平方逼近的計算方法

Ⅰ 求平方根的加值逼近法是怎麼算的

選兩個相鄰的數，使他們的平方介於被開方的數，在讓那兩個數的平均值的平方與被開方數比較，如果平均值的平方大，則被開放數的平方根介於平均值和較大的那個數之間，在用這中方法獲得較精確的值。

Ⅱ 怎麼求平方根的近似值

方法一：牛頓切線法

求a的平方根，相當於求f(x)=x²-a=0的正根，

假設隨意猜測一個x的初始值x0。由於f'(x)=2x，

過猜測點(x0,f(x0))的切線方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)，令y=0，

x=x0-f(x0)/f'(x0)=x0-(x0^2-a)/2x0=(x0+a/x0)/2是切線與x軸的交點。

畫出圖形就很容易看出任意選取x0，重復上一過程，都可以在不超過兩次重復時，使得x比x0更接近方程的根，此處不再作嚴格證明。

於是，反復進行上一過程，就能得到越來越接近准確值的近似值，寫成遞推公式就是：

x(n+1)=[x(n)+a/x(n)]/2，(x0>0任意選取，當然盡量選接近的)。

方法二：巴比倫演算法

若對a求算術平方根，隨意選取0<x0<a，

於是x0和a/x0當中，由於總是有x0*a/x0=a，則二者中必有一個大於√a，另一個小於√a，

那麼，他們的算術平均值肯定比他們兩者都要接近√a，重復這一過程，必越來越接近√a。

寫成遞推公式就是：x(n+1)=[x(n)+a/x(n)]/2，(0<x0<a)，可以看出，和方法一如出一轍，而且推導過程更容易理解，古人還是很厲害的。

例題：求√67的值

選取x0=8，則x1=(8+67/8)/2=8.1875，x2=(8.1875+67/8.1875)/2=8.185353，

x3=(8.185353+67/8.185353)/2=8.1853527718724531...

而計算器直接算得8.1853527718724499...

可見選取比較接近的初值時，迭代一次精度可達到百分之一，兩次達到百萬分之一，

三次達到了十萬億分之一。當然x0選得不好的時候，要算更多遍才能達到相同的精度。

方法三：長除法（筆演算法）

以√6767為例，我們知道完全平方是(a+b)²=a²+2ab+b²

由於是逐位算出的，所以每位的平方最大是9²=81，不會超過兩位數，於是可把被開方數從小數點為界向兩邊，兩個兩個分組，最後剩一個的補0，比如123.321就分成01'23.32'10，例題的6767就分成67'67。

我們知道80*80=6400，90*90=8100，所以√6767一定是八十幾點幾，於是設成(80+b)，a=80，b還不知道，只知道它小於10。

好了，6767=a^2+2ab+b^2，6767-80²=367=2ab+b²=160b+b²

現在b商多少呢?

注意到試商的時候，前面的數比較大，x卻總是個位數，相當於是高階無窮小，所以很容易看出來——商個3超了，所以商個2，余數是367-320-4=43，

變成了82+x，我們不知道x是多少，只知道x小於1，43=2*82x+x²

因為劃分了小數點，所以用x/10代替上述x，就可以寫成4300=(2*820+x)x，現在x就是數位而不是一個小數了，

試商x=2，4300-(1640+2)2=1016，101600=2*8220x+x²，

x=6，101600=(2*8220+6)6=2924……292400=2*82260x+x²……

反正就是一直下去，√6767=82.26……

這是我國古代的方法，這里只是沒有列成豎式而已。

練習1：√21，精確到4位小數

a=4，21-4*4=5，500=2*40x+x²

x=5，500-(2*40+5)5=75，7500=2*450x+x²

x=8，7500-(900+8)8=236，23600=2*4580+x²

x=2，23600-(9160+2)2=5276，527600=2*45820x+x²

x=5，527600-458200-25=69375，6937500=2*458250x+x²

x=7，6937500-2*458250*7-49=521951，52195100=……

所以√21=4.58257......≈4.5826

練習2：求√1156

分組，11'56

a=30，1100-30²=200，200+56=256，256=2*30b+b²

b=4，256-2*30*4-4²=0，餘0，開盡。

所以√1156=34

Ⅲ 最佳平方逼近的平方誤差怎麼算

最佳平方逼近及計算 定義 span中會給出φ i ( x ) \varphi_i(x)φi​(x)對應的具體函數,稍後看習題就會明白。
2. 用正交多項式作最佳平方逼近 定義 習題 補充 通常

Ⅳ 求平方根逼近公式

例:531441
根號531441,先從個位開始,每兩個數字為一節.531441可分為53,14,41.先從53開始,顯然7乘7等於49最接近53,所以根的第一位是7此時的除數也是7.則餘4,再把14移上去,就是414,這時把除數的個位(7)乘20,再加N,這個N就是根的第2位.顯然這個N是2,即:7乘20=140,140+2=142,此時除數是142,而根的第二位是2.142乘2=284,414-284=130,把41移上去,就是13041,此時除數是142,按上述:142的個位(2),乘20=1440,再加N,這里的N是根的第三位.此時N應是9.即1440+9=1449,且1449乘9=13041,所以根的第三位是9.綜上所述根是729.729乘729=531441.

