斜循環行列式的計算方法

A. 行列式計算方法

行列式的計算方法：就是右斜的乘積之和減去左斜乘積之和其結果就是要求的結果。也可以利用行列式定義直接計算，利用行列式的七大性質計算，化為三角形行列式；若能把一個行列式經過適當變換化為三角形，其結果為行列式主對角線上元素的乘積。

3、克拉默法則：利用線性方程組的系數行列式求解方程，令系數行列式為D，Di為將等式右側的值替換到行列式的第i列。

4、齊次線性方程組：在線性方程組等式右側的常數項全部為0時，該方程組稱為齊次線性方程組，否則為非齊次線性方程組。齊次線性方程組一定有零解，但不一定有非零解。當D=0時，有非零解；當D！=0時，方程組無非零解。

B. 行列式計算

1、利用行列式定義直接計算。

2、利用行列式的七大性質計算。

3、化為三角形行列式 ：若能把一個行列式經過適當變換化為三角形，其結果為行列式主對角線上元素的乘積。因此化三角形是行列式計算中的一個重要方法。

4、降階法：按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運算更加簡便，往往是先利用列式的性質化簡，使行列式中有較多的零出現，然後再展開。 

(2)斜循環行列式的計算方法擴展閱讀：

矩陣行列式的相關性質：

1、行列式A中某行(或列)用同一數k乘,其結果等於kA。

2、行列式A等於其轉置行列式AT(AT的第i行為A的第i列)。

3、若n階行列式|αij|中某行(或列);行列式則|αij|是兩個行列式的和，這兩個行列式的第i行(或列),一個是b1,b2,…,bn；另一個是с1，с2,…,сn；其餘各行（或列）上的元與|αij|的完全一樣。

4、行列式A中兩行（或列）互換,其結果等於-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一數後加到另一行（或列）中各對應元上，結果仍然是A。

C. 行列式的計算方法總結

行列式的計算方法是很多人都不太清楚的一個點，下面我為大家總結整理了一些關於行列式計算方法的相關知識，供大家參考。

行列式計算方法匯總

1.行列式和他的轉置行列式相等。2.變換一個行列式的兩行(或兩列),行列式改變符號即變為之前的相反數。3.如果一個行列式有兩行(列)完全相同,那麼這個行列式等於零。4.一個行列式中的某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。5.如果一個行列式中有一行(列)的元素全部是零,那麼這個行列式等於零。

什麼是行列式

行列式在數學中，是一個函數，其定義域為det的矩陣A，取值為一個標量，寫作det(A)或|A|。無論是在線性代數、多項式理論，還是在微積分學中（比如說換元積分法中），行列式作為基本的數學工具，都有著重要的應用。

行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣。或者說，在n維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個線性變換對「體積」所造成的影響。

D. 計算行列式常用的7種方法

（1）行列式和他的轉置行列式相等。

（2）變換一個行列式的兩行（或兩列），行列式改變符號 即變為之前的相反數。

（3）如果一個行列式有兩行（列）完全相同，那麼這個行列式等於零。

（4）一個行列式中的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。

（5）如果一個行列式中有一行（列）的元素全部是零，那麼這個行列式等於零。

（6）如果一個行列式有兩行（列）的對應元素成比例，那麼這個行列式等於零。

（7）把行列式的某一行（列）的元素乘以同一個數後加到另一行（列）的對應元素上，行列式不變。

根據行列式的特點，適當變形（利用行列式的性質——如：提取公因式；互換兩行（列）；一行乘以適當的數加到另一行（列）去；把所求行列式化成已知的或簡單的形式。其中范德蒙行列式就是一種。這種變形法是計算行列式最常用的方法。

(4)斜循環行列式的計算方法擴展閱讀：

①行列式A中某行(或列)用同一數k乘,其結果等於kA。

②行列式A等於其轉置行列式AT(AT的第i行為A的第i列)。

③若n階行列式|αij|中某行(或列);行列式則|αij|是兩個行列式的和，這兩個行列式的第i行(或列),一個是b1,b2,…,bn；另一個是с1，с2,…,сn；其餘各行（或列）上的元與|αij|的完全一樣。

④行列式A中兩行（或列）互換,其結果等於-A。

⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一數後加到另一行（或列）中各對應元上，結果仍然是A。

E. 行列式的計算方法

簡單地說，行列式的主要功能體現在計算機科學中
現在數學課上學習行列式，就是為了讓我們理解一些計算原理

我先講行列式怎麼計算吧
二階行列式（行列式兩邊的豎線我不會打，看得懂就行）：
a b
c d
它的值就等於ad-bc，即對角相乘，左上-右下的那項為正，右上-左下的那項為負
三階行列式：
a b c
d e f
g h i
它的值等於aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg，你在紙上用線把每一項里的三個字母連起來就知道規律了

