計算方法心得體會

㈠ 寫一篇關於「在暑期生活中，運用數學知識解決現實生活問題」的心得體會。謝謝

國慶節中的一天，我和爸爸吃完午飯玩24。從開始到結束一直是我贏，爸爸說：「你有什麼技巧？」我說： 「巧算24點」是一種數學游戲，游戲方式簡單易學，能健腦益智，是一項極為有益的活動．巧算24點的游戲內容如下：一副牌中抽去大小王剩下52張，（如果初練也可只用1～10這40張牌）任意抽取4張牌（稱牌組），用加、減、乘、除（可加括弧）把牌面上的數算成24．每張牌必須用一次且只能用一次，如抽出的牌是3、8、8、9，那麼算式為（9—8）×8×3或3×8＋（9—8）或（9—8÷8）×3等．
「算24點」作為一種撲克牌智力游戲，還應注意計算中的技巧問題．計算時，我們不可能把牌面上的4個數的不同組合形式——去試，更不能瞎碰亂湊．給你介紹幾種常用的、便於學習掌握的方法：
1．利用3×8＝24、4×6＝24求解．
把牌面上的四個數想辦法湊成3和8、4和6，再相乘求解．如3、3、6、10可組成（10—6÷3）×3＝24等．又如2、3、3、7可組成（7＋3—2）×3＝24等．實踐證明，這種方法是利用率最大、命中率最高的一種方法．

2．利用0、11的運算特性求解．
如3、4、4、8可組成3×8＋4—4＝24等．又如4、5、J、K可組成11×（5—4）＋13＝24等．

3．在有解的牌組中，用得最為廣泛的是以下六種解法：（我們用a、b、c、d表示牌面上的四個數）
①(a—b）×（c＋d）

如（10—4）×（2＋2）＝24等．

②（a＋b）÷c×d

如（10＋2）÷2×4＝24等．

③（a－b÷c）×d

如（3—2÷2）×12＝24等．

④（a＋b－c）×d

如（9＋5—2）×2＝24等．

⑤a×b＋c—d

如11×3＋l—10＝24等．

⑥（a－b）×c＋d

如（4—l）×6＋6＝24等．

游戲時，同學們不妨按照上述方法試一試．需要說明的是：經計算機准確計算，一副牌（52張）中，任意抽取4張可有1820種不同組合，其中有458個牌組算不出24點，如A、A、A、5．

不難看出，「巧算24點」能極大限度地調動眼、腦、手、口、耳多種感官的協調活動，對於培養我們快捷的心算能力和反應能力很有幫助．」
爸爸說「真棒！我送你一個航模。」
看來，生活真離不開數學！

從倒走想到的……

昨天，爸爸心血來潮，給我出了一道題：李白買酒：「無事街上走，提壺去買酒，遇店加一倍，見花喝一斗，三遇花和店，喝光壺中酒。」試問壺里原有多少酒？
短短二十幾個字就把我難住了，我咬著筆桿，苦思冥想，還是想不出個頭緒。正當我沒招數的時候，鄰居小夥伴來找我玩，可是爸爸交給我的任務還沒完成，是去玩，還是不去玩呢？這時我心裡像有兩個小人在打架，我沉默了一會兒，終於按捺不住沖出去與小夥伴們玩了起來。
倒走倒走啊，我想起來了，爸爸出的這道可不可以最後面倒推到上面呢？於是，我在草稿上算起來：先算出第三次遇店前應有酒是，再算第二次遇店前的酒：最後算第一次遇店前的酒就是原來的酒：
啊，原來生活中的每一個細節都可以來解數題從中我取得了一個道理：像這些類型的題目如果按照一般方法，順著題目的要求一步一步地列出算式求解，過程比較繁瑣，解題時，我們就可以從最後的結果出發，運用加與減、乘與除之間的逆關系，從後到前一步一步推算，這種思想比較容易解決數學上的疑難雜症。

由曹沖稱象故事所想到的

在三國時期，有人送了一隻大象給曹操，曹操很想知道大象有多重,可怎樣稱得大象的重量呢？大臣們都想不出一個好辦法，後來曹操的兒子操沖想出了一個辦法：先把大象牽到一隻大船上，在船舷上沿著水面劃一個標記，然後再「請出」大象，在船上裝上一堆石頭，……。這種石頭換大象的稱重法，類似於數學上的「化整為零」，蘊含了一種重要的數學思想方法，那就是把本來不容易解決的問題，通過轉化，變成了容易解決的問題。「轉化法」的運用，正是曹沖的智慧之所在。
例1、36.3×4.5＋6.37×45
分析與解：此題小數乘法，就是通過把它轉化成整數乘法後再進行計算。
原式=3.63×45＋6.37×45 =（3.63＋6.37）×45 =10×45=450
例2. 5千克葡萄的價錢等於4千克雪梨和4千克蘋果的價錢之和，3千克蘋果的價錢等於2千克雪梨和1千克葡萄的價錢之和。買10千克蘋果的錢可以買幾千克葡萄？
分析與解：題中有三個量，要設法消去雪梨這個量。根據已知條件，可以得到下面兩個關系式：
5千克葡萄的價錢=4千克雪梨的價錢+4千克蘋果的價錢…………（1）
3千克蘋果的價錢=2千克雪梨的價錢+1千克葡萄的價錢…………（2）
（2）式×2得：
4千克雪梨的價錢=6千克蘋果的價錢－2千克葡萄的價錢………（3）
把（3）式代入（1）式，進行轉化，可得：買10千克蘋果的錢可以買7千克葡萄。
藉助「曹沖稱象」的故事，向我們滲透一種轉化的數學思想方法，培養自覺運用轉化思想解決實際問題的意識。運用「轉化」思想，不僅可以幫助我們學習許多新的知識，還可以幫助我們解決許多的實際問題。多擁有這些思想，我們便多擁有一份力量。這就是「曹沖稱象」這則故事帶給我們的思考，賦予我們的啟示……

有 趣 的 減 法

大千世界，無奇不有，在我們數學王國里也有許多有趣、神奇的事情。比如說100以內的減法。

我們先來計算一下：98—89、87—78、76—67、65—56……21—12

發現以上結果都是9，也就是說：相差1的兩個自然數所組成的兩個兩位數的差是9。

我們再來計算一下：97—79、86—68、75—57、64—46……31—13

發現以上結果都是18，也就是說：相差2的兩個自然數所組成的兩個兩位數的差是18（9×2）。

我們再來計算一下：96—69、85—58、74—47、63—36……41—14

發現以上結果都是27，也就是說：相差3的兩個自然數所組成的兩個兩位數的差是27（9×3）。

同樣的道理：相差4的兩個自然數所組成的兩個兩位數的差是：9×4=36。

同樣的道理：相差5的兩個自然數所組成的兩個兩位數的差是：9×5=45。

同樣的道理：相差6的兩個自然數所組成的兩個兩位數的差是：9×6=54。

同樣的道理：相差7的兩個自然數所組成的兩個兩位數的差是：9×7=63。

同樣的道理：相差8的兩個自然數所組成的兩個兩位數的差是：9×8=72。

在日常學習、生活中，往往有許多細微的事情而被人們忽略，我想，只要我們細心觀察，肯定會發現更多有趣的事情，探究出更多的奧秘！

我的秘密武器

今天，我和妹妹玩了一個有趣的游戲——搶「二十」。兩人輪流報數，每人每次至少報一個數，最多報四個數，從一到二十按順序連續報數，最後報到20的人為勝利者。每贏一次，就得一分。

我笑咪咪地說：「你先報數。」

「好，1，該你了。」

「2、3、4、5」。

……

「14、15」我說。

「16、17、18、19、20，我贏了。

「你耍賴，最多隻能報四個，可報了五個數。」

「我沒有。」

這樣，你一句，我一句，你賴一回，我賴一回，七嘴八舌，吵個沒完沒了。可奇怪的是，我每次輸的時候，總是自己先報數。

我覺得這裡面可能有一定的規律，我試著去尋找。於是，我和自己玩起了「搶二十」的游戲。先是我報數，然後是另一個我報數，搶著搶著，我眼前一亮，規律找到了！只要讓對方先報數，按照規則至少報一個數，最多報四個數，後報的人只要把他報的個數補滿5的倍數：5、10、15、20、25、30，這樣你就一定是勝利者。

我有了這個秘密武器，又去找妹妹玩。我耍了一個小把戲，說：「妹妹，你年齡小，由你先報數。」……哈哈，我贏了。又搶了一局，我又贏了，連搶了五局，都是我贏。妹妹氣得把頭一甩，說：「不玩了，今天我的運氣太差，下次一定要贏你。」可是她哪裡知道這其中的奧妙啊，這是我秘密武器的威力。

撲克牌的魔力

「來，快點來，我們來玩撲克牌，算24點」下課了，我就召集小夥伴們一起玩「算24點」的游戲。這個小游戲不僅可以激發我們的學習興趣，而且還可以提高計算能力。在男生中非常流行，不信，你看！

當小軍拿出紅桃二，小剛拿出方塊三，誠毅甩出黑桃四，我取出草花6時，我的眼前出現了2、3、4、6、這幾個數字。它們不斷跳動，似乎在向我示威，不過，不用多時我很快地想到整數運算，有1×24，2×12，3×8，4×6，12＋12，16＋8，18＋6等多種解題思路可供選擇。因此，很快我就算出了答案。

