最優化計算方法答案

① 解決經濟分析的最優化問題的基本步驟是什麼

從數學角度看,最優化問題可以分為無約束最優化和約束最優化。所謂無約束最優化問題是比較簡單的微分問題,可用微分求解。
管理決策問題往往也就是最優化問題,而比較常用和方便的方法就是邊際分析法。
所謂「無約束」,即產品產量、資源投入量、價格和廣告費的支出等都不受限制。在這種情況下,最優化的原則是:邊際收入等於邊際成本,也就是邊際利潤為零時,利潤最大,此時的業務量為最優業務量。管理決策中的諸多最優化問題,比如投入要素之間如何組合才能使成本最低;企業的產量多大,才能實現利潤最大,當因變數為自變數的連續函數時,經濟學與數學意義是統一的,可用邊際分析法解決;而在處理離散數列的最優化問題時則可以用統計的方法先將離散數列擬合成連續函數,求得最優點,然後在原離散數列中找到離擬合曲線最優點最近的前後兩點,比較其值及其投入量,既而求得最優點。
有約束條件的最優化包括一個或幾個貨幣、時間、生產能力或其他方面的限制,當存在不等式約束條件時,可以採用線性規劃。大多數情況下,管理者知道某些約束是連在一起的,即它們是同樣的約束條件,可以採用拉格朗日乘數法解決這些問題。
從數學上比較一般的觀點來看,所謂最優化問題可以概括為一種數學模型:結合一個函數F(x)以及自變數應滿足一定的條件,求X 為怎樣的值時,F(x)取得其最大值或最小值。通常,稱F(x)為目標函數,X 應滿足的條件為約束條件。求目標函數F(x)
在約束條件X 下的最大值或最小值問題,就是一般最優問題的數學模型,可以用數學符號簡潔地表示為MinF(x)或MaxF(x)。解決最優化問題地關鍵步驟是如何把實際問題,抽象成數學模型,也就是構造出目標函數與約束條件,一旦這一步完成,對於簡單問題,可藉助圖形或微積分來解決,遇到比較復雜地課題,可利用現有地數學軟體或最優化軟體,比如Matlab,Mathematica,Lindo,Lingo 等來計算。下面舉例說明如何計算有約束條件地最優化問題。
例設某種產品的產量是勞動力x和原料y(t)的函數,f(x),y=60X 3y 2,假定每單位勞動力費用100元,每單位原料費用200元,現有2萬元資金用於生產,為了得到最多的產品,應如何安排勞動力和原料。
解:依題意,可歸結為求函數f(x,y)=60x 3y 2在約束條件100x+200y=20000下的最大值,故可用拉格朗日乘數法求解。

② 跪求解答最優化方法問題，判定是否為凸規劃 max f(x)=x1+x2 sit :x1*x1+x2*x2<=9 ,x2>=0.急求解題過程

是凸優化問題，
上述問題等價於minimum -x1-x2 ；st ：x1*x1+x2*x2<=9 ，-x2<=0，三者全部都是凸函數。
如果只想求得答案，直接畫圖即可。如果想用凸優化的方法，由於原問題滿足強對偶性，求對偶問題就可解得，也可以用KKT條件求解。

③ 4.48÷0.25x0.4用最優化的方法計算。

4.48÷0.25×0.4
=（448/100）÷1/4×2/5
=112/25×4×2/5
=896/125

④ 3.2x5.8+69x0.58-0.58用用最優化的方法計算。

3.2x5.8+69x0.58-0.58
解：最優化的方法
=3.2x5.8+6.9x5.8-5.8x0.1
=5.8x(3.2+6.9-0.1) 乘法分配律
=5.8x10
=58
祝學習進步。

⑤ 最優化方法的問題求解

分太高，嚇跑人！
我就有過這樣的經歷………………

⑥ 一道最優化模型的計算題 高分求詳細解答11

f(x)=(80000-x*5000)*(1.5+x),求最大值。
用極限求值的方法，不難。

⑦ 本人誠心求天津大學解可新主編的《最優化方法》2004版課後習題的答案

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⑧ 一道最優化模型的計算題 高分求詳細解答

-------樓主看這里哦，不是復制粘貼的哦 ----------------

1。假如不考慮成本的話，周利潤為：
設價格提高x美元:
總利潤
F(x)
=(80000-x*5000/0.1)(1.5+x)
=-50000x^2+5000x+120000

