數學分析的典型計算方法

⑴ 數學分析計算

答案是 64 a |a|π / 3。

有幾點問題：

1）從根號里提出a的時候，提出的應該是|a|。

2）除了這個，到第六行都沒彎春有問題。

3）第六行到第七行，界限錯了，應該是 π，而不是2π。

4）第七行到第八行，常數錯了，埋判耐應該是32。

5） 第八行到第九行積分還挺復雜的，可能需要展開寫。沖沒

這里是從第八行開始的運算：

⑵ 求數列極限的幾種方法

摘要：本文介紹了計算極限的幾種方法，討論如何用定積分、冪級數、微分中值定理、O-Stolz公式、泰勒展式等方法計算極限．關鍵詞：計算極限；定積分；冪級數；泰勒展式1. 引言極限思想是許多科學領域的重要思想之一. 因為極限的重要性，從而怎樣求極限也顯得尤其重要. 對於一些復雜極限，直接按照極限的定義來求就顯得非常困難，不僅計算量大，而且不一定能求出結果. 為了解決求極限的問題，有不少學者曾探討了計算極限的方法（見 [1]-[4]）. 本文也介紹了計算極限的幾種方法，並對文獻[1]-[4]的結論進行了推廣，討論如何利用定積分、冪級數、O-Stolz公式、泰勒展式、微分中值定理計算極限，並且以實例來闡述方法中蘊涵的數學思想.2. 利用定積分求極限3. 利用冪級數求極限 利用簡單的初等函數（特別是基本初等函數）的麥克勞林展開式，常能求得一些特殊形式的數列極限.4. 利用級數收斂性判定極限存在由於級數與數列在形式上可以相互轉化，使得級數與數列的性質有了內在的密切聯系. 因此，數列極限的存在性及極限值問題，可轉化為研究級數收斂性問題.5 .利用O-Stolz公式計算極限6. 利用泰勒公式求極限等價無窮小代換是求極限的重要方法，往往可以減少計算量，使問題得以簡化. 但一般說來，這種方法僅限於求兩個無窮小量的乘積或除的極限，而對兩個無窮小量非乘且非除的極限，以上方法不能湊效，而Taylor公式代換是解決此類極限問題的一種有效的方法.7. 利用微分中值定理求極限Lagrange定理是微分學重要的基本定理，它利用函數的局部性質來研究函數的整體性質，其應用十分廣泛，下面我們來看一下Lagrange定理在求極限中的應用 .參考文獻[1]裴禮文. 數學分析中的典型問題與方法[M]. 北京：高等教育出版社，1993. [2]劉玉璉. 數學分析講義[M]. 北京: 高等教育出版社, 1997.[3]同濟大學數學教研室. 高等數學（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社, 1996.[4]費定暉,周學聖. 數學分析習題集題解[M]. 山東: 山東科學技術出版社,2002.（作者楊海珍系首都師范大學在讀研究生）註：「本文中所涉及到的圖表、註解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。（剩餘0字）

⑶ 數學分析中所有有關計算的方法技巧有哪些

最典型的是牛頓分步法（或叫牛頓逼近法），泰勒展開法

⑷ 數學分析中求極限的幾種重要方法

極限是數學分析的重要內容，是高等數學的理論基礎和研究工具，學習極限相關理論對學習數學分析和掌握高等數學眾多理論有著極其關鍵的作用。由於極限的計算題目類型多變，而極限的求取方法也種類繁多，因此，針對不同問題找到正確且最簡潔的方法意義重大。

