信號反射系數的計算方法

1. 振幅處理及提高信噪比、解析度的處理方法

在地震資料處理中，高度保持地震波的真振幅特徵，盡量提高地震記錄的信噪比和解析度，即稱為「三高」處理，這一直是地震資料處理人員追求的目標。因為「三高」處理的質量直接影響到岩性參數提取以及地震勘探的精度和效果。

10.3.1 真振幅恢復

保持地震波的真振幅特徵（簡稱保幅處理），從廣義講應包含兩大方面內容：即真振幅恢復（或稱振幅補償）和其他各項處理中的振幅保持問題。本節主要討論真振幅恢復的方法，而對其他各項處理中凡要影響到振幅特徵的處理方法，則要採取相應的措施，盡可能的使振幅的相對關系保持不變。

地震記錄經增益恢復處理後，其振幅特徵已與地表檢波器所接收到的地震波振幅特徵一致。這種振幅仍不稱為真振幅，我們所謂的真振幅是指由地層波阻差而產生的反射波振幅，即能反映地層岩性變化的振幅。在地表所接收到的振幅除有地層波阻抗的變化因素外，還有球面擴散因素以及非彈性衰減的因素，因此需要消除球面擴散和非彈性衰減的影響，恢復地震波的真振幅特徵。

球面擴散是當波離開震源傳播時由於波前擴展造成的振幅衰減。這樣的振幅衰減（A）與傳播距離r成反比

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其中v是界面上覆介質的平均速度；t是反射的記錄時間。對球面擴散作校正需要用時變函數vt乘以數據。

非彈性衰減是彈性波能量在岩石中傳播時，由於內摩擦而耗散為熱被地層吸收的結果。原理部分已說明這種衰減是頻率和傳播距離的指數形式的函數

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其中α為非彈性衰減系數（吸收系數）

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所以，用函數e^αvt乘以數據就可校正非彈性衰減。至此，真振幅恢復處理完成。

系數α可從增益恢復及球面擴散校正後的振幅-時間函數來測定。為了得到α的較好統計估計，要用一組地震道測定能量來求得衰減曲線。

還有另一種真振幅恢復的方法，這時不需要速度信息。在增益恢復之後，假設振幅衰減是指數函數。因此，按照最小平方法，用指數函數擬合增益校正後的記錄，就得到真振幅校正函數（即包括球面擴散和非彈性衰減校正兩者）。

前述已知，波前發散因子K為

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式中r和t分別為波的傳播距離和傳播時間，C和a為與地層速度有關的常數。

吸收衰減因子是

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式中α是吸收系數；b是待定的常數。波前發散和吸收衰減總的影響是

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求取a和b的方法如下。

從地震記錄上讀取反射波的振幅極值（波峰或波谷），以（10.3-5）為回歸方程，得

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式中：u_t=lnA_i-lnt_i；A_i，t_i為振幅極值及其對應的時間；N為振幅極值的點數。校正函數是a^-1te^bt。

為了獲得有代表性的真振幅恢復參數，所選的地震道應是沒有多次波及有較高的信噪比。對地質條件穩定地區，一組參數就可代表全區。在工區內地質條件有較大變化時，這些參數要重新計算。

10.3.2 提高信噪比的數字濾波處理

在地震勘探中，用於解決地質任務的地震波稱為有效波，而其他波統稱為干擾波。壓制干擾，提高信噪比是一項貫穿地震勘探全過程的任務。除在野外數據採集中採取相應措施壓制干擾外，在地震資料數字處理中數字濾波也是一項非常重要的提高信噪比的措施。

數字濾波方法是利用有效波和干擾之間頻率和視速度方面的差異來壓制干擾的，分別稱為頻率濾波和視速度濾波。又因頻率濾波只需對單道數據進行運算，故稱為一維頻率濾波。實現視速度濾波需同時處理多道數據，故稱為二維視速度濾波。本節主要介紹這兩種濾波方法。

10.3.2.1 一維頻率濾波

所謂一維數字濾波是指用計算機實現對單變數信號的濾波，該單變數可以是時間或頻率，也可以是空間或波數。以時間或頻率為例討論一維數字濾波，其他原理相同。

（1）一維數字濾波原理

設地震記錄x（t）是由有效波s（t）和干擾波n（t）組成，即

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其頻譜為

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式中：X（f）為 x（t）的頻譜；S（f）、N（f）分別為 s（t）、n（t）的頻譜。如果 X（f）的振幅譜|X（f）|可用圖10-6表示。說明有效波的振幅譜|S（f）|處在低頻段，而干擾波的振幅譜處於高頻段。

