彎矩的計算方法

1. 矩形截面彎矩計算公式

先計算梁的最大彎矩M，鋼材強度設計指為f=215MPa，計算所需要的截面抵抗距W=M/f。根據計算結果選用H型鋼。

彎矩計算公式：Mmax=FL/2。（Mmax表示最大彎矩，F表示外力，L即為力臂）。

彎矩圖用來表示梁的各橫截面上彎矩沿軸線的變化情況。總結規律如下：

（1）在梁的某一段內，若無分布載荷作用，即q(x)=0，由d²M(x)/dx²=q(x)=0可知，M(x)是x的一次函數，彎矩圖是斜直線。

（2）在梁的某一段內，若作用分布載荷作用，即q(x)=常數，則d²M(x)/dx²=q(x)=常數，可以得到M(x)是x的二次函數。彎矩圖是拋物線。

（3）在梁的某一截面內，若Fs(x)=dM(x)/dx=0,則在這一截面上彎矩有一極值（極大或極小）。即彎矩的極值發生在剪力為零的截面上。

一般而言，在不同的學科中彎矩的正負有不同的規定。規定了彎矩的正負，就可以將彎矩進行代數計算。

在列彎矩計算時，應用「左上右下為正，左下右上為負」的判別方法。凡截面左側樑上外力對截面形心之矩為順時針轉向，或截面右側外力對截面形心之矩為逆時針轉向，都將產生正的彎矩，故均取正號；反之為負，即左順右逆，彎矩為正。

2. 求各種梁的彎矩計算公式(高分)

彎曲變形：桿件在垂直於其軸線的載荷作用下，使原為直線的軸線變為曲線的變形。

梁Beam——以彎曲變形為主的直桿稱為直梁，簡稱梁。

彎曲bending

平面彎曲plane bending

7.1.2梁的計算簡圖

載荷：

（1）集中力 concentrated loads

（2）集中力偶 force-couple

（3）分布載荷 distributed loads

7.1.3梁的類型

(1)簡支梁simple supported beam 上圖

(2)外伸梁overhanging beam

(3)懸臂梁cantilever beam

7.2 梁彎曲時的內力

7.2.1梁彎曲時橫截面上的內力——剪力shearing force和彎矩bending moment

問題：

任截面處有何內力？

該內力正負如何規定？

例7－1 圖示的懸臂梁 AB ，長為 l ，受均布載荷 q 的作用，求梁各橫截面上的內力。

求內力的方法——截面法

截面法的核心——截開、代替、平衡

內力與外力平衡

解：為了顯示任一橫截面上的內力，假想在距梁的左端為x處沿m-m截面將梁切開 。

梁發生彎曲變形時，橫截面上同時存在著兩種內力。

剪力 —— 作用線切於截面、通過截面形心並在縱向對稱面內。

彎矩 —— 位於縱向對稱面內。

剪切彎曲 —— 橫截面上既有剪力又有彎矩的彎曲。

純彎曲 —— 梁的橫截面上只有彎矩而沒有剪力。

工程上一般梁（跨度 L 與橫截面高度 h 之比 L/h ＞5），其剪力對強度和剛度的影響很小，可忽略不計，故只需考慮彎矩的影響而近似地作為純彎曲處理。

規定：使梁彎曲成上凹下凸的形狀時，則彎矩為正；反之使梁彎曲成下凹上凸形狀時，彎矩為負。

7.2.2彎矩圖bending moment diagrams

彎矩圖：以與梁軸線平行的坐標x表示橫截面位置，縱坐標y按一定比例表示各截面上相應彎矩的大小。

例7－2 試作出例7－1中懸臂梁的彎矩圖。

解 （1）建立彎矩方程 由例7－1知彎矩方程為

（2）畫彎矩圖

彎矩方程為一元二次方程，其圖象為拋物線。求出其極值點相連便可近似作出其彎矩圖。

例7－3 圖示的簡支梁 AB ，在C點處受到集中力 F 作用，尺寸 a 、 b 和 l 均為已知，試作出梁的彎矩圖。

解 （1）求約束反力

（2）建立彎矩方程 上例中梁受連續均布載荷作用，各橫截面上的彎矩為x的一個連續函數，故彎矩可用一個方程來表達，而本例在梁的C點處有集中力F作用，所以梁應分成AC和BC兩段分別建立彎矩方程。

