截斷誤差和舍入誤差的計算方法

『壹』 誤差分析的重要性

在數值分析中，一般不討論「模型誤差」和「觀測誤差」。數值分析只研究用數學方法求解數學模型產生的誤差，主要包括演算法的截斷誤差和舍入誤差。

當數學模型不能得到精確解時，通常要用數值方法求它的近似解，其近似解與精確解之間的誤差稱為截斷誤差或方法誤差。如果用泰勒多項式P_n（x）近似代替函數f（x），即

地球物理數據處理基礎

則數值方法的截斷誤差是

地球物理數據處理基礎

可見截斷誤差與演算法的收斂性有關。如用泰勒多項式P_n（x）代替函數f（x），計算時要確定n。若n越大誤差越小，則演算法是收斂的；反之，若隨著n的增大，截斷誤差隨之增大，則稱演算法是發散的。

在用計算機進行數值計算時，由於計算機內存的字長有限，原始數據在計算機內部的儲存會產生誤差，計算過程又可能產生新的誤差，這種誤差稱為舍入誤差。例如，用3.14159近似代替π，產生的誤差R＝π－3.14159＝0.0000026…，R就是舍入誤差。在大型計算中運算次數太多，舍入誤差一般很難估計，為此引入演算法穩定性的概念。我們把運算過程舍入誤差不增長的計算公式稱為數值穩定的。這樣，對於數值穩定的計算過程，可以不去估計具體的舍入誤差，只是分析計算過程的數值穩定性，因而對運算過程中的誤差積累問題進行定性分析是有重要意義的。

由此可見，在數值分析中除了研究數學問題的演算法外，還要研究計算結果的誤差是否滿足精度要求，這就是誤差估計問題。

下面舉例說明誤差分析的重要性。

［例］計算積分In＝e^－1∫¹₀xⁿe^xdx，n＝0，1，…，並估計誤差。

解：由分部積分法可得計算I_n的遞推公式：

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（1）演算法A（順序遞推法）

首先算出I0＝e^－1∫¹₀e^xdx＝1－e^－1，即要算出e^－1，可用泰勒多項式展開，取n＝7以前各項的和，並且精確到4位小數，計算得到e^－1≈0.3679。

截斷誤差 計算過程中小數點後的第5位數字按四捨五入原則取捨，由此產生的舍入誤差不作討論。當取初值為 時，遞推公式為

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計算結果如表2－1的 列，即

表2－1 兩種演算法計算結果

利用積分估計可知 而表2－1中 出現負值，顯然是不正確的。這里計算公式與每步計算都是正確的，那麼什麼原因使計算結果錯誤呢？主要是初值 有誤差 由此引起以後各步計算的誤差為

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容易推出

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這說明 有誤差e₀，則 就有e₀的n！倍誤差。例如n＝8，若 則｜e₈｜＝8！×｜e₀｜>2，這就說明 完全不能近似I₈了。

（2）演算法B（逆序遞推法）

現在換一種計算方案，取n＝9，得

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我們粗略取 然後得倒序遞推公式

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計算結果見表2－1的 列。我們發現 與I₀的誤差不超過10^－4。由於 比 縮小了n！倍。因此，盡管 較大，但由於誤差逐步縮小，故可用 近似I_n，此例說明我們應重視計算過程中的誤差分析。

『貳』 誤差的計算公式誰有啊

標稱誤差=（最大的絕對誤差）/量程 x 100%

絕對誤差 = | 示值 - 標准值 | （即測量值與真實值之差的絕對值）

相對誤差 = | 示值 - 標准值 |/真實值 （即絕對誤差所佔真實值的百分比）

(2)截斷誤差和舍入誤差的計算方法擴展閱讀

系統誤差：就是由量具，工具，夾具等所引起的誤差。

偶然誤差：就是由操作者的操作所引起的（或外界因素所引起的）偶然發生的誤差。測量值與真值之差異稱為誤差，物理實驗離不開對物理量的測量，測量有直接的，也有間接的。由於儀器、實驗條件、環境等因素的限制，測量不可能無限精確，物理量的測量值與客觀存在的真實值之間總會存在著一定的差異，這種差異就是測量誤差。誤差與錯誤不同，錯誤是應該而且可以避免的，而誤差是不可能絕對避免的。

誤差，物理實驗離不開對物理量的測量，測量有直接誤差的，也有間接的。由於儀器、實驗條件、環境等因素的限制，測量不可能無限精確，物理量的測量值與客觀存在的真實值之間總會存在著一定的差異，這種差異就是測量誤差。

設被測量的真值（真正的大小）為a，測得值為x，誤差為ε，則：x－a=ε

誤差分類

在數值計算中，為解決求方程近似值的問題，通常對實際問題中遇到的誤差進行下列幾類的區分：

模型誤差

在建立數學模型過程中，要將復雜的現象抽象歸結為數學模型，往往要忽略一些次要因素的影響，對問題作一些簡化。因此數學模型和實際問題有一定的誤差，這種誤差稱為模型誤差。

