線性函數的使用方法視頻

1. 一次函數表達式的求法

初二數學一次函數是整個初中數學知識章節中比較有難度的一個章節，今天極客數學幫就來給同學們講講有關於一次函數的知識點，學好了一次函數，對後面學習二次函數等也有幫助，一起來看看吧。



變數和常量

在一個變化過程中，數值發生變化的量，我們稱之為變數，而數值始終保持不變的量，我們稱之為常量。

函數

一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變數x與y，並且對於x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那麼我們就說x是自變數，y是x的函數。如果當x=a時y=b，那麼b叫做當自變數的值為a時的函數值。

自變數取值范圍的確定方法

1、自變數的取值范圍必須使解析式有意義。

當解析式為整式時，自變數的取值范圍是全體實數;當解析式為分數形式時，自變數的取值范圍是使分母不為0的所有實數;當解析式中含有二次根式時，自變數的取值范圍是使被開方數大於等於0的所有實數。

2、自變數的取值范圍必須使實際問題有意義。

函數的圖像

一般來說，對於一個函數，如果把自變數與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那麼坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象.

描點法畫函數圖形的一般步驟

第一步：列表(表中給出一些自變數的值及其對應的函數值);

第二步：描點(在直角坐標系中，以自變數的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點);

第三步：連線(按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來)。

函數的表示方法

列表法：一目瞭然，使用起來方便，但列出的對應值是有限的，不易看出自變數與函數之間的對應規律。

解析式法：簡單明了，能夠准確地反映整個變化過程中自變數與函數之間的相依關系，但有些實際問題中的函數關系，不能用解析式表示。

圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變數之間的函數關系。

正比例函數

一般地，形如y=kx(k是常數，k≠0)的函數，叫做正比例函數，其中k叫做比例系數.

正比例函數圖象和性質

一般地，正比例函數y=kx(k是常數，k≠0)的圖象是一條經過原點和(1，k)的直線.我們稱它為直線y=kx.當k>0時，直線y=kx經過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大;當k<0時，直線y=kx經過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小.

(1)解析式：y=kx(k是常數，k≠0)

(2)必過點：(0，0)、(1，k)

(3)走向：k>0時，圖像經過一、三象限;k<0時，圖像經過二、四象限

(4)增減性：k>0，y隨x的增大而增大;k<0，y隨x增大而減小

(5)傾斜度：|k|越大，越接近y軸;|k|越小，越接近x軸

正比例函數解析式的確定——待定系數法

1.設出含有待定系數的函數解析式y=kx(k≠0)

2.把已知條件(一個點的坐標)代入解析式，得到關於k的一元一次方程

3.解方程，求出系數k

4.將k的值代回解析式

一次函數

一般地，形如y=kx+b(k、b是常數，k≠0)函數，叫做一次函數. 當b=0時，y=kx+b即y=kx，所以正比例函數是一種特殊的一次函數.

一次函數的圖象及性質

一次函數y=kx+b的圖象是經過(0，b)和(-b/k，0)兩點的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到.(當b>0時，向上平移;當b<0時，向下平移)

(1)解析式：y=kx+b(k、b是常數，k≠0)

(2)必過點：(0，b)和(-b/k，0)

(3)走向：k>0，圖象經過第一、三象限;

k<0，圖象經過第二、四象限

b>0，圖象經過第一、二象限;

b<0，圖象經過第三、四象限Ûîíì>>

k>0，b>0;<=>直線經過第一、二、三象限

k>0，b<0;<=>直線經過第一、三、四象限

K<0，b>0;<=>直線經過第一、二、四象限

K<0，b<0;<=>直線經過第二、三、四象限

(4)增減性： k>0，y隨x的增大而增大;k<0，y隨x增大而減小.

(5)傾斜度：|k|越大，圖象越接近於y軸;|k|越小，圖象越接近於x軸.

(6)圖像的平移：當b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位;

當b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位.

直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關系

(1)兩直線平行：k1=k2且b1≠b2

(2)兩直線相交：k1≠k2

(3)兩直線重合：k1=k2且b1=b2

確定一次函數解析式的方法

(1)根據已知條件寫出含有待定系數的函數解析式;

(2)將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數解析式中得到以待定系數為未知數的方程;

(3)解方程得出未知系數的值;

(4)將求出的待定系數代回所求的函數解析式中得出結果.

