雷達曲線的計算方法

1. ROC曲線——相關文獻實例、原理和繪制方法

數據分析最讓人著迷的一種用途是可以基於現有數據創建能夠區分不同類型情景的機器學習預測模型。通過定義明確的模型，可以確定能夠預測結果的最重要影響因素，為戰略假設開發有價值的洞察力，甚至可以通過友好的用戶界面將模型的邏輯實現到軟體應用程序中。

首先，我們需要評估構建好的預測模型是否具有良好准確的預測能力！比如，如果我們的電子郵件程序的垃圾郵件分類器只能檢測到50％的不需要的電子郵件或請求，我們都會非常憤怒。本文將討論如何使用經典工具來評估預測模型：接收器操作特性（ROC）曲線。

本文主要分為三個部分整理ROC曲線相關內容，可根據自己的需要進行挑選：

1、使用ROC曲線分析的相關文獻實例

2、ROC曲線的原理和歷史

3、如何繪制ROC曲線

從一篇SCI出發： Improvement of Insulin Sensitivity after Lean Donor Feces in Metabolic Syndrome Is Driven by Baseline Intestinal Microbiota Composition

這是阿姆斯特丹大學學術醫學中心在2017年發表在cell子刊上的文獻，其中一個highlight提到：Response to lean donor FMT is driven by baseline fecal microbiota composition，使用了ROC曲線來評估預測模型的好壞。

為了比較異體FMT中菌群與效果之間的關系，首先按照FMT前後Rd值的變化將患者分為responders組和non-responders組，並比較了兩組的菌群差異，從菌群多樣性變化來看，基於Shannon指數發現，兩組的多樣性均沒有發生顯著改變，然而，兩組基線時的菌群多樣性卻又顯著差異（圖5A），具體表現為non-responders的基線菌群多樣性顯著高於responders。隨後，作者使用了彈性網路演算法elastic net algorithm ( Zou and Hastie, 2005 )區分responders和non-responders，為了避免過度擬合，在數據的訓練分區(80%)上使用了十折交叉驗證，剩下的20%樣品用作測試數據集。要選擇的參數是 L1，L2范數和正則化閾值之間的比率。穩定性選擇採用80% 的隨機二次抽樣方法進行，共100次。在穩定性選擇過程中，計算所有權重系數為非零的特徵。這些計數被歸一化並轉換為穩定系數，對於總是被選擇的特徵值在1.0之間，對於從未被選擇的特徵值在0.0之間。通過隨機試驗評價彈性網路演算法所得結果的統計有效性。按照程序將結果變數(例如，同種異體相對於自體或應答者相對於無應答者)隨機重組，同時保留相應的微生物譜。重復100次，每次計算受試者-工作特徵-曲線下面積(ROC AUC)評分。用於二進制分類任務的性能度量是 ROC AUC。ROC 可以理解為一個正確分類同種異體受試者與自體受試者或有效者與無效者的概率圖。數據集中的交叉驗證是通過隨機隱藏模型中20% 的受試者並評估該組的預測質量來完成的。ROC AUC 評分用0.5 AUC 來衡量分類模型的預測准確性，對應於一個隨機結果。定義了一個臨界值0.05，並將原始數據集的真實 AUC 與此值進行了比較。

作者通過ROC曲線評估了基線菌群組成預測6周代謝反應的模型，顯示AUC=0.88，模型良好。

從這篇文獻了解到ROC曲線可用於評估某個尋找biomarkers的預測模型的好壞。

再從一篇SCI了解： Alterations in the gut microbiome and metabolism with coronary artery disease severity

這是一篇本課題組與北京協和醫學院合作在2019年發表的文章，關注了不同冠狀動脈疾病Coronary artery disease (CAD)類型患者的腸道菌群區分差異。其中，作者通過ROC曲線評估了區分不同CAD亞型（穩定型冠狀動脈疾病(SCAD) ，不穩定型心絞痛(UA)和心肌梗死(MI)）的特徵共變化菌群和代謝物隨機森林模型，得到比較良好的預測結果。

Subgroup identification and prediction based on CAGs and CAD-associated metabotypes

為了確定腸道菌群中的 CAGs 和代謝產物模塊是否可以作為鑒別冠心病不同階段與正常冠狀動脈的生物標志物，根據24個 CAGs 和72個血清代謝類型構建了隨機森林模型對冠心病不同階段進行分類，並利用 ROC曲線(ROC)曲線對分類進行了檢驗(詳情見「材料和方法」一節)。總共構建了5個預測模型（Control vs. CAD, Control vs. SCAD, SCAD vs. UA, SCAD vs. ACS和UA vs. MI）。