測量誤差

在建模和具體運算過程中所用的數據往往是通過觀察和測量得到的，由於精度的限制，這些數據一般是近似的，即有誤差，這種誤差稱為測量誤差。

截斷誤差

由於實際運算只能完成有限項或有限步運算，因此要將有些需用極限或無窮過程進行的運算有限化，對無窮過程進行截斷，這樣產生的誤差成為截斷誤差。

舍入誤差

在數值計算過程中，由於計算工具的限制，我們往往對一些數進行四捨五入，只保留前幾位數作為該數的近似值，這種由舍入產生的誤差成為舍入誤差。

抽樣誤差

抽樣誤差：是指樣本指標和總體指標之間數量上的差別，例如抽樣平均數與總體平均數之差 、抽樣成數與總體成數之差（p-P）等。抽樣調查中的誤差有兩個來源，分別為：

（1）登記性誤差，即在調查過程中，由於主客觀原因而引起的誤差。

（2）代表性誤差，即樣本各單位的結構情況不足以代表總體特徵而引起的誤差。

『叄』 截斷誤差與舍入誤差的區別

截斷誤差指數學模型與數值方法之間的誤差.實際問題的數學模型往往很復雜,通常要用數值方法來求它的近似解,模型的准確解與由數值方法得出的准確解之差稱為截斷誤差。由於實際運算只能完成有限項或有限步運算，因此要將有些需用極限或無窮過程進行的運算有限化，對無窮過程進行截斷，這樣產生的誤差成為截斷誤差。
舍入誤差，計算機數字位數是有限的不可能得到與精確解毫不相差的結果這種由於計算機有限位數帶來的誤差稱為「舍入誤差」.由於計算機的字長有限，進行數值計算的過程中，對計算得到的中間結果數據要使用「四捨五入」或其他規則取近似值，因而使計算過程有誤差。這種誤差稱為舍入誤差。

舍入誤差是為了計算的方便人為造成的，而截斷誤差是由於計算方法和手段形成的不可避免的誤差。

『肆』 在數值計算方法中,誤差是如何分類的

1.1 概述

1. 定義數值計算目標: 尋找一個能迅速完成的（迭代演算法）演算法，同時估計計算結果的准確度。

1.2 誤差分析基礎

1. 誤差來源：截斷誤差、舍入誤差、數學建模時的近似、測量誤差（數據誤差）

2. 誤差的分類：

絕對誤差e(\hat{x}) = \hat{x} - x ；誤差限

相對誤差 e_r(\hat{x}) = \frac{\hat{x} - x}{x} 或者 e_r(\hat{x}) = \frac{\hat{x} - x}{\hat{x}} ；相對誤差限

3. 定義有效數字：從左到右第一位非零數字開始的所有數字

定理：設x與其近似值\hat{x} 的第一位有效數字相同，均為d_0 ，若\hat{x} 有p位正確的有效數字，則其相對誤差滿足：

|e_r(\hat{x})| \leq \frac{1}{d_0} \times 10^{-p + 1}

定理：設對x保留p位有效數字後得到近似值 \hat{x} ，則相對誤差滿足：

|e_r(\hat{x})| = \frac{1}{2d_0} \times 10^{-p+1}

定理：設x的第一位有效數字為 d_0 ，若近似值\hat{x} 的相對誤差滿足 |e_r(\hat{x})| \leq \frac{1}{2(d_0 + 1)} \times 10^{-p + 1} 則\hat{x} 具有p位正確的有效數字，或者在保留p位有效數字後 \hat{x} = x

定理：若x的近似值在 \hat{x} 相對誤差滿足 |e_r(\hat{x})| \leq \frac{1}{2} \times 10^{-p} ，則 \hat{x} 至少有p位正確的有效數字，或者在保留p位有效數字後 \hat{x} = x

應用：可以不嚴謹的說如果相對誤差不超過 10^{-p} 怎有p位正確的有效數字

4. 區分：精度（precision）：有效數字的位數有關

准確度（accuracy）：與准確的有效數字的位數有關

5. 數據傳遞誤差與計算誤差：考慮 f(x), f(\hat{x}), \hat{f}(\hat{x})

計算誤差：計算過程中的近似引起的誤差，例 \hat{f}(\hat{x}) - f(\hat{x})

數據傳遞誤差：單純由輸入數據誤差引起的計算結果的誤差，例 f

『伍』 什麼是舍入誤差

舍入誤差（英語：round-off error)，是指運算得到的近似值和精確值之間的差異。比如當用有限位數的浮點數來表示實數的時候(理論上存在無限位數的浮點數)就會產生舍入誤差。舍入誤差是量化誤差的一種形式。 如果在一系列運算中的一步或者幾步產生了舍入誤差，在某些情況下，誤差會隨著運算次數增加而積累得很大，最終得出沒有意義的運算結果。[1]
中文名
舍入誤差
外文名
round-off error
定義
得到的近似值和精確值間的差異
表示
是量化誤差的一種形式
相關術語
截斷誤差