計算機就是用行列式解方程組的
比如下面這個方程組：
x+y=3
x-y=1
計算機計算的時候，先計算x,y系數組成的行列式D：
1 1
1 -1
D=-2
然後，用右邊兩個數（3和1）分別代替x和y的系數得到兩個行列式Dx和Dy：
3 1
1 -1
Dx=-4
1 3
1 1
Dy=-2
用Dx除以D，就是x的值，用Dy除以D，就是y的值了

F. 行列式的計算方法！具體點有些什麼！

關於三階行列式的計算，首先給出一個實例，A、B、C、D、E、F、G、H、I都是數字。先按斜線計算A*E*I，B*F*G，C*D*H，求和AEI+BFG+CDH再按斜線計算C*E*G，D*B*I,A*H*F,求和CEG+DBI+AHF行列式的值就為（AEI+BFG+CDH）-（CEG+DBI+AHF） 然後說一下這個公式。看你不知道行列式是啥玩意，那估計你也不知道行列式的性質，就這個公式而言，主要用到的是把行列式的某一行（列）的任意（非零）倍加到另一行（列）上，行列式的值不變面積公式是這個樣子，外面的短豎線是絕對值符號，裡面的長豎線是行列式符號，A(X1,Y1)，B(X2,Y2)，C(X3,Y3)是三個頂點的坐標，按照上面提到性質，公式變為這里把第一行的負一倍分別加到了二三行這個行列式的值其實和是一樣的，這利用的是行列式求值的性質，你可以按照開頭的三階行列式方法計算檢驗。順便提一提，i，j，k分別是X，Y，Z軸的單位向量。上面這個行列式行列式表示的其實是這個1/2 |AB||AC|sinA 這個相當於公式S=1/2 ac sinB，只是換成了角A的夾邊。原因是向量AB和向量AC（向量應該知道吧）的外積就是說到外積，與內積不同的地方是，內積得到的是一個數比如 （內積用點乘號）AB · AC = (x2-x1)(x3-x1)+(y2-y1)(y3-y1) 【內積是對應坐標乘積的和】而外積得到的是一個向量比如 （外積用叉乘號）AB X AC= 【外積是用行列式計算的】這是一個向量不是一個數，因為i，j，k都是向量他的模應該是|AB X AC| = |AB||AC|sinA 【內積是AB·AC=|AB||AC| cosA】所以前面說短豎線是絕對值不是很准確，其實是向量求模的符號。至此這個公式解說完了。 最後，這個公式是相當的惡心，沒什麼實際作用，不知道是哪個混球想出來的，知道三點坐標的情況下，按照線段長度公式求AB，AC，利用內積求夾角的餘弦值，再轉換為正弦值，最後應用公式S=1/2 bc sinA 整個計算過程和直接用行列式的那個公式相比，看起來復雜不少，其實，一般數據簡單的情況下，計算量遠遠前者小於後者。當然如果是計算機計算的話，確實這個公式簡化不少。

G. 計算行列式

行列式的計算方法

1.遞推法

例1 求行列式的值：

（1）

的構造是：主對角線元全為；主對角線上方第一條次對角線的元全為，下方第一條次對角線的元全為1，其餘元全為0；即為三對角線型。又右下角的（n）表示行列式為n階。

解 把類似於，但為k階的三對角線型行列式記為。

把（1）的行列式按第一列展開，有兩項，一項是

另一項是

上面的行列式再按第一行展開，得乘一個n – 2 階行列式，這個n – 2 階行列式和原行列式的構造相同，於是有遞推關系：

（2）

移項，提取公因子β：

類似地：

（遞推計算）

直接計算

若；否則，除以後移項：

再一次用遞推計算：

∴， 當β≠α （3）

當β = α，從

從而。

由（3）式，若。

∴

注 遞推式（2）通常稱為常系數齊次二階線性差分方程.

注1 仿照例1的討論，三對角線型的n階行列式

（3）

和三對角線型行列式

（4）

有相同的遞推關系式

（5）

（6）

注意

兩個序列

和

的起始值相同，遞推關系式（5）和（6）的構造也相同，故必有

由（4）式，的每一行都能提出一個因子a ，故等於乘一個n階行列式，這一個行列式就是例1的。前面算出，故

例2 計算n階范德蒙行列式行列式

解:

即n階范德蒙行列式等於這n個數的所有可能的差的乘積

2．拆元法

例3：計算行列式

解

①×（x + a）

②×（x – a）

3．加邊法

例4 計算行列式

分析：這個行列式的特點是除對角線外,各列元素分別相同.根據這一特點,可採用加邊法.