緊接著桌面上出現5、5、5、1四個數字，我就想到小數的運算，心想：（ ）×5=24，我試了一試，到推得（4.8）×5=24，再由5、5、1這三個數字想怎麼得出4.8，這可有點難了，看大夥有的抓耳撓腮，有的苦思冥想，我也思考了好一會兒，突然，我想到平時老師經常談起小數，用小數來算很簡單。由1÷5=0.2，再由5－0.2=4.8，可得算式：（5－1÷5）×5=24。

又如用2、7、7、10算24點時，在整數、小數范圍內一時難以找到如何計算的方法，我就想到用分數計算，根據平時老師講的：先取三個數，使它的結果為24，容易想到2×7＋10=24，這樣一來，由此構造一個帶分數，使它含有2、7、10這個分數，2 或 這個帶分數乘以7其結果為24，列式為（2＋10÷7）×7=24

用撲克牌算24點，是一種智力游戲，我們不僅要用常出現的思路去思考，還要有特殊的方法去解決（如倒推法、構造法），使我們的游戲玩得有趣，玩得有意義。

滿400百送300背後的思考
前些天報紙上登出杭州銀泰百貨推出滿400百送300，滿就送的活動，頓時點燃了人們的購物熱情，媽媽阿姨們也不甘落後，叫上幾個朋友，打上一輛車上杭州了。

回來已經是傍晚時分了，媽媽買了滿滿的兩大包衣服，有我的，爸爸的，爺爺奶奶的，也有媽媽自己的，但一算下來卻發現媽媽居然花去了2000多元，這下連媽媽都呆住了。

難道「優惠券」並不優惠？

接下來的幾天，通過對媽媽描述的情況進行分析和對諸暨各大商場（雄風、雄城、家友、華潤、百貨公司等幾家商場）進行調查，我發現了這樣幾個值得思考的地方。

1、滿400百送300送還的是購物券，從表面上看似乎只要用100元錢就可以買到400元錢的東西，但細細一想，其實是花400元買了700元的東西，因為送還的購物券必須在商場購物，一算折扣，400÷700≈57.1%，即五七折，其實這個折扣在平常商店裡也是很多的，但顯然沒有「滿400百送300」更能吸引人們的眼球，更有「吸引力」。

2、商品的價格往往出奇地相似，比如媽媽買來的衣服，個位與十位上的數字往往是九，其中4套是399元，商家牢牢抓住了人們的心理，399元離400元這個送還點還有1元的差距，但就是這1元卻使人心理癢癢的，買1件不劃算，但找遍商場你會發現根本沒有哪兩件剛好能湊足400元的，或者不夠，或者離下個送還點800元相差不大了，誘使你買更多的商品。媽媽就是這個原因，才不知不覺地買了這么多。

3、使用購物券的地方並不是隨心所欲。得到購物券後怎麼花出去也並不容易，能使用購物券的地方往往是商場所指定的，不能用購物券隨便購買東西，因此有時看到自己喜歡的商品還是要自己再掏錢，或者能用購物券購買的地方，卻發現購物券數量與商品價格不符，最後除去購物券外還得自己補上餘下的部分，這就又增大了開支。

4、購物券不找零。某個消費者有100元的購物券，當他面對一件120元的商品和一件80元的商品時，通常選擇後者，因為這100元的購物券好像是「白得的」，即使損失20元也無所謂。商家就是利用消費者這種心理將80元的商品利潤設得較高，再加上不給顧客找回的20元，自然就成了大贏家。

綜合以上幾點的發現，我覺得對待商場這種促消活動，我們要謹慎加理智，如果真實地需要那還是可以去購買的，畢竟也能得到實惠，但千萬不要把它當作一次購物的機會，那可能會得不償失。

粗 心

那天快要放學的時候，數學章老師把試卷發了下來。當我抬頭看，呀！怎麼是八十多分，我的心猛驚了一下。我想哭，但又不敢哭。如果在這么多小朋友面前哭出來，那多難為情呀！

我一回到家，就放聲大哭。爺爺嚇了一跳，以為我有什麼事情。我哭著對爺爺說：「我數學考得不是很理想。」奶奶聽見了說：「別灰心，下次再努力。」之後我在語文課堂作業本里造了一句句子：「這次數學考得不是很理想，我垂頭

喪氣的回家了。」

平時，我上課也認真，做作業也認真，為什麼這次考得不太理想？我一邊改試卷，一邊在想，我發現只有一道題目不太懂，其它的全是粗心錯的，有減錯的，加錯的，畫錯的，題目看錯的……啊！原來是「粗心」這個大毛病害了我。

從此以後，我慢慢的改掉了這個粗心的毛病。在以後幾次數學考試雖然好了一些，但有時一不小心又會犯這個老毛病。我以後要細心，細心，再細心，把這個「粗心」的大毛病堅決改掉。

生活離不開數學

我覺得學數學離不開我們的日常生活，比如我們買東西的時候，就要用到數學，有一次，奶奶和我去超市買東西，一個營業員把27元的東西算成了30元，我發現了馬上告訴了營業員，阿姨直誇我聰明。其實在科學發達的今天數學依然不可缺少，如果太空梭里的計算過程，不是一絲不苟，那麼後果不堪設想。可見數學是多麼不可缺少，所以我們應該從小學好數學，長大了做一個對社會有用的人。

我會掛燈籠了

一（4）班 魯澤昊

舅舅要結婚了，讓我和媽媽幫著去布置新房。我很喜歡一串串的小燈籠，媽媽說：「那就掛上幾串吧，這個任務就交給你了！」

我打算房間每面牆掛上3串，客廳每面牆掛上5串，得買幾串呢？我算了一下，每個房間應該買12串，客廳應該買20串，可媽媽說用不著這么多。這是怎麼回事呢？媽媽說：「你先掛牆角上的4串就明白了。」對呀，四個牆角各掛上1串，每面牆就已經有了2串，再各加一串不就有了3串了嗎？這樣每個房間就只要買8串就行了，可以節省4串那。客廳也可以省下4串，16串就行了。媽媽笑著說：「這回對了！可這么大的主房間和客廳，每面牆才掛這么幾串，不夠喜氣。主房間每面牆掛5串，客廳每面牆就掛8串吧！麻煩你再算一下。」嘿，這回可難不倒我了，主房間應該是4×5―4＝16（串），客廳應該是4×8―4＝28（串）。

媽媽摸摸我的小腦瓜，說：「還挺機靈的，我陪你去買吧！」

有趣的數學發現

三（1）班 楊家一

小朋友們，想必大家對乘法口訣都是再熟悉不過了吧，可你在背的過程中有沒有發現一些不易發現的規律呢？我倒是有一個小小的有趣發現，說來一起聽聽：

二年級學背乘法口訣時，我很容易搞錯乘法得數。有一次在背9的乘法時，幾次結果搞錯，如把「六九五十四」說成「六九五十六」，還有，把「三九二十七」說成「三九二十一」。心裡特別難受，也別著爭，情急之下，我突然發現，9的乘法得數裡面有奧妙：所有得數的幾個數字相加都等於9。如1×9＝9，得數是9,2×9＝18，得數中的1和8相加得9；3×9＝27，得數中的2和7相加得9；4×0＝36，得數中的3和6相加得9；5×9＝45，得數中的4和5相加得9；依次類推發現9的乘法口訣內，都是這個規律。這大大幫助我記住乘法口訣不再出錯。

回到家，無意中又發現：二十以內（除0和11以外）的數乘以9，得數上的數字相加都等於9。如12×9＝108，得數1和0和8相加的和就是9；13×9＝117，得數中的1、1、7相加就等於9；類推結果都成立。

小小發現，大大作用，幫助初學乘法的小朋友在9的乘法運算中不出錯。

從蝸牛爬井想到的

二（3）班 蔡依芸

今天我看到了一道題目：一口井深14米，一隻蝸牛從井底向上爬，白天爬4米，晚上後退2米，蝸牛幾天才能從井底爬到井口？我認為，白天爬4米，晚上後退2米，那它的意思是說每天只能爬2米，因為2乘7等於14，所以就是7天才能爬到井口。後來我用圖畫實際畫了一下，發現6天就能爬到井口。

為什麼實際算和理論計算不一樣呢？我仔細想了想才恍然大悟，啊！原來第六天白天爬到了井口晚上就不會再退2米了。算出了這道題目，我高興地把事情的經過告訴了媽媽，媽媽說：「你做得對，想題目就要想得全面，才會把數學成績提高上去。」做了這道題目，我體會到做什麼事情，都要考慮到實際情況，不能盲目地按理論去計算。

由買東西想到的

三（3）班 趙晗彬

今天下午，我和媽媽一起去超市買東西。超市裡人山人海，超市的商品也琳琅滿目，看得我們眼花繚亂。

我和媽媽也買了好多東西，我買了一袋奶糖，花了3元錢；還買了一盒巧克力，花了2元錢；媽媽買了一雙拖鞋，花了9元錢；還買了一大袋洗衣粉19元。買完後，媽媽讓我算算一共要付多少錢？我口算道：3＋2＝5（元） 5＋9＝14（元） 14加19等於多少？雖然這道題很簡單，但我一時過於著急，想不出來！媽媽在一旁提醒道：「想一想19接近於多少啊？」我恍然大悟，對了！19接近於20嘛，只要用14加20減1，得數很快出來：33元。算完後，我想：我們學數學不僅僅要動腦筋，還要學會運用，這樣，就能給生活帶來很大的方便。