1、利用定義求極限

極限的概念可細分為函數的極限和數列的極限。

2、利用法則求極限

2.1 四則運演算法則法

2.2 兩個准則法

本文簡單介紹兩個准則，分別為夾逼准則和單調有界准則，常用於數列極限的求解。

(2)單調有界准則：單調有界數列必有極限，且極限唯一。

利用單調有界准則求極限過程中，首先需要證明數列的單調性和有界性，然後要證明數列極限的存在，最後根據數列的通項遞推公式以及極限的唯一性來求極限。

2.3 洛比達法則法

3、利用公式求極限

3.1 兩個重要極限公式法

(1)極限及其變換，常用於包含三角函數的「」型未定式。

利用這兩個重要極限公式來求極限時要仔細觀察函數形式是否符合。

3.2 泰勒公式法

泰勒公式法是指在求極限時，利用泰勒公式將函數進行展開後再通過一般求極限的方法進行計算的'方法。

泰勒公式法對一些比較復雜的求極限過程可以起到簡化作用。

4、利用性質求極限

4.1 無窮小量性質法

利用下列幾點無窮小量的性質可解決相關的極限問題。

性質1：有限無窮小量的代數和為無窮小。

性質2：無窮小量與有界函數的乘積為無窮小。

性質3：有限無窮小量的乘積為無窮小。

4.2 函數連續性法

函數的連續性：

5、其他方法

5.1 中值定理法

中值定理法包括利用微分或積分中值定理求極限，通過微分或積分中值定理將函數進行變換，再求極限。

5.2 定積分法

則可知定積分可化為和式極限的形式，同樣，在求和式極限時，可轉為定積分的形式來求解。具體步驟：

(1)首先選擇恰當的可積函數f(x)。

(2)然後將所求和式極限表示成為f(x)在某區間[a，b]上的等分的積分和式的極限。

(3)最後利用求f(x)在區間[a，b]上的定積分就可得到和式的極限。

⑸ 數學分析方法的常用數學分析方法

1.線性規劃；
2.盈虧平衡分析；
3.計劃評審法；
4.收益矩陣決策；
5.排隊模型；
6.其他幾種方法。
（1）等可能法；
（2）大中取大法（樂觀法）；
（3）小中取大法（悲觀法）；
（4）樂觀系數法；
（5）沙凡奇（Savage）法（後悔值大中取小法）。

⑹ 數學分析怎麼學

學好數學分析方法參考如下：

對於初學者，最重要的是明白幾個點，

1、是「極限」的概念，也就是「 ϵ−δepsilon-delta 」必須學得很好，一開始「細摳」，也就是說必須嚴格按照這個定義來，這樣你就能避免「為什麼這個需要證」 ，「為什麼這個證明起來那麼麻煩」這種問題。

2、摧毀自己的三觀腔游。 多看一些反例：連續但是不可導的塵型，原函數存在但是黎曼不可積的，處處不連續的函數，處處連續但是處處不單調的函數，處處連續但是處處不可導的函數，處處可導但是處處不單調的函數。

3、做題適量，幾米多維奇別刷，效率太低，可以做一些精簡版本的，理解第一，然後才是計算。裴禮文的《數學分析中的典型例題》比較好，但是難度有點大。

很多大一新生數學系又看了一次rudin的《數學分析原理》，我覺得rudin最好第二次學（復習的時候）看。還有，如果對怎麼算伍兄銷積分有興趣，可以看一本書：Paul J. Nahin Inside Interesting Integrals

4、題目還是要做的，學數學也怕那種自認為學懂的情況，很多高中生就自稱學會了數學分析。為了檢驗自己，課後習題還是要做的，至少做對80%-90%才可以，多做一些理解、證明的題目，計算題適量做。

⑺ 極限的計算方法總結

極限的計算方法總結如下：

極限：

極限是微積分和數學分析的其他分支最基本的概念之一，連續和導數的概念均由其定義。它可以用來描述一個序列的指標愈來愈大時，序列中元素的性質變化的趨勢，也可以描述函數的自變數接近某一個值的時候，相對應的函數值變化的趨勢。

對於被考察的未知量，先設法正確地構思一個與它的變化有關的另外一個變數，確認此變數通過無限變化過程的影響趨勢性結果就是非常精密的盯知約等於所求的未知量；用極限原理就可以計算得到被考察的未知量的結果。

極限思想是微積分的基本思想，是數學分析中亂知的一系列重要概念，如函數的連續性、導數（為0得到極大值）以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。如果要問：「數學分析是一門什麼學科？」那麼可以概括地說：「數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科，並且計算結果誤差小到難於想像，因此可以忽略不計。

