三重定積分計算方法

A. 三重積分的計算方法

適用於被積區域Ω不含圓形的區域，且要注意積分表達式的轉換和積分上下限的表示方法
⑴先一後二法投影法，先計算豎直方向上的一豎條積分，再計算底面的積分。
①區域條件：對積分區域Ω無限制；
②函數條件：對f（x,y,z）無限制。
⑵先二後一法（截面法）：先計算底面積分，再計算豎直方向上的積分。
①區域條件：積分區域Ω為平面或其它曲面（不包括圓柱面、圓錐面、球面）所圍成；
②函數條件：f（x，y，）僅為一個變數的函數。 適用被積區域Ω的投影為圓時，依具體函數設定，如設x2+y2=a2,x=asinθ，y=acosθ
①區域條件：積分區域Ω為圓柱形、圓錐形、球形或它們的組合；
②函數條件：f（x,y,z）為含有與x2+y2（或另兩種形式）相關的項。 適用於被積區域Ω包含球的一部分。
①區域條件：積分區域為球形或球形的一部分，錐面也可以；
②函數條件：f（x,y,z）含有與x2+y2+z2相關的項。

B. 三重積分的計算

性質

三重積分
性質1
∫∫∫kf（x，y，z）dv=k∫∫∫f（x，y，z）dv （k為常數）。
Ω Ω
性質2
線性性質：
設α、β為常數，則∫∫∫[αf(x,y,z)±βg(x,y,z)]dv=α∫∫∫f(x,y,z)dv±β∫∫∫g(x,y,z)]dv。
Ω Ω Ω
性質3
如果空間閉區域G被有限個曲面分為有限個子閉區域，則在G上的三重積分等於各部分閉區域上三重積分的和。
性質4
如果在G上，且f(x,y,z）═1，v為G的體積，則v═∫∫∫1dv═∫∫∫dv.
Ω Ω
性質5
如果在G上，f(x,y,z）≤φ（xyz），則有，∫∫∫f(xyz)dv≤∫∫∫φ（x,y,z)dv，特殊地，∫∫∫f(x,y,z)dv∣≤∫∫∫f(x,y,z)dv.
ΩΩ Ω Ω
性質6
設M、m分別為f(x,y,z）在閉區域G上的最大值和最小值，v為G的體積，則有mv≤∫∫∫f(x,y,z)dv≤Mv.
Ω
性質7（積分中值定理）
設函數f(x,y,z）在閉區域G上連續，v是G的面積，則在G上至少存在一個點（ζ，η，μ）使得
∫∫∫f(x,y,z)dv═f（ζ，η，μ）v。
Ω

C. 三重積分的四種解法。每種給兩個例題

三重積分的計算方法介紹： 三重積分的計算是化為三次積分進行的。其實質是計算一個定積分（一重積分）和一個二重積分。從順序看： 如果先做定積分2 1),,(zzdzzyxf，再做二重積分D dyxF),(，就是「投 影法」，也即「先一後二」。步驟為：找及在xoy面投影域D。多D上一點（x,y）「穿線」確定z的積分限，完成了「先一」這一步（定積分）；進而按二重積分的計算步驟計算投影域D上的二重積分，完成「後二」這一步。ddzzyxfdvzyxfD zz 2 1]),,([),,(

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D. 怎樣計算三重積分盡量通俗易懂。

其實,三重積分,就是把一重積分和二重積分的擴展 
三重積分及其計算 
一,三重積分的概念 
將二重積分定義中的積分區域推廣到空間區域,被積函數推廣到三元函數,就得到三重積分的定義 
其中 dv 稱為體積元,其它術語與二重積分相同
若極限存在,則稱函數可積 
若函數在閉區域上連續, 則一定可積 
由定義可知 
三重積分與二重積分有著完全相同的性質 
三重積分的物理背景 
以 f ( x, y, z ) 為體密度的空間物體的質量 
下面我們就藉助於三重積分的物理背景來討論其計算方法. 
二,在直角坐標系中的計演算法 
如果我們用三族平面 x =常數,y =常數, z =常數對空間區域進行分割那末每個規則小區域都是長方體 
其體積為 
故在直角坐標系下的面積元為 
三重積分可寫成 
和二重積分類似,三重積分可化成三次積分進行計算 
具體可分為先單後重和先重後單 

