符號計算方法的傅里葉變換

❶ 如何理解傅里葉變換公式

1、傅里葉變換公式

(1)符號計算方法的傅里葉變換擴展閱讀：

根據原信號的不同類型，可以把傅里葉變換分為四種類別：

1、非周期性連續信號傅里葉變換（Fourier Transform）

2、周期性連續信號傅里葉級數(Fourier Series)

3、非周期性離散信號離散時域傅里葉變換（Discrete Time Fourier Transform）

4、周期性離散信號離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform)

❷ 符號函數f(t)=sgn(t)的傅里葉變換f(jω)為

符號函數不是絕對可積的函數，不存在常義下的傅里葉變換。在考慮廣義函數的條件下是可求的，但不能用定義式F(jw)=∫f(t)e^{-jwt}dt來求，可以這樣求：

首先已知F{δ(t)}=1，且2δ(t)=d(sgn(t))/dt。根據頻域微分定理F{f'(t)}=jwF{f(t)}，有F{2δ(t)}=jwF{sgn(t)}，得到F{sgn(t)}=2/(jw)

函數的近代定義

是給定一個數集A，假設其中的元素為x，對A中的元素x施加對應法則f，記作f（x），得到另一數集B，假設B中的元素為y，則y與x之間的等量關系可以用y=f（x）表示，函數概念含有三個要素：定義域A、值域B和對應法則f。其中核心是對應法則f，它是函數關系的本質特徵。

❸ 傅里葉變換及其性質

對函數x（t）進行如下積分，並記為X（ω）：

地球物理數據處理基礎

其中 這稱為傅里葉正變換，X（ω）是x（t）的傅里葉變換。利用X（ω）可以重構信號函數x（t），即

地球物理數據處理基礎

稱為傅里葉反變換。兩式組成一個傅里葉變換對。若t代表空間坐標變數，則ω就代表空間頻率域的頻率變數，因此稱X（ω）為x（t）的頻譜函數。

傅里葉變換的性質：設f（x），g（x）的傅里葉變換分別是F（ξ），G（ξ），那麼

（1）線性 af（x）＋bg（x）的傅里葉變換是aF（ξ）＋bG（ξ）（a，b是常數）；

（2）褶積（或卷積）f（x）*g（x）＝∫^∞_－∞f（u）g（x－u）的傅里葉變換是F（ξ）·G（ξ）；

（3）翻轉 f（－x）的傅里葉變換是F（－ξ）；

（4）共軛 的傅里葉變換是

（5）時移（延遲） f（x－x₀）的傅里葉變換是e^ix0ξF（ξ）；

（6）頻移（調頻） F（ξ－ξ₀）是f（x）e^－iξ0x的傅里葉變換（ξ₀是常數）。

上面的定義都是連續型傅里葉變換，然而在地球物理實際計算中都是離散型數據，因此我們感興趣的是數據是離散的情況，需要將上述傅里葉變換化為有限離散傅里葉變換對：

地球物理數據處理基礎

其中N是數據點數。兩個公式除了系數和指數的符號不同外，結構基本相同，式（8－3）為離散傅里葉變換（DFT），式（8－4）為離散傅里葉反變換（IDFT）。

❹ matlab分段符號函數傅里葉變換

syms x
y=(heaviside(x+1)-heaviside(x-1))*(1+cos(x));
fy=fourier(y)

❺ 求符號函數的傅里葉變換

答案如下圖：

(5)符號計算方法的傅里葉變換擴展閱讀：

傅里葉變換的作用：

1、傅立葉變換為一種分析信號的方法，可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。許多波形可作為信號的成分，比如正弦波、方波、鋸齒波等，傅立葉變換用正弦波作為信號的成分。

2、傅里葉變換在物理學、電子類學科、數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域都有著廣泛的應用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成頻率譜——顯示與頻率對應的幅值大小）。

3、和傅里葉變換演算法對應的是反傅里葉變換演算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。

❻ f=coswt的傅里葉變換怎麼求

根據歐拉公式，cosω0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。

直流信號的傅里葉變換是2πδ(ω)。

根據頻移性質可得exp(jω0t)的傅里葉變換是2πδ(ω-ω0)。

再根據線性性質，可得

cosω0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2的傅里葉變換是πδ(ω-ω0)+πδ(ω+ω0)。

