此外，含參動力系統在混沌臨界態或突變處的分形集維數也有待進一步研究。 多重分形（multifractals）是與動力系統奇異吸引子有關的另一類重要分形集，其概念首先由曼德布羅特和倫依（A.Renyi）引入。法默（J.D.Farmer）等在1983年定義了多重分形廣義維數。1988年博爾（T.Bohr）等人將拓撲熵引入多重分形的動力學描述與熱力學類比。1988年，阿內多（A.Arneodo）等人將子波變換用於多重分形研究。費德（J.Feder）、特爾（T.Tel）等人進行了多重分形子集及標度指數的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆問題，提出廣義配分函數，給出廣義超越維數，對過去的維數進行了修正。李（J.Lee）等發現了多重分形熱力學形式上的相變。1990年，伯克（C.Beck）得到廣義維數的上下界和極限並研究了多重分形的均勻性量度。曼德布羅特研究了隨機多重分形及負分維。1991年科維克（Z.Kov.acs）等引入雙變數迭代系統，最大特徵值和吉布斯勢導出維數、熵、李雅普洛夫指數，提供了對多重分形相變分類的一般方案。對於多重分形相變分類的一般方案。對於多重分形目前雖已提出不少處理方法，但從數學的觀點上看，還不夠嚴格，部分問題的數學處理難度也較大。四分形理論真正發展起來才十餘年，並且方興未艾，很多方面的理論還有待進一步研究。值得注意的是，近年分形理論的應用發展遠遠超過了理論的發展，並且給分形的數學理論提出了更新更高的要求。各種分形維數計算方法和實驗方法的建立、改進和完善，使之理論簡便，可操作性強，是喁喁分形的科學家們普遍關注的問題。而在理論研究上，維數的理論計算、估計、分形重構（即求一動力系統，使其吸引集為給定分形集）、J集和M集及其推廣形式的性質、動力學特徵及維數研究將會成為數學工作者們十分活躍的研究領域。多重分形理論的完善、嚴格以及如何用這些理論來解決實際問題可能會引起科學家們廣泛的興趣，而動力學特徵、相變和子波變換可能會成為其中的幾個熱點。 在哲學方面，人們的興趣在於自相似性的普適性，M集和J集表現出的簡單性與復雜性，復數與實數的統一性，多重分形相變與突變論的關系，自組織臨界（SOC）現象的刻畫以及分形體系內部的各種矛盾的轉化等。可以預言，一場關於分形科學哲學問題的討論即將在國內展開。

② 如何計算分形維數

設邊長增加b,面積增加s,則s/b即為分形的維數

③ 請問關聯維數（分形維數）和分數維有什麼聯系與區別

關聯維數實際上是分形維數的一種，因為有很成熟的G-P演算法的存在，利於計算和應用。

分形維數除了用分形維旦掘數計算，還可以用盒子維數來計算，此外還有折線法等等。

關聯維數（分模返核形維數）等於二世桐減去赫斯特指數，分數維是赫斯特指數的倒數，都是經驗公式。很多情況下並不滿足，理論上的分形維數應該是豪斯道夫維數，但這很難計算。

④ 分維數的定義與計算

分形（B.B.Mandelbrot，1982）是其組成部分以某種方式與整體相似的形（A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way）.它是以分維數、自相似性、統計自相似性和冪函數等為工具，研究不具有特徵標度，極不規則和高度分割但具有自相似性的復雜現象（如地形起伏、雲朵、水系、樹的形態等），定量描述這種自相似性的參數稱為「分維數」或簡稱「分維」，記為D，它可以是分數.

維數是一定時空的數值特徵.普遍應用維數觀，正是現代非線性科學獲得的共識.低維與高維、有限維與無限維、整數維與分數維的轉化，在探索復雜世界的物質機制中已充分顯示了它的威力.

1919年數學家豪斯道夫引入豪斯棗冊道夫維.他提出連續空間的概念，也就是空間維數不是躍變的，而是蔽扮連續變化的，即可以是整數，也可以是分數，通過具體計算來確定維，該維數稱為豪斯道夫維，記為D_f.例如，對於三維圖形，考慮一個棱長為單位長度的立方體，若令每個棱邊長度放大兩倍，則立方體體積放大8倍，其表達式為2³=8.例如，對於一個D_f維的幾何對象，若每個棱邊長度都放大L倍，則這個幾何對象相應地放大K倍，其D_f、L和K三者關系應為.該式兩邊取對數後，則D_f=lnK/lnL.對具有奇異構形的分形，這里D_f一般是分數.豪斯道夫維數衍生的各種分形維數，如容量維、信息維、關聯維、質量維、空隙維、相似維等等，可以從不同側面描述客觀世界的復雜現象.它們的一個共性，就是在雙對數坐標系的尺度變換下，嚴格地或統計地保持不變.