2. 一次函數的圖象怎麼畫

1、首先畫出橫縱坐標。

(2)線性函數的使用方法視頻擴展閱讀：

函數性質

1、y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k。即：y=kx+b（k≠0）（k不等於0，且k，b為常數）。

2、當x=0時，b為函數在y軸上的交點，坐標為（0，b）。當y=0時，該函數圖象在x軸上的交點坐標為（-b/k，0）。

3、k為一次函數y=kx+b的斜率，k=tanθ（角θ為一次函數圖象與x軸正方向夾角，θ≠90°）。

4、當b=0時，一次函數圖象變為正比例函數，正比例函數是特殊的一次函數。

5、函數圖象性質：當k相同，且b不相等，圖像平行；當k不同，且b相等，圖象相交於Y軸；當k互為負倒數時，兩直線垂直。

6、平移時：上加下減在末尾，左加右減在中間。

3. 一次函數定義

一次函數是函數中的一種，一般形如y=kx+b（k，b是常數，k≠0），其中x是自變數，y是因變數。特別地，當b=0時，y=kx（k為常數，k≠0），y叫做x的正比例函數（direct proportion function）。

「函數」一詞最初是由德國的數學家萊布尼茨在17世紀首先採用的，當時萊布尼茨用「函數」這一詞來表示變數x的冪，即x2，x3，….