我是個小神探

三（4）班 周書宇

我在學奧數時有這樣一個問題：在一樁謀殺案中，有兩個嫌疑犯甲和乙。另有四個證人正在受到訊問。

第一個證人說：「我只知道甲是無罪的。」

第二個證人說：「我只知道乙是無罪的。」

第三個證人說：「前面兩個證詞至少有一個是真的。」

第四個證人說：「我可以肯定第三個證人的證詞是假的。」

通過調查研究，已證實第四個證人說了實話，請你分析一下，兇手是誰。

我想來做一回小神探：題目中條件較多，且四個人的證詞有真有假，在這種情況下，要善於抓住關鍵，由此入手進行有根有據的，逐步推理。本題的關鍵是：第四個人說了實話。

因為第四個人說了實話，所以第三個人的證詞是偽證，也就是說：「前兩個證詞中至少有一個是真的」是句假話。由此可以斷定，第一個和第二個證人都說了假話。從而判斷出甲和乙都是兇手。

媽媽看了誇獎我說：「你真是個小神探。」聽了媽媽的話，我心裡美滋滋的。

游戲中的數學秘密

三（3）A 馬千寓

今天，我去奶奶家，回來的車上，我覺得很沒勁，便和媽媽玩起了數數的游戲：從1開始，可以數一個數字，也可以連續數兩個數字，比如1或者1、2，這樣兩個人輪流往下數，看誰先數到30，就誰獲勝。

奇怪，開始數了幾次都是媽媽贏，我問媽媽是不是有什麼「獨門絕竅」，媽媽笑笑說：「不告訴你！」我就自己想啊想。

爸爸正好提出和我比一局，他讓我先數，我堅持讓爸爸先數，爸爸開始數：「1、2」，我接著數：「3」；爸爸數「4」，我就數「5、6」。這樣只要爸爸數一個數時，我就數兩個；爸爸數兩個數時，我就數一個，我們一直數下去，結果，我先數到30啦！

我高興得感覺自己的頭發直往天上沖！我終於找到數數中的秘訣啦！媽媽問：「真的嗎？你找到什麼秘訣啦？」我說：「只能數1個數或者2個數，1加2不等於3嗎？30除以3剛好能整除。我就始終讓自己搶到說3的倍數，這樣就能贏啦！」

媽媽笑了，說：「對呀！另外我們還可以倒著進行思考……」

沒等媽媽說完，我搶著說：「是不是這樣，要搶到30，必須先搶到27；而要搶到27，又必須先搶到24；要搶到24，就要先搶到21……所以只要搶到3的倍數就能獲勝。」

媽媽又問：「如果，我們比誰先數到20或者40呢？」

看來，媽媽又想來刁難我，我想了想說：「那我也有辦法。20除以3，余數是2。那麼，我只要搶到說3的倍數再加上2的那個數就行啦。如果是比誰先數到40，那麼40除以3，余數是1，我只要搶到說3的倍數再加上1的那個數就行啦！」

我提出和媽媽再比一比，媽媽連連擺手，說：「我不來啦！我不來啦！」

哈哈，媽媽

害

怕

啦！

掛燈籠

今天，媽媽買了5包小燈籠，每包6個。9個稍微大一點的燈籠，10個水果燈籠，2個漂亮的走馬燈和4個大燈籠。准備掛燈籠啦！我在想：

5×6+（9+10+4）

=30+23

=53（個）

竟然有這么多的燈籠？那每棵樹得掛多少燈籠呀？我算了一下，我們家有5棵粗壯的大樹，17棵小樹，哇噻！每棵小樹要掛3個燈籠。你們肯定會覺得很奇怪，那大樹怎麼辦呢？你不用擔心，因為大樹大多數是金辣椒、金盆等東西。掛好了燈籠，我才想到，掛燈籠怎麼也會用到數學呢？

三（1） 黃凱傑

我的早晨

早晨6點30分，我按時起了床，用大約14厘米長的牙刷刷牙，接著用大約深6厘米的水洗臉，然後媽媽為我做了鮮美無比的面條。吃了面條，就去了離家1千米左右的學校上學，來到三（1）班教室，我就拿出語文書翻到第2頁，讀起了第1課《燕子》。

㈡ 學習了《建築工程計量與計價》心得體會1500字

《建築工程計量與計價》學習心得
《建築工程計量與計價》是建築工程及相關專業的一門重要專業課，本課程的主要任務是學習建築工程造價的構成及工程造價計價的原理和方法，掌握建築工程造價確定的方法及工程量計算規則。通過本課程的學習，要求能參考相關資料完成一套建築工程施工圖工程量清單的編制，會進行投標報價。
該課程介紹了建築工程計量與計價基本知識，介紹了定額計價模式與清單計價模式下，建築工程費用構成的方法與不同，介紹了建築工程消耗量定額的基礎知識，闡述了建築面積計算規則及方法，分章節說明工程量計算規則，並以實例解釋計算規則的應用方法。
熟讀教材內容，結合當地建築工程定額掌握定額的組成及應用方法，讀懂建築工程施工圖，大量練習工程量的計算，多讀，多看，多練，不斷實踐。
一、學習要點
（一）建築工程計量與計價基本知識
1. 定額計價模式
定額是在合理的勞動組織和合理地使用材料和機械的條件下，完成單位合格產品所需消耗的資源數量的標准。定額按生產要素分，勞動定額（人工定額）、材料消耗定額、機械台班使用定額
2. 工程量清單計價模式
工程量清單是表現擬建工程的分部分項工程項目、措施項目、其它項目名稱和相應數量的明細清單。
工程量清單項目設置規則概括為：四個統一，統一的項目編碼，統一的項目名稱，統一的計量單位，統一的工程量計算規則。
3. 預算定額
預算定額是確定一定計量單位的分項工程或結構構件的人工、材料、施工機械台班損耗量的標準的技術經濟文件。
（二）建築面積計算
建築面積是指房屋建築各層外圍水平投影面積相加後的總面積。也是建築物外牆勒腳以上各層水平投影面積的總和。包括使用面積、輔助面積和結構面積。
（三）工程量計算規則
根據《建設工程工程量清單計價規范》GB50500

㈢ 如何提高學生的計算能力心得體會

計算能力一看天賦，二看練習。
在我看來，天賦決定了一個人的下限，而訓練，練習決定了一個人的上限。
天賦肯定是改不了了，畢竟咱們普通人也沒有一朝頓悟，世人皆是螻蟻的境界。那剩下的計算能力最重要的不就是練習嗎？
我認為練習這一方面講究不多，咱們現在大部分是應試教育，不就擅長這個嗎？平時就死練一種方法，等練到惡心，練到看到題就想吐，不僅是下意識的反應，都有肌肉記憶了，那不就什麼都會了。
刷題嘛，不難，就看能不能堅持了，畢竟高考就要這樣過來，提前找找感覺，至於成不成的嘛，不寒磣。

㈣ 計算機 心得體會範文

原文：人不知而不慍，不亦君子乎！

注釋：自己有學問有道德，別人卻不知到或不了解，我也不惱怒，（我）不也是一位道德修養很高的人嘛！

體會：我覺得還應有一種解釋，就是別人的知識少，修養不夠，或反應慢一些，面對這樣的人我也不惱怒，而應該耐心指導他，在指導別人的時候互相學習，共同提高。

原文：其為人也孝悌，而好犯上者，鮮矣。

注釋：一個孝順父母、尊敬兄長的人，是不會冒犯長輩和上司的。

體會：確實，應該孝悌第一，才學第二，德才兼備，德在才先。

原文：無友不如己者

注釋：不與在各方面比自己差的人交朋友

體會：我不是完全理解或贊同（原文或譯文），如果都不跟比自己差的人交朋友，那麼誰跟你交朋友呢？！每個人都有長處，哪怕一點點，取長補短是正確的。當然，交友勿爛——要有底線，比如不孝悌者勿交；勿太多——精力不夠，太多了就不能交叫友了，只能叫熟人、認識而已；古代，交友不慎是要喪命滅族的，《資治通鑒》中三國那部分提到不少，以後補充。

原文：不患人之不己知，患不知人也。

注釋：不要擔心人家不了解自己，要憂慮自己不理解別人

體會：確實，一是要盡可能了解和理解、寬容別人，因為每個人的出生、成長環境都不同，所以行為模式等文化差的存在是正常的；二是不要總想著別人的問題和錯誤，多想自己做好沒有，做到最好沒有，自己做好了，別人自然會看到、知道和感覺到，別人也自然會努力做好了。