在測量分維時，有一規律（通常稱為zero-sets）是有用的.傳統的歐氏幾何體與一平面相交，形成圖形的維數要減少一維；三維球變成二維圓；二維平面變成一維線；一凳並宏維線變成零維點.分形和傳統的歐氏幾何體一樣，統計分形體的分維是D，在與其相交的平面上進行測量，分維是D-1，在與其相交的直線上測量，分維是D-2.它們與平面相交構成的圖形要減少一維；它們與直線相交形成的點集要減少二維.

不同的分維數往往刻畫不同的物理類型，劃分不同成因，不同性質的群體.如某些相變的發生只有在二維及以上的空間中才會出現，在一維的情況下就不行.因此，在研究某一類事物的規律時，往往需要藉助於分維數的差異來幫助判別和分析.例如，將具有不同面積的平面圖形放到一維坐標系中，其測度（長度）都是無窮大；放到三維空間，其測度（長度）都是無窮小；只有在二維坐標系中，它們在面積方面的差異才能顯現出來.另一方面，由點到線，由線到面和由面到體，隨著維數的增加，它們所刻劃的客體復雜程度也相應增加，且其佔領空間的能力也隨之增強.因此，維數的差異直觀地反映了客體復雜程度的差異.

分形的定義：設集合A∈Eⁿ（Eⁿ是n維歐氏空間）的豪斯道夫維為D_f和拓撲維為D_t，如果公式D_f≥D_t成立，則稱集合A是分形集（或分形）（A fractal is by definition a set for which the Hausdorff Besicovitch dimension exceeds the topological dimension）.

例如康托爾集合，D_f=ln2/ln3≈0.6301，而D_t=0，有D_f＞D_t，故康托爾集合是一種分形.又如科曲折線，D_f=ln4/ln3≈1.2618，而D_t=1，有D_f＞D_t，故科曲折線也是一種分形.

由於研究的具體對象（分形）不同，其分維數計算的具體形式和名稱也有多種.最常見的分維數有相似維（similarity dimension）或容量維（capacity dimension）D₀、信息維（information dimension）D₁、關聯維（correlation dimension）D₂和廣義維（generalized dimension）D_q.

1.相似維（similarity dimension）或容量維（capacity dimension）D₀

在測量地質體邊界的長度時，設測量尺度為r，覆蓋整個邊界的最少次數為N（r），此時將容量維數定義為：

分形混沌與礦產預測

將這一定義推廣到n維空間Eⁿ（Eⁿ為n維Euclide空間）中，上式中的r為覆蓋Eⁿ中圖形所需的立方體的邊長或球體的直徑，N（r）為所需的立方體或球體的最少數目.可以證明D₀=D_f（豪斯道夫維數）.

2.信息維（information dimension）D₁

容量維數D₀只考慮了覆蓋圖形所需的立方體或球體的數目與其邊長或直徑的關系.對於那些非確定性的事物，一般是用概率的形式表示出來的，為此引入信息維數的定義：

分形混沌與礦產預測

式中P_i是覆蓋概率，當用邊長為r的小盒子去覆蓋分形結構時，P_i是分形結構中某些點落入小盒子的概率.如果P_i=1/N（r）時，則有D₁=D_f.

3.關聯維（correlation dimension）D₂

P.Grassberger和J.Procaccia（1983）應用關聯函數C（r）給出了關聯維數的定義：

分形混沌與礦產預測

式中是相空間中兩點之間距離小於r的概率，|X_i-X_j|為兩點距離間的向量距離，r為指定的距離上限，，它是 Heavisideh函數.

4.廣義維（generalized dimension）D_q

分形混沌與礦產預測

式中P_i是覆蓋概率，當用邊長為r的小盒子去覆蓋分形結構時，P_i是分形結構中某些點落入小盒子的概率.當q取不同值時，D_q表示不同分維，如D_q=0=D₀，D_q=1=D₁，D_q=2=D₂.應當注意上述分維數之間的關系只是形式上（或定義上）的，但在實際問題計算中，上述關系不一定成立.

5.分維Brown函數

嚴格的自相似性在自然界並不多見，為了描述大量自然形狀，需要用統計自相似性的概念來推廣分維的定義，這就要用到分維Brown函數.

設x∈Eⁿ（Eⁿ為n維Euclide空間），f（x）是關於點x的隨機實值函數，若存在常數H（0＜H＜1）使得函數：

分形混沌與礦產預測

是一個與x，Δx無關的分布函數，則稱f（x）為分維Brown函數，其分維值為：D_B=n+1-H.