接下來萊布尼茨又將「函數」這一詞用來表示曲線上的橫坐標、縱坐標、切線的長度、垂線的長度等等所有與曲線上的點有關的變數，就這樣「函數」這詞逐漸盛行。

(3)線性函數的使用方法視頻擴展閱讀：

函數性質：

1、y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k。

即：y=kx+b（k≠0）（k不等於0，且k，b為常數）。

2、當x=0時，b為函數在y軸上的交點，坐標為（0，b）。

當y=0時，該函數圖象在x軸上的交點坐標為（-b/k，0）。

3、k為一次函數y=kx+b的斜率，k=tanθ（角θ為一次函數圖象與x軸正方向夾角，θ≠90°）。

4、當b=0時（即y=kx），一次函數圖象變為正比例函數，正比例函數是特殊的一次函數。

5、函數圖象性質：當k相同，且b不相等，圖像平行；

當k不同，且b相等，圖象相交於Y軸；

當k互為負倒數時，兩直線垂直。

4. 初二數學函數指導

親，你這樣問題太廣泛了，在網上找的資料，其實可以多看看網上的學習視頻，很多老師講的不錯的
一次函數的性質
1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k
即：y=kx+b（k≠0) （k為任意不為零的實數 b取任何實數）
2.當x=0時，b為函數在y軸上的截距。
3.k為一次函數y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1為一次函數圖象與x軸正方向夾角)
形。取。象。交。減
一次函數的圖像及性質
1．作法與圖形：通過如下3個步驟
（1）列表[一般取兩個點,根據兩點確定一條直線]；
（2）描點；
（3）連線，可以作出一次函數的圖像——一條直線。因此，作一次函數的圖像只需知道2點，並連成直線即可。（通常找函數圖像與x軸和y軸的交點）
2．性質：（1）在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函數與y軸交點的坐標總是（0，b)，與x軸總是交於（-b/k，0）正比例函數的圖像總是過原點。
3．函數不是數，它是指某一變數過程中兩個變數之間的關系。
4．k，b與函數圖像所在象限：
y=kx時
當k＞0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；
當k＜0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。
y=kx+b時：
當 k>0,b>0, 這時此函數的圖象經過一，二，三象限。
當 k>0,b<0, 這時此函數的圖象經過一，三，四象限。
當 k<0,b<0, 這時此函數的圖象經過二，三，四象限。
當 k<0,b>0, 這時此函數的圖象經過一，二，四象限。
當b＞0時，直線必通過一、二象限；
當b＜0時，直線必通過三、四象限。
特別地，當b=0時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖像。
這時，當k＞0時，直線只通過一、三象限；當k＜0時，直線只通過二、四象限。
4、特殊位置關系
當平面直角坐標系中兩直線平行時，其函數解析式中K值（即一次項系數）相等
當平面直角坐標系中兩直線垂直時，其函數解析式中K值互為負倒數（即兩個K值的乘積為-1）
確定一次函數的表達式
已知點A（x1，y1）；B（x2，y2），請確定過點A、B的一次函數的表達式。
（1）設一次函數的表達式（也叫解析式）為y=kx+b。
（2）因為在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
（3）解這個二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最後得到一次函數的表達式。
一次函數在生活中的應用
1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。
2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。
常用公式（不全，希望有人補充）
1.求函數圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2
3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2
4.求任意線段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （註：根號下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和）
5.求兩一次函數式圖像交點坐標：解兩函數式
兩個一次函數 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 將解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 兩式任一式 得到y=y0 則(x0,y0)即為 y1=k1x+b1 與 y2=k2x+b2 交點坐標
6.求任意2點所連線段的中點坐標：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]
7.求任意2點的連線的一次函數解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母為0，則分子為0)
k b
+ + 在一、二、三象限
+ - 在一、三、四象限
- + 在一、二、四象限
- - 在二、三、四象限
8.若兩條直線y1=k1x+b1‖y2=k2x+b2，那麼k1=k2，b1≠b2
9.如兩條直線y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那麼k1×k2=-1
應用
一次函數y=kx+b的性質是：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大；（2）當k<0時，y隨x的增大而減小。利用一次函數的性質可解決下列問題。