隨後，作者再通過招募新隊列使用該模型進行分類預測，進一步論證該疾病亞型識別模型的潛在分類能力。

小結：從這兩篇文獻來看，作者均通過某個分類法機器學習預測模型尋找biomarkers，然後使用ROC曲線對模型進行評估。因此，我們可以初步得知，ROC曲線是用於檢驗構建的預測模型好壞的一種衡量方法。那麼除了這種用途，ROC曲線還能做什麼呢？

為了進一步了解並應用ROC曲線，我們需要首先了解ROC曲線的原理和過往↓

關於ROC曲線相關介紹的文章非常多，這里我摘抄出個人認為比較詳細，可用性強的文章，加以理解。

一、評估預測模型的方法

首先，我們應該了解到預測模型的類型可以分為回歸模型和分類模型（分類模型又有兩類演算法：分類輸出型和概率輸出型，這里就不一一贅述），而不同模型的評估度量也是不同的， 如何評估模型好壞 ， 機器學習（二十四）——常見模型評估方法 ， 分類模型的評估方法簡介 首先需要了解自己構建的預測模型類型來決定評估方法，並不局限於使用ROC曲線進行評估。

ROC曲線原理：

關於ROC曲線的概念和意義可參考： ROC曲線的概念和意義

英文比較好的話也可以看看這篇： ROC curves – what are they and how are they used?

為了更直觀的理解ROC，也可以看看這個視頻： ROC and AUC, Clearly Explained!

受試者工作特徵曲線（receiver operator characteristic curve, ROC曲線），最初用於評價雷達性能，又稱為接收者操作特性曲線。ROC曲線其實就是從混淆矩陣衍生出來的圖形，以真陽性率（靈敏度，Sensitivity）為縱坐標，假陽性率（1-特異度，1-Specificity）為橫坐標繪制的曲線。

其自變數（檢驗項目）一般為連續性變數（如蛋白質因子、菌株、代謝物等的檢測豐度或含量），因變數（金標准，如某疾病亞型分類、治療響應和無響應、患病和未患病）一般為二分類變數。

ROC曲線圖形：隨著閾值的減小，更多的值歸於正類，敏感度和1-特異度也相應增加，所以ROC曲線呈遞增趨勢。那條45度對角線是一條參照線，也就是說ROC曲線要與這條曲線比較。簡單的說，如果我們不用模型，直接隨機把客戶分類，我們得到的曲線就是那條參照線，然而我們使用了模型進行預測，就應該比隨機的要好，所以ROC曲線要盡量遠離參照線，越遠，我們的模型預測效果越好。

ROC曲線就是用來判斷診斷的正確性，最理想的就是曲線下的面積為1，比較理想的狀態就是曲線下的面積在0.8-0.9之間，0.5的話對實驗結果沒有什麼影響。

提到ROC曲線，就離不開AUC(ROC曲線下面積)，其判定方法為AUC應該大於0.5。ROC曲線是根據與對角線進行比較來判斷模型的好壞，但這只是一種直覺上的定性分析，如果我們需要精確一些，就要用到AUC，也就是ROC曲線下面積（AUC）。

從AUC判斷分類器（預測模型）優劣的標准：

AUC = 1，是完美分類器，採用這個預測模型時，存在至少一個閾值能得出完美預測。絕大多數預測的場合，不存在完美分類器。

0.5 < AUC < 1，優於隨機猜測。這個分類器（模型）妥善設定閾值的話，能有預測價值。

AUC = 0.5，跟隨機猜測一樣（例：丟銅板），模型沒有預測價值。

AUC < 0.5，比隨機猜測還差；但只要總是反預測而行，就優於隨機猜測。

看上圖，參考線的面積是0.5，ROC曲線與它偏離越大，ROC曲線就越往左上方靠攏，它下面的面積(AUC)也就越大，這裡面積是0.869。我們可以根據AUC的值與0.5相比，來評估一個分類模型的預測效果。

二、ROC曲線的歷史和關鍵值

這里推薦閱讀這篇： 機器學習基礎（1）- ROC曲線理解 。這里從最初雷達兵使用ROC曲線評估的故事說起，言簡意賅。

ROC曲線最初的研究是為了確定美國雷達「接收機操作員」是如何漏掉日本飛機的。在模型預測判斷中，會出現真陽、假陽、真陰和假陰的三種情況，而不同雷達兵都可能有自己的一套評判標准，對每個接收的信號是大鳥還是轟炸機，每個雷達兵會給出自己的判斷結果，這樣每個雷達兵就都能計算出一個ROC曲線上的關鍵點（一組FPR,TPR值），把大家的點連起來，也就是最早的ROC曲線了。