Ⅳ 怎樣求開平方的近似值

舉個例子，1156是四位數，所以它的算術平方根的整數部分是兩位數，且易觀察出其中的十位數是3。於是問題的關鍵在於：如何求出它的個位數a？為此，我們從a所滿足的關系式來入手。

根據兩數和的平方公式，可以得到

1156=(30+a)^2=30^2+2×30a+a^2，

所以1156－30^2=2×30a+a^2，

即256=(30×2+a)a，

也就是說， a是這樣一個正整數，它與30×2的和，再乘以它本身，等於256。

為便於求得a，可用下面的豎式來進行計算：

根號上面的數3是平方根的十位數。將 256試除以30×2，得4(如果未除盡則取整數位).由於4與30×2的和64，與4的積等於256，4就是所求的個位數a。豎式中的余數是0，表示開方正好開盡。於是得到 1156=34^2， 或√1156=34.上述求平方根的方法，稱為筆算開平方法，用這個方法可以求出任何正數的算術平方根，它的計算步驟如下：

開方的計算步驟

1．將被開方數的整數部分從個位起向左每隔兩位劃為一段，用「 ' 」這個符號分開（豎式中的11』56），分成幾段，表示所求平方根是幾位數；

2．根據左邊第一段里的數，求得平方根的最高位上的數（豎式中的3）；

3．從第一段的數減去最高位上數的平方，在它們的差的右邊寫上第二段數組成第一個余數（豎式中的256）；

4．把求得的最高位數乘以20去試除第一個余數，所得的最大整數作為試商（20×3除256，所得的最大整數是 4，所以試商是4）；

5．用商的最高位數的20倍加上這個試商再乘以試商，如果所得的積小於或等於余數，試商就是平方根的第二位數；如果所得的積大於余數，就把試商減小之後再試（豎式中（20×3+4）×4=256，說明試商4就是平方根的第二位數）；

6．用相同的方法，繼續求平方根的其餘各位上的數。

如碰到開不盡的情況，可根據所要求的精確度求出它的近似值。例如求其近似值（精確到0.01），可列出上面右邊的豎式，並根據這個豎式得到。

筆算開平方運算較復雜，在實際中直接應用較少，但用這個方法可求出一個數的平方根的具有任意精確度的近似值。

Ⅵ 最佳二次逼近多項式b怎麼確定

二次最佳平方逼近多項式

圖2.1乘法次數比較
將基2fft變換運算可以轉換為m級運算，每個級別包含k組，每組包含r個鰈形對，每個鰈形對包含n個鰈形單元了。FFT時間抽取演算法信號流圖如圖2.2所示。由FFT基本原理可以知道，當N為2的冪次方時，FFT運算包含 級運算，並將每一級編號 ，每一級包含 組，每組包含 個鰈形單元，

圖2.2 8點FFT時間抽取演算法信號流圖
根據信號與系統的相關理論[4]，根據本學期的數字信號處理作業實驗得出的相關結論，對正弦信號進行采樣，采樣頻率在滿足采樣定理的前提下，還需要滿足信號頻率不能是信號頻率的2倍，這樣會導致采樣點信息一致，不能恢復出原始的信息。正弦信號2倍采樣結果如圖2.3所示，當 的時候，會在信號的每一個周期采兩個點，採到的所有點值一致，故不能得到正確的頻譜。對於正弦信號的采樣。當 的時候， 固定，隨著 的增加，信號的頻譜特性會變好。當 固定， 減小信號頻譜特性會變好。當滿足采樣定理和大於2倍頻率，信號的有效持續 時間增加，所以信號頻譜特性變好。

圖2.3 采樣驗證圖

.二次最佳逼近平方多項式的實現
根據2.2節二次最佳逼近平方多項式的基本原理，繪制流程圖，如圖3.3所示。基本步驟如下：
步驟1：初始化變數，設置積分區間、被積分函數、積分權值函數。
步驟2：因為本代碼求解的是最佳平方逼近問題，理論上存在3個多項式，但考慮後期可能會用到高次多項式逼近，所以將高次多項式的次數設置為變數N,本文中N=2。
步驟3：需要計算N+1=3個多項式，每一個多項式存儲在元胞數組中。
步驟4：根據上述參數計算每一個多項式中需要使用的參數值，然後計算出所有多項式。
步驟5：上述產生的是正交基函數，所以求出的法方程組系數矩陣 右端的b。
步驟6：然後通過自己編寫的LU分解方法計算方程組的解向量。
步驟7：輸出y,並計算誤差，對輸出的值進行化簡。
程序流程圖如圖3.3所示。分別取擬合次數為1，2，5，10計算程序的運行結果，以及統計擬合誤差及程序運行時間。結果如圖3.4所示,可知隨著擬合次數增加，擬合效果變好。演算法的計算誤差以及運行時間如表3.1所示，隨著N增加，擬合誤差降低。