例7－4 圖示的簡支梁 AB ，在C點處受到集中力偶 M 0 作用，尺寸 a 、 b 和 l 均為已知，試作出梁的彎矩圖。

解 （1）求約束反力

（2）建立彎矩方程 由於梁在C點處有集中力偶M作用，所以梁應分AC和BC兩段分別建立彎矩方程。

（3）畫彎矩圖

兩個彎矩方程均為直線方程

總結上面例題，可以得到作彎矩圖的幾點規律：

（1）梁受集中力或集中力偶作用時，彎矩圖為直線，並且在集中力作用處，彎矩發生轉折；在集中力偶作用處，彎矩發生突變，突變數為集中力偶的大小 。

（2）梁受到均布載荷作用時，彎矩圖為拋物線，且拋物線的開口方向與均布載荷的方向一致 。

（3）梁的兩端點若無集中力偶作用，則端點處的彎矩為0；若有集中力偶作用時，則彎矩為集中力偶的大小。

7.3 梁純彎曲時的強度條件

7.3.1梁純彎曲(pure bending)的概念Concepts

純彎曲 —— 梁的橫截面上只有彎矩而沒有剪力。

Q = 0，M = 常數。

7.3.2梁純彎曲時橫截面上的正應力 Normal Stresses in Beams

1．梁純彎曲時的 變形特點 Geometry of Deformation:

平面假設：

1）變形前為平面變形後仍為平面

2）始終垂直與軸線

中性層 Neutral Surface ：既不縮短也不伸長（不受壓不受拉）。

中性層是樑上拉伸區與壓縮區的分界面。

中性軸 Neutral Axis ：中性層與橫截面的交線。

變形時橫截面是繞中性軸旋轉的。

2．梁純彎曲時橫截面上正應力的分布規律

純彎曲時梁橫截面上只有正應力而無切應力。

由於梁橫截面保持平面，所以沿橫截面高度方向縱向纖維從縮短到伸長是線性變化的，因此橫截面上的正應力沿橫截面高度方向也是線性分布的。

以中性軸為界，凹邊是壓應力，使梁縮短，凸邊是拉應力，使梁伸長，橫截面上同一高度各點的正應力相等，距中性軸最遠點有最大拉應力和最大壓應力，中性軸上各點正應力為零 。

3．梁純彎曲時正應力計算公式

在彈性范圍內，經推導可得梁純彎曲時橫截面上任意一點的正應力為

式中， M 為作用在該截面上的彎矩（ Nmm ）； y 為計算點到中性軸的距離（ mm ）； Iz Moment of Area about Z-axis 為橫截面對中性軸z的慣性矩（ mm 4 ）。

在中性軸上 y = 0 ，所以 s = 0 ；當 y = y max 時， s = s max 。

最大正應力產生在離中性軸最遠的邊緣處，

Wz橫截面對中性軸 z 的抗彎截面模量( mm 3 )

