有理數小數和整數的計算方法

A. 有理數的加減法怎麼算

有理數加法法則：1、同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加。2、絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數的兩個數相加得0。3、一個數同0相加，仍得這個數；有理數減法法則：即減去一個數，等於加這個數的相反數。有理數的減法可以轉化為加法來進行。

有理數運算定律

加法交換律a+b=b+a.

加法結合律(a+b)+c=a+(b+c).

乘法交換律ab=ba.

乘法結合律(ab)c=a(bc).

乘法對加法的分配律a(b+c)=ab+ac.

有理數和無理數的區別

1、兩者概念不同。

有理數是整數和分數的統稱，正整數和正分數合稱為正有理數，負整數和負分數合稱為負有理數。因此有理數的數集可分為正有理數、負有理數和零。

無理數，也稱為無限不循環小數。簡單來說，無理數就是10進制下的無限不循環小數，如圓周率、根號2等。

2、兩者性質不同。

有理數的性質是一個整數a和一個正整數b的比，例如3比8，通常為a比b。

無理數的性質是由整數的比率或分數構成的數字。

3、兩者范圍不同。

有理數集是整數集的擴張，在有理數集內，加法、減法、乘法、除法4種運算均可進行。而無理數是指實數范圍內，不能表示成兩個整數之比的數。

B. 有理數的定義和運演算法則

有理數是整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱，是整數和分數的集合。正整數和正分數合稱為正有理數，負整數和負分數合稱為負有理數，因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。

有理數的定義

正整數、0、負整數統稱為整數；

正分數和負分數統稱為分數；

整數和分數統稱為有理數。

有理數的運演算法則

1、加法運算律:

（1）加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，和不變，即（a+b）+c=a+（b+c）。

（2）加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加或者先把後兩個數相加，和不變，即 a+b=b+a。

2、減法運算律：

減法運算律：減去一個數，等於加上這個數的相反數。即：a-b=a+（-b）。

3、乘法運算律：

（1）乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積不變，即ab=ba。

（2）乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數先乘，或者先把後兩個相乘，積不變，即（ab）c=a（bc）。

（3）乘法分配律：某個數與兩個數的和相乘等於把這個數分別與這兩個數相乘，再把積相加，即a（a+b）=ab+ac。

注意

⑴ 無限循環小數可以寫成分數形式，所以是有理數。

⑵ 所有正數組成正數集合，所有負數組成負數集合，所有整數組成整數集合，所有有理數組成有理數集合。

⑶ 正數和0統稱為非負數，負數和0統稱為非正數。

C. 如何計算有理數

有理數的加法法則：

同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加

絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值

有理數減法法則：

減去一個數等於加上這個數的相反數

減法可以化成加法，揭示事物之間相互轉化的規律

有理數的乘法法則;

兩數相乘，同號的正異號得負，並把絕對值相乘

有理數除法法則：

除以任何數等於乘以這個數的倒數

(3)有理數小數和整數的計算方法擴展閱讀

1、一般情況下，四則運算的計算順序是：有括弧時，先算括弧裡面的；只有同一級運算時，從左往右；含有兩級運算，先算乘除後算加減。

2、由於有的計算題具有它自身的特徵，這時運用運算定律，可以使計算過程簡單，同時又不容易出錯。

加法交換律：a+b=b+a

乘法交換律：a×b=b×a

加法結合律：（a+b）+c=a+（b+c）

乘法結合律：（a×b）×c=a×(b×c)