ROC曲線需要了解幾個關鍵值：

敏感性： 正確識別真陽性的比例。在這種情況下，健康患者的比例由診斷工具正確識別。這有時被稱為「召回」。

SN =真陽性/（真陽性+假陰性）

逆（1靈敏度）=  假負率 。未被該工具檢測到的健康患者被錯誤地識別為患有CAD。假陰性也稱為II型錯誤。

特異性： 正確識別真陰性的比例。在這種情況下，通過診斷工具正確識別CAD患者的比例。

SP =真陰性/（真陰性+誤報）

逆（1-特異性）=  假陽性率 。CAD患者被錯誤地識別為無CAD。誤報也稱為I型錯誤。

積極預測價值： 該工具報告的陽性比例，實際上是積極的。對於診斷工具報告缺乏CAD的患者組，PPV是實際上沒有患病的患者的比例。這有時被稱為「精確度」。

PPV =真陽性/（真陽性+誤報）

負面預測值： 該工具報告的負面影響的比例，實際上是負面的。對於診斷工具報告存在CAD的患者組，NPV是實際上沒有CAD的患者的比例。

NPV =真陰性/（真陰性+假陰性）

這里可以藉助混淆矩陣加以理解：

TP(True Positive): 真實為0，預測也為0

FN(False Negative): 真實為0，預測為1

FP(False Positive): 真實為1，預測為0

TN(True Negative): 真實為0，預測也為0

三、ROC曲線的主要作用

1、ROC曲線能很容易地查出任意界限值時的對疾病的識別能力。

2、選擇最佳的診斷界限值。

3、兩種或兩種以上不同診斷試驗對疾病識別能力的比較。在對同一種疾病的兩種或兩種以上診斷方法進行比較時，可將各試驗的ROC曲線繪制到同一坐標中，以直觀地鑒別優劣，靠近左上角的ROC曲線所代表的受試者工作最准確。亦可通過分別計算各個試驗的ROC曲線下的面積(AUC)進行比較，哪一種試驗的AUC最大，則哪一種試驗的診斷價值最佳。

四、交叉驗證和過擬合問題

參考： 你真的了解交叉驗證和過擬合嗎？

機器學習】Cross-Validation（交叉驗證）詳解

10折交叉驗證（10-fold Cross Validation）與留一法（Leave-One-Out）、分層采樣（Stratification）

意識到過擬合好像也是個棘手的問題，所以在這里補充一下：

簡單來講，當 train set 誤差較小，而 test set 誤差較大時，我們即可認為模型過擬合。這句話表達的另一層意思是，模型評估指標的方差（variance）較大，即可認為模型過擬合。另外，無論監督學習還是非監督學習，均存在過擬合的問題。

有一個比喻還不錯，這里也摘抄下來：

語文老師 讓同學A 解釋一個句子：  『某魯迅先生的文章~~~~~~~~』

欠擬合：    差生： 這是個什麼鬼東西，比例嗶哩嗶哩~~~~

過擬合：    語文老師的解釋： 『表面上看是~~~，但其實~~~~，本質上~~~~~~，反映了~~~~心情，烘託了~~~氣氛~~~』

正常：        當時魯迅先生覺得天色晚了，該休息了。

那麼，如何才能夠在一定程度上避免過擬合呢？這就引出了交叉驗證：

最簡單的判斷模型是否過擬合的方法，就是通過training accuracy 和 test accuracy 數值大小，直觀的判斷模型是否過擬合。例如，訓練集的准確率為90%，而測試集的准確率為70%，那麼我們可以認為模型過擬合。不過，這種方法沒有明確的判斷標准，完全靠個人的主觀判斷——「感覺訓練和測試的誤差相差有點大，有可能過擬合」。

如何利用交叉驗證避免過擬合？

避免模型過擬合的方法，總結大概以下幾點：

   - 重新清洗數據（刪除稀疏特徵、對雜訊數據進行處理（刪除/替換））

- 重新采樣（改變采樣方法等）

- 增加訓練數據

- 採用交叉驗證訓練模型

- 重新篩選特徵

- 降低模型復雜度（增加正則項：L1，L2）

- dropout（神經網路中，讓神經元一定的概率不工作）

這里探討如何利用交叉驗證來避免模型過擬合：

第一個作用是對模型的性能進行評估 。當我們通過一次劃分樣本對模型進行訓練和測試時，由於樣本劃分的偶然性，會導致我們對模型的評估不準確。因此，可以採用交叉驗證對模型進行評估（一般採用5折或10折，sklearn默認採用的是3折），以 n 折交叉驗證結果的均值，作為模型的性能評估。