一、確定字母系數的取值范圍
例1. 已知正比例函數 ，則當m=______________時，y隨x的增大而減小。
解：根據正比例函數的定義和性質，得 且m<0，即 且 ，所以 。
二、比較x值或y值的大小
例2. 已知點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函數y=3x+4的圖象上的兩個點，且y1>y2，則x1與x2的大小關系是（ ）
A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.無法確定
解：根據題意，知k=3>0，且y1>y2。根據一次函數的性質「當k>0時，y隨x的增大而增大」，得x1>x2。故選A。
三、判斷函數圖象的位置
例3. 一次函數y=kx+b滿足kb>0，且y隨x的增大而減小，則此函數的圖象不經過（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解：由kb>0，知k、b同號。因為y隨x的增大而減小，所以k<0。所以b<0。故一次函數y=kx+b的圖象經過第二、三、四象限，不經過第一象限。故選A . 典型例題:
例1. 一個彈簧，不掛物體時長12cm,掛上物體後會伸長，伸長的長度與所掛物體的質量成正比例.如果掛上3kg物體後，彈簧總長是13.5cm，求彈簧總長是y(cm)與所掛物體質量x(kg)之間的函數關系式.如果彈簧最大總長為23cm，求自變數x的取值范圍.
分析：此題由物理的定性問題轉化為數學的定量問題，同時也是實際問題，其核心是彈簧的總長是空載長度與負載後伸長的長度之和，而自變數的取值范圍則可由最大總長→最大伸長→最大質量及實際的思路來處理.
解：由題意設所求函數為y=kx+12
則13.5=3k+12，得k=0.5
∴所求函數解析式為y=0.5x+12
由23=0.5x+12得：x=22
∴自變數x的取值范圍是0≤x≤22
【考點指要】
一次函數的定義、圖象和性質在中考說明中是C級知識點，特別是根據問題中的條件求函數解析式和用待定系數法求函數解析式在中考說明中是D級知識點.它常與反比例函數、二次函數及方程、方程組、不等式綜合在一起，以選擇題、填空題、解答題等題型出現在中考題中，大約佔有8分左右.解決這類問題常用到分類討論、數形結合、方程和轉化等數學思想方法.
例2.如果一次函數y=kx+b中x的取值范圍是-2≤x≤6，相應的函數值的范圍是-11≤y≤9.求此函數的的解析式。
解：（1）若k＞0，則可以列方程組 -2k+b=-11
6k+b=9
解得k=2.5 b=-6 ，則此時的函數關系式為y=2.5x—6
（2）若k＜0，則可以列方程組 -2k+b=9
6k+b=-11
解得k=-2.5 b=4，則此時的函數解析式為y=-2.5x+4
【考點指要】
此題主要考察了學生對函數性質的理解，若k＞0，則y隨x的增大而增大；若k＜0，則y隨x的增大而減小。
一次函數解析式的幾種類型
①ax+by+c=0[一般式]
②y=kx+b[斜截式]
（k為直線斜率，b為直線縱截距，正比例函數b=0）
③y-y1=k(x-x1)[點斜式]
（k為直線斜率,(x1,y1)為該直線所過的一個點）
④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[兩點式]
（（x1,y1）與（x2,y2）為直線上的兩點）
⑤x/a-y/b=0[截距式]
（a、b分別為直線在x、y軸上的截距）
解析式表達局限性：
①所需條件較多（3個）；
②、③不能表達沒有斜率的直線（平行於x軸的直線）；
④參數較多，計算過於煩瑣；
⑤不能表達平行於坐標軸的直線和過圓點的直線。
傾斜角：x軸到直線的角（直線與x軸正方向所成的角）稱為直線的傾斜 角。設一直線的傾斜角為a，則該直線的斜率k=tg(a)
形如y=kx(k為常數，且k不等於0），y就叫做x的正比例函數.
正比例函數屬於一次函數，正比例函數是一次函數的特殊形式.
即當一次函數 y=kx+b 若b=0，則此為正比例函數.
圖像做法
1.列表
2.描點
3.連線(一定要經過坐標軸的原點)
其次，正比例函數的圖像是經過原點和（1，k）[或(2,2k),(3,3k)等]兩點的一條直線。
其他:當k>0時,它的圖像（除原點外）在第一、三象限，y隨x的增大而增大
當k<0時,它的圖像（除原點外）在第二、四象限，y隨x的增大而減小
總結:y＝kx(k不等於0)
而以方程的角度來說，只要將正比例函數上的一個點的坐標給出，就能確定這個解析式
若求正比例函數與一次函數，二次函數或反比例函數的交點坐標，就是將兩個已知的方程聯立成方程組
求出其x，y值便可
正比例函數在線性規劃問題中體現的力量也是無窮的
比如斜率問題就取決於K值，當K越大，則該函數圖像與x軸的夾角越大，反之亦然
還有，Y=Kx是Y=K/x 圖像的對稱軸.
1）正比例：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做成正比例關系． ①用字母表示：如果用字母x和y表示兩種相關聯的量，用k表示它們的比值，（一定）正比例關系可以用以下關系式表示：
②正比例關系兩種相關聯的量的變化規律：對於比值為正數的,即y=kx(k>0),此時的y與x,同時擴大，同時縮小，比值不變．例如：汽車每小時行駛的速度一定，所行的路程和所用的時間是否成正比例？
以上各種商都是一定的，那麼被除數和除數． 所表示的兩種相關聯的量，成正比例關系． 注意：在判斷兩種相關聯的量是否成正比例時應注意這兩種相關聯的量，雖然也是一種量，隨著另一種的變化而變化，但它們相對應的兩個數的比值不一定，它們就不能成正比例． 例如：一個人的年齡和它的體重，就不能成正比例關系，正方形的邊長和它的面積也不成正比例關系．
黃金分割點
把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等於另一部分與這部分之比。其比值是一個無理數，用分數表示為(√5-1)/2，取其前三位數字的近似值是0.618。由於按此比例設計的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。這個分割點就叫做黃金分割點。