計算時， M 和 y 均以絕對值代入，至於彎曲正應力是拉應力還是壓應力，則由欲求應力的點處於受拉側還是受壓側來判斷。受拉側的彎曲正應力為正，受壓側的為負。

彎曲正應力計算式雖然是在純彎曲的情況下導出的，但對於剪切彎曲的梁，只要其跨度 L 與橫截面高度 h 之比 L/h ＞5，仍可運用這些公式計算彎曲正應力。

7.3.3慣性矩和抗彎截面模量

簡單截面的慣性矩和抗彎截面模量計算公式

7. 3.4梁純彎曲時的強度條件

對於等截面梁，彎矩最大的截面就是危險截面，其上、下邊緣各點的彎曲正應力即為最大工作應力，具有最大工作應力的點一般稱為 危險點 。

梁的彎曲強度條件是 ： 梁內危險點的工作應力不超過材料的許用應力。

運用梁的彎曲強度條件，可對梁進行強度校核、設計截面和確定許可載荷。

7.4 提高梁強度的主要措施

提高梁強度的主要措施是：

1）降低彎矩 M 的數值 2)增大抗彎截面模量 W z 的數值

7.4.1降低最大彎矩 M max 數值的措施

1．合理安排梁的支承

2．合理布置載荷

7.4.2合理選擇梁的截面

1．形狀和面積相同的截面，採用不同的放置方式，則 Wz 值可能不相同

2．面積相等而形狀不同的截面，其抗彎截面模量 Wz 值不相同

3．截面形狀應與材料特性相適應

7.4.3採用等強度梁

對於等截面梁，除 M max 所在截面的最大正應力達到材料的許用應力外，其餘截面的應力均小於，甚至遠小於許用應力。

為了節省材料，減輕結構的重量，可在彎矩較小處採用較小的截面，這種截面尺寸沿梁軸線變化的梁稱為變截面梁。

等強度梁 ——使變截面梁每個截面上的最大正應力都等於材料的許用應力，則這種梁稱之。《建築樁基技術規范》按樑上荷載分布將承台梁分為4種情況(圖1)。內力計算根據荷載情況分跨中和支座分別計算見表1。
在表1的公式(1)～(7)中
p0——線荷載的最大值(kN/m),p0＝
a0——自樁邊算起的三角形荷載的底邊長度;
LC——計算跨度,LC＝1．05L;
L——兩相鄰樁之間的凈距;
q——承台梁底面以上的均布荷載。

表1 牆下條形樁基連續承台梁內力計算公式

內力 計算簡圖編號 內 力 計 算 公 式
支座
彎矩 （a）、（b）、（c）
（1）

（d） M＝－ （2）

跨中
彎矩 （a）、（c） M＝ （3）

（b）
（4）

（d）
M＝ （5）

最大
剪力 （a）、（b）、（c）
Q＝ （6）

（d）
Q＝ （7）

圖1 計算簡圖

a0按下式計算:
中間跨 （8）

邊 跨 （9）
其中 EC——承台梁砼彈性模量;
EK——牆體的彈性模量;
I——承台梁橫截面的慣性矩;
bK——牆體寬度。
當承台梁為矩形截面時,I＝bh3
則: 中間跨 a0＝1．37h （10）

邊 跨 a0＝1．05h （11）
其中 b、h——分別為承台梁的寬度和高度。
表1中彎矩公式共5個,公式中荷載取值也不統一,式(1)、(3)、(4)採用P0,式(2)、(5)採用q,這也給計算帶來了不便。下面分別對跨中和支座彎矩進行分析。
(1)跨中彎矩 從計算簡圖可看出,(d)圖是(b)圖所示受力情況的特例,當a0≥LC時,取a0＝LC代入式(4)即可得式(5)。當a0＜時,跨中彎矩採用式(3),a0≥時,採用式(4)。
令β＝,並將P0＝＝代入式(3)和式(4)
得: M＝β2qL2C （13）
（14）
將上兩式統一表示為:

M＝A0qL2C （15）

式(15)即為跨中彎矩計算公式,它適用於圖(a)～(d)所示的四種受力簡圖。
(2)支座彎矩 圖(a)、(c)、(d)均為圖(b)所示受力情況的特例,式(1)為支座彎矩計算通式。
將β＝和P0＝＝代入式(1)
得 M＝β（2－β） （16）
或 M＝B0qL2C （17）
(3)彎矩系數A0、B0
跨中彎矩 M＝A0qL2C （15）
支座彎矩 M＝B0qL2C （17）
其中 A0、B0——彎矩系數,分別為:
β＝≤0．5，A0＝β2
β＞0.5時,A0＝β
B0＝－β（2－β）
A0、B0皆為β的單值函數,為簡化計算,將其列表(表2)。

表2 牆下條形樁基連續承台梁內力系數

β 內 力 系 數 β 內 力 系 數
A0 B0 A0 B0
0．10 0．00083 －0．01583 0．56 0．02590 －0．06720
0．12 0．00120 －0．01880 0．58 0．02753 －0．06863
0．14 0．00163 －0．02170 0．60 0．02907 －0．07000
0．16 0．00213 －0．02453 0．62 0．03053 －0．07130
0．18 0．00270 －0．02730 0．64 0．03190 －0．07253
0．20 0．003331 －0．03000 0．66 0．03317 －0．07370
0．22 0．00403 －0．03263 0．68 0．03433 －0．07480
0．24 0．00480 －0．03520 0．70 0．03539 －0．07583
0．26 0．00563 －0．03770 0．72 0．03635 －0．07680
0．28 0．00653 －0．04013 0．74 0．03722 －0．07770
0．30 0．00750 －0．04250 0．76 0．03799 －0．07853
0．32 0．00853 －0．04480 0．78 0．03867 －0．07930
0．34 0．00963 －0．04703 0．80 0．03927 －0．08000
0．36 0．01080 －0．04920 0．82 0．03979 －0．08063
0．38 0．01203 －0．05130 0．84 0．04023 －0．08120
0．40 0．01333 －0．05333 0．86 0．04061 －0．08170
0．42 0．01470 －0．05530 0．88 0．04091 －0．08213
0．44 0．01613 －0．05720 0．90 0．04116 －0．08250
0．46 0．01763 －0．05903 0．92 0．04136 －0．08280
0．48 0．01920 －0．06080 0．94 0．04150 －0．08303
0．50 0．02083 －0．06250 0．96 0．04159 －0．08320
0．52 0．02252 －0．06413 0．98 0．04165 －0．08330
0．54 0．02423 －0．06570 1．00 0．04167 －0．08333