D. 整數、有理數、實數筆記4（分數/小數的計算技巧）

考點1：分數與小數的互化：

= 0.4                       0.75=                         =0.333333……（無限循環小數）

無限循環小數化分數，整數部分照抄，小數部分有幾位循環節，化為分數中分母就寫幾個9，之後將循環節作為分子，最後可以約分的進行約分即可。

0.7777……=        0.474747……=      1.375375……=1+375/999

例題：把0.5656……轉化為分數形式（  C   ）

A.         B.        C.       D.            E.57/100

分數的分子與分母同乘一個不為0的數或者算式，分數值不變

= = （a 0，c 0）

分母相同，分母不變，分子直接加減

分母不同，先通分，再加減

分數的通分，異分母分數 等值同分母分數（利用最小公倍數）

+ = + = + =

= - = -

= - = -

裂項公式： = - （背）

= * = *（ - ）

= *

                         = *（ - ）

例題2： + +……+ =（  A  ）

A.        B.      C.     D.    E.

解：裂項相消

1- + - +……+ - =1- =

例題3：

+ +……+ =

（ D）

A.      B. +     C. -   D. -  E.

例題4：

+ +……+

=（       ）

A.     B. -   C.  D. -

E. +

解：都乘2*

有理數 可以表示為形如 （其中a，b都是整數）的兩個整數比的形式

無理數  不能寫作兩個整數比形式的數，若將它寫成小數形式小數之後的數字有無限多個，並且不會循環（無限不循環小數）

1.414     1.732      2.236    e 2.718     3.142

實數={有理數+無理數}

有理數{正有理數=正整數+正分數、負有理數=負整數+負分數}

無理數{無限不循環小數=正無理數+負無理數}

對任意實數，不超過實數X的最大整數為x的整數部分，記為【x】，求取實數的整數部分稱為取整。

令{x}=x-【x】，稱之為實數x的小數部分， 由定義可知，【x】 x，

x-【x】={x} 0

【3】=3、{3}=0；【-3】=-3、{-3}=0；【0】=0、{0}=0；

【0.3】=0、{0.3}=0.3；【-0.3】=-1、{-0.3}=0.7；【2.17】=2、{2.17}=0.17

二次根式 形如 （x 0）的式子

x叫做被開方數，可以是一個數字，也可以是一個代數式

雙重非負性：x 0， 0，當x<0時，二次根式無意義

=0；以形式界定： 也是二次根式；

二次根式乘法法則： * =  （a 0，b 0）

二次根式的除法法則： =  （a  0，b 0）

若兩個實數相等，那麼它們的有理部分和無理部分都相等；

實數2+a 與實數b+3 相等，a=3，b=2

若含有二次根式的非零數字或算式相乘，乘積中不含二次根式，則它們互為有理化因式。（結合平方差公式）

【標志詞彙】分數的分母中帶有根號（含有2次根式），要求化簡/求值===上下同乘以分母的有理化因式，即分母有理化。

= = = -1

= =

= +

【標志詞彙】分數的分子中有根號（含有2次根式），要求比較大小 上下同乘分子的有理化因式，即分子有理化。

比較 - 與 - 大小

= =

= =

對比分數，分母越大，分數值反而越小。

例題1：設 的整數部分為a，小數部分為b，則ab- =（     ）

A.3       B.2      C.-1      D.-2     E.0

解： = =

2= < < =3

< < ====2.5< <3

所以由此得出這個根式的整數部分是a=2，b=這個式子 -2=

ab- =2* - =-1

例題2：若a= + +……+ ，b=1+

則ab=（     ）

A.2018       B.2019        C.2020       D.2018+       E.

解：分母有理化

= = -1

= = -

.

由此類推可以得出：

= -

= -

a由此可以得出a=-1+ ，b=1+ ，ab=完全平方公式=2020-1=2019

例題：下面幾個論述不一定正確的是（     ）

1.兩個無理數的和是無理數；（ 不一定  ，互為相反數，和是有理數）

2.兩個無理數的積是無理數；（不一定，兩個無理數互為有理化因式，積為有理數 ）

3.一個有理數與一個無理數的和是無理數；（是的）

4.一個有理數和一個無理數的積是無理數；（0與任何實數的乘積都是0）

5.任何一個無理數都能用實數軸上的點表示；（是的）

6.實數與數軸上的點一一對應；（是的）

整除：能被幾整除就寫幾k；分數形式的數為整數；必有因數【標志詞彙】

帶余除法：a=bk+r【標志詞彙】

最大公因數與最小公倍數：求取（正向和逆向）關系ab=【a，b】*（a，b）

質數與合數：【標志詞彙】質數：窮舉、因數分解、結合奇偶性

奇數與偶數：結合奇偶四則運算判斷奇偶性；結合質數與合數；整數方程中未知量求取；

分數/小數的運算技巧：分數/小數互化，裂項相消

實數：

【標志詞彙】帶有根號的分數：分子/分母有理化

數集之間的關系

【標志詞彙】完全平方數，

純數字的完全平方數====窮舉法

帶有未知字母的表達式為完全平方式===配方湊出完全平方式

【2019年19】（條件充分性判斷）能確定小明年齡（  C  ）

（1）小明年齡是完全平方數         （2）20年後小明年齡是完全平方數

一個自然數平方後所得到的數就是完全平方數。

E. 有理數的定義和運演算法則分享

有理數是指兩個整數的比。有理數為整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱。正整數和正分數合稱為正有理數，負整數和負分數合稱為負有理數。

有理數的定義及相關運演算法則

有理數的定義

有理數是指兩個整數的比。有理數是整數和分數的集合。整數也可看做是分母為一的分數。有理數的小數部分是有限或為無限循環的數。正整數和正分數合稱為正有理數，負整數和負分數合稱為負有理數。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。