(6)符號計算方法的傅里葉變換擴展閱讀

計算離散傅里葉變換的快速方法，有按時間抽取的FFT演算法和按頻率抽取的FFT演算法。前者是將時域信號序列按偶奇分排，後者是將頻域信號序列按偶奇分排。

它們都藉助於的兩個特點：一是周期性；二是對稱性，這里符號*代表其共軛。這樣，便可以把離散傅里葉變換的計算分成若干步進行，計算效率大為提高。

時間抽取演算法令信號序列的長度為N=2,其中M是正整數，可以將時域信號序列x(n)分解成兩部分，一是偶數部分x（2n），另一是奇數部分x（2n+1），於是信號序列x(n）的離散傅里葉變換可以用兩個N/2抽樣點的離散傅里葉變換來表示和計算。考慮到和離散傅里葉變換的周期性，式⑴可以寫成

⑶其中（4a）（4b）由此可見，式⑷是兩個只含有N/2個點的離散傅里葉變換，G(k）僅包括原信號序列中的偶數點序列，H(k）則僅包括它的奇數點序列。雖然k=0，1，2，…，N-1，但是G(k）和H(k）的周期都是N/2，它們的數值以N/2周期重復。

❼ 音頻演算法入門-傅里葉變換

    上一篇文章中講了一個時域處理的演算法wsola，接下來會學習頻域處理演算法，在這之前必須得對頻域有所了解，這就不得不提傅里葉變換了，本文的目的是讓大家學會用傅里葉變換公式和傅里葉逆變換公式進行計算。數學公式是人們對世界中的現象的描述，我們學習數學公式也不該只停留在使用公式來解決問題的層次，得明白公式到底在描述什麼現象，從這些天才數學家的角度來看世界。懂的地方可跳過。項目地址在文章末尾給出。

   我直接說結論，傅里葉級數公式包含了傅里葉變換和傅里葉逆變換（不嚴謹的說就是這么回事）。
    先簡單說下具體關系，法國數學家傅里葉發現，任何周期函數都可以用正弦函數和餘弦函數構成的無窮級數來表示，這種表示方式就是傅里葉級數。假如有個波形比較復雜的周期函數，那麼找出能用來構成這個周期函數的正弦函數和餘弦函數的頻率的方法就叫做傅里葉變換，用這些頻率的正弦函數和餘弦函數疊加起來表示這個周期函數的方法就叫做傅里葉逆變換。
    再從公式中看下他們的關系，首先介紹傅里葉級數到底是什麼，首先級數是指將數列的項依次用加號連接起來的函數。這么說可能大家還不理解，舉個例子：e^x=1+x/1!+x^2/2!+...x^n/n!....，等號左邊是指數函數，等號右邊就是級數。傅里葉級數公式如下：

    我們主要看這個指數形式的傅里葉級數公式，把求和符號去掉，展開一下就是f(t)=Fa*e^jaω0t+Fb*e^jbω0t+Fc*e^jcω0t+Fd*e^jdω0.....。現在看下面的周期函數疊加效果圖，圖中顯示的是3個周期函數分別在坐標軸（橫軸時間，縱軸幅度）的圖像，寫成傅里葉級數形式就是f(t)=fa(t)+fb(t)+0+0....，這就是傅里葉級數公式要描述的現象。其中Fa*e^jaω0t=fa(t),Fb*e^jbω0t=fb(t),Fc*e^jcω0t=0....。

    看下圖的傅里葉變換和逆變換公式，你會發現傅里葉逆變換公式和傅里葉級數公式極其相似，而傅里葉級數系數公式Fn又和傅里葉變換公式極其相似。所以對一個周期函數進行傅里葉級數展開的過程可以認為是先做傅里葉變換再做傅里葉逆變換的過程。

    上圖就是傅里葉變換公式也叫連續傅里葉變換公式，有個很重要的事情，就是傅里葉變換公式和逆變換公式一定要一起給出，不然就會讓人誤解，你們在網上會看到各種各樣的寫法，但這些寫法都是對的，常見的如下圖所示。

    為了方便後面的講解我把角頻率ω換成2πf，如上圖所示，ω是希臘字母讀作Omega，大寫是Ω，小寫是ω，以後這兩個字母會經常看到，都是等於2πf。不要和電學中的電阻單位搞混了，要明白字母只不過是一個符號而已，在不同學科領域都是混著用的，只要不和自己公式中其他字母沖突就行，例如上圖傅里葉變換公式中的j其實就是虛數單位i，一般時候我們會把虛數單位寫成i，但因為傅立葉變換經常用於電學解決一些問題，為了不和電流符號i混淆，所以公式就把i寫成j 。
    要想了解傅里葉變換公式，首先要了解歐拉公式e^ix=cosx+isinx在圖像中的含義。以實部的值cosx作為橫坐標值，虛部sinx的值作為縱坐標值，x的取值從負無窮到正無窮，畫出所有的e^ix點後，你會發現這些點會形成一個周期為2π的圓。如下圖1所示（如果不理解，建議看3Blue1Brown的視頻，視頻連接：https://www.bilibili.com/video/BV1pW411J7s8）