5. 級數，線性方程，向量代數，多元函數導數，極限。積分，冪等等視頻

...
一般數學滴沒有視頻吧...?
多看書 多算算就好啊

6. 兩個正態分布相互獨立是兩個正態分布的線性函數也是正態分布什麼條件

兩個獨立正態分布的隨機變數的線性組合仍服從正態分布。

這是二維正態分布的邊緣分布(不需要獨立)的線性組合服從正態分布的特殊情況。

因為若X，Y服從相互獨立的正態分布，則(X，Y)服從二維正態分布(密度函數為fX(x)·fY(y))。

若沒有獨立或服從二維正態分布這樣的條件，則可以有下面這樣的反例：

設X服從標准正態分布，Y服從與之獨立的兩點分布：P(Y = 1) = 1/2, P(Y = -1) = 1/2。

則XY與|X|·Y都服從標准正態分布，但二者的和並不服從正態分布(取0的概率為1/2)。

(6)線性函數的使用方法視頻擴展閱讀：

兩個變數之間存在一次函數關系，就稱它們之間存在線性關系。正比例關系是線性關系中的特例，反比例關系不是線性關系。

更通俗一點講，如果把這兩個變數分別作為點的橫坐標與縱坐標，其圖象是平面上的一條直線，則這兩個變數之間的關系就是線性關系。

在高等數學里，線性函數是一個線性映射，是在兩個向量空間之間，維持向量加法與標量乘法的映射。

服從標准正態分布,通過查標准正態分布表就可以直接計算出原正態分布的概率值。故該變換被稱為標准化變換。（標准正態分布表：標准正態分布表中列出了標准正態曲線下從-∞到X（當前值）范圍內的面積比例。）