式(15)和式(17)代替規范的5個公式,公式形式統一,且不需計算P0,直接採用均布荷載,結合內力系數表,設計計算十分簡便。剪力計算公式較簡單,仍採用原公式。

3 算例(文獻〔3〕)

五層混合結構房屋,磚牆承重,內牆厚240mm,外牆厚370mm。基礎採用直徑320mm,長6m的鑽孔灌注樁。鋼筋砼承台梁,梁高300mm,梁寬:外牆400mm;內牆350mm。承台梁底面以上荷載為:橫牆q＝142．9kN／m;外縱牆q＝85．0kN／m。試計算外縱牆和內橫牆牆下承台梁的內力(圖2)。

圖2 單元樁基平面圖

解:
1.外縱牆下承台梁
承台梁採用C20砼,I級鋼筋,牆體採用MU7.5磚、M5混合砂漿。
EC＝2．55×104N／mm2
EK＝1500f
＝1500×1．37
＝2055N／mm2
(f——牆體抗壓強度設計值)
LC＝1．05L＝1．05（1．65－0．32）
＝1．40m＜1．65m
承台梁尺寸400mm×300mm
(1)中間跨
a0＝1．37h
＝1．37×300＝977mm
β＝＝＝0．698
查表2,得:A0＝0．03536
B0＝－0．07581
則:跨中彎矩
M＝A0qL2C＝0．03536×85×14002
＝5．89×106N．mm
支座彎矩
M＝B0qL2C＝－0．07581×85×14002
＝－12．63×106N．mm
(2)邊跨
a0＝1．05h
＝1．05×300＝747mm
β＝＝＝0．534
查表2,得:A0＝0．02372
B0＝－0．06525
則：跨中彎矩
M＝A0qL2C＝0．02372×85×14002
＝3．95×106N．mm
梁端支座彎矩 MA＝0
第二支座
MB＝B0qL2C＝－0．06525×85×14002
＝－10．9×106N．mm

圖3 縱牆承台梁計算簡圖

2.橫牆下承台梁(近似按中跨計算)
承台梁尺寸350mm×300mm
LC＝1．05L＝1．05（1．2－0．32）
＝0．92m＜1．2m
a0＝1．37h＝1．37×300＝1079mm
β＝＞1．0 取β＝1．0
查表2,得:A0＝0．04167
B0＝－0．08333
跨中彎矩
M＝A0qL2C＝0．04167×142．9×9202
＝5．0×106N．mm
支座彎矩
M＝B0qL2C＝－0．08333×142．9×9202
＝－10．1×106N．mm
剪力計算較簡單,略。