    所以歐拉公式e^ix其實就是隨著x的增大而在坐標繫上逆時針畫圓的過程，那麼e^-ix就表示順時針畫圓，e^-i2πx就表示畫圓的速度提高2π倍，也就是說x從0到1的過程就是順時針畫出一個完整圓的過程（當然x從1到2或者2到3等等，都能畫出一個完整的圓），把x換成t後，e^-i2πt表示每秒都會順時針畫出一個圓。e^-i2πft表示每秒都會順時針畫出f個圓。f(t)表示t時刻的振幅，f(t)函數畫出來就是時域波形圖。f(t)*e^-i2πft表示每經過1秒會順時針畫出f個圓，並在畫圓的同時，t時刻的圓半徑要乘上t時刻的振幅，其實就是以每秒的音頻振幅數據繞f圈的速度進行旋轉纏繞（為了方便理解，沒有用復雜的音頻數據，用的是一個頻率為3的正弦波音頻做的實驗，請看下圖2，圖的上半部分是時域波形圖，圖的左下角是f等於0.4的時候，用公式f(t)*e^-i2πft在實部和虛部構成的坐標系畫的圖，圖的右下角是頻譜圖，頻譜圖的橫坐標是頻率，縱坐標是振幅，振幅的值就是左下角圖中數據形成的圖案的質心（圖中的紅點）到坐標系原點的距離的2倍）。當改變f的值，你會發現數據大多數時候是和我們想的一樣，以坐標系原點為圓心環繞著，也就是振幅一直都是0，但是當f的值，也就每秒的圈數等於該音頻數據的頻率時，你會發現一個神奇的現象，那就是所有的數據會在實部或虛部坐標軸的一側形成一個圓（如下圖3所示，如此一來就知道這段音頻數據包含了一個頻率為3振幅為0.5的正弦波）。所以將多個正弦波疊加的音頻數據用傅里葉公式，f從負無窮到正無窮遍歷一遍，就可以把這個音頻數據里包含的正弦波都一一找出來。（如果不理解，建議看3Blue1Brown的視頻，視頻連接：https://www.bilibili.com/video/BV1pW411J7s8）

    平時我們說的對音頻進行傅里葉變換處理，其實說的是短時離散傅里葉變換。短時離散傅里葉變換的公式（也可以直接叫做離散傅里葉變換公式）如下。

    下面將教大家如何理解這個公式。上面說的連續傅里葉變換公式中有兩個原因導致我們無法使用，第一點要求是音頻數據的時間從負無窮到正無窮，第二點要求是任意時間t都要有幅度值x(t)才能代入公式進行計算。所以為了解決這兩個問題，把公式變為短時且離散的傅里葉變換公式，這個公式可以把一段時間（時間假設為Ts秒）的離散音頻數據（有N個采樣數據）進行傅里葉變換。你可以把離散傅里葉變換公式理解成連續傅里葉變換的變形，最重要的一點是連續傅里葉變換公式的f和離散傅里葉變換公式的k不是一個意思，他們的關系是k=f*Ts。所以離散傅里葉變換公式也可以寫成F(f)=1/n*∑f(t)*e^-j2πf*Ts*n/N，其中的Ts*n/N對應的就是連續傅里葉變換公式的t，只不過這個t沒辦法取任意時間了，t的取值也就隨著n的取值成為了離散的時間點，所以前面的系數由1/2π變為1/N。這樣這兩個公式就對應起來了。下面將進一步詳細介紹這個公式。
    上一段說了k=f*Ts，這段我來解釋下為什麼，其實離散傅里葉變換公式中k表示的是這段Ts秒的音頻數據環繞坐標系原點的圈數，所以k並不是連續傅里葉變換公式里的頻率f，而頻率f指的是1秒鍾震盪的次數，在這個公式中頻率f也對應著1秒的音頻數據環繞的圈數，所以真正的頻率f=k/Ts。
    有人可能會好奇，那為什麼不把離散傅里葉變換公式的自變數k換成f呢，這樣不是更好理解嗎？是會更好理解，但是沒有必要，用f的話還要做一次無用的換算。因為采樣點只有N個的原因，k的取值范圍就被限制住了，k的取值范圍只能是0~N-1的整數，這也是為什麼用k來做自變數而不是用f的原因。
    還有人可能會好奇，傅里葉逆變換到底是怎麼把頻域的信息還原回時域的，其實公式計算出來的F(k)是一個復數，這個復數包含了這個頻率的周期函數的振幅和相位的信息，假設F(k)=a+ib，，F(k)的模|F(k)|=(a^2+b^2)^1/2，頻率f=k/Ts時的振幅為|F(k)|*2（因為求出來的值相當於圓心，但實際上振幅是圓離圓心最遠點到坐標原點的距離，所以要乘2），頻率f=k/Ts時的相位為arctan(b/a)。所以如果你知道一個周期函數包含了哪些頻率的周期函數，並且你這到這些周期函數的振幅和相位，你就可以像下圖一樣把fa(t)和fb(t)疊加在一起還原回f(t)。傅里葉逆變換的做法略有不同，但意思就是這么個意思，理解了離散傅里葉變換公式的計算，逆變換其實也是差不多代入數值計算就是了。（如果不理解怎麼用離散傅里葉變換公式計算，建議看視頻，視頻里有離散傅里葉變換完整的計算過程，視頻連接：https://www.hu.com/zvideo/1276595628009377792）