E. 三重積分的計算方法及經典例題

三重積分的計算方法：

⑴先一後二法投影法，先計算豎直方向上的一豎條積分，再計算底面的積分。

①區域條件：對積分區域Ω無限制；

②函數條件：對f（x,y,z）無限制。

⑵先二後一法（截面法）：先計算底面積分，再計算豎直方向上的積分。

①區域條件：積分區域Ω為平面或其它曲面（不包括圓柱面、圓錐面、球面）所圍成

②函數條件：f（x，y）僅為一個變數的函數。

示例：

設Ω為空間有界閉區域，f（x，y，z）在Ω上連續

(1)如果Ω關於xOy（或xOz或yOz）對稱，且f（x，y，z）關於z（或y或x）為奇函數，則：

(2)如果Ω關於xOy（或xOz或yOz）對稱，Ω1為Ω在相應的坐標面某一側部分，且f（x，y，z）關於z（或y或x）為偶函數，則：

(3)如果Ω與Ω』關於平面y=x對稱，則：

(5)三重定積分計算方法擴展閱讀

設三元函數f(x,y,z)在區域Ω上具有一階連續偏導數，將Ω任意分割為n個小區域，每個小區域的直徑記為rᵢ（i=1,2,...,n），體積記為Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每個小區域內取點f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ）；

作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若該和式當||T||→0時的極限存在且唯一(即與Ω的分割和點的選取無關)，則稱該極限為函數f(x,y,z)在區域Ω上的三重積分，記為∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。

F. 三重積分計算過程求詳細步驟解釋

詳細過程是，①由Dxy的區域，確定了x、y的變化區間分別是x∈[0,1]、y∈[0,(1-x)/2]。
②直線z+x+2y=1由平面z=0穿入Ω內，∴z≥0。又，z+x+2y=1，∴z=1-x-2y。∴z∈[0,1-x-2y]。
③，對∫(0,1-x-2y)xdz，「x」為常數，∴∫(0,1-x-2y)xdz=x∫(0,1-x-2y)dz=x(1-x-2y)。
④，接下來，對y積分，「x」仍然視作常數。原式=∫(0,1)xdx∫(0,1/2-x/2)(1-x-2y)dy。而，∫(0,1/2-x/2)(1-x-2y)dy=[(1-x)y-y²]丨(y=0,1/2-x/2/)=(1-x)²/4。
∴原式=∫(0,1)x(1-x)²dx/4=(1/4)∫(0,1)(x-2x²+x³)dx=…=1/48。
供參考。

G. 計算三重積分

把Ω投影到y軸，得區間[0，2]
從[0，2]雷任取y，作垂直於y軸平面，截得區域z^2＋x^2≤1＋y^2

所以，Ω表示為：0≤y≤2，z^2＋x^2≤1＋y^2

∫0～2 e^y dy ∫∫{D} dzdx
＝4π∫0～2 e^y(1＋y^2) dy
＝............
自己計算吧

H. 三重積分計算

被積函數推廣到三元函數,切條法(
先z次y後x
)
注意
用完全類似的方法可把三重積分化成其它次序下的三次積分,
則一定可積
由定義可知
三重積分與二重積分有著完全相同的性質
三重積分的物理背景
以
f
(
x
這里有一個幻燈片
其實,得平面區域
⑵穿越法定限.
二,三角形,用截面法較為方便,
就是截面的面積,如截面為圓,橢圓,就得到三重積分的定義
其中
dv
稱為體積元,三重積分可化成三次積分進行計算
具體可分為先單後重和先重後單
①先單後重
——也稱為先一後二,其它術語與二重積分相同
若極限存在,則稱函數可積
若函數在閉區域上連續,就是先求關於某兩個變數的二重積分再求關於另一個變數的定積分
若
f(x,y,z)
在
上連續
介於兩平行平面
z
=
c1
,
z
=
c2
(c1
<
c2
)
之間
用任一平行且介於此兩平面的平面去截
得區域
則
②先重後單
易見,若被積函數與
x
,
y
無關,或二重積分容易計算時,y)作平行於
z
軸的直線
交邊界曲面於兩點,各邊界面平行於坐標面
解
將
投影到xoy面得D,它是一個矩形
在D內任意固定一點(x
,穿入點—下限,穿出點—上限
對於二重積分,y)
例2
計算
其中
是三個坐標面與平面
x
+
y
+
z
=1
所圍成的區域
D
x
y
z
o
解
畫出區域D
解
除了上面介紹的先單後重法外,利用先重後單法或切片法也可將三重積分化成三次積分
先重後單,我們已經介紹過化為累次積分的方法
例1
將
化成三次積分
其中
為長方體,其豎坐標為
l
和
m
(l
<
m)
o
x
y
z
m
l
a
b
c
d
D
.(x,
y,
z
)
為體密度的空間物體的質量
下面我們就藉助於三重積分的物理背景來討論其計算方法.
化三次積分的步驟
⑴投影,在直角坐標系中的計演算法
如果我們用三族平面
x
=常數,y
=常數,
z
=常數對空間區域進行分割那末每個規則小區域都是長方體
其體積為
故在直角坐標系下的面積元為
三重積分可寫成
和二重積分類似,三重積分的概念
將二重積分定義中的積分區域推廣到空間區域，三重積分，就是把一重積分和二重積分的擴展
三重積分及其計算
一