⑻ 數學分析模型（一）：數據的無量綱處理方法及示例（附完整代碼）

在對實際問題建模過程中，特別是在建立指標評價體系時，常常會面臨不同類型的數據處理及融合。而各個指標之間由於計量單位和數量級的不盡相同，從而使得各指標間不具有可比性。在數據分析之前，通常需要先將數據標准化，利用標准化後的數據進行分析。數據標准化處理主要包括同趨化處理和無量綱化處理兩個方面。數據的同趨化處理主要解決不同性質的數據問題，對不同性質指標直接累加不能正確反應不同作用力的綜合結果，須先考慮改變逆指標數據性質，使所有指標對評價體系的作用力同趨化。數據無量綱化主要解決數據的不可比性，在此處主要介紹幾種數據的無量綱化的處理方式。

可以選擇如下的三種方式：

即每一個變數除以該變數取值的全距，標准化後的每個變數的取值范圍限於[-1,1]。

即每一個變數與變數最小值之差除以該變數取值的全距，標准化後各變數的取值范圍限於[0,1]。

，即每一個變數值除以該變數取值的最大值，標准化後使變數的最大取值為1。

採用極值化方法對變數數據無量綱化是通過變數取值的最大值和最小值將原始數據轉換為界於某一特定范圍的數據，從而消除量綱和數量級的影響。由於極值化方法對變數無量綱化過程中僅僅對該變數的最大值和最小值這兩個極端值有關，而與其他取值無關，這使得該方法在改變各變數權重時過分依賴兩個極端取值。

來計算，即每一個變數值與其平均值之差除以該變數的標准差，無量綱化後各變數的平均值為0，標准差為1，從而消除量綱和數量級的影響。雖然該方法在無量綱化過程中利用了所有的數據信息，但是該方法在無量綱化後不僅使得轉換後的各變數均值相同，且標准差也相同，即無量綱化的同時還消除了各變數在變異程度上的差異。

，該方法在消除量綱和數量級影響的同時，保留了各變數取值差異程度上的信息。
（4）標准差化方法

。該方法是標准化方法的基礎上的一種變形，兩者的差別僅在無量綱化後各變數的均值上，標准化方法處理後各變數的均值為0，而標准差化方法處理後各變數均值為原始變數均值與標准差的比值。

綜上所述，針對不同類型的數據，可以選擇相應的無量綱化方法。如下的示例就是一個典型的評價體系中無量綱化的範例。

近年來我國淡水湖水質富營養化的污染日益嚴重，如何對湖泊水質的富營養化進行綜合評價與治理是擺在我們面前的任務，下面兩個表格分別為我國5個湖泊的實測數據和湖泊水質評價標准。

表1 全國五個主要湖泊評價參數的實測數據

表2 湖泊水質評價標准

（1）試用以上數據，分析總磷，耗氧量，透明度，總氨這4個指標對湖泊水質評價富營養化的作用。
（2）對這5個湖泊的水質綜合評價，確定水質等級。

在進行綜合評價之前，首先要對評價的指標進行分析。通常評價指標分成效益型，成本型和固定型指標。效益型指標是指那些數值越大影響力越大的統計指標（也稱正向型指標）；成本型指標是指數值越小越好的指標（也稱逆向型指標）；而固定型指標是指數值越接近於某個常數越好的指標（也稱適度型指標）。如果每個評價指標的屬性不一樣，則在綜合評價時就容易發生偏差，必須先對各評價指標統一屬性。

（ⅰ）建立無量綱化實測數據矩陣和評價標准矩陣，其中實測數據矩陣和等級標准矩陣如下，

然後建立無量綱化實測數據矩陣和無量綱化等級標准矩陣，其中

得到

（ⅱ）計算各評價指標的權重
計算矩陣B的各行向量的均值和標准差，

最後對變異系數歸一化得到各指標的權重為

（ⅲ）建立各湖泊水質的綜合評價模型
通常可以利用向量之間的距離來衡量兩個向量之間的接近程度，在Matlab中，有以下的函數命令來計算向量之間的距離；
dist(w,p): 計算中的每個行向量和中每個列向量之間的歐式距離；
mandist(w,p): 絕對值距離。
計算中各行向量到中各列向量之間的歐氏距離，