這是一個 開口向下 擁有極大值 的 二次函數
最大值出現在
x=-b/2a=0.05

也就是說，如果價格提高0.05美元（5美分），則利潤最大。

2。將每提升10美分損失用戶數量設為n
總利潤
F(x,n)
=(80000-x*n/0.1)(1.5+x)
=-10nx^2+(80000-15n)x+120000

最優訂閱價格
P(n)
=1.5+(-b/2a)
=1.5+(4000/n-0.75)
=0.75+4000/n

P(3000)=0.75+1.33=2.08
P(4000)=0.75+1.00=1.75
P(5000)=0.75+0.80=1.55
P(6000)=0.75+0.67=1.42
P(7000)=0.75+0.57=1.32

3。我可能不是你們專業的，我不清楚 這個靈敏性是怎麼定義的，我很想知道這個定義式是什麼。但是就我個人的思考而言，我覺得直接用P(n)的一階導就可以表達類似的靈敏度。

P'(n)=-4000/n方

在n=5000處，導數值為
P'(5000)=-0.16*10^(-3)

4。
分兩種情況來看：

[1]如果能確定每提高10美分損失的訂戶數量是5000，那麼就應該提高價格。價格由現在的1.5提高到1.55，這樣獲得的總利潤增加了。

[2]如果不能確定一定是5000的話，建議還是不要更改價格。
原因為：
（1）即使是5000，那麼在1.55價格下比1.50價格下的總利潤提升得很少，只提升了大約1%。
（2）從P』(5000)中，我們可以看出來，如果n增加1000左右，則最優價格要降低0.16。實際上我們只提升了0.05。說明這個n的變化對最優價格的影響還是很大的。所以在不能確定n一定是5000的情況下，不要盲目的更改價格，可能適得其反造成總利潤下降。

⑨ 最優化選擇法數學原理

2.2.1 目標函數

設觀測異常以ΔZ_k表示，k為觀測點序號，k=1，2，…，m，m為觀測點數。

設所選用的地質體模型的理論異常以 Z 表示，Z 是模型體參量和觀測點坐標的函數，即

Z=f（x_k，y_k，z_k，b₁，b₂，…，b_n）

式中：x_k，y_k，z_k為觀測點的坐標；b₁，b₂，…，b_n為模型體的參量，如空間位置、產狀、物性等，參量的個數為n。

模型體的初始參量用

，

，

，…，

表示。

理論曲線與實測曲線之間的符合程度，是以各測點上理論異常與實測異常之差的平方和（即偏差平方和）來衡量的，用φ表示，即

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目的在於求得一組關於模型體參量的修改量δ₁，δ₂，…，δ_n，來修改模型體給定的初值參量，即

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於是求出關於模型體參量的一組新值，而由這組新參量形成的模型體的理論異常與實測異常之間的偏差平方和將取極小，即是

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代入式（2.2.1）中將使φ值獲得極小，這時b_i即為我們的解釋結果，這稱為最小二乘意義下的最優化選擇法。

我們稱φ為目標函數，用它來衡量理論曲線與實測曲線的符合程度。最優化方法的關鍵在於求取使φ值獲得極小參量的改正值δ_i，而f通常是b_i的非線性函數，因而該問題歸結為非線性函數極小的問題。

2.2.2 求非線性函數極小的迭代過程

從上已知f為b_i的非線性函數，那麼要求它與實測值之間的偏差平方和φ為極小的問題就稱為非線性極小問題，或稱為非線性參數的估計問題。如果是線性問題，參數估計比較簡單，通常進行一次計算即可求出參數的真值，而對非線性問題，參數估計卻要復雜得多，為了求解，通常將函數在參數初值鄰域內展成線性（忽略高次項），即所謂的線性化，然後再求得改正量δ_i（i=1，2，…，n），由於這是一種近似方法，因而不可能使φ一次達到極小，而需要一個迭代過程，通過反復計算而逐步逼近函數φ的極小值。