圖10-6 有效波和干擾波頻譜分布示意圖

若設計一頻率域函數 H（f）的振幅譜為|H（f）|，

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其圖形為圖10-7（a）所示。

令

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及

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在時間域有（利用傅里葉變換的褶積定理）

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稱 H（f）為一維濾波器頻率響應，（10.3-9）式為頻率域濾波方程，h（t）為 H（f）的時間域函數，稱為一維濾波器濾波因子（圖10-7（b））。（10.3-11）為時間域濾波方程，y（t）和 Y（f）分別為濾波後僅存在有效波的地震記錄及頻譜，φ_x（f）、φ_y（f）、φ_h（f）分別為濾波前、濾波後地震記錄及濾波器的相位譜，以上濾波主要是利用了有效波和干擾波的頻率差異消除干擾波，故也稱為頻率濾波。

圖10-7 濾波頻率響應及濾波因子

以上所述的濾波器稱為理想低通濾波，根據有效波和干擾波的頻段分布不同，還可將濾波器分為理想帶通濾波器、理想高通濾波器等。所謂理想是指濾波器的頻率響應是一個矩形門，門內的有效波無畸變地通過，稱為通頻帶，而門外的干擾波全部消除。在數字濾波中這一點實際是做不到的。因為數字濾波時所能處理的濾波因子只能是有限長，而由間斷函數組成的理想濾波器的濾波因子是無限長的。實際應用中只能截斷為有限長，截斷後就會出現截斷效應，即截斷後的濾波因子所對應的頻率響應不再是一個理想的矩形門，而是一條接近矩形門，但有振幅波動的曲線，這種現象稱為吉普斯現象。

由於頻率響應曲線在通頻帶內是波動的曲線，濾波後有效波必定會發生畸變。另外，在通頻帶外也是波動的曲線，必定不能有效地壓制干擾。為了避免吉普斯現象，可採用若干方法，其中之一是鑲邊法。

10.3.2.2 二維視速度濾波

（1）二維視速度濾波的提出

在地震勘探中，有時有效波和干擾波的頻譜成分十分接近甚至重合，這時無法利用頻率濾波壓制干擾，需要利用有效波和干擾波在其他方面的差異來進行濾波。如果有效波和干擾波在視速度分布方面有差異，則可進行視速度濾波。這種濾波要同時對若幹道進行計算才能得到輸出，因此是一種二維濾波。

地表接收的地震波動實際上是時間和空間的二維函數g（t，x），即是振動圖和波剖面的組合，二者之間通過

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發生內在聯系。式中k為空間波數，表示單位長度上波長的個數，f為頻率，描述單位時間內振動次數，v為波速。

實際地震勘探總是沿地面測線進行觀測，上述波數和速度應以波數分量k_x和視速度v^*代入。則有

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既然地震波動是空間變數x和時間變數t的二維函數，且空間和時間存在著密切關系，無論單獨進行哪一維濾波都會引起另一維特性的變化（例如單獨進行頻率濾波會改變波剖面形狀，單獨進行波數濾波會影響振動圖形，產生頻率畸變），產生不良效果。那麼只有根據二者的內在聯系組成時間空間域（或頻率波數域）濾波，才能達到壓制干擾，突出有效波的目的。因此，應該進行二維濾波。

（2）二維視速度濾波的原理

二維濾波原理是建立在二維傅里葉變換基礎上的。沿地面直測線觀測到的地震波動g（t，x）是一個隨時間和空間變化的波，通過二維正、反傅里葉變換得到其頻率波數譜G（ω，k_x）和時空函數。

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上式說明，g（t，x）是由無數個角頻率為ω=2πf、波數為k_x的平面簡諧波所組成，它們沿測線以視速度v^*傳播。

如果有效波和干擾波的平面簡諧波成分有差異，有效波的平面諧波成分以與干擾波的平面諧波成分不同的視速度傳播如圖10-8，則可用二維視速度濾波將它們分開，達到壓制干擾，提高信噪比的目的。