解

4．數學歸結法

例5 計算行列式

解：

猜測：

證明

（1）n = 1, 2, 3 時，命題成立。假設n≤k – 1 時命題成立,考察n=k的情形：

故命題對一切自然數n成立。

5.消去法求三對角線型行列式的值

例6 求n階三對角線型行列式的值：

（1）

的構造是：主對角線元全為2，主對角線上方第一條次對角線與下方第一條次對角線的元全為1，其餘的元全為0。

解 用消去法，把中主對角線下方第一條次對角線的元1全部消成0：首先從第二行減去第一行的倍，於是第二行變為

其次從第三行減去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，則第三行變為

再從第四行減去第三行的倍，則第四行變為

類似地做下去，直到第n行減去第n – 1行的倍，則第n行變為

最後所得的行列式為

（2）

上面的行列式是三角型行列式，它的主對角線元順次為

93）

又主對角線下方的元全為0。故的值等於（3）中各數的連乘積，即。

注3 一般的三對角線型行列式

（4）

也可以按上述消去法把次對角線元全部消去，得到一個三角型行列式，它的值等於該三角型行列式的主對角線元的連乘積。

6 乘以已知行列式

例7 求行列式的值：

稱為循環行列式，各行自左到右均由循環排列而得，並使主對角線元全為

解 設1的立方根為，即

其中i是虛數單位，又

右乘以行列式

則

（1）

用，得

故（1）的行列式的第一列可由提出公因子，提後的元順次為，類似地，（1）的行列式的第二列和第三列可提出公因子

和

於是

因互不相等，幫它們所構成的凡德蒙行列式的值不為零，可以從上式的左右兩邊約去，得

。

注4 在n階的一般情形，設1的n次方根為

則得行列式的值為

這里的是由構成的n階循環行列式：

7 利用線性代數方程組的解

例8 求n階行列式的值：

（1）

的構造是：第i行的元順次為

又第n行的元順次為。

解 （1）的行列式與凡德蒙行列式

（2）

的比值可以看成線性代數方程組

（3）

的解。如能解出，乘以凡德蒙行列式（2），即是原行列式

但方程組（3）又可以看成n次多項式方程

（4）

（t是未知數，看作系數）有n個根

用根與系數的關系，即得

∴

8 遞推方程組方法

例9 求行列式的值：

（1）

是n階行列式（在右下角用（n）表示），其結構是：主對角線元全為x ；主對角線上方的元全為y , 下方的元全為z 。

解 從 （1）的行列式的第一列減第二列，第二列減第三列，…，第n – 1列減第n列，得

（2）

上面的行列式按第一行展開，有兩項，一項是（x – y）乘一個n – 1階行列式，這個n – 1階行列式和（2）中的n階行列式的構造相同，即上述展開的第一項可表示為；展開的另一項是

故遞推式

（3）

若z = y，則上式化為

（4）

類似地有

又

故可對（4）式遞推計算如下：

上面得到原行列式當z = y時的值。下面討論z≠y的情形。

把（1）的行列式的y與z對調，這相當於原行列式的行與列互換，這樣的做法，行列式的值不變。於是y和z對調後，的值不變，這時（3）式變為

（5）

從（3）與（5）（遞推方程組）消去，即（3）式乘以（x – z），（5）乘以（x – y），相減得

∴

注5 當z = y時，行列式也可以用極限計算：

又行列式當z = y時可以用余式定理來做。

H. 3×3行列式的計算方法

三乘三階行列式計算方法，如下：

三階行列式｛(A，B，C),(D，E，F),(G，H，I)}，A、B、C、D、E、F、G、H、I都是數字。

1、按斜線計算A*E*I,B*F*G,C*D*H，求和AEI+BFG+CDH

2、再按斜線計算C*E*G，D*B*I，A*H*F，求和CEG+DBI+AHF

3、行列式的值就為（AEI+BFG+CDH）－（CEG+DBI+AHF）

三階行列式的性質

性質1：行列式與它的轉置行列式相等。

性質2：互換行列式的兩行（列），行列式變號。

推論：如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零。

性質3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數k，等於用數k乘此行列式。

推論：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。

性質4：行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等於零。

性質5：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數然後加到另一列（行）對應的元素上去，行列式不變。

I. 行列式的計算方法總結

第一、行列式的計算利用的是行列式的性質，而行列式的本質是一個數字，所以行列式的變化都是建立在已有性質的基礎上的等量變化，改變的是行列式的「外觀」。

第二、行列式的計算的一個基本思路就是通過行列式的性質把一個普通的行列式變化成為一個我們可以口算的行列式（比如，上三角，下三角，對角型，反對角，兩行成比例等）

第三、行列式的計算最重要的兩個性質：

（1）對換行列式中兩行（列）位置，行列式反號

（2）把行列式的某一行（列）的倍數加到另一行（列），行列式不變

對於（1）主要注意：每一次交換都會出一個負號；換行（列）的主要目的就是調整0的位置，例如下題，只要調整一下第一行的位置，就能變成下三角。

(9)斜循環行列式的計算方法擴展閱讀

矩陣的加法與減法運算將接收兩個矩陣作為輸入，並輸出一個新的矩陣。矩陣的加法和減法都是在分量級別上進行的，因此要進行加減的矩陣必須有著相同的維數。

為了避免重復編寫加減法的代碼，先創建一個可以接收運算函數的方法，這個方法將對兩個矩陣的分量分別執行傳入的某種運算。