第二個作用就是用來避免過擬合 。例如當我們進行10折交叉驗證時，訓練了10次，得到了10個模型，每個模型的參數也是不同的，那麼我們究竟用哪個模型作為我們最終的模型呢？答案是： 一個都不用！我們要利用全量數據重新訓練出一個最終模型！

關於實現ROC曲線的繪制，可通過多種途徑進行，這里列出一些可操作平台和方法：

1、SPSS： 如何用SPSS做ROC曲線分析？看這1篇就夠了！

2、R語言： R語言邏輯回歸、ROC曲線和十折交叉驗證

                    ROC曲線基於R語言-（pROC包）

                    R語言pROC包繪制ROC曲線

3、Python： 機器學習基礎（1）- ROC曲線理解

                    ROC原理介紹及利用python實現二分類和多分類的ROC曲線

4、Matlab： Matlab繪圖——ROC曲線繪制（官方demo）

                     ROC曲線詳解及matlab繪圖實例

ROC曲線的初步學習就到這里，我們初步了解到ROC曲線最初是用來評估雷達兵判斷的轟炸機信號准確性的方法，隨後沿用到了醫學指標的判定上，在生活中應用廣泛。ROC曲線可用於查出任意界限值時的對疾病的識別能力，選擇最佳的診斷界限值，還可以用在評估機器學習預測模型的好壞上（目前好像這方面用的比較多）。當然，還有一些問題值得討論，比如，何時需要使用ROC曲線，S折交叉驗證平均ROC曲線如何繪制，等等。在機器學習模型構建過程中，訓練集和測試集的建立，模型的交叉驗證和ROC曲線評估的結合，還需要繼續學習。

Kootte RS, Levin E, Salojärvi J, Smits LP, Hartstra AV, Udayappan SD, Hermes G, Bouter KE, Koopen AM, Holst JJ, Knop FK, Blaak EE, Zhao J, Smidt H, Harms AC, Hankemeijer T, Bergman JJGHM, Romijn HA, Schaap FG, Olde Damink SWM, Ackermans MT, Dallinga-Thie GM, Zoetendal E, de Vos WM, Serlie MJ, Stroes ESG, Groen AK, Nieuwdorp M. Improvement of Insulin Sensitivity after Lean Donor Feces in Metabolic Syndrome Is Driven by Baseline Intestinal Microbiota Composition. Cell Metab. 2017 Oct 3;26(4):611-619.e6. doi: 10.1016/j.cmet.2017.09.008. PMID: 28978426.

Liu H, Chen X, Hu X, Niu H, Tian R, Wang H, Pang H, Jiang L, Qiu B, Chen X, Zhang Y, Ma Y, Tang S, Li H, Feng S, Zhang S, Zhang C. Alterations in the gut microbiome and metabolism with coronary artery disease severity. Microbiome. 2019 Apr 26;7(1):68. doi: 10.1186/s40168-019-0683-9. PMID: 31027508; PMCID: PMC6486680.

Rodriguez-Ruiz A, Lång K, Gubern-Merida A, Broeders M, Gennaro G, Clauser P, Helbich TH, Chevalier M, Tan T, Mertelmeier T, Wallis MG, Andersson I, Zackrisson S, Mann RM, Sechopoulos I. Stand-Alone Artificial Intelligence for Breast Cancer Detection in Mammography: Comparison With 101 Radiologists. J Natl Cancer Inst. 2019 Sep 1;111(9):916-922. doi: 10.1093/jnci/djy222. PMID: 30834436; PMCID: PMC6748773.

Duclos G, Bobbia X, Markarian T, Muller L, Cheyssac C, Castillon S, Resseguier N, Boussuges A, Volpicelli G, Leone M, Zieleskiewicz L. Speckle tracking quantification of lung sliding for the diagnosis of pneumothorax: a multicentric observational study. Intensive Care Med. 2019 Sep;45(9):1212-1218. doi: 10.1007/s00134-019-05710-1. Epub 2019 Jul 29. PMID: 31359081.