（3）二維濾波的計算

圖10-8 有效波和干擾波以不同成分平面簡諧波的傳播

二維線性濾波器的性質由其空間-時間特性h（t，x）或頻率-波數特性H（ω，k_x）所確定。同一維濾波一樣，在時-空域中，二維濾波由輸入信號g（t，x）與濾波

運算元h（t，x）的二維褶積運算實現，在頻率-波數域中，由輸入信號的譜G（ω，k_x）與濾波器的頻率波數特性H（ω，k_x）相乘來完成。

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由於地震觀測的離散性和排列長度的有限性，必須用有限個（N個）記錄道的求和來代替對空間坐標的積分。

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式中，n為原始道號；m為結果道號。

由（10.3-15）式可見，二維褶積可歸結為對一維褶積的結果再求和。故測線上任一點處二維濾波的結果可由N個地震道的一維濾波結果相加得到。這時每一道用各自的濾波器處理，其時間特性h_m-n（t）取決於該道與輸出道之間的距離。沿測線依次計算，可以得到全測線上的二維濾波結果（圖10-9）。

與理想一維濾波一樣，理想二維濾波也要求在通放帶內頻率-波數響應的振幅譜為1，在通放帶外為0，相位譜亦為0，即零相位濾波。因此，二維理想濾波器的頻率-波數響應是正實對稱函數（二維對稱，即對兩個參量均對稱），空間時間因子必為實對稱函數。二維濾波同樣存在偽門現象和吉普斯現象，也可採用鑲邊法和乘因子法解決。因是二維函數，情況復雜得多，通常只採用減小采樣間隔（包括時間采樣間隔Δt 和頻率采樣間隔Δf）和增大計算點數（包括時、空二方向上的點數 M 和N）的方法。

圖10-9 二維濾波計算示意圖（N=5）

（4）扇形濾波

最常用的二維濾波是扇形濾波。它能濾去低視速度和高頻的干擾。其頻率波數響應為

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圖10-10 扇形濾波器的頻率波數響應

通放帶在f-k_x平面上構成由坐標原點出發，以f軸和k_x軸為對稱的扇形區域（圖10-10）。因此這種濾波器稱為扇形濾波器。

利用傅里葉反變換可求出其因子為

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當在計算機上實現運算時，需要離散化。對時間采樣：t=nΔ，n=0，±1，±2，……，Δ為時間采樣間隔，Δ=1／2f_c。空間采樣間隔即輸入道的道間距Δx。

由標准扇形濾波器可以組構出既壓制高視速度干擾，又壓制低視速度干擾的切餅式濾波器，進而還可組構出同時壓制高、低頻干擾的帶通扇形濾波器和帶通切餅式濾波器。

在疊加前應用扇形濾波，壓制的目標可以是面波、散射波、折射波或電纜振動產生的波。至於在疊加後的應用，則可壓制從傾斜界面上產生的多次反射或側面波。

10.3.3 提高縱向解析度的反濾波處理

由地震波的傳播理論可知，在介質中地震波是以地震子波的形式在地下傳播。地面接收到的反射波地震記錄是地層反射系數與地震子波的褶積。因此，地層相當一個濾波器，使反射系數序列變成了由子波組成的地震記錄，降低了地震勘探的縱向解析度。反濾波的目的就是要設計一個反濾波器，再對地震記錄濾波，消除地層濾波的作用，提高地震記錄的縱向解析度。

由前所述，地震記錄是地層反射系數序列r（t）與地震子波b（t）的褶積，即

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由於子波的問題，使高解析度的反射系數脈沖序列變成了低分辨的地震記錄，b（t）就相當地層濾波因子。為提高解析度，可設計一個反濾波器，設反濾波因子為a（t），並要求a（t）與b（t）滿足以下關系

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用a（t）對地震記錄x（t）反濾波

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其結果為反射系數序列。以上即為反濾波的基本原理。

反濾波在具體實現時，核心是確定反濾波因子a（t）。由於地震子波的不確定性以及地震記錄中噪音干擾的存在，實際中要確定精確的a（t）是非常困難的，甚至是不可能的。為此在不同的近似假設條件下，相繼研究了很多種確定反濾波因子a（t）的方法，這些方法基本可以分為兩大類：一類是先求取地震子波b（t），再根據b（t）求a（t）；另一大類是直接從地震記錄中求a（t）。每一類中又有很多不同的方法（就僅反濾波方法之多，說明了反濾波處理的難度）。下面就反濾波方法中具有代表性的幾種反濾波進行討論。