圖2.1 不同埋深時的重力異常

為了說明這個求極小的迭代過程，可以舉一個單參量的例子，即假如我們要確定引起重力異常Δg_k的場源地質體的深度，假設場源為一個已知體積和密度的球體模型，如圖2.1所示，那麼φ就是球心埋深z的函數，如果球心埋深的真值為h，我們首先取初值為z^（0），這時函數

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式中：Δg_k為實測異常；g（z）是球心埋深為z的理論重力異常；φ隨z的變化情況示於圖2.2 中，要求使φ獲極小的z，即要求使

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的根。由於z^（0）和φ（z^（0））不能一次求出φ的極小來，通常採用迭代的辦法，如圖2.3所示，例如用牛頓切線法迭代求根，根據下式

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得到一個更近似於根的值z^（1），但不等於h，因此需進一步再用上式，將z^（1）作為新的初值z^（0），可得到新的z^（1）更接近於h，如此反復下去可以使z值無限接近於h，當滿足精度要求時，我們認為它近似等於h了，停止迭代，這時的z^（1）就作為h值。

圖2.2 函數φ（z）隨z變化示意圖

圖2.3 用牛頓切線法求φ′（z）=0的根示意圖

2.2.3 單參量非線性函數的極小問題

單參量不僅是討論多參量的基礎，而且往往在求多參量極小時要直接用到單參量極小的方法，因此有必要作一介紹。

求單參量極小的方法很多，上面用到的牛頓切線法就是其中之一，在此我們介紹一種用得較多的函數擬合法，以及精度較高的DSC-Powell方法。

2.2.3.1 函數擬合法

2.2.3.1.1 二次函數擬合法

A.不計算導數的情況

設取三個參量值x₁、x₂、x₃，它們對應的φ 值就應為φ₁、φ₂、φ₃，過三個點（x₁，φ₁；x₂，φ₂；x₃，φ₃）作二次拋物線，應有下式

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聯立φ₁、φ₂、φ₃的方程式，即可得出系數A、B、C來。

當A＞0時，應有極小點存在，我們設極小點為d，那麼根據極小的必要條件有

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將A、B的表達式代入即得

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當x₁、x₂、x₃為等距的三點時，上式可簡化為

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B.計算導數的情況

設已知兩個點的參量值x₁和x₂對應的函數值φ₁、φ₂，並已求得x₁點的一階導數值φ′（x₁），可用下列方法求極小點d：

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聯立φ₁、φ₂、φ′（x₁）三個方程即可得A、B、C，代入極小點的表達式即可求得極小點。

為了簡化起見，不妨設x₁為坐標原點（即x₁=0），設x₂=1，於是上面各式簡化成：

φ′（x₁）=B

φ₁=C

φ₂=A+B+C

A=φ₂-φ′（x₁）-φ₁

則

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2.2.3.1.2 三次函數擬合法

取兩個點的參量值x₁和x₂，及相應的φ₁和φ₂值，並已得到該兩點的一階導數值φ′（x₁）和φ′（x₂），我們選用一個三次多項式

φ=Ax³+Bx²+Cx+D

代入上面給出的4個條件，同樣，為了簡化起見，不妨設x₁為坐標原點（即x₁=0），設x₂=1，則有

φ₁=D

φ₂=A+B+C+D

φ′（x₁）=C

φ′（x₂）=3A+2B+C

聯立求解，可定出4個系數A、B、C、D，按照求極小的必要條件

φ′=3Ax²+2Bx+C=0

當二階導數

φ″=6Ax+2B＞0

時有極小存在，極小點d就為

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為了計算方便，令

v=φ′（x₁）

u=φ′（x₂）

S=-3（φ₁-φ₂）=3（A+B+C）

Z=s-u-v=B+C

W²=Z²-vu=B²-3AC

於是極小點d就可用下列形式表示：

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2.2.3.2 DSC-Powell 法

該法為比較細致的單參量探測法，精度比較高，計算工作量較大，大致可分為兩部分來完成，其探測（迭代）過程如圖2.4所示。

2.2.3.2.1 確定極小值所在的區間

採用的是一種直接探測法，做法可歸納如下。

第一步：給定探測方向x、初值點x₀和初始步長Δx，計算φ（x₀）和φ（x₀+Δx），若φ（x₀+Δx）≤φ（x₀），轉向第二步；若φ（x₀+Δx）＞φ（x₀），則取-Δx為步長Δx，轉向第二步。

