二重積分的一般計算方法

『壹』 二重積分的計算中有哪些常見的技巧

1、對稱性計算二重積分：當被積函數 integrand 是奇函數時，在對稱於原點的區域內積分為0。被積函數或被積函數的一部分是否關於某個坐標對稱，積分區間是否對稱，如果可以就可以用對稱性，只用積分一半再乘以2。

2、奇偶性計算二重積分：當被積函數是偶函數時，在對稱於原點的區域內積分為單側積分的兩倍。被積函數或被積函數的一部分是否具有奇偶性，積分區間是否對稱，如果奇函數則積分為0為偶函數則用對稱性。

性質須知

1、被積函數提供不定積分積出來的函數，雖然看可以討論原函數的奇偶性，但是討論積分函數去奇偶性時，考慮的僅僅是被積函數。

2、有界性：設函數f（x）在區間X上有定義，如果存在M>0，對於一切屬於區間X上的x，恆有|f（x）|≤M，則稱f（x）在區間X上有界，否則稱f（x）在區間上無界。

3、單調性：設函數f（x）的定義域為D，區間I包含於D。如果對於區間上任意兩點x1及x2，當x1<x2時，恆有f（x1）<f（x2），則稱函數f（x）在區間I上是單調遞增的

以上內容參考：網路——函數

『貳』 二重積分是怎麼求的

被積函數是x的奇函數，積分區間關於y軸對稱，被積函數在積分區間上正負各半，該部分的積分就是0。當被積函數大於零時，二重積分是柱體的體積。當被積函數小於零時，二重積分是柱體體積負值。

同時二重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心，平面薄片轉動慣量，平面薄片對質點的引力等等。

『叄』 二重積分的計算公式是什麼

二重積分的計算公式：ydxdy=重心縱坐標×D的面積。二重積分是二元函數在空間上的積分，同定積分類似，是某種特定形式的和的極限。本質是求曲頂柱體體積。

重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，稱為曲面積分。當被積函數大於零時，二重積分是柱體的體積。

幾何意義：

在空間直角坐標系中，二重積分是各部分區域上柱體體積的代數和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負。某些特殊的被積函數f（x，y）的所表示的曲面和D底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來計算。

例如二重積分，其中，表示的是以上半球面為頂，半徑為a的圓為底面的一個曲頂柱體，這個二重積分即為半球體的體積。

數值意義：

二重積分和定積分一樣不是函數，而是一個數值。因此若一個連續函數f（x，y）內含有二重積分，對它進行二次積分，這個二重積分的具體數值便可以求解出來。

如函數，其積分區域D是由所圍成的區域。

『肆』 二重積分計算

原式=π/8，詳情如圖所示

有任何疑惑，歡迎追問

『伍』 二重積分計算公式

計算積分區域關於直線 y=x 對稱的二重積分
積分區域關於y=x對稱的二重積分常可以這樣計算
1．積分區域D關於直線y=x對稱,則
(1) {D區域} ∫∫f(x,y)dxdy ＝ {D1區域}∫∫f(x,y)dxdy， 當f(y，x) ＝ f(x，y)
＝ 0 ，當f(y，x) ＝ －f(x，y)
其中D1＝{(x，y)|(x，y)∈D，y≥x) 也可換為 D2={(x，y)|(x，y)∈D，y≤x}；
(2) {D區域} ∫∫f(x,y)dσ ＝ {D區域}∫∫f(y,x)dσ
這是二重積分的特殊性質，非常有用。該性質表明，當積分區域D關於直線y=x對稱時，二重積分中被積函數的兩個變數可以互換位置，常稱有此性質的D具有關於積分變數的對稱性。