2. 如何計算雷達距離解析度計算公式

不是一個概念，徑向是沿雷達視線方向，距離向是目標所在平面定義的，一般兩者相差一個由地面的投影角決定的系數。

3. 雷達氣象學的雷達方程

雷達探測雲和降水時，接收到的回波功率與雷達特性參數、目標距離、雲或降水目標的物理性質等之間的關系式。它是雷達氣象學的重要理論基礎，是雷達定量測量降水和雲中含水量，推測雲和降水的物理特性，選擇氣象雷達參數等的基本方程。
對於發射功率為 Pt，波長為λ，脈沖波的空間長度為h，天線增益為G（表示天線定向發射的能力），以及水平和垂直波束角寬度分別為θ和φ的雷達，其基本氣象雷達方程為式中圶r為雷達接收到的來自無規則分布的雲和降水水粒子的平均回波功率；R為雷達至探測目標的距離；η=∑σi為雷達反射率，是單位體積中雲和降水粒子後向散射截面σ的和；，其中αg、αc、αp分別為大氣、雲和降水的衰減系數，dr為距離增量；k2是考慮探測脈沖體積中雲和降水可能有不同充填情況的訂正系數(充填系數)。一般距離不大時，k2=1；在遠處由於地球球面性的影響以及波束隨距離的擴展，通常 k2<1。氣象雷達方程說明：雷達回波強度同Pt、G2、λ2、θ、φ、h 等雷達參數和雷達反射率η成正比；同目標離雷達的距離平方成反比；同探測脈沖被雲、降水粒子充填的情況有關；同雷達和目標間大氣、雲、降水等的衰減情況有關，但對10厘米雷達，衰減影響一般可以忽略不計。
當雲和降水粒子為球形且直徑比雷達波長小得多的情況下，其後向散射截面，可以用瑞利公式代入（見雲和降水粒子的微波散射），這時，氣象雷達方程可寫成：式中為決定雷達參數的常數；Z=∑d宯是單位體積中球形粒子直徑6次方的總和，單位為毫米6/米3，稱為雷達反射因子，d為球形粒子的直徑；，m為雲和降水粒子的復折射率。在雷達氣象學中常用dBz作回波強度的單位，數值通過 換算而得，其中Z0=1毫米6/米3。
當粒子直徑大到和雷達波長相近或大於雷達波長時，不能應用瑞利公式，這時氣象雷達方程一般可寫成：
式中雷達等效反射因子。在雷達氣象工作中，常常用雷達測量的Z或Zθ值來表示雲和降水的回波強度，用以求出雲的含水量和降水強度（見雷達測量降水），判斷強風暴。早期的氣象雷達方程，都假設了雷達發射能量集中在半功率點限制的波束內，並且在波束內各個方向的輻射強度是均勻的，用它計算出的回波強度比實測回波強度高得多。為了提高精度，J.R.普羅伯特-瓊斯用比較符合實際情況的高斯函數來表示主波束中輻射能量的分布，並考慮波束外的輻射作用。1962年以後，用經他改進後的上述三種氣象雷達方程計算，使以前回波測量工作中的理論回波強度和實測回波強度之間的差別，從平均達4.5分貝降低到1.4分貝。

4. 雷達是怎麼運行的怎麼計算物體的距離和方位

一個雷達只能測距離，不能測方位
一個雷達通過發射的電磁波碰到物體反射回來接收器，計算發射和接受之間的時間差，再乘以光速，再除以2得到雷達距離物體的距離。

如果有好幾個雷達的話，就可以確定物體的具體位置了，通過以各個雷達為圓形，各個雷達測得的距離為半徑作圓，各個雷達作出的圓一定會有一個公共的焦點，這個焦點就是物體的位置。

5. 雷達信號處理基礎-雷達距離方程

怎麼算 ？

給出一個例子，若雷達峰值功率為1KW，波束寬度為1°的筆形波束天線位於X波段（10GHz），距離10km處有一架RCS為100m²的大型噴氣機飛機，我們可以利用下面給出的式子計算雷達的接收功率。

首先計算雷達的天線增益：

波長

假設大氣損耗和系統損耗可以忽略不計，則雷達接收信號功率為：

可以看到，接收信號的功率只是納瓦數量級，與發射功率之前差了12個數量級，雷達發射信號功率同接收信號功率之間存在著較大的動態范圍差異。

為什麼要這樣算 ？

既然是反射功率同回波功率的確定性模型，那麼就從雷達的發射開始說起，先發出一個功率為Pt (W)的波形，為了容易理解，我們認為其發射無方向性，而且這個波形在傳播的過程中沒有功率上的損耗。

該波形到距離R處，該處功率密度為總輻射功率除以半徑為R球體的表面積4π R²，也就是

實際應用中，考慮到雷達天線的方向性，天線的增益，其中天線的增益G等於最大功率密度和無方向功率密度之比，因此，在天線的最大輻射方向上，雷達在距離R處的最大發射功率密度為：