，則第個湖泊屬於第級。

這說明杭州西湖，武漢東湖都屬於極富營養水質，青海湖屬於中營養水質，而巢湖和滇池屬於富營養水質。

，則第個湖泊屬於第級。

其評價結果與利用歐氏距離得到的評價結果完全一樣。

所以，從上面的計算可以看出，盡管歐氏距離和絕對值距離的意義完全不一樣，但對湖泊水質的評價等級是一樣的，這表明了方法的穩定性。

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⑼ 常用的數學分析方法有哪些

1．避免「一步到位」
是指解題過程中，省略關鍵步驟，而直接得到答案，這樣扣分是嚴重的．由於解答題是嚴格按照步驟給分的，如果解題過程中失去關鍵步驟，跳過擬考查的知識點、能力點，就意味著失去得分點，自然被扣分.
例1(2000年全國高考題) 已知函數y＝ cos2x＋ sinxcosx＋1，x∈R．
(I) 當函數y取得最大值時，求自變數x的集合；
(II) 該函數的圖像可由y＝sinx(x∈R)的圖像經過怎樣的平移和伸縮變換得到？
解：(I)由題設可得，y＝ sin(2x＋ )＋ ，故有
當 x= ＋k ，k∈Z，函數y取得最大值．
(II) 略．
評註：在(Ⅰ)的解答中犯了「大題小作」中的「一步到位」錯誤，缺少了化簡過程的3個要點與何時取到最大值的1個要點，因而被扣分.
2． 避免「使用升華結論」
在解選擇和填空題中，使用升華結論(教材中未給出的正確結論)是允許的，而且還是一種簡捷快速的答題技巧．而直接運用(不加說明或證明)在解答題中是不合適的，且是「大題小作」，要適當扣分的.
解答高考解答題的理論根據應該是教材中的定義、定理、公理和公式，而學生使用「升華結論」則達不到考查能力、考查過程的目的，因此不能以題解題，不能直接運用教材以外別的東西，以免被扣分.
例2⑴(1991年全國高考題) 根據函數單調性的定義，證明函數f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是減函數．
⑵(2001年全國高考題) 設拋物線y2 =2px (p＞0)的焦點為F，經過點F的直線交拋物線於A、B兩點，點C在拋物線的准線上，且BC∥x軸．證明直線AC經過原點O．
評分標准中指出：
對於⑴：「利用y＝x3在[0，＋∞)上是增函數的性質，未證明y＝x3在(－∞，＋∞)上也是增函數而直接寫出f(x1)－f(x2)＝ － ＜0，未能證明為什麼 － ＜0過程，由評分標准知最多得3分．
對於⑵：有些考生證明時，直接運用課本中的引申結論「y1 y2＝p2」而跳過擬考查的知識點、能力點而被扣2分.
對於課本習題、例題的結論，是要通過證明才能直接使用(黑體字結論例外)，否則將被「定性」為解題不完整而被扣分．又如1996年高考理科第22(Ⅱ)及2001年全國高考理科第17(Ⅱ)利用面積射影定理，由於不加證明而直接使用，因而被扣分.
3 避免「答非所問」
是指沒有根據題意要求或沒有看清題意要求，用其它方法或結論作答，這明顯也要被扣分的.
例3(1993年全國高考題)已知數列
Sn為其前n項和．計算得 觀察上述結果，推測出計算Sn的公式，並用數學歸納法加以證明．
解：依據題意，推測出Sn的公式為：
Sn＝ ．