有理數的加法運演算法則

1.同號兩數相加，取與加數相同的符號，並把絕對值相加。

2.異號兩數相加，若絕對值相等則互為相反數的兩數和為0；若絕對值不相等，取絕對值較大的加數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值。

3.互為相反數的兩數相加得0。

4.一個數同0相加仍得這個數。

5.互為相反數的兩個數，可以先相加。

6.符號相同的數可以先相加。

7.分母相同的數可以先相加。

8.幾個數相加能得整數的可以先相加。

有理數的減法運演算法則

減去一個數，等於加上這個數的相反數，即把有理數的減法利用數的相反數變成加法進行運算。

有理數的乘法運演算法則

1.同號得正，異號得負，並把絕對值相乘。

2.任何數與零相乘，都得零。

3.幾個不等於零的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負，當負因數有偶數個時，積為正。

4.幾個數相乘，有一個因數為零，積就為零。

5.幾個不等於零的數相乘，首先確定積的符號，然後後把絕對值相乘。

有理數的除法運演算法則

1.除以一個不等於零的數，等於乘這個數的倒數。

2.兩數相除，同號得正，異號得負，並把絕對值相除。零除以任意一個不等於零的數，都得零。

注意：零不能做除數和分母。

有理數的乘方運演算法則

1.負數的奇數次冪是負數，負數的偶數次冪是正數。例如：（-2）³（-2的3次方）=-8，（-2）²（-2的2次方）=4。

2.正數的任何次冪都是正數，零的任何正數次冪都是零。例如：2（2的2次方）=4，2 （2的3次方）=8，0（0的3次方）=0。

3.零的零次冪無意義。

4.由於乘方是乘法的特例，因此有理數的乘方運算可以用有理數的乘法運算完成。

5.1的任何次冪都是1，-1的偶次冪是1，奇次冪是-1。

F. 小數除以整數的計算方法 小數除以整數如何計算

1、按照整數除法的法則去除。

2、商的小數點要和被除數的小數點對齊。

3、如果除到被除數的末尾仍有餘數就在後面添上0再繼續除。

4、除得的商的哪一位上不夠商1就要在那一位上寫0佔位。

5、小數部分後有有限個數位的小數。如3.1465，0.364，8.3218798456等，有限小數都屬於有理數，可以化成分數形式。

6、一個最簡分數可以被化作十進制的有限小數當且僅當其分母只含有質因數2或5或兩者。類似的，一個最簡分數可以被化作某正整數底數的有限小數當且僅當其分母之質因數為此基底質因數的子集。

G. 整數和小數乘除法是怎樣計算的

最簡單的方法就是在計算過程開始，把小數換成整數，然後計算整數與整數之間的結果，最後把小數還原以前的小數點就可以了
這是一種取巧的方法，我們是人，不是計算機，做數學題，人比計算機多的唯一的優勢就是，我們思考問題是可以變通的。

H. 小數乘除法與整數乘除法的計算方法有什麼聯系

小數乘法按整數乘法的方法計算，但結果要根據兩個數的小數數位之和確定積的小數位數。小數除法可根據商不變的原理化為整數除法計算。

乘法是指將相同的數加起來的快捷方式。其運算結果稱為積，「x」是乘號。從哲學角度解析，乘法是加法的量變導致的質變結果。整數（包括負數），有理數（分數）和實數的乘法由這個基本定義的系統泛化來定義。

除法是四則運算之一。已知兩個因數的積與其中一個非零因數，求另一個因數的運算，叫做除法。 兩個數相除又叫做兩個數的比。若ab=c（b≠0）,用積數c和因數b來求另一個因數a的運算就是除法，寫作c÷b，讀作c除以b（或b除c）。其中，c叫做被除數，b叫做除數，運算的結果a叫做商。

(8)有理數小數和整數的計算方法擴展閱讀：

小數乘小數的計算方法：

（1）先把小數擴大成整數。

（2）按整數乘法的法則算出積。

（3）再看因數中一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位點上小數點。乘得的積的小數位數不夠時，要在前面用0補足再點小數點。

注意：計算結果中，小數部分末尾的0要去掉，把小數化簡；小數部分位數不夠時，要用0佔位。

小數乘法的意義：

小數乘整數的意義與整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數的和的簡便運算。 一個數乘小數的意義是求這個數的十分之幾、百分之幾、千分之幾……