如果目標正好在天線的最大增益方向上，上式就是雷達照射到目標的功率密度。

理解了雷達的發射功率密度後，需要了解雷達的發射波對於距離R處的散射體或點目標的一種現象，「後向散射」。

在計算後向散射功率時需要考慮目標的接收面積σ，即可得到目標將自身接收到的全部電磁波輻射出去的後向散射功率為

上面提到的σ即為雷達信號處理中經常遇見的雷達截面積（RCS）。

若RCS是在後向散射功率無方向性的輻射前提下定義的，可以得到雷達接收到的後向散射功率密度為

其中，該後向功率密度是按照半徑為R的球體的表面積進行計算。

再考慮雷達天線的有效孔徑面積Ae m²，其總的後向散射功率為

而天線有效孔徑，天線增益和工作波長的關系

可以得到雷達總的後向散射功率為

上述的雷達接收功率時在不加任何信號處理時的接收功率，而實際應用下，我們不得不考慮傳播過程中的損耗，因此，需要通過信號處理引入一些損耗因子和增益因子。

若每km的單程損耗值為α,單位為dB，距離R (m)處的目標，大氣損耗的值為

大氣損耗對於高頻段的雷達十分重要，例如10GHz左右雷達的大氣損耗可以忽略不計，但是60GHz的雷達其短短幾千米的大氣損耗就可以達到數十dB,這也是60GHz不是雷達常用工作頻率的原因。同時也可以看到， 大氣損耗同系統損耗一樣，都有隨雷達工作頻率變化而變化的特性 。

考慮大氣損耗和系統損耗的影響，可以得到最終的雷達的接收功率為

需要注意的是，上式總包括的幾個變數如大氣損耗，天線增益，RCS等常用作分貝為單位，該式中則需要採用線性單位，而非分貝。另外Pr為瞬時接收功率，不是平均功率。

根據雷達的接收信號功率計算公式，也就是雷達的距離方程，其中的一個重要結論就是 點目標其接收功率按照雷達到目標距離的4次方下降 。

因此，雷達檢測一個給定RCS目標的能力隨距離增加而快速下降，增加發射功率可以增加雷達的作用距離，考慮到R^{4}的關系，功率必須增加到原來的16倍，也就是12dB，可以將雷達的作用距離增加至1倍。或將雷達天線增益增加到原來的4倍（6dB）同樣可以將雷達的作用距離增加至1倍。另外，對於隱形戰機可以將RCS減小到1/16，這樣可以將雷達最其檢測距離下降一半。

題圖：padrinan

6. 雷達的視距如何計算，與作用距離有何區別

把地球的表面看成一個曲面，然後，從雷達天線的中心點出發，畫直線形式作地球表面的切線，這根線就是視距線，從雷達所在地到切點之間的曲面距離就是你所謂的雷達視距。

可以運用中學幾何中學到的切線方程來結算。

切線方程是研究切線以及切線的斜率方程，涉及幾何、代數、物理向量、量子力學等內容。是關於幾何圖形的切線坐標向量關系的研究。分析方法有向量法和解析法。

7. 地球曲率對雷達探測距離公式

1、雷達探測范圍受地球曲率影響公式D = 4.12 * (sqrt(h1) sqrt(h2))H1是雷達架設高度，H2是目標高度，D是通視距離，注意h的單位是米，d是千米。
2、雷達探測范圍受地球曲率影響公式

D = 4.12 * (sqrt(h1) sqrt(h2))

H1是雷達架設高度，H2是目標高度，D是通視距離

用上述公式計算掠海5米的目標：雷達高度 發現距離300米 80KM200米 67.5KM100米 50KM50米 38.35KM30米 31.78KM25米 29.81KM20米 27.64KM15米 25.17KM.

8. 雷達的視距如何計算，與作用距離有何區別

你應該知道，地球的表面是一個曲面，從雷達天線的中點開始，以直線形式到地球表面的切線，這根就是視距線，從雷達所在地到切點之間的曲面距離就是你所謂的雷達視距，視距跟雷達的位置有關系，雷達位置越高，視距越遠（所謂站得高，看得遠）
不過，雷達的作用距離很可能不止那麼一點，這跟雷達所使用的無線電波的傳輸方式有關系。
無線電波的傳輸有地波（沿地球表面傳播，一般是長波），天波（利用電離層反射，一般是中波），視距傳輸（直線傳輸，一般是短波或者微波）。
如果雷達使用的是長波波段，就是按地波傳輸，形成地波傳輸的超視距雷達。如果是天波，也可以構成天波傳輸的超視距雷達，其作用距離遠遠可以超過視距。
雷達的作用距離主要跟其無線電波的發射功率和接收靈敏度有關系，雷達波在傳輸時會不斷損耗，當雷達波發射出去後，遇到目標返回，信號到達雷達接收天線的時候，這時的信號強度還能被接收機識別並接收放大，接收機能正常工作的最小信號強度就是靈敏度。可見，如果雷達發射功率越大，接收靈敏度越高，作用距離也越大。