10.3.3.1 地層反濾波

地層反濾波屬於先求子波b（t），再求a（t）的方法。該方法要求有測井資料以及較好的井旁地震記錄道。首先由聲波測井資料轉換與井旁地震記錄道x（t）相匹配的地層反射系數序列r（t），對r（t）及x（t）求其頻譜可得頻率域方程為

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即有

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式中B（ω）為子波b（t）的譜，再由子波與反濾波因子的關系有

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經反傅里葉變換得 a（t）。式中 A（ω）為反濾波因子的頻譜。寫成 z 變換，為 A（z）=，可見A（z）是一個有理分式，要使A（z）具有穩定性，分母多項式B（z）的根必須在單位圓外，即要求子波b（t）為最小相位。

利用測井和井旁地震道求取子波及反濾波因子，即可用該反濾波因子對測線的其他道進行反濾波。

10.3.3.2 最小平方反濾波

最小平方反濾波是最小平方濾波（或稱維納濾波、最佳濾波）在反濾波領域中的應用。

最小平方反濾波的基本思想在於設計一個濾波運算元，用它把已知的輸入信號轉換為與給定的期望輸出信號在最小平方誤差的意義下是最佳接近的輸出。

設輸入信號為x（t），它與待求的濾波因子h（t）相褶積得到實際輸出y（t），即y（t）=x（t）*h（t）。由於種種原因，實際輸出y（t）不可能與預先給定的期望出（t）完全一樣，只能要求二者最佳地接近。判斷是否最佳接近的標准很多，最小平方誤差准則是其中之一，即當二者的誤差平方和為最小時，則意味著二者為最佳地接近。在這個意義下求出濾波因子h（t）所進行的濾波即為最小平方濾波。

若待求的濾波因子是反濾波因子a（t），對輸入子波b（t）反濾波後的期望輸出為d（t），實際輸出為y（t），按最小平方原理，使二者的誤差平方和為最小時求得的反濾波因子稱為最小平方反濾波因子。用它對地震記錄x（t）進行的反濾波為最小平方反濾波。

設輸入離散信號為地震子波b（n）=｛b（0），b（1），…，b（m）｝，待求的反濾波因子a（n）=｛a（m₀），a（m₀+1），a（m₀+2），……，a（m₀+m）｝，m₀為a（t）的起始時間，（m+1）為a（t）的延續長度，b（n）與a（n）的褶積為實際輸出y（n），即

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為地震子波與期望輸出的互相關函數。

根據最小平方原理，經推導即可得到最小平方反濾波的基本方程：

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式中，

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為地震子波的自相關函數，

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為地震子波與期望輸出的互相關函數。

（10.3-24）式是一個線性方程組，寫成矩陣形式為

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式中利用了自相關函數的對稱性。該方程中，系數矩陣為一種特殊的正定矩陣，稱為一般的托布里茲矩陣，該矩陣方程可用萊文森遞推演算法快速求解。

式（10.3-27）適應子波b（n）為最小相位、最大相位和混合相位。式中反濾波因子a（n）的起始時間m₀與子波的相位有關，其取值規則由子波及反濾波因子的z變換確定。

10.3.3.3 預測反濾波

預測問題是對某一物理量的未來值進行估計，利用已知的該物理量的過去值和現在值得到它在未來某一時刻的估計值（預測值）的問題。它是科學技術中十分重要的問題。天氣預報、地震預報、反導彈的自動跟蹤等都屬於這類問題。預測實質上也是一種濾波，稱為預測濾波。

（1）預測反濾波原理

根據預測理論，若將地震記錄x（t）看成一個平穩的時間序列，地震子波b（t）為物理可實現的最小相位信號，反射系數r（t）為互不相關的白雜訊，由地震記錄的褶積模型，在（t+α）時的地震記錄x（t+α）為

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分析（10.3-28）式的第一項

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可見這一項是由反射系數r（t）的將來值決定的。若令第二項為

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^x（t+α）是 t 和t 以前時刻的r（t）值決定的，也就是說（t+α）可由現在和過去的資料預測，稱（t+α）為預測值。求 x（t+α）與（t+α）的差值為