『陸』 計算方法

計算方法又稱數值分析。是為各種數學問題的數值解答研究提供最有效的演算法，計算方法主要內容包括函數逼近論、數值微分、數值積分、誤差分析等，常用方法有迭代法、差分法、插值法、有限元素法等，現代計算方法要求適應電子計算機的特點。

誤差與原則誤差種類模型誤差、觀測誤差、截斷誤差和舍入誤差，法則加減運算近似數加減時，把其中小數位數較多的數四捨五入，使其比小數位數最少的數多一位小數，計算保留的小數位數與原近似數最小數位數最少者相同。

乘除運算近似數乘除時，各因子保留位數應比小數位數最少的數多一位小數，計算保留的小數位數與原近似數最小數位數最少者位數至多少一位，乘方與開方運算近似數乘方與開方時，計算保留的小數位數與原近似數位數相同，對數運算近似數對數時，計算保留的小數位數與原近似數位數相同，注意避免兩個相近的數相減，避免除數絕對值遠遠小於被除數絕對值的除法，避免大數吃掉小數，計算講效率，盡可能減少運算。

計算方法的特點

插值方法Lagrange插值線性插值、拋物線插值，Newton插值，分段插值，Hermite插值，分段三次Hermite插值，三次樣條插值，最小二乘法直線擬合與多項式擬合，數值積分機械求積法梯形公式、中矩形公式、Simpson公式，Newton-Cotes求積法，復化求積法復化梯形公式、復化Simpson公式、復化Cotes公式，Romberg求積法，Guass求積法，數值微分求積法。

常微分方程的數值解法尤拉方法尤拉法、隱式尤拉法、二步尤拉法，改進尤拉方法，龍格-庫塔方法，線性多步法亞當姆斯方法， 方程求根的數值解法二分法，迭代法，埃特金法，牛頓法牛頓下山法，近似牛頓法簡化牛頓法、弦截法拋物線法，線性方程組的解法高斯消去法順序消去法、列主元消去法、全主元消去法，矩陣三角分解法，追趕法平方根法，范數，簡單迭代法Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法。

『柒』 截斷的誤差是多少

截斷的誤差是在0與x之間。

由實際問題建立起來的數學模型，在很多情況下要得到准確解是困難的，通常要用數值方法求它的近似解，例如常把無限的計算過程用有限的計算過程代替，這種模型的准確解和由數值方法求出的近似解之間的誤差稱為截斷誤差。因為截斷誤差是數值計算方法固有的，因此又稱方法誤差。

誤差來源：

一個物理量的真實值和我們算出的值往往不相等，其差稱為誤差。引起誤差的原因是多方面的。

(1)從實際問題轉化為數學問題，即建立數學模型時，對被描述的實際問題進行了抽象和簡化，忽略了一些次要因素，這樣建立的數學模型雖然具有「精確」、「完美」的外衣，其實只是客觀現象的一種近似。這種數學模型與實際問題之間出現的誤差稱為模型誤差。

(2)在給出的數學模型中往往涉及一些根據觀測得到的物理量，如電壓、電流、溫度、長度等，而觀測難免不帶誤差，這種誤差稱為觀測誤差。

(3)在計算中常常遇到只有通過無限過程才能得到的結果，但實際計算時，只能用有限過程來計算。如無窮級數求和，只能取前面有限項求和來近似代替，於是產生了有限過程代替無限過程的誤差，稱為截斷誤差，這是計算方法本身出現的誤差，所以也稱方法誤差。

(4)在計算中遇到的數據可能位數很多，也可能是無窮小數，但計算時只能對有限位數進行運算，因而往往進行四捨五入，這樣產生的誤差稱為舍入誤差。

『捌』 計算方法主要研究什麼誤差和什麼誤差

計算方法主要研究截斷誤差和舍入誤差。

一、計算方法的主要內容：

本書比較全面地介紹了現代科學與工程計算中常用的數值計算方法。全書共分11章，主要內容有：引論、計算方法的數學基礎、MATLAB編程基礎、方程求根、解線性方程組的直接法、解線性方程組的迭代法、函數插值、數值積分與數值微分、常微分方程初值問題的數值解法、矩陣特徵值計算、函數優化計算。

本書知識體系完整，既簡要回顧了與計算方法有關的數學基礎知識，又介紹了現代計算軟體MATLAB，書中每個演算法都配有結構化流程圖，幾乎所有演算法都給出了MATLAB語言代碼和MATLAB函數，部分演算法給出了C語言代碼，書後附有上機實驗題目 。