9. 雷達反射截面的相關公式

這是雷達目標截面積的實驗定義式。σ 是雷達基本方程中的一個因子。已知發射功率Pt，發射和接收天線增益G，波長λ，目標到雷達的距離R,則雷達接收天線截獲的功率為
若測出接收功率Pr，則雷達目標截面積的公式為
這是實驗測定雷達目標截面積的基本公式。雷達目標截面積的理論定義式為
式中Ei為雷達在目標處的照射場強;Er為目標在接收天線處的散射場強。因為雷達發射球面波，只有在滿足遠場條件（概略地說即當目標距離足夠遠時）目標在接收天線處的散射波才近似地表示為平面波。雷達目標截面積的這一定義與距離無關。一個具體目標的雷達截面積與目標本身的幾何尺寸和形狀、材料、目標視角、雷達工作頻率及雷達發射和接收天線的極化有關。當其他條件不變時，目標尺寸越大，雷達截面積也越大。對於一定的雷達頻率和固定的視角，目標的雷達截面積決定於極化。在遠場和線性散射條件下，雷達目標截面積與極化的關系可表示為矩陣，稱為雷達目標的散射矩陣。
在理論上，把物體的邊界條件代入麥克斯韋方程即可計算出雷達目標截面積，但僅在物體具有簡單的幾何形狀的情況下才能得出精確解。例如，良好導電的球體，其雷達目標截面積與觀察方向無關,對極化也不敏感,但與波長有密切關系（圖1）。當球的周長小於波長時，雷達目標截面積與波長的四次方成反比。這是尺寸比波長小得多的任何物體所具有的散射特性。這一區域稱為瑞利區。當波長小於球體周長的十分之一時，球體的雷達截面積與波長無關，且恰等於球體的光學截面積πr（r 為半徑）。這一區域稱為光學區。兩者之間的區域(1<2πr/λ<10)稱為諧振區或瑪依區。
獲得復雜形狀物體的雷達截面積的常用方法之一，是測量來自目標本身和雷達截面積為已知的物體的回波功率。進行這種測量時須對雷達接收機進行仔細的校準和標度，還須控制實驗環境，避免背景散射等因素對測量精度的影響。圖2為一架中等大小的老式雙引擎轟炸機在10厘米波長上的雷達截面積與方向角的函數關系。圖中表明，復雜目標的雷達截面積隨方向角而急劇變化。復雜目標的雷達截面積也可以在保持遠場條件（R≥2D/λ，D為試驗模型的最大尺寸）下，用縮小的模型和同樣比例的波長在室內進行測量。
對於復雜目標，在雷達工作條件下目標方向角是不穩定的，因此應把雷達目標截面積看作為隨機量，並用概率密度和相關函數表示（見雷達目標雜訊）。通常所說的雷達目標截面積指的是統計期望值。

10. 如何做雷達圖

問題一：如何在word中製作雷達圖 插入一個excel表格，然後在excel表格中畫雷達圖。或者直接就在excl中畫，然後粘貼到word中

問題二：ppt如何製作雷達圖 只能在excel中做好
1.選擇數據區域,插入,圖表,其他圖表,雷達圖
2.簡單地雷達圖就做好了
然後復制到ppt中

問題三：如何用Excel做雷達圖 選擇數據區域，在「插入」選項下的「圖表」中，選擇「雷達圖」，即可。 詳見附圖

問題四：Excel雷達圖怎麼製作 1、雷達圖的作用
雷達圖是專門用來進行多指標體系比較分析的專業圖表。從雷達圖中可以看出指標的實際值與參照值的偏離程度，從而為分析者提供有益的信息。雷達圖一般用於成績展示、效果對比量化、多維數據對比等等，只要有前後2組3項以上數據均可製作雷達圖，其展示效果非常直觀，而且圖像清晰耐看，而且通過EXCEL 2007（含）以上版本製作的雷達圖非常漂亮，而且還可個性美化。

2、如何繪制雷達圖
雷達圖是由多個坐標軸構成的圖形，利用Excel，只需將有關的數據輸入到工作表中，即可以方便、快捷地製作雷達圖，而當數據變動時，相應的圖形可以自動更新。

