向量的計算方法和證明

Ⅰ 向量的基本運算

1、a,b均為向量∵
|a+b|=|a-b|
∴a⊥b
a,b,a+b與a,b,a-b均構成直角三角形，斜邊為5，所以|b|=4
2、a,b,c,d均為向量，a*b=2*3*cos60=2*3*1/2=3
(1)∵c∥d
∴|c×d|=0
c×d=(3a+b)×(2a+kb)=6a×a+2b×a+3ka×b+kb×b=(3k-2)a×b
|c×d|=|3k-2||a×b|=0
|a×b|≠0
∴3k-2=0
k=2/3
(2)
∵c⊥d
∴c*d=0
c*d=(3a+b)*(2a+kb)=6a*a+2b*a+3ka*b+kb*b=6|a|^2+(3k+2)a*b+k|b|^2
=6*4+3(3k+2)+9k=18k+30=0
k=-5/3

Ⅱ 向量的加減乘除運演算法則是什麼

向量的減法：如果a、b是互為相反的向量，那麼a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0OA-OB=BA.即「共同起點，指向被減」，例如：a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，則a-b=(x1-x2,y1-y2)。

向量的乘法：實數λ和向量a的叉乘乘積是一個向量，記作λa，且|λa|=|λ|*|a|。當λ>0時，λa的方向與a的方向相同。

向量加法的運算律：

1、交換律：a+b=b+a；

2、結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

3、加減變換律：a+(-b)=a-b

4、向量的加減乘（向量沒有除法）運算滿足實數加減乘運演算法則。

Ⅲ 數學向量的重要理論和公式，及解題方法

如果 a≠0，那麼向量b與a共線的充要條件是：存在唯一實數λ，使得 b=λa。
證明：
1）充分性，對於向量 a(a≠0)、b，如果有一個實數λ，使 b=λa，那麼由 實數與向量的積的定義 知，向量a與b共線。
2）必要性，已知向量a與b共線，a≠0，且向量b的長度是向量a的長度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那麼當向量a與b同方向時，令 λ=m，有 b =λa，當向量a與b反方向時，令 λ=-m，有 b=-λa。如果b=0，那麼λ=0。
3）唯一性，如果 b=λa=μa，那麼 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。
證畢。
[編輯本段]推論

推論1

兩個向量a、b共線的充要條件是：存在不全為零的實數λ、μ，使得 λa+μb=0。
證明：
1）充分性，不妨設μ≠0，則由 λa+μb=0 得 b=(λ/μ)a。由 共線向量基本定理 知，向量a與b共線。
2）必要性，已知向量a與b共線，若a≠0，則由共線向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，實數λ、μ不全為零。若a=0，則取μ=0，取λ為任意一個不為零的實數，即有 λa+μb=0。
證畢。

推論2

兩個非零向量a、b共線的充要條件是：存在全不為零的實數λ、μ，使得 λa+μb=0。
證明：
1）充分性，∵μ≠0，∴由 λa+μb=0 可得 b=(λ/μ)a。由 共線向量基本定理 知，向量a與b共線。
2）必要性，∵向量a與b共線，且a≠0，則由 共線向量基本定理 知，b=λa；又∵b≠0，∴λ≠0； 取 μ=-1≠0，就有 λa+μb=0，實數λ、μ全不為零。
證畢。

推論3

如果a、b是兩個不共線的向量，且存在一對實數λ、μ，使得 λa+μb=0，那麼λ=μ=0。
證明：（反證法）
不妨假設μ≠0，則由 推論1 知，向量a、b共線；這與已知向量a、b不共線矛盾，故假設是錯的，所以λ=μ=0。
證畢。

推論4

如果三點P、A、B不共線，那麼點C在直線AB上的充要條件是：存在唯一實數λ，使得
向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。（其中，向量AC=λ向量AB）。
證明：
∵三點P、A、B不共線，∴向量AB≠0，
由 共線向量基本定理 得，
點C在直線AB上 <=> 向量AC 與 向量AB 共線 <=> 存在唯一實數λ，使 向量AC=λ·向量AB
∵三點P、A、B不共線，∴向量PA 與 向量PB 不共線，
∴向量AC=λ·向量AB <=> 向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA) <=> 向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB。
證畢。