第二步：計算x_k+1=x_k+Δx，計算φ（x_k+1）。

第三步：如果φ（x_k+1）≤φ（x_k），以2Δx為新步長代替Δx，且用k代表k+1，轉向第二步。

如果φ（x_k+1）＞φ（x_k），則以x_m表示x_k+1，以x_m-1表示x_k，將上步的x_k作為x_m-2，並計算

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第四步：在4個等距點（x_m-2、x_m-1、x_m+1、x_m）中，去掉四點中離φ（x）最小點最遠的那一點，即或是x_m，或是x_m-2，剩下的三點按順序以x_α、x_b、x_c表示，其中x_b為中點，那麼（x_α，x_c）區間即為極小值所在的區間。

2.2.3.2.2 用二次函數擬合法求極小點

將上面已確定的等距的 x_α、x_b、x_c三點及 φ 值，用二次函數擬合法即用公式（2.2.3）求得極小點，令為x^*點。再將x_α、x_b、x_c、x^*四點中捨去φ值最大的點，剩下的點重新令為α、b、c，則又得三點和它們相應的φ值，用公式（2.2.2）求其極小點x^*，如此反復使用公式（2.2.2），逐步縮小極小值的區間，一直到兩次求得的極小點位置差小於事先給定的精度為止，x^*點即為極小點。

圖2.4 DSC-Powell法示意圖

2.2.4 廣義最小二乘法（Gauss 法）

重磁反問題中的最優化方法，一般是指多參量的非線性最優估計問題，理論模型異常z=f（

，b₁，b₂，…，b_n）是參數b_i（i=1，2，3，…，n）的非線性函數，其中

=（x，y，z）為測點的坐標。由前已知ΔZ_k（k=1，2，…，m）表示在第k個觀測點

上的實測異常，現在要尋求與觀測異常相對應的理論模型的參量值b_i（i=1，2，…，n），使理論異常與實測異常的偏差平方和

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為極小。

設b_i的初值為

，則上述問題，即是要求修正量δ_i，使

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代入φ中，使φ獲得極小。

高斯提出了首先將f函數線性化的近似迭代方法，即將f在

處按台勞級數展開取其線性項。

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式中

，

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當

和

給出後，

和

均可直接計算出來。將台勞展開式代入式（2.2.6）中，目標函數φ為

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要求

使φ取得極小，根據極小的必要條件

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將上式化為

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寫成方程組形式

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式中：

，

（i，j=1，2，…，n）

再寫成矩陣形式，有

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即

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其中

A=P^TP

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式中：P稱為雅可比（Jacobi）矩陣，是理論模型函數對參量的一階導數矩陣。A為正定對稱矩陣，實際計算時，當實測異常值已給出，模型體的初值