關於μ對稱，並在μ處取最大值，在正（負）無窮遠處取值為0，在μ±σ處有拐點，形狀呈現中間高兩邊低，正態分布的概率密度函數曲線呈鍾形。

7. 一次函數的解題技巧

1、正比例函數
一般地，形如y=kx(k是常數，k≠0)的函數叫做正比例函數，其中k叫做比例系數.
2、正比例函數圖象和性質
一般地，正比例函數y=kx（k為常數，k≠0）的圖象是一條經過原點和（1,k）的一條直線，我們稱它為直線y=kx.當k>0時，直線y=kx經過第一、三象限，從左向右上升，即隨著x的增大，y也增大；當k<0時，直線y=kx經過第二、四象限，從左向右下降，即隨著x的增大y反而減小.
3、正比例函數解析式的確定
確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數定義式y=kx(k≠0)中的常數k，其基本步驟是：
（1）設出含有待定系數的函數解析式y=kx(k≠0)；
（2）把已知條件（自變數與函數的對應值）代入解析式，得到關於系數k的一元一次方程；
（3）解方程，求出待定系數k；
（4）將求得的待定系數的值代回解析式.
4、一次函數
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常數，k≠0)，那麼y叫做x的一次函數.當b=0時，y=kx＋b即y=kx，所以說正比例函數是一種特殊的一次函數.
5、一次函數的圖象
（1）一次函數y=kx＋b(k≠0)的圖象是經過（0，b）和 兩點的一條直線，因此一次函數y=kx＋b的圖象也稱為直線y=kx＋b.
（2）一次函數y=kx＋b的圖象的畫法.
根據幾何知識：經過兩點能畫出一條直線，並且只能畫出一條直線，即兩點確定一條直線，所以畫一次函數的圖象時，只要先描出兩點，再連成直線即可.一般情況下：是先選取它與兩坐標軸的交點：（0，b）， .即橫坐標或縱坐標為0的點.
6、正比例函數與一次函數圖象之間的關系
一次函數y=kx＋b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個單位長度而得到（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）.
7、直線y=kx＋b的圖象和性質與k、b的關系如下表所示：
k>0,b>0 經過第一、二、三象限
k>0,b<0經過第一、三、四象限
k>0,b=0經過第一、三象限 k>0時，圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大
k<0 b>0經過第一、二、四象限
k<0,b<0經過第二、三、四象限
K,0,b=0經過第二、四象限
k<0 圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小
8、直線y1=kx＋b與y2=kx圖象的位置關系：
(1)當b>0時，將y2=kx圖象向x軸上方平移b個單位，就得到y1=kx＋b的圖象．
(2)當b<0時，將y2=kx圖象向x軸下方平移－b個單位，就得到了y1=kx＋b的圖象．
9、直線l1：y1=k1x＋b1與l2：y2=k2x＋b2的位置關系可由其解析式中的比例系數和常數來確定：
當k1≠k2時，l1與l2相交，交點是(0，b)．
10、直線y=kx＋b(k≠0)與坐標軸的交點．
(1)直線y=kx與x軸、y軸的交點都是(0，0)；
(2)直線y=kx＋b與x軸交點坐標為( ，0)與 y軸交點坐標為(0，b)．