推論5

如果三點P、A、B不共線，那麼點C在直線AB上的充要條件是：存在唯一一對實數λ、μ，使得
向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）
證明：
在推論4 中，令 1-λ=μ ，則λ+μ=1，知：
三點P、A、B不共線 <=> 點C在直線AB上的充要條件是：存在實數λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）
下面證唯一性，若 向量PC=m向量PA+n向量PB，則 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB，
即，（m-λ）向量PA+（n-μ）向量PB=0，
∵三點P、A、B不共線，∴向量PA 與 向量PB 不共線，
由 推論3 知，m=λ，n=μ。
證畢。

推論6

如果三點P、A、B不共線，那麼點C在直線AB上的充要條件是：存在不全為零的實數λ、μ、ν，使得
λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。
證明：
1）充分性，由推論5 知，若三點P、A、B不共線，則 點C在直線AB上 <=> 存在實數λ、μ，使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB（其中，λ+μ=1）。
取ν=-1，則有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，且實數λ、μ、ν不全為零。
2）必要性，不妨設ν≠0，且有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，則 向量PC=（λ/ν)·向量PA+(μ/ν)·向量PB，（-λ/ν）+（-μ/ν）=1。由推論5 即知，點C在直線AB上。
證畢。

推論7

點P是直線AB外任意一點，那麼三不同點A、B、C共線的充要條件是：存在全不為零的實數λ、μ、ν，使得
λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。
證明：（反證法）
∵點P是直線AB外任意一點，∴向量PA≠0，向量PB≠0，向量PC≠0，且 向量PA、向量PB、向量PC兩兩不共線。
由推論6 知，實數λ、μ、ν不全為零，
1）假設實數λ、μ、ν中有兩個為零，不妨設λ≠0，μ=0，ν=0。則 λ向量PA=0，∴向量PA=0。這與向量PA≠0。
2）假設實數λ、μ、ν中有一個為零，不妨設λ≠0，μ≠0，ν=0。則 λ向量PA+μ向量PB=0，∴向量PA=（μ/λ）·向量PB，∴向量PA 與 向量PB共線，這與向量PA 與 向量PB不共線矛盾。
證畢。
[編輯本段]共線向量定理

定理1

⊿ABC中，點D在直線BC上的充要條件是

其中

都是其對應向量的數量。
證明：有推論5 即可證得。

定理2

⊿ABC中，點D在直線BC上的充要條件是

其中
都是有向面積。通常約定，頂點按逆時針方向排列的三角形面積為正，頂點按順時針方向排列的三角形面積為負。
證明：由定理1 即可得證。

Ⅳ 向量怎麼計算！

你好
向量怎麼計算！

解：設a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法

a+b=(x+x'，y+y')。

2、向量的減法

a=(x,y)b=(x',y') 則a-b=(x-x',y-y')

3、數乘向量

實數λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
當λ>0時，λa與a同方向
當λ<0時，λa與a反方向；
向量的數乘
當λ=0時，λa=0，方向任意。
當a=0時，對於任意實數λ，都有λa=0。
註：按定義知，如果λa=0，那麼λ=0或a=0。

有什麼不懂請追問，我會為您詳細解答，望採納，謝謝！

Ⅳ 數學向量運算證明

設A（0，0，0）B(1,0,0)D(0,1,0)A1(0,0,1)則C1（1，1，1）D1（0，1，1）C(1,1,0)
所以E(1/2,0,0)，F(1,1,1/2)
向量EF=(1/2,1,1/2)向量BD1=（-1，1，1）
cos<EF,BD1>=EF*BD1/(|EF|*|BD1|)=(-1/2+1+1/2)/（(根號下2分之3)*（根號下3））=3分之根號2
所以夾角為arccos(三分之根號二)