原文：…，四十而不惑，…

注釋：…，四十歲時已經明了各種事情而不會感到疑惑，…

體會：確實，我的目標也是這樣。准備花幾年時間把歷史、傳統文化的書籍都研讀一遍；多溝通；多思考。

原文：先行其言而後從之

注釋：子貢問怎樣算是君子，孔子說：「把自己要說的話先去兌現，兌現後再說出來，這樣才稱得上一個君子」

體會：有道理。我應該這樣去做。

原文：文質彬彬，然後君子

注釋：質地和文采配合適當，這才是一個君子。

體會：文章的內容和形式都重要，內容是基礎，形式是表象，搭配好就更吸引人了；做事情，方向和方法都重要，方向錯了是大錯，方法錯了是小錯；做人，思想和外在打扮都重要。

原文：知之者不如好之者，好之者不如樂之者

注釋：懂得某種學問的人比不上喜愛這種學問的人，喜愛這種學問的人比不上研究這種學問產生快樂的人

體會：非常有道理，我自己的親身實踐充分地證明了這一點：? 我的英語、計算機水平一般，卻從事信息化工作十年，且小有所成；

? 雖然我是工科出身，但是，近期，我喜愛並研究起紅山文化和歷史來，如醉如痴，樂此不彼。研究文獻、逛博物館、遛古玩城和地攤，寫文章闡述我的觀點，等等。估計要成為一個文史學者了。呵呵

? 我做事情從來不想錢，我只是喜歡去做，做下去，必然會有價值，價值必然會最終體現到金錢上，但價值絕對不僅僅體現在金錢上。其實，能做自己喜歡的事情，這本身就體現了巨大的價值。一句話：不要為錢和別人的喜好去做事，要做自己喜歡做的事情。

原文：知者樂水，仁者樂山。知者動，仁者靜。知者樂，仁者壽。

注釋：聰明的人喜歡水，經常活動，心情愉快舒暢；有仁德的人喜愛山、恬靜、健康長壽

體會：觀察自身和周邊人員的性格、行為等，這個觀點很正確。我總體上來講屬於『知者』，對水有感覺，愛運動，積極樂觀，再不順心的事情，打場球就完全快樂起來了。

我喜歡水，跟我小時候的經歷也許有關吧，小學的時候，有時只上半天課，那半天就跟父親到附近河裡用網掛魚，河在山根下順著山勢流動，從興安嶺里出來，匯到鴨魯河、嫩江、松花江、黑龍江，到海。河裡掛魚、河邊玩耍、看著山和雲，那是一段快樂的時光。

總體上來講『知者』重人生的質量；『仁者』重人生的長度。『仁者』讓世界穩定，『知者』讓世界多姿多彩！

原文：子曰：自行束修xiu以上，吾未嘗無誨焉。

注釋：只要是帶著薄禮來求見我的，我從來沒有不給予教誨的。

體會：看來送禮是傳統啊，聖人也喜歡送禮，聖人也是人，也需要生活啊。不知道送厚禮的話，孔子會如何對待。呵呵

原文：子曰：「不憤(1)不啟，不悱(fei)不發。舉一隅(yu)不以三隅反，則不復也。」

注釋：孔子說：「教導學生，不到他想弄明白而又不能弄明白的時候，我不去點撥他；不到他想出來卻說不清楚的時候，我不去啟發他。教給他一個方面的東西，他卻不能由此而推知其他幾個方面的東西，那就不再教他了。」

體會：相關的言論，孔子說：「中人以上可以語上也；中人以下，不可以語上也。」核心是因材施教，因時施教，啟發式教育。關鍵還是要弄清楚你的孩子、學生、下屬和你要培育的對象的性格、智力、興趣等，有針對性地教育和培養。可惜，我們國家幾千年封建思想的影響巨大，封建王朝不是選拔皇帝，而是培養、輔佐皇帝，全國人民陪著皇帝成長，這個皇帝不壞就算全國人民幸運，否則，全國人民將陷入無邊的災難之中。培育孩子也一樣，人家的孩子學鋼琴，就要讓自己的孩子學鋼琴。培育孩子的事情再專題闡述。

與誰共事？

原文：子曰：「暴虎馮ping河，死而無悔者，吾不與也。必也臨事而懼。好謀而成者也。」

注釋：孔子說：「赤手空拳和老虎搏鬥，徒步涉水過河，死了都不會後悔的人，我是不會和他在一起共事的。與我共事的一定要是臨事能小心謹慎，善於謀劃而能取得成功的人。」

體會：能控制的莽撞之人還是可以適當用用的，一線戰士就是需要勇和執行力；謀劃是領導層和謀士的事情，大領導主要是用人和明辨是非，決策吧。謀劃清楚了，意志就堅定了，行動計劃就有了，就可以爭取到需要的資源，所有工作就可以順利開展起來了，所以，謀劃是根本。而謀劃需要思維、思想和學識、經驗、調研、溝通等。有些人小心倒是小心了，但不能謀劃或謀劃不清楚，就成了猶豫不絕。結果貽誤戰機和機遇，每天就只能幹些下屬能乾的事情，下屬嘛，就再干他的下屬該乾的事情，結果整個團隊就成了無頭的蒼蠅，勤奮、忙亂和瞎撞。

孔子說：「到五十歲學習《易》，我便可以沒有大的過錯了。」

我也在50歲的時候再學《易》吧，太難看懂了。呵呵

【原文】 子曰：「我非生而知之者，好古，敏以求之者也。」

【譯文】 孔子說：「我不是生來就有知識的人，而是喜愛古代的文化，勤奮敏捷地去尋求來的啊。」

【體會】他之所以成為學識淵博的人，在於他愛好古代的典章制度和文獻圖書，而且勤奮刻苦，思維敏捷。這是他總結自己學習與修養的主要特點。我也要象孔子那樣，要象個小學生一樣來認真學習古今中外的文化典籍，而不是僅僅學習一些自然、科學知識（這方面我是大學畢業），可是，在人生、人文、社會這所大學里邊，我現在可能剛上小學。

孔子（前551-前479），距今2500多年，我們覺得孔子就是標準的古代人了，可是，在孔子眼裡也有古人，包括《論語》里提到和引用的話語好多都是《詩、書、禮、易…》等書中的。也就是夏商周的人在他那裡就是古人了。在夏商周的人眼裡，紅山文化及紅山先民應該是他們崇拜的對象吧。其實，幾千年下來，科技日新月異，技術迅猛發展，人們的生活方式發生了翻天覆地的變化，那麼，有什麼東西是不變的呢？人性！

【原文】 子曰：「不在其位，不謀其政。

【譯文】 孔子說：「不在那個職位上，就不考慮那職位上的事。」

【體會】書上的評論：「不在其位，不謀其政」也就是要「安分守己」。這在春秋末年為維護社會穩定，抑制百姓「犯上作亂」起到過重要作用，但對後世則有一定的不良影響，尤其對民眾不關心政治，安分守禮的心態起到誘導作用。應當說，這是消極的。

我覺得有道理，中國人喜歡做一個良民，只要還能吃上飯、沒凍死就不會起來造反。反映到商品社會里，就是中國缺乏認真的消費者，吃飯硌了牙、麥當勞的薯條軟塌塌都不當回事兒，工業品、日常用品都是這樣，能用、能對付就行了，沒人去較真，結果就是廠商也不想著提高產品質量了；更體現在中國人的政治意識淡漠，20年的市場經濟把人們的注意力都吸引到經濟方面去了，溫飽——小康——大康…，破壞環境來換錢，人文、文化成為沙漠，政治更是不知為何物。個人認為，美國崛起和強大的原因就是有一個良好的政治體制。

只抓經濟，不抓教育；抓教育就是升學和灌知識，不塑造人，不提人文，結果培育的大多是知識機器。

不在其位，不謀其政也就罷了；在其位，不謀其政，有人是這樣；在下位，謀上政，亂；在上位，謀下屬的政，更亂。呵呵

【原文】 子曰：「知者不惑，仁者不憂，勇者不懼。」

【譯文】 孔子說：「聰明人不會迷惑、困惑、疑惑，有仁德的人不會憂愁，勇敢的人不會畏懼。」

【體會】 有道理，但我認為『知』 是根本和關鍵。『知』是知識、智力、智慧、思維、思路、方法等，具備這些，工作、生活都會清楚、簡單，人生就是做事，事情就是做和不做，為什麼做，為什麼不做，做和不做都有有利有弊，不是要找到一種沒有弊的解決方案，而是要分析怎麼做的利大於弊，利最大。做事需要資源、時機，分析清楚了，信心堅定了，資源就來了，事情就順利了，有條不紊地進行了，當然不必要惑、憂、懼。

我自身的工作、生活實踐已經證明了這個道理，有幾年，很努力，可是效果不理想，於是困惑、憂慮，甚至恐懼。近1-2年各方面加強學習、溝通、思考後，好多了。我現在做事之前，充分調研、分析，做這個事情的意義、價值、緊急程度、相關人員的需求、需要的資源、時機等等，弄清楚後，如果要做，就有條不紊地溝通和推進之。對我來講，沒有什麼難事，只有做和不做的事情，決定做了，去做就是了，做就做成。人生，活的就是一個品牌和形象，和企業一樣需要經營。

達

原文： 夫達也者，質直而好義，察言而觀色，慮以下人。在邦必達，在家必達。

譯文：所謂達，那是要天性質朴正直，內心喜愛道義，善於揣摩對方的話語，觀察對方的神色，經常想著謙恭待人。這樣的人，就可以在國君的朝廷和大夫的封地里通達。

體會：這也許是做臣子的道理，打工之人應該遵守的道理。

【原文】攀遲問知。子曰：「知人。」子曰：「舉直錯諸枉(1)，能使枉者直。」

【譯文】 樊遲問什麼是智，孔子說：「了解人。」孔子說：「選拔正直的人，罷黜邪惡的人，這樣就能使邪者歸正。」

【體會】了解人、用人的能力對領導來講很重要。封建王朝重在選拔大臣，不可能選拔皇帝，選拔也只是在皇帝的兒子里選，大多數也選不了，立長子為太子，省事。導致家天下中的皇帝一代不如一代，末代皇帝都生不出孩子了。