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ε（t+α）稱為預測誤差，或稱為新記錄。比較（10.3-28）及（10.3-29）兩式，當預測值已知時，從原記錄x（t+α）中減去預測值（t+α）後形成的新記錄ε（t+α）中比原記錄中涉及的反射系數少，與子波褶積後波形的干涉程度輕，波形易分辨，即解析度提高了。

在上式中α稱為預測距或預測步長。當α=1時，

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即有

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這時（t+1）時刻的預測誤差與反射系數之間僅差一個常數b（0）。

因此，選預測距α=1，預測誤差為反射系數，達到了反濾波的目的，此時稱為預測反濾波。

當α>1時，預測誤差為預測濾波結果，預測濾波主要用於消除多次波，尤其是消除海上鳴震。

（2）計算預測值（t+α）的方法

在預測濾波及預測反濾波中，關鍵是計算預測值（t+α），其方法如下。

由反濾波方程

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代入預測值（t+α）的表達式

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式中令τ=s-j，c（s）=b（j+α）a（s-j）稱為預測因子。a（t）為反濾波因子。預測值（t+α）為預測因子 c（s）與地震記錄的褶積。

現在需設計一個最佳預測因子c（s），使求取的預測值（t+α）與x（t+α）最接近，即使預測誤差的平方和（誤差能量）

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為最小。根據最小平方原理，可得線性方程組

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式中R_xx（τ）為地震記錄的自相關函數

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T為相關時窗長度，m+1是預測因子長度。將（10.3-34）寫成矩陣形式為

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解此方程組即可求得預測濾波因子c（t），用它對地震記錄x（t）褶積可以求出未來時刻（t+α）時的最佳預測值（t+α）。

2. 輸入功率2000w反射功率20w時駐波比多少

只有負載阻抗與信號源阻抗完全匹配，才能最大化地把信號從信號源傳送到負載。對於基站系統，信號源就是發射機，負載就是天饋線子系統，天饋線子系統包括天線、饋線、射頻連接頭以及避雷器等附屬設備。如果負載和信號源不能做到完全匹配，部分信號就會反射回信號源，這是我們所不希望的，這時就會產生前向波和反向波，這兩個信號組合在一起就形成了駐波。駐波比(VSWR)是指駐波的最大電平和最小電平的比值，它的大小從1:1（完全匹配）到∞。



圖 由於阻抗不完全匹配導致的反向波的產生

我們可以通過反射系數Γ或者回波損耗RL計算出VSWR，在這里我們列出了反射系數Γ 、回波損耗RL以及VSWR的計算公式：





其中，

Z為輸出阻抗
Z0為輸入阻抗
Pfoward為前向功率
Preflected為反向功率

可接受的VSWR范圍

由於我們無法做到100%的負載和信號源阻抗匹配，總會有部分信號不可避免地被天線反射回來，所以需要確定一個VSWR范圍作為衡量可接受的VSWR的標准。通常我們把1.13:1 – 1.38:1 作為VSWR衡量標准。另外，回波損耗也可以作為一種衡量標准，前向功率與反向功率的比值就是回波損耗，如果已知40dBm的前向功率和20dBm的反向功率，那麼我們可以計算出回波損耗是20dB，如果已知基站的輸出功率是20W、回波損耗是16dB，那麼我們可以計算出反射功率是0.5W。通常我們把16 –24dB作為回波損耗的衡量標准。

當發射機到天線的發射通路上出現嚴重故障，會產生很低的回波損耗，比如射頻接頭松動、天線故障、饋線損壞、避雷器擊穿以及濾波器/耦合器損壞，等等。這種嚴重的VSWR故障將會導致掉話、誤碼率升高以及小區覆蓋半徑變小等故障。

從功率的角度看駐波比

若以功率的觀點來看，駐波比可以表示為

3. 已知駐波比（VSWR）,如何計算反射波功率所佔百分比

VSWR=(1+K)/(1-K)得到反射系數是反射電壓與入射電壓之比，平方後是反射功率之比，舉例，vswr=3，得到K=1/2，反射功率=（1/2）^2=1/4即25%。