8. 一次函數的

y關於自變數x的一次函數有如下關系： 1.y=kx+b （k為任意不為0的常數，b為任意常數） 當x取一個值時，y有且只有一個值與x對應。如果有2個及以上個值與x對應時，就不是一次函數。 x為自變數，y為函數值，k為常數，y是x的一次函數。 特別的，當b=0時，y是x的正比例函數。即：y=kx （k為常量，但K≠0）正比例函數圖像經過原點。 定義域（函數值）：自變數的取值范圍，自變數的取值應使函數有意義；要與實際相符合。 常用的表示方法：解析法、圖像法、列表法。
函數性質： 1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k.K為常數. 即：y=kx+b（k，b為常數，k≠0）， ∵當x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。 2.當x=0時，b為函數在y軸上的點,坐標為(0，b)。 3當b=0時(即 y=kx)，一次函數圖像變為正比例函數，正比例函數是特殊的一次函數。 4.在兩個一次函數表達式中： 當兩一次函數表達式中的k相同，b也相同時，兩一次函數圖像重合； 當兩一次函數表達式中的k相同，b不相同時，兩一次函數圖像平行； 當兩一次函數表達式中的k不相同，b不相同時，兩一次函數圖像相交； 當兩一次函數表達式中的k不相同，b相同時，兩一次函數圖像交於y軸上的同一點（0，b）。 若兩個變數x,y間的關系式可以表示成y=kx+b(k,b為常數，k不等於0）則稱y是x的一次函數
圖像性質
1．作法與圖形：通過如下3個步驟： （1）列表. （2）描點；[一般取兩個點,根據「兩點確定一條直線」的道理，也可叫「兩點法」。 一般的y=kx+b(k≠0）的圖象過（0，b）和（-b/k，0）兩點畫直線即可。 正比例函數y=kx(k≠0）的圖象是過坐標原點的一條直線，一般取（0,0）和（1，k）兩點。 （3）連線，可以作出一次函數的圖象——一條直線。因此，作一次函數的圖象只需知道2點，並連成直線即可。（通常找函數圖象與x軸和y軸的交點分別是-k分之b與0，0與b）. 2．性質：（1）在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函數與y軸交點的坐標總是（0，b)，與x軸總是交於（-b/k，0）正比例函數的圖像都是過原點。 3．函數不是數，它是指某一變化過程中兩個變數之間的關系。 4．k，b與函數圖像所在象限： y=kx時（即b等於0，y與x成正比例)： 當k>0時，直線必通過第一、三象限，y隨x的增大而增大； 當k<0時，直線必通過第二、四象限，y隨x的增大而減小。 y=kx+b時： 當 k>0,b>0, 這時此函數的圖象經過第一、二、三象限； 當 k>0,b<0, 這時此函數的圖象經過第一、三、四象限； 當 k<0,b>0, 這時此函數的圖象經過第一、二、四象限； 當 k<0,b<0, 這時此函數的圖象經過第二、三、四象限； 當b>0時，直線必通過第一、二象限； 當b<0時，直線必通過第三、四象限。 特別地，當b=0時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖像。 這時，當k>0時，直線只通過第一、三象限，不會通過第二、四象限。當k<0時，直線只通過第二、四象限，不會通過第一、三象限。 4、特殊位置關系： 當平面直角坐標系中兩直線平行時，其函數解析式中K值（即一次項系數）相等 當平面直角坐標系中兩直線垂直時，其函數解析式中K值互為負倒數（即兩個K值的乘積為-1） ） ③點斜式y-y1=k(x-x1)（k為直線斜率,(x1,y1)為該直線所過的一個點）④兩點式(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直線上（x1,y1）與（x2,y3）兩點） ⑤截距式（a、b分別為直線在x、y軸上的截距）⑥實用型 （由實際問題來做）
解析式表達局限性
①所需條件較多（2個點，因為使用待定系數法需要列一個二元一次方程組） ②、③不能表達沒有斜率的直線（即垂直於x軸的直線；注意「沒有斜率的直線平行於y軸」表述不準，因為x=0與y軸重合） ④參數較多，計算過於煩瑣； ⑤不能表達平行於坐標軸的直線和過原點的直線。
傾斜角的概念
x軸到直線的角（直線與x軸正方向所成的角）稱為直線的傾斜角。設一直線的傾斜角為α，則該直線的斜率k=tanα。傾斜角的范圍為[0, π)。
1.(1)以二元一次方程組ax+by=c的解為坐標的點組成的圖像與一次函數 y=-a/bx+c/b的圖像相同. (2)二元一次方程組{a1x+b1y=c1, a2x+b2y=c2的解可以看作是兩個一次函數 y=-a1/b1x+c1/d1和y=-a2/b2x+c2/d2的圖像的交點. 方法小結: 把方程組中的兩個二元一次方程改寫成一次函數的形式,然後作出它們的圖像,找出兩圖像的交點,即可知方程組的解.
一、區別和聯系
區別：二元一次方程有兩個未知數，而一次函數只是說未知數的次數為一次，並未限定幾個變數，因此二元一次方程只是一次函數中的一種。 聯系：（1）在平面直角坐標系中分別描繪出以二元一次方程的解為坐標的點，這些點都在相應的一次函數的圖象上。如方程2x+y=5有無數組解，像x=1，y=3；x=2，y=1；…以這些解為坐標的點(1,3)(2,1）…都在一次函數y=－2x+5的圖象上. （2）在一次函數圖象上任取一點，它的坐標都適合相應的二元一次方程.如在一次函數y=－x+2的圖象上任取一點（－3，3），則x=-3，y=3一定是二元一次方程x+y=2的一組解. 所以，以二元一次方程的解為坐標的所有點組成的圖象與相應的一次函數的圖象是相同的。
二、兩個本函數圖象交點與方程組解的聯系
在同一平面直角坐標系中，兩個一次函數圖象的交點坐標就是相應的二元一次方程組的解。反過來，以二元一次方程組的解為坐標的點，一定是相應的兩個一次函數的圖象的交點。
三、方程組無解時相應函數圖象的關系
當二元一次方程組無解時，相應的兩個一次函數在平面直角坐標系中的圖象就沒有交點，即兩個一次函數圖象平行。反過來，當兩個一次函數圖象平行時，相應的二元一次方程組就無解。如二元一次方程組3x-y=5，3x-y=-1無解，則一次函數y=3x－5與y=3x+1的圖象平行，反之也成立。
四、用作圖的方法解二元一次方程組
用作圖的方法解二元一次方程組，一般有下列幾個步驟：（1）將相應的二元一次方程改寫成一次函數的解析式；（2）在同一平面直角坐標系內作出這兩個一次函數的圖象；（3）找出圖象的交點坐標，即得二元一次方程組的解。
五、用二元一次方程組確定本函數解析式
在實際應用中，常常利用待定系數法構造二元一次方程組，從而確定一次函數的解析式。 例：某航空公司規定，乘客可以免費攜帶一定質量的行李，但超過該質量則需購買行李票，且行李費y（元）是行李質量x（kg）的一次函數。現知王芳帶了30 kg的行李，買了50元行李票。李剛帶了40 kg的行李，買了100元行李票。那麼，乘客最多可免費攜帶多少千克的行李？ 解答：依題意，可設一次函數的解析式為y=kx+b。則可得二元一次方程組50=30k+b，100=40k+b。解得k=5，b=-100，即一次函數的解析式是y=5x－100。當x=20時，y=0。所以乘客最多可免費攜帶20 kg的行李。
編輯本段常用公式