∵ ak＝ ＝ － ，
分別取k＝1，2，3，…，n，並將n個式子相加得：
Sn＝1－ ＝ ．
評注 以上解法可謂「簡單、明了」，但證明時不用數學歸納法，為「答非所問」，不合題意，扣分是必然的. 又如1999年高考第22題(應用題)，第(Ⅰ)問中求「冷軋機至少需要安裝多少對軋輥」，要求是用整數作答，不少考生未能用整數作答，違背題意而被扣分.
(四)了解「評分標准」，把握得分點
掌握解答題的「得分點」就要了解高考的評分標准，解答題評分標準是分步給分，但並非寫得越多得分越高，而是踏上得分點就給分，即按所用的數學知識，數學思想方法要點式給分，允許「等價答案」，允許「跳步得分」. 因此解答時，應步驟清，要點明，格式齊. 對於不同題型的給分規律有：
1．立幾題得分點
通常分作證，計算兩部分給分，各段中間又按要點給分.證明主要寫清兩點：①空間位置關系的判斷推理的依據(課本中的定理、公理)；②什麼是空間角和距離及理由(緊扣定義). 特別要注意沒有寫清角、距離要被扣分. 計算過程的書寫：計算一般是解三角形，要寫清三角形的條件及解出的結果. 用等積法解題，要找出等積關系並計算. 都是分段得分的，如1998年23題，1999年22題，都有3個小題，每小題4分，其中作證2分，計算2分.
2．分類討論題得分點
按所分類分別給分，加上歸納的格式(即寫為「綜上：當××時，結論是××」)分. 如1996年第20題，按a＞1和0＜a＜1兩類分別給5分，歸納給1分. 2000年理19(Ⅱ)，求 a 的取值范圍，使函數在區間[0，＋∞)上是單調函數，按 a≥1和0＜a＜1討論各得2分.
3．應用題得分點
按設列、解答兩部分給分. 特別要注意不答和答錯都要扣1分，應注意設、列、解、答的完整性，爭取步驟階段分.
4．推理證明題得分點
按推理格式，推理變形步驟給分. 對於用定義證明函數的單調性、奇偶性，用數學歸納法證題，都有嚴格的格式分，應完整，避免失分. 即使推理證明不出，寧可跳步作答，也要套用格式. 從條件、結論兩頭往中間靠，這樣寫完格式，這樣可以少扣分.
5．綜合題得分點
按解答的過程，分步給分，每個步驟又按要點給分. 盡可能把過程分步寫出，盡量不跳步，根據題意
列出關系，譯出題設中每一個條件，能演算幾步算幾步，尚未成功不等於失敗，特別是那些解題層次分明的題目，那些已經程序化的方法，每進行一步得分點的演算都可以得到這一步的滿分，最後結論雖然沒有算出來，但分數已過半，所以說，「大題拿小分」也是一個好主意. 因此盡量增加分步得分機會，千萬別輕易留空白題.
(五)常用的解答題解題技巧
1.較簡單的解答題的求解
對於比較容易解答的解答題(一般是前面3道),宜採用一慢一快的方法,就是審題要慢,解題要快,速戰速決,為後面3道解答題留下時間.
找到解題方法後，書寫要簡明扼要，快速規范，不要拖泥帶水，羅唆重復，用閱卷老師的話，就是寫出「得分點」，一般來講，一個原理寫一步就可以了。至於不是題目直接考查的過渡知識，可以直接寫出結論，高考允許合理省略非關鍵步驟，應詳略得當。
例2004北京理科第15題
在 中， ， ， ，求 的值和 的面積.
分析:本小題主要考查三角恆等變形、三角形面積公式等基本知識，考查運算能力
解：
又 ,