已選定後，A和

即可計算出，求解方程（2.2.7）即可求出

，從而可得

。

上面推導出的方程（2.2.7）是將f線性化所得，因而只有當f為真正的線性函數時，

才是真正的極小點

，即一步到達極小；當f為非線性函數時，台勞式線性化僅為近似式，近似程序視

的大小而定，當|δ_i|較大時，二次以上項忽略的誤差就大，反之就小，所以對於非線性函數

不能簡單地作為極小點

，一般將

作為新的初值

再重復上述做法，再解方程（2.2.7）又得到新的

，反復迭代下去，直到滿足精度要求為止（例如|δ_i|小到允許誤差）。

在高斯法應用中常常出現一種困難，即迭代過程不穩定，當

過大時，台勞展開的高次項太大而不能忽略時，就可能發生這樣的情況，即用方程（2.2.7）求得的解，得到的參量

所對應的φ值大於

所對應的φ值，那麼它將不能穩定地收斂於φ的極小值，即是出現了發散的情況，一般說來當f非線性程度越明顯時，越易出現發散的情況。

因此高斯法的一種改進形式如下，即不直接把

作為校正值，而將它作為校正方向，記為

，而在該方向上用單變數求極小的方法尋找在這個方向上的極小點，即尋找一個α，使目標函數φ（

）為極小，取

作為新的初值，再繼續迭代（0＜α＜1）。

把這個改進的方法稱為廣義最小二乘法，它使迭代過程的穩定性有所改善，即使這樣當初值取得不好時，也有可能出現不收斂。

2.2.5 最速下降法

從前述已知，我們的目的是要求目標函數的極小，高斯法是利用將f函數線性化，建立一個正規方程（2.2.7）來求取修正量的，最速下降法是另一類型方法，它直接尋找φ函數的下降方向來求取修正量，所以它又稱為直接法，而高斯法又稱為間接法。

從目標函數φ出發來尋找其下降方向

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始終是大於或等於0，因此它一定有極小存在，我們首先考慮初值點

的一個鄰域內，將φ在

處台勞展開取至線性項，有

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希望尋找使Φ下降的方向，即要找新點

，使φ（

）＜φ（

）

即要求φ（

）-φ（

）＞0，

且越大越好，那麼可得

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式中

表示φ函數對

的各分量的導數所組成的向量，即梯度向量。

要使上式取極大，有

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上式說明了φ值下降最快的方向

，應該是與梯度方向

相反的方向，即負梯度方向，那麼修正量就應在負梯度方向上來求取。下面討論從

出發，沿負梯度方向上求取極小點的方法，除了用前面介紹過的方法外，在此再介紹一種近似計算方法。

要求從

出發，沿-

方向的極小點，即要求λ使φ

為-

方向上極小點。根據極小必要條件，有

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如果φ為二次函數時，λ可以直接解出，在重磁反問題中φ為非二次函數，且函數形式較復雜，一般無法直接解出λ，而採用近似法，先將φ（

）台勞展開，取至線性項，即

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假設粗略認為φ的極小值為零，則極小點的λ應有

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這個方法計算簡單，但誤差較大，特別是

遠離真正極小點

時，φ值較大，上式的假設不適合，當接近真極小點

附近時，可以採用。但在重磁反問題中，由於實測值Z_k中含有干擾成分，所以即使到了

附近，φ值仍不會為零，因而上述計算λ的方法不能直接採用，可將上述計算的λ作為一個區間估計值，再用其他方法計算［0，λ］之間真正的λ值。

從上所述可將最速下降法敘述如下：從初值

出發，沿著φ（

）的負梯度方向-

（

）尋找極小點

，然後又從

出發，沿著φ（

）的負梯度方向-

（

）尋找極小點

，一直迭代下去，直到找到

為止。

由於這個方法是沿著初值點的最快下降方向，在該方向上如果採用單方向求極小的方法得到該方向上的極小點，那麼又稱「最優」、「最速」下降法。但需要指出的是，所謂「最速」是就初值點的鄰域而言，所謂「最優」是指在初值點的負梯度方向上，所以它的著眼點是就局部而言，就初值點鄰域而言，而對整體往往是既非「最優」，又非「最速」，而是一條曲折的彎路，難怪有人稱它為「瞎子下山法」，如圖2.5所示，當φ的等值面為拉長的橢球時更是如此。但它有一個十分可貴的優點，即在迭代的每一步都保證φ值下降，所以它是穩定收斂的，在φ函數復雜時，計算工作量較大些，對於大型計算機比較適用。

圖2.5 最速下降法迭代過程示意圖

圖2.6 修正量的方向

2.2.6 阻尼最小二乘法（Marguardt）

比較上述兩種方法可知，Gauss法修正量的步長大，當φ近於二次函數，可以很快收斂，但當φ為非二次函數，初值又給得不好時，常常引起發散。而最速下降法卻能保證穩定的收斂，但修正量的步長小，計算工作量大。當φ的等值面為拉長的橢球時，Gauss法的修正量