VSWR是衡量傳輸線上駐波情況的一個定義。它定義為在無損耗的傳輸線上，電壓最大值點的電壓和最小值點電壓的比值。

雖然在傳輸線上電流也滿足同樣的關系，但測量電壓總比測量電流要來得簡單。如果天線的阻抗匹配和發射機以及饋線的阻抗是匹配的，那麼測量到的VSWR應該是1:1也即1。而當阻抗不能完全匹配的時候，VSWR可能為2:1甚至5:1以上。

(3)信號反射系數的計算方法擴展閱讀：

駐波比的可接受范圍

駐波比等於1時，表示饋線和天線的阻抗完全匹配，此時高頻能量全部被天線輻射出去，沒有能量的反射損耗；駐波比為無窮大時，表示全反射，能量完全沒有輻射出去。

但是無法做到100%的負載和信號源阻抗匹配，總會有部分信號不可避免地被天線反射回來，所以需要確定一個范圍作為衡量可接受的駐波比的標准。不一定追求1.1以下的駐波比，小於等於1.5都是可以接受的范圍，96%的都發射出去了。

4. 如何計算射頻信號功率

反射系數=入射波/反射波=（500-100）/（500+100）=2/3，反射功率=（2/3）^2=4/9
可知有4/9的入射功率被反射，剩餘的5/9功率實際能達到B點。所以到達B點的功率=10mw×5/9=5.556mw

5. 反射率的公式

當光束接近正入射（入射角θ約等於0）時，反射率計算公式是：R=(n1-n2)^2/（n1+n2）^2

其中n1,n2分別是兩種介質的真實折射率（即相對於真空的折射率）。折射率是指光線進入不同介質時角度發生改變的現象，用sinθ1/sinθ2來表徵。θ1，θ2分別為入射角和折射角，即光線與法線的夾角。

通常來說，光線在臨界面上的反射率僅與介質的物理性能，光線的波長，以及入射角相關。

在介質折射率連續變化的情況下（例如光線連續穿過兩種不同折射率的玻璃時），由於在不同界面的反射光線產生干涉效應，其反射率還與介質厚度有關。從而我們可以通過設計特定厚度和特定折射率的塗層，來得到對特定波長光波有較大反射率或透過率的塗層。一個很重要的應用實例是眼鏡，為了保護眼睛增加藍紫光線的反射率降低其透射率，而在眼鏡表面加塗一增加藍紫光反射率的塗層。

反射率最大值的厚度（2z+1）*λ/4=d*√(n^2-sinα^2)

反射率最小值的厚度 z*λ/2=d*√(n^2-sinα^2)

其中z是序列數，λ是波長，d是厚度，n是折射率，α是入射角

(5)信號反射系數的計算方法擴展閱讀

1，光從一種介質射向另一種介質的交界面時，一部分光返回原來介質中，使光的傳播方向發生了改變，這種現象稱為光的反射.反射光與入射光之比，就是反射率。

2， 反射率與兩種介質的折射率、入射角度、光的波長等有關。

3，入射角越大，反射光越強。在一定的介質和波長情況下，當入射角大於某個（臨界）角度時，反射光等於入射光，稱為全反射。光纖傳輸就是利用這個現象實現的。

6. 求微波信號雪地的反射系數

這個不清楚。沒有這類信息的數據。

7. 同態反濾波

最小平方反濾波和預測反濾波中，一般需要假設子波是最小相位的，當子波未知時，還要假定反射系數滿足白噪條件。從原理上說，如果離開了這些假設條件，反濾波就無法實現。本節介紹的同態反濾波，不需要假設地震子波的最小相位性質和反射系數的白雜訊性質，主要通過對地震記錄的頻譜取對數，把地震子波和反射系數分離開來，原則上可以

同時求取地震子波和反射系數以達到反濾波的目的，因此本方法又稱作對數分解法。

同態反濾波的原理

(1)求取地震子波或反射系數序列的對數譜序列根據地震記錄的褶積模型:

物探數字信號分析與處理技術

由於褶積的原因，使地震子波與b(t)與反射系數ξ(t)混在了一起，在時間域不能簡單地分開，為此把(10-2-1)變換到頻率域:

物探數字信號分析與處理技術

兩邊取對數，得

物探數字信號分析與處理技術

將(10-2-3)式另記為

物探數字信號分析與處理技術

表示的譜分別是由X(ω)、B(ω)和Ξ(ω)取對數得到的，因此稱作x(t)、b(t)和ξ(t)的對數譜。利用傅立葉變換的線性性質，對(10-2-4)進行傅立葉反變換，可以得到時間域的表達形式:

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和 是通過求 和 的反變換得到的，所以稱為對數譜序列，或稱作復賽譜，對應的時間域也稱為同態域。上式表明，原來信號的褶積運算最終變成了加法運算，即地震記錄的對數譜序列 是地震子波對數譜序列 和反射系數對數譜序列 之和。但是地震子波對數譜序列 和反射系數對數譜序列 的分布位置是不同的，說明如下:

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上式表明x(t)是地震子波b(t)與反射系數: 的褶積。

由(10-2-6)式可知，x(t)的頻譜為

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其對數譜為

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其對數譜序列為

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上述各式表示的圖形見圖10-2-1。從圖中可以看出，地震子波的對數譜序列 集中在原點附近，而反射系數的對數譜序列 是離開原點較遠的一系列尖脈沖。說明地震子波的對數譜序列 集中在原點附近，而反射系數的對數譜序列 分布在t軸的不同位置上，他們在一定程度上是彼此分開的。因此可以在原點附近沿t軸展開一長度為2l的時窗，把時窗里|t|≤l的對數譜序列 保留，而把時窗外面|t|>l的對數譜序列 下來的 接近於地震子波的對數譜序列 。見圖10-2-2;反之，離開原點l處附近開一時窗，把時窗里|t|≥l的 保留下來，而把時窗里|t|<l的 去掉，就有可能得到反射系數對數譜序列

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圖10-2-1同態反濾波的原理

上述開時窗保留或去掉 ，實質是對地震記錄的對數譜序列 進行濾波，類似於頻率域的低通、帶通和高通濾波，可以設計時間域低通、帶通和高通門式濾波。

圖10-2-2 時窗的分離選擇

例如，為了得到地震子波對數譜序列 ，需要對地震記錄對數譜序列 進行低通濾波，其低通時間域濾波器 可寫為

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對地震記錄對數譜序列 進行低通濾波的輸出:

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而為了得到反射系數的對數譜序列 ，需要對 進行高通濾波。其輸出:

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通過對地震記錄對數譜序列 進行時間域濾波計算出地震子波對數譜序列 和反射系數對數譜序列 之後，就可以分別求出地震子波b(t)和反射系數序列ξ(t)。

(2)根據地震子波的對數譜序列 求子波b(t)(或ξ(t))

首先對 進行傅立葉變換，求出b(t)的對數譜:

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然後對 取指數，得到b(t)的頻譜:

再對頻譜B(ω)進行反傅立葉變換，就可以得到地震子波b(t)。求反射系數序列的方法與求子波b(t)的方法相同。

圖10-2-3(a)10-2-3(b)和是應用同態反濾波計算得出的子波和反射系數序列，它和圖10-2-1(a)所示的原始地震子波b(t)非常接近。但是圖10-2-3(b)所示的同態反濾波後的反射系數序列與10-2-1(b)中的反射系數序列比較，時間移動了2t₀，而且反向了，這是因為子波b(t)是混合相位的，在計算相位譜時引起的，但這二者的波形是一致的。

圖10-2-3 同態反濾波的輸出

(3)子波b(t)(或反射系數序列ξ(t))的相位性質對濾波結果的影響

應用同態反濾波分別求b(t)和ξ(t)的關鍵是在時間軸上將二者分離。對地震記錄的對數譜序列 進行濾波時，如何選擇濾波器是關鍵，這就需要了解 和 的分布規律及相位性質。下面主要以子波為最小相位的情況予以說明。

1)地震子波b(t)(或反射系數序列ξ(t))是最小相位的情況

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則b(t)的Z變換為

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由於b(t)是最小相位的，因而其Z變換的根都在單位圓外。這時有

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對上式取對數

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從上式的 中， 前面的系數就是序列 ，因而得到

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上式表明，當地震子波b(t)是最小相位時，它的對數譜序列 是一個單邊序列，它只在時間軸正軸上有值，而在時間負軸上為零。顯然當反射系數序列是最小相位時，其對數譜序列也是單邊序列。

2)地震子波b(t)和反射系數ξ(t)是最大相位的情況

因為b(t)是最大相位的，最大子波Z變換的根都在單位圓內。同樣的方法可以證明，其對數譜序列 滿足下式

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上式表明，當地震子波b(t)是最大相位時，它的對數譜序列 ^{在時間軸正軸和時}間負軸上都有值，是一個雙邊序列。