而美國事選『皇帝』——總統，選上還要受到監督，而且還不許你干太長的時間，厲害。中國封建王朝的好多想法好有一比：一群老鼠想了一個好主意，如果給貓脖子上戴一個鈴鐺，貓一來就聽到響聲了，老鼠們為這個主意高興、歡呼，高興後研究怎麼做到的時候，傻眼了。而美國的憲法雖然沒有提人權、民主等，但幾條基本的政治制度卻實實在在地保證了人權和民主。

【原文】 子曰：「以不教民戰，是謂棄之。」

【譯文】 孔子說：「如果不先對老百姓進行作戰訓練，這就叫拋棄他們。」

【體會】我們日常工作、生活中經常這么干，基層員工不充分地培訓、訓練他們就開始工作了，結果浪費了大量的時間、機會，這是大家都知道的。更糟糕的是，中、高層領導，因為親信、關系、業務高手等原因到了領導崗位，實際上是從業務、技術、無知等轉型到管理和領導，可是自己沒有這個意識，提拔他的人也沒有這個意識，放任自由地就干什麼了，結果就是亂糟糟。

要做好事情和事業，選合適的人，然後培訓、指導之。

【原文】 子曰：「不患人之不己知，患其不能也。」
【譯文】 孔子說：「不憂慮別人不知道自己，只擔心自己沒有本事。」

【體會】確實，我以前就是這么想的，做了點事情就到處張揚，很怕別人不知道。其實，做了對『別人』（同事、家人、社會、民族…）有利的事情，別人最終都會知道，而且肯定會有與你的付出相適應的回報，只是回報的周期有長有短，且回報周期越長，收益越大！（大家想一想，小時工按小時計算報酬、星期工、按月拿工資的上班族、按年計算收入的經理人、規劃多年發展的企業家、老闆，不計收入得失的政治家和領袖，如：孫中山、毛澤東…）但收益不僅僅是經濟效益！同樣，做了對『別人』不利的事情，同樣會得到不好的回報。

當然，如果你不是一個團隊中的領袖、大領導的話，也存在一個『良禽擇木而棲，良臣擇主而侍』的問題，既要跟有胸懷、魄力、魅力…等的領導和明君，這樣，你的付出才有合適的回報，因為這樣的領導看得見你的付出，他們是研究人、關心人的需求的領導，而不是天天忙於做事情的『領導』。

《資治通鑒》中有許多諫臣，忠君，但喪了命，甚至滅門，是愚忠、蠢忠！為什麼？因為他的君不明，自己又不講方法、策略。

總之，無論領導和下屬，不是看你嘴上說什麼，而是看你實際做了什麼，怎麼做的，做了，別人自然知道，只是知道的周期而已。

人活著，活的是什麼？品牌、信用！和企業一樣，只有人的品牌、信用是跟著人走的，好的品牌和信用到哪裡都能夠取錢！所以，我們要不斷地塑造和維護好自己的品牌和信用，而不需要存儲過多的金錢。

【原文】 子曰：「不逆詐，不億不信，抑亦先覺者，是賢乎！」

【譯文】孔子說：「不預先懷疑別人欺詐，也不猜測別人不誠實，然而能事先覺察別人的欺詐和不誠實，這就是賢人了。」

【體會】我覺得這就談到了管理和領導，對待下屬（經過招聘篩選後的人員），應該這樣。但肯定需要一定的方法和程序，員工中有責任感、進取心的人基本不需要管理，約佔20%；要即使發現和辭退不適合這里工作的員工（極少數是不太好，大多數更適合其它方面的工作，或者文化不兼容），約佔10%；中間的70%員工需要的是激勵、指導、引導，促使他們工作和進步。

【原文】子曰：「何以報德？以直報怨，以德報德。」
【譯文】孔子說：「用什麼來報答恩德呢？應該是用正直來報答怨恨，用恩德來報答恩德。」
【體會】孔子不同意「以德報怨」的做法，認為應當是「以直報怨」。這是說，不以有舊惡舊怨而改變自己的公平正直，也就是堅持了正直，「以直報怨」對於個人道德修養極為重要，但用在政治領域，有時就不那麼適宜了。

我還是贊成『以德報怨』的，也就是要理解、寬容那些性格怪僻的人、傷害了你的人，因為你不能做到理解和寬容，你就已經受傷害了，且會持續地受著傷害！我們還應該教化他們，讓他們覺悟，愛他們。但要注意，不要搞成農夫和蛇的關系和下場。

【原文】 子曰：「人無遠慮，必有近憂。」
【譯文】 孔子說：「人沒有長遠的考慮，一定會有眼前的憂患。」

【體會】 也就是要計劃和規劃，做一件事情要這樣，工作、公司經營也是這樣，特別是人生規劃和職業規劃，更是一個人一生中最重大的事情，應該及早思考，並在合適的時候相對地明確自己的人生規劃，否則，就如一葉小舟飄盪在海上，即使努力劃漿，也極有可能原地打轉。

如果說最近有什麼憂慮的話，那極有可能是以前沒有謀劃。事前謀，成！

【原文】 子曰：「躬自厚而薄責於人，則遠怨矣。」
【譯文】 孔子說：「多責備、反省自己，而少省察責備別人，那就可以避免別人的怨恨了。」
【體會】 人與人相處難免會有各種矛盾與糾紛。關鍵是遇到這種情況的時候怎麼對待。我現在認識到，任何時候首先要省察自己，找出自己做的不好和改進的方面，比如說話方式、方法、時機等，自己的言行是否端正，說到底就是修身，修自己，自己修好了，一切都好了。

別人看到你自己修身，遇事總是尋求改進自己，那麼，人家也會如此，大家都省察自己，就和諧了。

有的人會說，我已經做的好了，可是別人還是不配合、不理解等。其實，自己做的是否夠好，是否足夠好，不是自己說了算的，應該由別人評論，用事實說話，和諧了就說明你真的做好了。

當然，如果碰到無法禮遇的人，我們只能暫時避而遠之；但一個人是否無法禮遇，不是一個人來認定的，應該由大家來認定。

【原文】 子曰：「君子不以言舉人，不以人廢言。」
【譯文】 孔子說：「君子不憑一個人說的話來舉薦他，也不因為一個人不好而不採納他的好話。」
【體會】 說話好聽的人不一定是對你好的人，但總說讓你高興的話的人基本上不是對你好的人；說話難聽的人不一定是對你不好的人，但總是說難聽的話的人肯定非上品。

最終還是要察其言，觀其行，透過現象看本質。

㈤ 小學五年級五百字的數學學習心得怎麼寫

學習數學,重要的是理解,而不是像其它科目一樣死背下來.數學有一個特點,那就是"舉一反三」.做會了一道題目,就可以總結這道題目所包含的方法和原理,再用總結的原理去解決這類題,收效就會更好.學習數學還有一點很重要,那就是從基本的下手,穩穩當當的去練,不求全部題都會做,只求做過的題不會忘,會用就行了.在做題的過程中,最忌諱的就是粗心大意.往往一道題目會做,卻因粗心做錯了,是很不值得的.所以在考數學的時候,一定不要太急,要條理清楚的去計算,思考;這樣速度可能會稍慢,但卻可以使你不丟分.相比之下,我會採取稍慢的計算方法來全面分析題目,盡量做到不漏.學習是一生的事情,不要過於著急,一步一個腳印的來,就一定會取得一想不到的效果.

我一直認為數學不是靠做題做出來的.方法永遠比單純做題更重要.在第二天講課前,最好先預習一下.用筆劃出不懂的地方.在老師講課時認真聽講,並在原先預習時不懂的地方加以解釋,寫好步驟.在課上,有選擇的聽和記老師所講的例題.首先要聽懂,然後再記下些重要的步驟和方法以及易錯的地方和自己不容易想到的地方.還有,重要的定理和結論一定要熟記.課後要善於總結本堂課的內容,並在腦中梳理自己不懂的但經老師講後才明白的例題的步驟,梳理1至2遍.課後要按時完成作業.一般先看老師鉤的題目,看完後再自己動手做一遍.至於那些老師沒有鉤的題目,可選擇性的做一些.若想的時間太久,就需要"放棄"了.