『陸』 二重積分的計算方法是怎樣的

把二重積分化成二次積分，也就是把其中一個變數當成常量比如Y，然後只對一個變數積分，得到一個只含Y的被積函數，再對Y積分就行了。

計算二重積分的基本思路是簡化積分計算思想，即把二重積分盡可能的轉化為累次積分。

為此，必須注意：選取適合坐標，是否分域，如何定限。計算二重積分的主要方法有：利用對稱性、奇偶性、變數替換、幾何意義化簡，利用直角坐標或極坐標化為二次積分，利用分域法，交換積分次序等能大大簡化二重積分的計算，只要方法選得適當，二重積分的運算量就會小很多。

二重積分的現實（物理）含義：面積×物理量＝二重積分值；

舉例說明：二重積分的現實（物理）含義：

二重積分計算平面面積，即：面積×1＝平面面積；二重積分計算立體體積，即：底面積×高＝立體體積；二重積分計算平面薄皮質量，即：面積×面密度＝平面薄皮質量。

(6)二重積分的一般計算方法擴展閱讀：

二重積分是二元函數在空間上的積分，同定積分類似，是某種特定形式的和的極限。本質是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，稱為曲面積分。

在空間直角坐標系中，二重積分是各部分區域上柱體體積的代數和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負。某些特殊的被積函數f（x，y）的所表示的曲面和D底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來計算。

『柒』 二重積分的計算方法 二重積分的計算方式

1、二重積分和定積分一樣不是函數，而是一個數值。因此若一個連續函數f（x，y）內含有二重積分，對它進行二次積分，這個二重積分的具體數值便可以求解出來。

2、二重積分是一個常數，不妨設它為A。對等式兩端對D這個積分區域作二重定積分。

3、函數的具體表達式為：f（x，y）=xy+1/8，等式的右邊就是二重積分數值為A，而等式最左邊根據性質5，可化為常數A乘上積分區域的面積1/3，將含有二重積分的等式可化為未知數A來求解。

『捌』 如何計算二重積分呢

將一元函數積分推廣來看對於連續函數 f(x,y) 如何求二重積分. 每個二重積分都可以方便地用定積分的方法分步進行計算。

矩形區域上的二重積分

設 f(x,y) 在矩形區域 R: a<=x<=b, c<=y<=d 上有定義。 如果 R 被分別平行於 x 軸和 y 軸的直線網格所劃分成許多小塊面積 ∆ A="∆ x∆ y" 。

(8)二重積分的一般計算方法擴展閱讀

對直角坐標來說，主要考點有兩個：

一是積分次序的選擇，基本原則有兩個：一是看區域，選擇的積分次序一定要便於定限，說得更具體一點，也就是要盡量避免分類討論;

二是看函數，要盡量使第一步的積分簡單，選擇積分次序的最終目的肯定是希望是積分盡可能地好算一些，實踐表明，大多數時候，只要讓二重積分第一步的積分盡可能簡單，那整個積分過程也會比較簡潔；

所以在拿到一個二重積分之後，可以根據它的被積函數考慮一下第一步把哪個變數看成常數更有利於計算，從而確定積分次序。

二是定限，完成定限之後，二重積分就被化為了兩次定積分，就可以直接計算了。

『玖』 如何算二重積分

二重積分一共一般有三種計算方法：變限求積分，直角坐標化極坐標，作圖構思取最簡單的微元。

先確定積分區域，把二重積分的計算轉化為二次積分的計算。但二次積分的計算相當於每次只計算一個變元的定積分， 利用對稱性。 積分區域是關於坐標軸對稱的。 被積函數也時關於坐標軸對稱的。

當f(x,y)在區域D上可積時，其積分值與分割方法無關，可選用平行於坐標軸的兩組直線來分割D，這時每個小區域的面積Δσ=Δx·Δy，因此在直角坐標系下，面積元素dσ=dxdy。可以看出二重積分的值是被積函數和積分區域共同確定的。

(9)二重積分的一般計算方法擴展閱讀：

當被積函數大於零時，二重積分是柱體的體積。

當被積函數小於零時，二重積分是柱體體積負值。

在空間直角坐標系中，二重積分是各部分區域上柱體體積的代數和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負。某些特殊的被積函數f（x，y）的所表示的曲面和D底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來計算。