3)當地震子波是混合相位的情況

當子波是混合相位時，其子波Z變換的根在單位圓內和單位圓外都有。假設在單位圓內有m₀個根，在單位圓外有m₁=n-m₀個根，則同樣的方法可以證明，其對數譜序列 滿足下式

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上式表明，當地震子波b(t)是混合相位時，它的對數譜序列 在時間軸正軸(t≥0)和負軸(t<0)都有值，是一個雙邊序列。

由以上討論可知，最小相位的對數譜序列比最大相位和混合相位的對數譜序列簡單得多。因此實際中可以把混合相位序列轉化成最小相位序列。

4)將混合相位序列轉化成最小相位序列

設b(t)=(b(0)，b(1)，…，b(n))是混合相位的，它的z變換為

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如果用αz代替上市中的z，得到

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當取α值使

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則(10-2-22)中 的根 ，它們都在單位圓外，因此， 是最小相位的，其相應的時間序列:

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是最小相位的。 是b(t)指數加權後得到的序列。指數加權後的序列 是最小相位的，它的對數譜序列是只在時間軸正軸有值的單邊序列，在對對數譜序列進行時間域濾波時，其低通濾波門可選在時間原點附近的正軸向處。經過時間域濾波所得到的結果:

物探數字信號分析與處理技術

這表明指數加權後的序列 經過處理後所得到的濾波後的結果 ，是原來序列b(t)的濾波後結果Y(t)的加權序列。因此，要對 進行指數加權後，才能得到原來序列b(t)濾波後的結果。

8. 簡化的非正入射時的反射系數公式與振幅隨入射角的變化

根據諾特方程組或佐普瑞茲方程組可以求解出四個反射、透射系數R、B、T和D。但這些系數都有復雜的表達式。因此，已有多位學者對這些系數表達式進行了近似和簡化。最常用的近似是假設 都很小，即所謂弱反差近似，使這些比值的平方項或乘積可以忽略，這時，Aki和Richards(1980)得出反射P波的反射系數為

地震勘探

根據泊松比υ與橫波速度的關系，可用泊松比代替v_S，得到如下關系

地震勘探

把它代入(1-97)方程，可得

地震勘探

其中R₀是法線入射時的反射系數，

地震勘探

再進一步考慮反射地震勘探一般的觀測范圍在α<30°，Shuey(1985)又進一步簡化(1-98)式為

地震勘探

Ostrander(1984)計算了一些實際例子，得出下列結論:

(1)如果上下介質的泊松比相等(υ₁=υ₂)，則不論反射系數為正為負，振幅隨入射角的增加而減小。

(2)當反射系數為正且泊松比增加(υ₁>υ₂)或者反射系數為負而泊松比降低υ₁<υ₂時，振幅都隨入射角的增加而增大，前者發生在氣—水界面或在頁岩中含氣砂岩的頂部。

(3)當反射系數為正且泊松比降低或者反射系數為負而泊松比增加時，隨著入射角的增加，振幅首先減小，然後發生極性倒轉，振幅向負極性方向增加。例如高波阻抗儲層就發生此情況。

一般認為振幅隨入射角的變化是一種較好的烴類檢測手段，例如，當砂岩儲層孔隙中充填天然氣，則砂岩與其周圍的頁岩存在明顯的波阻抗差，在氣頂產生很強的負反射，而在氣底(與水的接觸面)會有很強的正反射。這兩種情況都會使振幅隨入射角的增大而增大。但是，實際情況的復雜性使在沒有儲層或只有很少的天然氣存在時，泊松比也會發生變化。

9. 駐波比的計算公式

電壓駐波比計算公式：

VSWR = |V(max)|/|V(min)|

其中，V(max)是傳輸線上信號電壓最大值，V(min)是傳輸線上信號電壓最小值。
也可以利用阻抗計算：
VSWR = (1+Γ)/(1-Γ)
其中，Γ是靠近負載端的電壓反射系數，由負載阻抗(ZL)和源阻抗(Zo)確定：
Γ = (ZL-Zo)/(ZL+Zo)
如果負載與傳輸線完全匹配，Γ = 0，VSWR = 1:1