數學的學習是一個積累和運用的過程，因此，學好數學的一個必要前提便是要注重平時的積累和運用。而在日常時對於數學的學習還是有許多方法的。

數學學習做題是極為必要的，因此做題之後的總結工作也是極為重要的，否則只能是雜而不精，無法將知識融會貫通，合理運用。總結工作具體而言我們可以這樣做：一，常備改錯本，將自己做錯的題目摘錄下來，並將自己的錯誤做法和正確的作法一同記錄下來，，以此警惕自己；二，正確把握考點，抓好典型，以此舉一反三，我們在做題的過程中應該對題目考察的知識點有一定的認識，不可盲目做題，在此過程中我們可以提取一些具有某知識點的典型考法的題目，將其擬於一個標題之下記錄，以此不變而應萬變；三，對於許多學有餘力的同學而言，僅有以上兩點，想要得到進一步的提高還是遠遠不夠的，我們還需要對解題方法有一個思辯的理解，從許許多多

的解法中選取適於自己的解題方式，而對於一些靈活的題目而言，我們還應該在做題中對許許多多的情況進行總結，以便在考試中將方法靈活運用，防止死做與定性思維的產生。

㈥ 求一篇平法識圖與鋼筋算量的實訓心得，400字左右

寫作思路：根據自己實際進行的平法識圖與鋼筋算量的實訓寫出自己的心得體會，包括計算的細節。

正文：

鋼筋砌築工程實訓心得體會實訓心得當得知專業實訓要開始的時候，這就要把我們學了一個學期多的施工理論知識與實際相結合了，難免心中充滿著無比的好奇與期待。

雖然看過不少的施工視頻，但還是不減心中的興奮。是新的環境，是新的開始，更是新的考驗。
自5月17日起我校開展了為期4天的鋼筋綁扎和磚牆砌築實訓。

如今，在綿綿細雨中，實訓也暫時告一段落，時光之流，宛若時間飛逝，感覺很急促，感覺很充實。在這次的實訓中， 我們學到了很多，遇到了許多困難，同樣也解決了不少的難題，這也使得我內心有了那麼一點點的小小的成就感。

一路跟著師傅學習，也有和教科書里稍有出入的地方，而正是這點稍有出入，讓我們豐富了實踐的經驗。在開始實訓之前我們將需要用到的紅磚搬到實訓場地，每人30塊。

一塊磚大約有5斤，這對女生來說有一-點困難，好在有熱心的男生幫忙，很快就把1500塊磚搬到了指定位置。都說團結就是力量，這不就是個例子嗎?隨後我們一一個班，分成了8個小組，4個小組一個項日，完成後輪換。

我的組先開始的是鋼筋綁扎實訓，接著就是磚牆砌築實訓。

實訓的課程，讓我們獲得對工程造價一鋼筋平法計算和鋼筋工程施工的更多認識，掌握一定的施工實際操作技能及相關技術與質量標注，同時激發我們對學習的熱愛，對專業的熱愛，對勞動的熱愛。

首先我們要挑選出直的有足夠長度的φ6鋼筋，要直的是因為在鋼筋彎曲成箍筋時方便控制間距，而要足夠長度是因為要避免鋼筋彎曲後不能形成閉合的箍筋。

鋼筋看起來不算粗，但拿起來著實是有 點分量的。挑好鋼筋後就可以將其放到手動的鋼筋彎曲機上進行彎曲了。開始彎長度短一一點，成90度，再彎曲22m也是成90度，重復此步驟3遍，最後將剩餘部分彎曲約135度，這樣一個閉合箍筋就完成了。

就這樣做13個箍筋，每邊22m。 下.步就可以將箍筋套入主筋進行綁扎了。需要注意綁扎搭接接頭要相互錯開，用扎鉤時抓住尾端轉即可不然就會很費力。箍筋間距20m，最好是在套箍筋前就畫好標記方便放置箍筋位置。

最後拆除鐵絲用榔頭將箍筋敲直，清理現場。鋼筋綁 扎的實訓就完成了。說起來好像是容易的，真正在做的時候真的不易，組里的男生女生都幹得大汗淋漓。

個臭皮匠，頂個諸葛亮。 實訓結束了，我堅信通過這段時間的實習，所獲得的實踐經驗對我終身受益，在我以後的學習工作中將不斷的得到驗證，我會不斷的理解和體會實習中所學到的知識。並且更加認真學習理論知識。

㈦ 雲計算學習心得體會

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㈧ 高等數學學習心得體會_高等數學學習總結

大學里的高等數學課程，如果僅僅是作為一種數學工具的功能的話是正在逐步縮減，但作為一種思維 方法 的載體的功能(例如訓練學生辯證思維、邏輯推理、發現同題及分析同題的能力)卻愈顯風采。下面是我為大家收集整理的高等數學 學習心得 體會，歡迎大家閱讀。

高等數學是大學工科課程里的一門重要基礎課。它的重要性，我相信大家都了解。高等數學是許多課程的基礎，特別是與以後的許多專業課都緊密相連。因此，學好高等數學對於一名工科學生來說，至關重要。

然而，對於許多同學來說，高等數學是一門頭疼的學科。如何學好高等數學呢?下面是我個人在學習過程中的一些心得體會。

首先，我覺得高等數學與以前我們高中所學的數學有一點不同。高等數學注重的是一種數學的思想，比如說微積分思想，極限的思想。強調的數學的邏輯性與分析性。不像高中數學那樣注重技巧性。因此，在學習的過程中，課本的知識至關重要。對於課本上面每一個概念、定理、公式、例題，都要理解清楚。特別是對於定理、公式的推導過程，不僅要弄懂每一步的推導過程如何來，而且還要學會自己推導。因為學會自己推導，更有助於我們的記憶和應用。我的 經驗 是，在理解的基礎上去記憶公式，而不是一味的死記硬背。

第二，學習數學是不能缺少訓練的。一定量的課後習題訓練，不但可以讓我們鞏固我們學到的知識點，學會如何在實際中應用我們學到的公式定理，還有助於我們熟悉考試的各種題型。還有，題目並不是越多越好，題海戰術不僅浪費大量的時間與精力，而且效果也不好。我的經驗是，每做完一道題都要 總結 一下，特別是做錯的題目，這道題的知識點是哪些?應用了哪些公式定理?錯在哪裡?為什麼會做錯?學會思考，學會總結，這樣做題才能達到事半功倍的效果。

最後，學好數學是一個堅持的過程。高等數學的內容環環相扣，哪一個環節脫節都會影響整個學習的進程。所以，平時學習不應貪快，要一節一節，要一章一章過關，不要輕易留下自己不明白或者理解不深刻的問題。這樣，對於後面的學習會造成很大的影響。

隨著科技日新月異的發展和電腦無孔不入的應用.高等數學課程作為一種數學工具的功能正在逐步縮減.但作為一種思維方法的載體的功能(例如訓練學生辯證思維、邏輯推理、發現同題及分析同題的能力)卻愈顯風采。一個多元線性方程組如何去解?我們可以交給電腦去完成，只要會正確使用數學軟體。但一個實際問題如何通過數學建模轉化為一個數學同題，除了必須具備許多綜合的知識，還需要具備一定的分析推理能力，這種素質自然可以通過生活來積累，但如果能夠通過象高等數學這樣的課程作為載體來進行系統訓練，將是事半功倍的。

以往對工科學生來講，高等數學的教學比較偏重於計算方法的訓練，例如，如何計算極限，計算導數，計算積分，通過熟練掌握計算方法來加深對概念的理解，這是學習高等數學的一條捷便之徑。但是從二十一世紀更加需要創新人才的觀點看，從高等數學的概念中直接去提煉一種分析推理能力及實際應用能力，將是更加重要的。(當然，在改革的力度還未到位時，由於教學要求及教材等原因.學習高等數學並不能僅偏重於概念，對基本的計算方法必須熟練地掌握。如今就如何學好高等數學的基本概念。提出一些拙見供同學參考。

1)從正反兩個層面理解概念

我們觀察一個物體，如果僅僅通過平視去進行，那麼對這個物體的認識往往是局部的，甚至是扭曲的，只有從正視、俯視、側視的多角度去觀察與綜合，方能得到物體正確的空間定位。觀察事物尚且如此，要理解一個抽象的概念，如果只有單向的思維方法，肯定只能淺嘗輒止.只有從正反兩個方向去透視概念，才能較深地抓住概念中一些本質的東西。這里所說的正方向思維應該包含幾層意思：一是概念的定義是如何敘述的，二是概念所尉帶的條件是必要的.還是充分的?三是概念產生的實際背景是什麼?這里所說的反方向思維又應該包含兩層意思：一是對一個概念的否定是怎樣表達的?二是如果錯誤的理解了概念中的一些條件會導致什麼樣的錯誤結果。

2)學與問

古人說.學起於思，思源於疑，這話道出了做學問的過程中發現問題提出問題的重要性。高等數學的講課進程一般都比較快的，課堂上講的內容不能完全聽懂是正常的現象，同題在於聽不懂看不懂的內容是隨意放棄呢還是努力請教老師請教同學直到學懂為止。如果輕易放棄.時間一長就會失去學習的信心，所以一定要以鍥而不舍的精神邊學邊問。不過這樣的提問還只是被動的，主動的提問應該是自己在學習過程中去發現同題。如何才能

發現問題呢?首先要提倡自學，在自己預習教材(也鍛煉了一種自學能力)的過程中很容易發現不懂的同題，帶著同題再去聽課就會有的放矢。其次是聽課之後做習題之前要認真復習消化課上的內容，只要積極地開動腦筋，從中是會發現很多問題的，在這個較深層次上發現問題又去解決問題(可以通過同學與老師的幫助)，那麼分析問題的能力就會有一個質的提高。