快速傅里葉變換推薦看下面兩個視頻
https://www.bilibili.com/video/BV1za411F76U
https://www.bilibili.com/video/BV1Jh411d7CN
下面是我用java實現的離散傅里葉變換及逆變換和快速傅里葉變換及逆變換，從他們的運行時間就可以看出來快速傅里葉變換快得多。（學完快速傅里葉變換再想想頻譜為何Y軸對稱？為何N/2對稱？）

❽ matlab是如何進行傅里葉變換的採用什麼方法進行積分運算

第一步，雙擊matlab軟體圖標，打開matlab軟體，可以看到matlab軟體的界面。

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第二步，使用syms命令，創建四個符號變數a、b、c、x、t。

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第三步，使用符號變數a，創建代數式A，其中A=7*sin(a)。

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第四步，使用函數fourier(A,a,t)，對代數式A進行傅里葉變換。得到的結果中diract(t-1)是狄拉克函數。

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第五步，使用符號變數c，創建代數式B，其中A=3*c^2。

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第六步，使用函數fourier(B,c,t)，對代數式B進行傅里葉變換。得到的結果中dirac(2,t)是對狄拉克函數的二階導數。

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第七步，使用符號變數x，創建代數式C，其中C=abs(4*x)。

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第八步，使用函數fourier(C,x,t)，對代數式C進行傅里葉變換
matlab軟體是一款科學計算軟體，在工程和科學研究中應用廣泛。這篇經驗告訴你，如何使用matlab軟體創建代數式，並對代數式進行傅里葉變換。

❾ 傅立葉變換怎麼用

sinwt的傅里葉變換公式是cosω0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。

計算離散傅里葉變換的快速方法，有按時間抽取的FFT演算法和按頻率抽取的FFT演算法。前者是將時域信號序列按偶奇分排，後者是將頻域信號序列按偶奇分排。

它們都藉助於的兩個特點：一是周期性；二是對稱性，這里符號*代表其共軛。這樣，便可以把離散傅里葉變換的計算分成若干步進行，計算效率大為提高。

變換提出

傅里葉是一位法國數學家和物理學家的名字，英語原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對熱傳遞很感興趣，於1807年在法國科學學會上發表了一篇論文，運用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個在當時具有爭議性的決斷：任何連續周期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成。

當時審查這個論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數學家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，當拉普拉斯和其它審查者投票通過並要發表這個論文時，拉格朗日堅決反對，在他此後生命的六年中，拉格朗日堅持認為傅里葉的方法無法表示帶有稜角的信號，如在方波中出現非連續變化斜率。

法國科學學會屈服於拉格朗日的威望，拒絕了傅里葉的工作，幸運的是，傅里葉還有其它事情可忙，他參加了政治運動，隨拿破崙遠征埃及，法國大革命後因會被推上斷頭台而一直在逃避。直到拉格朗日死後15年這個論文才被發表出來。

❿ 傅立葉變換的公式

傅立葉變換的公式為：

(10)符號計算方法的傅里葉變換擴展閱讀

如果t滿足狄里赫萊條件：在一個以2T為周期內f(X)連續或只有有限個第一類間斷點，附f（x）單調或可劃分成有限個單調區間，則F（x）以2T為周期的傅里葉級數收斂，和函數S（x）也是以2T為周期的周期函數，且在這些間斷點上，函數是有限值。在一個周期內具有有限個極值點、絕對可積。

傅里葉變換在物理學、電子類學科、數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域都有著廣泛的應用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成頻率譜——顯示與頻率對應的幅值大小）。

為了在科學計算和數字信號處理等領域使用計算機進行傅里葉變換，必須將函數定義在離散點上而非連續域內，且須滿足有限性或周期性條件。