1.求函數圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2) 2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2 3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2 4.求任意線段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （註：根號下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和） 5.求兩個一次函數式圖像交點坐標：解兩函數式 兩個一次函數 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 將解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 兩式任一式 得到y=y0 則(x0,y0)即為 y1=k1x+b1 與 y2=k2x+b2 交點坐標 6.求任意2點所連線段的中點坐標：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2] 7.求任意2點的連線的一次函數解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母為0，則分子為0) x y +， +（正，正）在第一象限 - ，+ （負，正）在第二象限 - ，- （負，負）在第三象限 + ，- （正，負）在第四象限 8.若兩條直線y1=k1x+b1∥y2=k2x+b2，那麼k1=k2，b1≠b2 9.如兩條直線y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那麼k1×k2=-1 10. y=k（x-n）+b就是向右平移n個單位 y=k（x+n）+b就是向左平移n個單位一次函數的平移
口訣：右減左加（對於y=kx+b來說，只改變b） y=kx+b+n就是向上平移n個單位 y=kx+b-n就是向下平移n個單位 口訣：上加下減（對於y=kx+b來說，只改變b）相關應用 11.直線y=kx+b與x軸的交點：(-b/k，0) 與y軸的交點：(0，b)
生活中的應用
1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。 2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。 3.當彈簧原長度b（未掛重物時的長度）一定時，彈簧掛重物後的長度y是重物重量x的一次函數，即y=kx+b（k為任意正數）
數學問題
一、確定字母系數的取值范圍 例1 已知正比例函數 ，則當k<0時，y隨x的增大而減小。 解：根據正比例函數的定義和性質，得 且m<0，即 且 ，所以 。 二、比較x值或y值的大小 例2. 已知點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函數y=3x+4的圖象上的兩個點，且y1>y2，則x1與x2的大小關系是（ ） A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.無法確定 解：根據題意，知k=3>0，且y1>y2。根據一次函數的性質「當k>0時，y隨x的增大而增大」，得x1>x2。故選A。 三、判斷函數圖象的位置 例3. 一次函數y=kx+b滿足kb>0，且y隨x的增大而減小，則此函數的圖象不經過（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解：由kb>0，知k、b同號。因為y隨x的增大而減小，所以k<0。所以b<0。故一次函數y=kx+b的圖象經過第二、三、四象限，不經過第一象限。故選A .
典型例題
例1. 一個彈簧，不掛物體時長12cm,掛上物體後會伸長，伸長的長度與所掛物體的質量成正比例.如果掛上3kg物體後，彈簧總長是13.5cm，求彈簧總長是y(cm)與所掛物體質量x(kg)之間的函數關系式.如果彈簧最大總長為23cm，求自變數x的取值范圍. 分析：此題由物理的定性問題轉化為數學的定量問題，同時也是實際問題，其核心是彈簧的總長是空載長度與負載後伸長的長度之和，而自變數的取值范圍則可由最大總長→最大伸長→最大質量及實際的思路來處理. 解：由題意設所求函數為y=kx+12 則13.5=3k+12，得k=0.5 ∴所求函數解析式為y=0.5x+12 由23=0.5x+12得：x=2.2 ∴自變數x的取值范圍是0≤x≤2.2 例2 某學校需刻錄一些電腦光碟，若到電腦公司刻錄，每張需8元，若學校自刻，除租用刻錄機120元外，每張還需成本4元，問這些光碟是到電腦公司刻錄，還是學校自己刻費用較省？ 此題要考慮X的范圍 解:設總費用為Y元，刻錄X張 電腦公司：Y1=8X 學校 ：Y2=4X+120 當X=30時，Y1=Y2 當X>30時，Y1>Y2 當X<30時，Y1<Y2例1. （1）y與x成正比例函數，當 時，y=5.求這個正比例函數的解析式. （2）已知一次函數的圖象經過A（－1，2）和B（3，－5）兩點，求此一次函數的解析式. 解：（1）設所求正比例函數的解析式為 把 ，y=5代入上式 得 ，解之，得 ∴所求正比例函數的解析式為 （2）設所求一次函數的解析式為 ∵此圖象經過A（－1，2）、B（3，－5）兩點，此兩點的坐標必滿足 ，將 、y=2和x=3、 分別代入上式，得 解得 ∴此一次函數的解析式為 點評：（1） 不能化成帶分數.（2）所設定的解析式中有幾個待定系數，就需根據已知條件列幾個方程. 例2. 拖拉機開始工作時，油箱中有油20升，如果每小時耗油5升，求油箱中的剩餘油量Q（升）與工作時間t（時）之間的函數關系式，指出自變數x的取值范圍，並且畫出圖象. 分析：拖拉機一小時耗油5升，t小時耗油5t升，以20升減去5t升就是餘下的油量. 解： 圖象如下圖所示 點評：注意函數自變數的取值范圍.該圖象要根據自變數的取值范圍而定，它是一條線段，而不是一條直線. 例3. 已知一次函數的圖象經過點P（－2，0），且與兩坐標軸截得的三角形面積為3，求此一次函數的解析式. 分析：從圖中可以看出，過點P作一次函數的圖象，和y軸的交點可能在y軸正半軸上，也可能在y軸負半軸上，因此應分兩種情況進行研究，這就是分類討論的數學思想方法. 解：設所求一次函數解析式為 ∵點P的坐標為（－2，0） ∴|OP|=2 設函數圖象與y軸交於點B（0，m） 根據題意，SΔPOB=3 ∴|m|=3 ∴一次函數的圖象與y軸交於B1（0，3）或B2（0，－3） 將P（－2，0）及B1（0，3）或P（－2，0）及B2（0，－3）的坐標代入y=kx+b中，得 解得 ∴所求一次函數的解析式為 點評：（1）本題用到分類討論的數學思想方法.涉及過定點作直線和兩條坐標軸相交的問題，一定要考慮到方向，是向哪個方向作.可結合圖形直觀地進行思考，防止丟掉一條直線.（2）涉及面積問題，選擇直角三角形兩條直角邊乘積的一半，結果一定要得正值. 【考點指要】 一次函數的定義、圖象和性質在中考說明中是C級知識點，特別是根據問題中的條件求函數解析式和用待定系數法求函數解析式在中考說明中是D級知識點.它常與反比例函數、二次函數及方程、方程組、不等式綜合在一起，以選擇題、填空題、解答題等題型出現在中考題中，大約佔有8分左右.解決這類問題常用到分類討論、數形結合、方程和轉化等數學思想方法.

9. 初中數學一次函數的特點

四次課解決一次函數問題（mp4視頻）

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