3)做習題與想習題

學習數學，不做習題是絕對不行的.因為耐概念究竟理解與否檢驗的最後關口是習題。一道習題不會做或者做錯了，肯定是某些概念投有消化好，帶著習題再來復習理解概念，拄往會摩擦出新的思想火花。學習高等數學的過程中，我們不主張採用中學的題海戰，但對每道習題不但要弄懂正確的解法，而且盡量要考慮能否有多種解法。這還不夠，進一步的思考是一些似是而非的錯誤解法究竟錯在哪裡?必定是對概念理解的偏差才導致的錯誤結果.經過又一次正反兩個層面的開掘.思考深入了，學習的興趣也會逐步培育起來。

高等數學是我院 財務管理 、工程管理、國際貿易、商管等相關專業的基礎課，主要講述了一元函數與多元函數的微積分學，針對不同專業的實際情況，結合“雙考大綱”，高等數學又分為《高等數學A》、《高等數學B》、《高等數學C》，充分掌握高等數學的基本知識，對今後專業課的學習，繼續深造，從事金融行業、建築行業以及個人的 邏輯思維 等方面有很多大幫助。但是這門課程具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性，知識一環扣一環，結構既有嚴密的內在聯系同時又呈曲線跳躍式發展，對於各高校的學生來說，都是一門難學的課程。因此，在教學過程當中，盡可能的採取靈活多樣的 教學方法 ，讓學生充分的理解、掌握所學知識。作為一名新 入職 的教師，一方面很是感激校方對於我的信任，另一方面也深知作為年輕老師教學經驗還有待進一步提高，但是我在西北大學現代學院這僅僅半年時間就讓我受益匪淺，在這里談一下自己的感受：

首先要認真備課，仔細撰寫教案，上課時要說課，這節課大家需要掌握什麼(教學大綱的要求，考試要考的知識)，重點、難點是什麼，使學生清楚這節課堂目的，做到有的放矢，同時還要時而去走進其他老師的課堂，認真聽聽他們的講課，向有經驗的教師學習， 反思 自己的教學過程並不斷完善自己的教案和教學方法。對於教案的認真撰寫須不斷地向其他優秀老師學習，這樣才會不斷地完善自己的教學，提高自己的能力。

其次，上課要突出重點，做到張弛有度，結合我院學生的特點，盡量用簡單通俗的語言，圖形描述講解抽象的定理，推論等，比如在講解定積分及其性質、多元函數求導運算。具體到知識點的時候，重點是在分析，考察哪個知識點，要我們做什麼，完成這個工作，需要幾個步驟，每個步驟的工作又是什麼，跟學生講明白，體現層次感，每堂課對於一個知識點，至少一道題目要有完整的板書，便於學生做筆記，模仿，要及時講解作業，多與學生交流，了解學生，深入到學生中去。

再次，教會學生學習的方發：聽課要學會“抓大放小”，抓住主要思路，主要思想，主要的脈路，不要在小問題上糾纏，課後自己動手去解決，實在不懂再問老師、同學，因為高數的技巧性很強，這樣也提高了學生學習的興趣。另外，上課的內容要有所拓展，在難度上要照顧想 考研 的學生，這些跟學生說清楚。

最後，就是基本素質，所謂“學高為師，身正為范”，教師的 言行舉止 也在潛移默化中影響著學生。因此，我們要著裝大方得體、講課的語速要適中，提前幾分鍾到教室，上課帶教案、教材、教學手冊，尊重學生，所言所行符合高校教師職業道德。

高等數學這門課程本質上決定了它的枯燥無味，在教學過程中，要不斷摸索，總結，依靠課堂魅力去感染學生，影響學生，讓學生喜歡這門課程。

㈨ 如何提高小學生的數學計算能力心得體會

一、重視對口算能力的培養
培養學生的計算能力，要重視基本的口算訓練，口算既是筆算、估算和簡便運算的基礎，也是計算能力的重要組成部分。只有口算能力強，才能加快筆算速度，提高計算的正確率。因此，每位同學都要打好口算基礎，加強口算訓練，提高口算能力。
我們班每位學生都有一本口算題卡，我要求不僅要算對，更要快一點完成，我會讓孩子們寫生他們做完一頁口算題卡的時間，盡力養成又對又快的好習慣。
二、重視對估算能力的培養
在我曾經教授的三年級課堂計算學習中，在計算前可進行估算，使學生合理靈活地運用多種方法去思考問題。在計算後對結果也進行估算，可以使學生獲得有價值的檢驗。
三、注重計算方法，數學思維的訓練
有些計算學習對於學生來說其實很簡單，就算老師不教，大部分學生也會算。但是作為教師，決不能只滿足於學生會算，而是讓學生從解決問題的過程中明白算理， 總結出法則，參與到知識形成的整個過程中。
比如學生知道2+3=5，我會把3+2=5進行對比教學，雖在一年級不學習加法交換律，但是我也要給學生一些方法，根據三個不同的數字寫出四個不同的算式，如給出2、3、5，除了能寫出以上兩種加法算式，還有兩個減法算式如5-3=2，5-2=3。在我講分與合時，老師先列舉6的兩種分法，並且按順序分，如6可以分成1和5,6可以分成5和1，示範結束後教給學生自己寫出其他的分法。為了更好地發展思維，我還讓學生在每種分法下面寫出四種算式。
作為一名數學老師，在課堂中要重視演示與操作，幫助孩子用對不同的方法，循序漸進提高他們的數學思維和計算能力，我相信對於低年級孩子的學習很有幫助的

㈩ 關於動態規劃演算法，哪位可以講一下自己心得體會

動態規劃的特點及其應用
安徽 張辰
動態規劃 階段

動態規劃是信息學競賽中的常見演算法，本文的主要內容就是分析它的特點。
文章的第一部分首先探究了動態規劃的本質，因為動態規劃的特點是由它的本質所決定的。第二部分從動態規劃的設計和實現這兩個角度分析了動態規劃的多樣性、模式性、技巧性這三個特點。第三部分將動態規劃和遞推、搜索、網路流這三個相關演算法作了比較，從中探尋動態規劃的一些更深層次的特點。
文章在分析動態規劃的特點的同時，還根據這些特點分析了我們在解題中應該怎樣利用這些特點，怎樣運用動態規劃。這對我們的解題實踐有一定的指導意義。