小數除法的意義：

小數除法的意義與整數除法的意義相同，是已知兩個因數的積與其中的一個因數，求另一個因數的運算。

I. 有理數運算的常見簡便方法是

有理數的運演算法則
一、加法。

有理數的加法與小學的加法大有不同，小學的加法不涉及到符號的問題，而有理數的加法運算總是涉及到兩個問題：一是確定結果的符號；二是求結果的絕對值。在進行有理數加法運算時，首先判斷兩個加數的符號：是同號還是異號，是否有0，從而確定用那一條法則。

在應用過程中，一定要牢記「先符號，後絕對值"。多個有理數的加法，可以從左向右計算，也可以用加法的運算定律計算，但是在下筆前一定要思考好，哪一個要用定律哪一個要從左往右計算。

1、同號相加，取相同符號，並把絕對值相加。

2、絕對值不等的異號相加，取絕對值較大的加數符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得0。

3、一個數同0相加，仍得這個數。

4、相反數相加結果一定得0。

交換律和結合律

有理數的加法同樣擁有交換律和結合律。(和整數得交換律和結合律一樣)。

用字母表示為：

交換律：a+b=b+a 兩個數相加，交換加數的位置和不變。

結合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)

三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把後兩個數相加，和不變。

二、減法

有理數減法法則：減去一個數，等於加上這個數的相反數。其中：兩變：減法運算變加法運算，減數變成它的相反數做加數。一不變：被減數不變。可以表示成： a-b=a+（-b）。

三、乘法

1、兩數相乘，同號為正，異號為負，並把絕對值相乘。

例：（-5）×（-3）=15 （-6）×4=-24 。

2、任何數同0相乘，都得0。

例：0×1=0

3、幾個不等於0的數字相乘，積的符號由負因數的個數決定。當負因數有奇數個數時，積為負；當負因數有偶數個數時，積為正。並把其絕對值相乘。

例：（-10）×〔-5〕×（-0.1）×（-6)=積為正數，而（-4）×（-7）×(-25）=積為負數。

4、幾個數相乘，有一個因數為0時，積為0。

例：3×（-2）×0=0 。

5、乘積為1的兩個有理數互為倒數。例如，-3與-1/3，-3/8與-8/3。

四、除法

1、除以一個數等於乘以這個數的倒數。（注意：0沒有倒數）。

2、兩數相除，同號為正，異號為負，並把絕對值相除。

3、0除以任何一個不等於0的數，都等於0。

基本釋義

有理數是整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱，是整數和分數的集合。

整數也可看做是分母為一的分數。不是有理數的實數稱為無理數，即無理數的小數部分是無限不循環的數。是「數與代數」領域中的重要內容之一，在現實生活中有廣泛的應用，是繼續學習實數、代數式、方程、不等式、直角坐標系、函數、統計等數學內容以及相關學科知識的基礎。

有理數集可以用大寫黑正體符號Q代表。但Q並不表示有理數，有理數集與有理數是兩個不同的概念。有理數集是元素為全體有理數的集合，而有理數則為有理數集中的所有元素。

以上資料參考：網路-有理數

J. 整數，小數，分數 的乘，除法的計算方法

1、整數乘法法則：

1)從右邊起，依次用第二個因數每位上的數去乘第一個因數，乘到哪一位，得數的末尾就和第二個因數的哪一位對齊；

2)然後把幾次乘得的數加起來。

(整數末尾有0的乘法：可以先把0前面的數相乘，然後看各因數的末尾一共有幾個0，就在乘得的數的末尾添寫幾個0。)

2、小數乘法法則：

1)按整數乘法的法則算出積；

2)再看因數中一共有幾位小數，就從得數的右邊起數出幾位，點上小數點。

3)得數的小數部分末尾有0，一般要把0去掉，進行化簡。

3、分數乘法法則：

把各個分數的分子乘起來作為分子，各個分數的分母相乘起來作為分母，然後再約分。

4、整數的除法法則

1)從被除數的高位起，先看除數有幾位，再用除數試除被除數的前幾位，如果它比除數小，再試除多一位數；

2)除到被除數的哪一位，就在那一位上面寫上商；

3)每次除後餘下的數必須比除數小。

5、除數是整數的小數除法法則：

1)按照整數除法的法則去除，商的小數點要和被除數的小數點對齊；

2)如果除到被除數的末尾仍有餘數，就在余數後面補零，再繼續除。

6、除數是小數的小數除法法則：

1)先看除數中有幾位小數，就把被除數的小數點向右移動幾位，數位不夠的用零補足；

2)然後按照除數是整數的小數除法來除。

7、分數的除法法則：

1)用被除數的分子與除數的分母相乘作為分子；

2)用被除數的分母與除數的分子相乘作為分母。(即被除數不變，乘除數的倒數)。