和最速下降法的修正量

之間的夾角γ可達80°～90°，如圖2.6所示。

對於φ為二次函數的情況下，高斯法的修正量

方向是指向φ的極小點，而最速下降法修正量

的方向是垂直於通過

點的φ函數等值面的切平面。因而當φ為比較復雜的函數時，有可能使

出現發散而失敗。

阻尼最小二乘法是在Gauss法和最速下降法之間取某種插值，它力圖能以最大步長前進，同時又能緊靠負梯度方向，這樣既能保證收斂又能加快速度。它的基本思想是：在迭代過程的每一步，最好盡量使用Gauss法修正量方向

，以使修正步長盡可能地增大，如當這種情況下不能收斂時，再逐步改用接近最速下降的方向

，同時縮小步長，以保證收斂，下面以

表示由阻尼最小二乘法得出的修正量。

實現上述思想只要將方程

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改變為

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就能實現了。式中

為我們所要求的修正量，即稱Marguardt修正向量，I為單位矩陣，λ是用來控制修正方向和步長的任意正數，又稱阻尼因子，它起到阻止發散的作用，方程（2.2.9）中

顯然是λ的函數，即

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通過這一改變後，即原來的正規方程（2.2.7）系數矩陣的主對角線上加一正數，從而使條件數得到了改善。如果原來A是奇異的，而A+λI可成為正定的，設原來A的最大特徵值和最小特徵值為μ_max和μ_min，則條件數就發生了如下變化：

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使病態條件數改善，對於計算來說，是十分有利的。

從方程（2.2.7）可看出，右端項為

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而φ的負梯度向量

的第i個分量

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所以

，即方程（2.2.7）、（2.2.9）的右端項

的方向即為負梯度方向，值為負梯度值的一半。

在方程（2.2.9）中，當λ=0時，即是（2.2.7）方程，這時

就是

；當λ→∞時，δ₀→

，而

是負梯度方向，這時

就是最速下降方向，所以阻尼最小二乘法的修正量

，是最速下降修正量

和Gauss法修正量

之間的某種插值，λ就是這種插值的權系數。

Marguardt向量

具有以下三個特性：

（1）當λ越來越大時，

的長度越來越小，且

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‖

‖表示

向量的范數，也即是它的長度。

（2）當λ由零逐漸增大時，

的方向逐漸由Gauss法的方向

轉向最速下降法方向

，λ越大，

方向越接近

方向。

（3）對λ＞0的任意正數，

（滿足方程（2.2.9））使φ在半徑為‖

‖的球面上取得極小。

圖2.7Δ₀（λ）隨λ的變化情況示意圖

以上三個性質說明，當λ逐漸增大時，

的方向由

向

靠近，它的大小‖

‖逐漸減小，λ→∞時，‖

‖→0，如圖2.7所示。因此在迭代的任何一步，我們總可以找到充分大的λ，來保證穩定的收斂，因為當φ 不下降時，就加大λ向

靠，一直到使φ下降為止，從而保證收斂。性質（3）說明在跨出同樣的步長時，以

（λ）方向最好，這就保證了該法的優越性。在實際計算時，總是在保證收斂的前提下，取較小的λ，以獲得較大的步長前進。

下面介紹阻尼最小二乘法的迭代步驟，即實際計算過程。

（1）給出模型體參量初值

，計算φ（

）；給出實測場值ΔZ_k（k=1，2，…，m）；給出阻尼因子的初值λ^（0）及改變λ的比例系數v。

（2）開始迭代，λ=λ^（0）/v

（3）計算A，（A+λI）及右端項

在初值點

的值，得方程（2.2.9），（A+λI）

的系數矩陣及右端項。

（4）求解方程（2.2.9）得

。

（5）計算

及φ（

）。

（6）比較φ（

）和φ（

）。

若φ（

）＜φ（

），則該次迭代成功。判斷

是否滿足精度要求，若滿足停止迭代，這時的

即為極小點

；若不滿足精度要求，則將

作為新

，φ（

）作為新φ（

），減小λ作為新的λ^（0），轉向第（2）步，繼續迭代下去。

若φ（

）＞φ（

），則該次迭代失敗，增大阻尼因子λ，將λ·v作為新的λ，轉向第（4）步，即重新求解（A+λI）

方程，重新得到新的

。

該方法中阻尼因子λ的選擇十分重要，上述選法是一種簡單可行的方法，還有很多不同的選擇方法，可參閱有關的書籍。