Ⅵ 法向量的計算方法

平面法向量的具體步驟：（待定系數法）

1、建立恰當的直角坐標系

2、設平面法向量n=（x，y，z）

3、在平面內找出兩個不共線的向量，記為a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）

4、根據法向量的定義建立方程組：

①n·a=0；

②n·b=0。

5、解方程組，取其中一組解即可。

如果曲面在某點沒有切平面，那麼在該點就沒有法線。

例如，圓錐的頂點以及底面的邊線處都沒有法線，但是圓錐的法線是幾乎處處存在的。通常一個滿足Lipschitz連續的曲面可以認為法線幾乎處處存在。

(6)向量的計算方法和證明擴展閱讀：

法向量的主要應用如下：

1、求斜線與平面所成的角：求出平面法向量和斜線的夾角,這個角和斜線與平面所成的角互余.利用這個原理也可以證明線面平行；

2、求二面角：求出兩個平面的法向量所成的角,這個角與二面角相等或互補；

3、點到面的距離： 任一斜線(平面為一點與平面內的連線)在法向量方向的射影；

如點B到平面α的距離d=|BD·n|/|n|（等式右邊全為向量,D為平面內任意一點,向量n為平面α的法向量）。

利用這個原理也可以求異面直線的距離。

Ⅶ 向量那些運算律能證明嗎

在新學這些運算律時課本里都有證明，而且都很簡單，只有一個分配率證明過程難一點，考試只需正確運用定律，不要求證明，下面證明向量(a+b)·c=a·c+b·c

如圖

Ⅷ 向量的運算的所有公式有哪些

• 01

  向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則， 向量加法的運算律：交換律：a+b=b+a；結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。如果a、b是互為相反的向量，那麼a=-b，b=-a，a+b=0，0的反向量為0，OA-OB=BA.即“共同起點，指向被減”a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，則a-b=(x1-x2,y1-y2)。

  在數學中，向量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則，向量加法的運算律：交換律：a+b=b+a；結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。如果a、b是互為相反的向量，那麼a=-b，b=-a，a+b=0，0的反向量為0，OA-OB=BA.即“共同起點，指向被減”a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，則a-b=(x1-x2,y1-y2)。

  數與向量的乘法滿足下面的運算律

  結合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

  向量對於數的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

  數對於向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

  數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb，那麼a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那麼λ=μ。

  向量的數量積的運算律

  a·b=b·a（交換律）

  (λa)·b=λ(a·b)(關於數乘法的結合律)

  （a+b)·c=a·c+b·c（分配律）

  向量的數量積的性質

  a·a=|a|的平方。

  a⊥b〈=〉a·b=0。

  |a·b|≤|a|·|b|。（該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因為0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）

  向量的向量積運算律

  a×b=-b×a

  (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)

  a×(b+c)=a×b+a×c.

  (a+b)×c=a×c+b×c.

Ⅸ 空間向量計算方法

空間向量作為新加入的內容，在處理空間問題中具有相當的優越性，比原來處理空間問題的方法更有靈活性。
如把立體幾何中的線面關系問題及求角求距離問題轉化為用向量解決，如何取向量或建立空間坐標系，找到所論證的平行垂直等關系，所求的角和距離用向量怎樣來表達是問題的關鍵．
立體幾何的計算和證明常常涉及到二大問題：一是位置關系，它主要包括線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行；二是度量問題，它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角等。這里比較多的主要是用向量證明線線、線面垂直及計算線線角，而如何用向量證明線面平行，計算點到平面的距離、線面角及面面角的例題不多，起到一個拋磚引玉的作用。
以下用向量法求解的簡單常識：
1、空間一點P位於平面MAB的充要條件是存在唯一的有序實數對x、y，使得
或對空間一定點O有
2、對空間任一點O和不共線的三點A，B，C，若：
（其中x＋y＋z=1），則四點P、A、B、C共面．
3、利用向量證a‖b，就是分別在a，b上取向量
（k∈R）．
4、利用向量證在線a⊥b，就是分別在a，b上取向量
．
5、利用向量求兩直線a與b的夾角，就是分別在a，b上取
，求：
的問題．
6、利用向量求距離就是轉化成求向量的模問題：
．
7、利用坐標法研究線面關系或求角和距離，關鍵是建立正確的空間直角坐標系，正確表達已知點的坐標．