3、雷達圖製作過程分為如下幾步：
① 輸入需要考量分析的關鍵指標
② 輸入參照參數，
③ 輸入實際數據
④ 計算指標對比值
注意有些指標為正向關系，即對比值越大，表示結果越好；有些指標為負向關系，對比值越大，則表示結果越差。在制圖時，最好將所有指標轉變為同向指標。另按照實際值與參考值計算的對比值來繪制雷達圖，則意味標准值為1。因此，只要對照對比值在雷達圖中的數值分布，偏離1程度的大小，便可直觀地評價綜合分析。
⑤ 創建雷達圖

4、下面以我熟悉的資源管理部門的指標為例，繪制EXCEL 2007的雷達圖：
① 將如下數據源粘貼入EXCEL；後面紅色部分在雷達圖製作完成後，可以選擇用白色字體隱藏。這樣最終報告呈現的是考核人員當月的實際完成情況。
KPI(滿分5分) Target X月KPI實際完成值 X月對比值
人員A 人員B 人員C 人員D 人員E 人員F 人員A 人員B 人員C 人員D 人員E 人員F
當月調配量 10 3 5 1 5 1 0 0.30 0.50 0.10 0.50 0.10 0.00
例報准確度 90% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
緊急需求的滿足周期 15 1.0 3.0 4.0 3.0 3.0 5.0 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
人員利用率 85% 91.7% 88.3% 88.3% 89.0% 70.7% 86.0% 1.00 1.00 1.00 1.00 0.00 1.00
工時票未填率 0.500% 2.265% 0.000% 10.955% 1.172% 0.383% 0.000% 0.00 1.00 0.00 0.00 1.00 1.00

② 選定A3: A7單元格區域，然後按住[Ctrl]鍵，再選定I3：I7單元格區域；
③ 持續按住[Ctrl]鍵不要松，點擊插入---其他圖標―雷達圖；開始修飾雷達圖；

雷達圖剛製作出來時，通常還需要進行修飾，以便看起來更清晰、美觀。修飾雷達圖時，可根據需要針對不同的圖表對象，例如圖表標題、坐標軸、網格線、數據標志以及分類標志選擇分別操作。操作時，可以右擊相應......>>

問題五：雷達圖怎麼用excel做出來 插入-》圖表-》圖表類型選雷達圖-》選取你的數據區域-》按提示完成

問題六：如何畫雷達圖 選擇數據區域，在「插入」選項下的圖表中選擇「雷達圖」

詳見附圖

問題七：怎麼用excel繪制雷達圖 選擇數據區域，在「插入」選項下的圖表中選擇「雷達圖」
詳見附圖

問題八：如何設置雷達圖的次坐標？ 兩組數據相差太大，是不適合生成雷達圖的。
確實需要，也行，先臨時擴大百分比的數據到接近哪一組100的，再選%的數據曲線――右鍵――數據系列格式――次坐標軸――確定。
再修改回原來的數值，並適當更改不同顏色等。
看看兩個版本的雷達圖效果：

問題九：如何製作Excel雷達圖？ 】 雷達圖是專門用來進行多指標體系比較分析的專業圖表。從雷達圖中可以看出指標的實際值與參照值的偏離程度，從而為分析者提供有益的信息。雷達圖通常由一組坐標軸和三個同心圓構成，每個坐標軸代表一個指標。在實際運用中，可以將實際值與參考的標准值進行計算比值，以比值大小來繪制雷達圖，以比值在雷達圖的位置進行分析評價。 【Excel如何製作雷達圖？】 Excel做表的一般步驟：1、准備數據，一般按照中國式的表格格式；2、插入圖表，選擇圖表類型；其他操作不解釋。 如果把多個系列放在一張蜘蛛網上，三個班的成績並不容易對比出來。可以換以下方式。針對每個班來說明，甲班在物理科較差，需迎頭趕上其他兩個班級；乙班在語文和英語科教差，而數學化學物理等理科科目較好，說明乙班整體上偏理科，文科較差，需提高。 【銷售人員如何製作excel雷達圖？】 銷售業務人員最頭疼的就是完成目標，目標的巨大壓力迫使業務人員必須每天、每月關注目標完成情況，常規的柱形圖、餅圖已經難以吸引老闆的眼球，雷達圖是一個不錯的選擇。 說明：目標值系列和實際完成值系列的比較。

問題十：如何用Excel做雷達圖 選擇數據區域，在「插入」選項下的「圖表」中，選擇「雷達圖」，即可。 詳見附圖