4 結語

通過上述分析與計算可以看出,本文提出的計算方法較《建築樁基技術規范》(JGJ94—94)法形式簡捷,計算簡便,是一個實用的方法。

圖4 橫牆承台梁計算簡圖

3. 彎矩計算公式1/8*QL2的單位

1/8qL²是簡支梁在均布荷載q作用下，跨正中截面的彎矩值，也是梁所有截面最大的彎矩值。

4. 簡支梁彎矩的計算方法

根據作用在樑上的已知載荷，求出靜定梁的支座反力以後，梁橫截面上的內力可利用前面講過的「截面法」來求解，如圖7-8a所示簡支梁在外力作用下處於平衡狀態，現在討論距支座距離為的截面上的內力。
圖7-8簡支梁指定截面的剪力、彎矩計算
根據截面法計算內力的基本步驟「切、代、平」，計算梁的內力的步驟為：
①、首先根據靜力平衡方程求支座反力和，為推導計算的一般過程，暫且用和代替。
②、用截面假想沿處把梁切開為左、右兩段，如圖7-8b、7-8c所示，取左段梁為脫離體，因梁原來處於平衡狀態，所以被截取的左段梁也同樣保持平衡狀態。從圖7-8b中可看到，左段樑上有一向上的支座反力、向下的已知力作用，要使左段梁不發生豎向移動，則在截面上必定存在一個豎直方向的內力與之平衡；同時，、對截面形心點有一個力矩，會引起左段梁轉動，為了使其不發生轉動，在截面上必須有一個力偶矩與之平衡，才能保持左段梁的平衡。和即為梁橫截面上的內力，其中內力使橫截面有被剪開的趨勢，稱為剪力；力偶矩將使梁發生彎曲變形，稱為彎矩。
由於外載荷的作用線垂直於梁的軸線，所以軸力為零，通常不予考慮。
剪力和彎矩的大小可由左段梁的靜力平衡方程來求解。

5. 簡支梁集中力跨中彎矩公式

集中荷載作用在跨中時 M=PL/4。

均布荷載作用時 M=qL^2/8。

簡支梁就是兩端支座僅提供豎向約束，而不提供轉角約束的支撐結構。簡支梁僅在兩端受鉸支座約束，主要承受正彎矩，一般為靜定結構。體系溫變、混凝土收縮徐變、張拉預應力、支座移動等都不會在梁中產生附加內力，受力簡單，簡支梁為力學簡化模型。

(5)彎矩的計算方法擴展閱讀：

只有兩端支撐在柱子上的梁，主要承受正彎矩，一般為靜定結構。體系溫變、混凝土收縮徐變、張拉預應力、支座移動等都不會在梁中產生附加內力，受力簡單，簡支梁為力學簡化模型。

在列彎矩計算時，應用「左上右下為正，左下右上為負」的判別方法。凡截面左側樑上外力對截面形心之矩為順時針轉向，或截面右側外力對截面形心之矩為逆時針轉向，都將產生正的彎矩，故均取正號；反之為負，即左順右逆，彎矩為正。

6. 均布荷載彎矩計算公式是什麼

公式：均布荷載作用的長度范圍 1/2qx2=qx*1/2x。

以下是均布載荷的相關介紹：

均布載荷，一般用 q 表示，簡單的說，它就是均勻分布在結構上的力（載荷），均布載荷作用下各點受到的載荷都相等。

均布載荷有兩種形式：線均布載荷和面均布載荷。對於細長桿件上的均布載荷，其單位一般是牛每米，N/m。對於板狀零件上的均布載荷，其單位一般是牛每平方米，N/m^2。

均布載荷，一般用 q 表示，簡單的說，它就是均勻分布在結構上的力（載荷），均布載荷作用下各點受到的載荷都相等。其單位一般是牛每米（N/m）或牛每平方米（N/m^2）。有時候也將壓強當作均布載荷。

以上資料參考網路——均布載荷

7. 連續梁彎矩的計算方法

連續梁彎矩的計算公式如下：
彎矩M=(1/8)QL²，
其中，q是沿著梯段分布的線荷載，L是連續梁的水平長度。
彎矩是受力構件截面上的內力矩的一種。通俗的說法：彎矩是一種力矩。另一種解釋說法，就是彎曲所需要的力矩，順時針為正，逆時針為負。它的標準定義為：與橫截面垂直的分布內力系的。計算公式M=θEI/L,θ轉角，EI轉動剛度，L桿件的有效計算長度。

8. 彎矩、剪力計算公式如何推導

1、先求出節點彎矩,分配到節點上的每一個桿件的桿端（包括柱端）,得到柱端彎矩；

2、根據柱端彎矩,設柱端剪力為未知數，列桿件力矩平衡方程,求出柱端剪力；

3、根據柱頂兩側梁傳來的梁端剪力和柱頂的上柱柱底軸力之和,就是本柱上端軸力，本柱上端軸力加本柱自重就是本柱下端軸力。

彎矩公式：

(8)彎矩的計算方法擴展閱讀：

一般而言，在不同的學科中彎矩的正負有不同的規定。規定了彎矩的正負，就可以將彎矩進行代數計算。

在列彎矩計算時，應用「左上右下為正，左下右上為負」的判別方法。凡截面左側樑上外力對截面形心之矩為順時針轉向，或截面右側外力對截面形心之矩為逆時針轉向，都將產生正的彎矩，故均取正號；反之為負，即左順右逆，彎矩為正 。

9. 彎矩和剪力的計算公式是什麼。