.

2.較難的解答題的求解
對於較難的解答題(後面3道)來說,要想在有限的時間內做全對是不大現實的.當然也不能全部放棄,應該盡可能的爭取多拿分.對於絕大多數考生來說，在這里重要的是：如何從拿不下來的題目中分段得點分。我們說，有什麼樣的解題策略，就有什麼樣的得分策略，下面談四個觀點。
(1)、缺步解答
如果我們遇到一個很困難的問題，確實啃不動，一個明智的策略是：將它分解成為一個系列的步驟，或者是一個個子問題，能演算幾步就演算幾步，尚未成功不等於徹底失敗，每進行一步得分點的演算就可以得到這一步的滿分，最後結論雖然沒有得出來，但分數卻已過半。因為近幾年高考解答題的特點是：入口易完善難，不可輕易放棄任何一題。
例: (2004浙江理科第21題)已知雙曲線的中心在原點，右頂點為A（1，0）點P、Q在雙曲線的右支上，支M（m,0）到直線AP的距離為1.
（Ⅰ）若直線AP的斜率為k，且 ，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）當 時，ΔAPQ的內心恰好是點M，求此雙曲線的方程.
解: (Ⅰ)由條件得直線AP的方程
即
因為點M到直線AP的距離為1,
∵ 即 .
∵ ∴
解得 +1≤m≤3或--1≤m≤1-- .
∴m的取值范圍是
(Ⅱ)可設雙曲線方程為 由
得 .
又因為M是ΔAPQ的內心,M到AP的距離為1,所以∠MAP=45º,直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1.因此， （不妨設P在第一象限）
直線PQ方程為 .
直線AP的方程y=x-1,
∴解得P的坐標是（2+ ，1+ ），將P點坐標代入 得，

所以所求雙曲線方程為
即
(2)、跳步解答
解題卡在某一過渡環節上是常見的，這時，我們可以先承認中間結論，往後推，看能否得到結論。如果得不出，證明這個途徑不對，立即改變方向；如果能得出預期結論，我們再回過頭來，集中力量攻克這個「中途點」。由於高考時間的限制，「中途點」的攻克來不及了，那麼可以把前面的寫下來，再寫上「證明某步之後，繼而有……」一定做到底。也許，後來中間步驟又想出來了，這時不要亂七八糟地補上去，可補在後面，可書寫為「事實上，某步可證如下」。
有的題目可能設有多問，第一問求不出來，可以把第一問當成已知，先做第二問，這也算做是跳步解答。
例: (2004天津文科第18題) 從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽.
(I) 求所選3人都是男生的概率；
(II)求所選3人中恰有1名女生的概率；
(III)求所選3人中至少有1名女生的概率.
解: (I) 所選3人都是男生的概率為
(II)所選3人中恰有1名女生的概率為
(III)所選3人中至少有1名女生的概率為
這3道小題可以說是互相獨立的,彼此不相干.所以如果第1小題做不來,可以跳過去,直接做第2小題.

(3)、退步解答
「以退求進」是一個重要的解題策略，如果你不能解決題中所提出的問題，那麼，你可以從一般退到特殊，從復雜退到簡單，從整體退到局部。總之，退到一個你能夠解決的問題，比如，{an}是公比為q的等比數列，Sn為{an}的前n項和，若Sn成等差數列，求公比q=____.
對等比數列問題，我們需考慮到q=1，q≠1兩種情況，你可以先對特殊的q=1進行討論，滿足題意，找到解題思路和情緒上的穩定後，再討論q≠1時是否也滿足題意，發現無解，如果對q≠ 1的情況你確實不會解，你還可以開門見山的寫上：本題分兩種情況：q=1或q≠1.
也許你只能完成一種情況，但你沒有用一種情況來代替主體。在概念上、邏輯上是清楚的。另外「難的不會做簡單的」還為尋找正確的、一般的解題方法提供了有意義的啟發。
4、輔助解答
一道題目的完整解答，即要有主要的實質性的步驟，也要有次要的輔助性的步驟，如：准確的作圖，把題目中的條件翻譯成數學表達式，設應用題中的未知量，函數中變數的取值范圍，軌跡題中的動點坐標，數學歸納法證明時，第一步n的取值等，如果處理得當，也會增分，不要小視它們。
另外，書寫也是輔助解答，卷面隨意塗改及正確答案的位置不合理，都會造成不必要的失分。
所以，有人說，書寫工整，卷面整齊也得分，不無道理。

⑽ 數學分析中的典型問題與方法的目錄

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書名：數學分析中的典型問題與方法

作者：裴禮文

豆瓣評分：9.3

出版社：高等教育出版社

出版年份：1993-5

頁數：844

內容簡介：《數學分析中的典型問題與方法》共分220個條目,1200個問題,包括一元函數極限、連續、微分、積分、級數,多元函數極限、連續、微分、積分。