動態規劃是編程解題的一種重要的手段，在如今的信息學競賽中被應用得越來越普遍。最近幾年的信息學競賽，不分大小，幾乎每次都要考察到這方面的內容。因此，如何更深入地了解動態規劃，從而更為有效地運用這個解題的有力武器，是一個值得深入研究的問題。
要掌握動態規劃的應用技巧，就要了解它的各方面的特點。首要的，是要深入洞悉動態規劃的本質。
§1動態規劃的本質
動態規劃是在本世紀50年代初，為了解決一類多階段決策問題而誕生的。那麼，什麼樣的問題被稱作多階段決策問題呢？
§1.1多階段決策問題
說到多階段決策問題，人們很容易舉出下面這個例子。
[例1] 多段圖中的最短路徑問題：在下圖中找出從A1到D1的最短路徑。
仔細觀察這個圖不難發現，它有一個特點。我們將圖中的點分為四類（圖中的A、B、C、D），那麼圖中所有的邊都處於相鄰的兩類點之間，並且都從前一類點指向後一類點。這樣，圖中的邊就被分成了三類（AàB、BàC、CàD）。我們需要從每一類中選出一條邊來，組成從A1到D1的一條路徑，並且這條路徑是所有這樣的路徑中的最短者。
從上面的這個例子中，我們可以大概地了解到什麼是多階段決策問題。更精確的定義如下：
多階段決策過程，是指這樣的一類特殊的活動過程，問題可以按時間順序分解成若干相互聯系的階段，在每一個階段都要做出決策，全部過程的決策是一個決策序列[1]。要使整個活動的總體效果達到最優的問題，稱為多階段決策問題。
從上述的定義中，我們可以明顯地看出，這類問題有兩個要素。一個是階段，一個是決策。
§1.2階段與狀態
階段：將所給問題的過程，按時間或空間特徵分解成若干相互聯系的階段，以便按次序去求每階段的解。常用字母k表示階段變數。[1]
階段是問題的屬性。多階段決策問題中通常存在著若干個階段，如上面的例子，就有A、B、C、D這四個階段。在一般情況下，階段是和時間有關的；但是在很多問題（我的感覺，特別是信息學問題）中，階段和時間是無關的。從階段的定義中，可以看出階段的兩個特點，一是「相互聯系」，二是「次序」。
階段之間是怎樣相互聯系的？就是通過狀態和狀態轉移。
狀態：各階段開始時的客觀條件叫做狀態。描述各階段狀態的變數稱為狀態變數，常用sk表示第k階段的狀態變數，狀態變數sk的取值集合稱為狀態集合，用Sk表示。[1]
狀態是階段的屬性。每個階段通常包含若干個狀態，用以描述問題發展到這個階段時所處在的一種客觀情況。在上面的例子中，行人從出發點A1走過兩個階段之後，可能出現的情況有三種，即處於C1、C2或C3點。那麼第三個階段就有三個狀態S3=。
每個階段的狀態都是由以前階段的狀態以某種方式「變化」而來，這種「變化」稱為狀態轉移（暫不定義）。上例中C3點可以從B1點過來，也可以從B2點過來，從階段2的B1或B2狀態走到階段3的C3狀態就是狀態轉移。狀態轉移是導出狀態的途徑，也是聯系各階段的途徑。
說到這里，可以提出應用動態規劃的一個重要條件。那就是將各階段按照一定的次序排列好之後，對於某個給定的階段狀態，它以前各階段的狀態無法直接影響它未來的發展，而只能通過當前的這個狀態。換句話說，每個狀態都是「過去歷史的一個完整總結[1]」。這就是無後效性。對這個性質，下文還將會有解釋。
§1.3決策和策略
上面的階段與狀態只是多階段決策問題的一個方面的要素，下面是另一個方面的要素——決策。
決策：當各段的狀態取定以後，就可以做出不同的決定，從而確定下一階段的狀態，這種決定稱為決策。表示決策的變數，稱為決策變數，常用uk(sk)表示第k階段當狀態為sk時的決策變數。在實際問題中，決策變數的取值往往限制在一定范圍內，我們稱此范圍為允許決策集合。常用Dk(sk)表示第k階段從狀態sk出發的允許決策集合。顯然有uk(sk) ?Dk(sk)。[1]
決策是問題的解的屬性。決策的目的就是「確定下一階段的狀態」，還是回到上例，從階段2的B1狀態出發有三條路，也就是三個決策，分別導向階段3的C1、C2、C3三個狀態，即D2(B1)=。
有了決策，我們可以定義狀態轉移：動態規劃中本階段的狀態往往是上一階段和上一階段的決策結果，由第k段的狀態sk和本階段的決策uk確定第k+1段的狀態sk+1的過程叫狀態轉移。狀態轉移規律的形式化表示sk+1=Tk(sk,uk)稱為狀態轉移方程。
這樣看來，似乎決策和狀態轉移有著某種聯系。我的理解，狀態轉移是決策的目的，決策是狀態轉移的途徑。
各段決策確定後，整個問題的決策序列就構成一個策略，用p1,n=表示。對每個實際問題，可供選擇的策略有一定范圍，稱為允許策略集合，記作P1,n，使整個問題達到最有效果的策略就是最優策略。[1]
說到這里，又可以提出運用動態規劃的一個前提。即這個過程的最優策略應具有這樣的性質：無論初始狀態及初始決策如何，對於先前決策所形成的狀態而言，其以後的所有決策應構成最優策略[1]。這就是最優化原理。簡言之，就是「最優策略的子策略也是最優策略」。
§1.4最優化原理與無後效性
這里，我把最優化原理定位在「運用動態規劃的前提」。這是因為，是否符合最優化原理是一個問題的本質特徵。對於不滿足最優化原理的一個多階段決策問題，整體上的最優策略p1,n同任何一個階段k上的決策uk或任何一組階段k1…k2上的子策略pk1,k2都不存在任何關系。如果要對這樣的問題動態規劃的話，我們從一開始所作的劃分階段等努力都將是徒勞的。
而我把無後效性定位在「應用動態規劃的條件」，是因為動態規劃是按次序去求每階段的解，如果一個問題有後效性，那麼這樣的次序便是不合理的。但是，我們可以通過重新劃分階段，重新選定狀態，或者增加狀態變數的個數等手段，來是問題滿足無後效性這個條件。說到底，還是要確定一個「序」。
在信息學的多階段決策問題中，絕大部分都是能夠滿足最優化原理的，但它們往往會在後效性這一點上來設置障礙。所以在解題過程中，我們會特別關心「序」。對於有序的問題，就會考慮到動態規劃；對於無序的問題，也會想方設法來使其有序。
§1.5最優指標函數和規劃方程
最優指標函數：用於衡量所選定策略優劣的數量指標稱為指標函數，最優指標函數記為fk(sk)，它表示從第k段狀態sk採用最優策略p*k,n到過程終止時的最佳效益值[1]。
最優指標函數其實就是我們真正關心的問題的解。在上面的例子中，f2(B1)就表示從B1點到終點D1點的最短路徑長度。我們求解的最終目標就是f1(A1)。
最優指標函數的求法一般是一個從目標狀態出發的遞推公式，稱為規劃方程：

其中sk是第k段的某個狀態，uk是從sk出發的允許決策集合Dk(sk)中的一個決策，Tk(sk,uk)是由sk和uk所導出的第k+1段的某個狀態sk+1，g(x,uk)是定義在數值x和決策uk上的一個函數，而函數opt表示最優化，根據具體問題分別表為max或min。
，稱為邊界條件。
上例中的規劃方程就是：

邊界條件為
這里是一種從目標狀態往回推的逆序求法，適用於目標狀態確定的問題。在我們的信息學問題中，也有很多有著確定的初始狀態。當然，對於初始狀態確定的問題，我們也可以採用從初始狀態出發往前推的順序求法。事實上，這種方法對我們來說要更為直觀、更易設計一些，從而更多地出現在我們的解題過程中。
我們本節所討論的這些理論雖然不是本文的主旨，但是卻對下面要說的動態規劃的特點起著基礎性的作用。
§2動態規劃的設計與實現
上面我們討論了動態規劃的一些理論，本節我們將通過幾個例子中，動態規劃的設計與實現，來了解動態規劃的一些特點。
§2.1動態規劃的多樣性
[例2] 花店櫥窗布置問題（IOI99）試題見附錄
本題雖然是本屆IOI中較為簡單的一題，但其中大有文章可作。說它簡單，是因為它有序，因此我們一眼便可看出這題應該用動態規劃來解決。但是，如何動態規劃呢？如何劃分階段，又如何選擇狀態呢？
<方法1>以花束的數目來劃分階段。在這里，階段變數k表示的就是要布置的花束數目（前k束花），狀態變數sk表示第k束花所在的花瓶。而對於每一個狀態sk，決策就是第k-1束花應該放在哪個花瓶，用uk表示。最優指標函數fk(sk)表示前k束花，其中第k束插在第sk個花瓶中，所能取得的最大美學值。
狀態轉移方程為
規劃方程為
（其中A(i,j)是花束i插在花瓶j中的美學值）
邊界條件 （V是花瓶總數，事實上這是一個虛擬的邊界）
<方法2>以花瓶的數目來劃分階段。在這里階段變數k表示的是要佔用的花瓶數目（前k個花瓶），狀態變數sk表示前k個花瓶中放了多少花。而對於任意一個狀態sk，決策就是第sk束花是否放在第k個花瓶中，用變數uk=1或0來表示。最優指標函數fk(sk)表示前k個花瓶中插了sk束花，所能取得的最大美學值。
狀態轉移方程為
規劃方程為
邊界條件為
兩種劃分階段的方法，引出了兩種狀態表示法，兩種規劃方式，但是卻都成功地解決了問題。只不過因為決策的選擇有多有少，所以演算法的時間復雜度也就不同。[2]
這個例子具有很大的普遍性。有很多的多階段決策問題都有著不止一種的階段劃分方法，因而往往就有不止一種的規劃方法。有時各種方法所產生的效果是差不多的，但更多的時候，就像我們的例子一樣，兩種方法會在某個方面有些區別。
所以，在用動態規劃解題的時候，可以多想一想是否有其它的解法。對於不同的解法，要注意比較，好的演算法好在哪裡，差一點的演算法差在哪裡。從各種不同演算法的比較中，我們可以更深刻地領會動態規劃的構思技巧。
§2.2動態規劃的模式性
這個可能做過動態規劃的人都有體會，從我們上面對動態規劃的分析也可以看出來。動態規劃的設計都有著一定的模式，一般要經歷以下幾個步驟。
劃分階段：按照問題的時間或空間特徵，把問題分為若干個階段。注意這若干個階段一定要是有序的或者是可排序的，否則問題就無法求解。
選擇狀態：將問題發展到各個階段時所處於的各種客觀情況用不同的狀態表示出來。當然，狀態的選擇要滿足無後效性。
確定決策並寫出狀態轉移方程：之所以把這兩步放在一起，是因為決策和狀態轉移有著天然的聯系，狀態轉移就是根據上一階段的狀態和決策來導出本階段的狀態。所以，如果我們確定了決策，狀態轉移方程也就寫出來了。但事實上，我們常常是反過來做，根據相鄰兩段的各狀態之間的關系來確定決策。
寫出規劃方程（包括邊界條件）：在第一部分中，我們已經給出了規劃方程的通用形式化表達式。一般說來，只要階段、狀態、決策和狀態轉移確定了，這一步還是比較簡單的。
動態規劃的主要難點在於理論上的設計，一旦設計完成，實現部分就會非常簡單。大體上的框架如下：
對f1(s1)初始化（邊界條件）
for k?2 to n（這里以順序求解為例）
對每一個sk?Sk
fk(sk)?一個極值（∞或－∞）
對每一個uk(sk)?Dk(sk)
sk-1?Tk(sk,uk)
t?g(fk-1(sk-1),uk)
y t比fk(sk)更優 n
fk(sk)?t
輸出fn(sn)
這個N-S圖雖然不能代表全部，但足可以概括大多數。少數的一些特殊的動態規劃，其實現的原理也是類似，可以類比出來。我們到現在對動態規劃的分析，主要是在理論上、設計上，原因也就在此。
掌握了動態規劃的模式性，我們在用動態規劃解題時就可以把主要的精力放在理論上的設計。一旦設計成熟，問題也就基本上解決了。而且在設計演算法時也可以按部就班地來。
但是「物極必反」，太過拘泥於模式就會限制我們的思維，扼殺優良演算法思想的產生。我們在解題時，不妨發揮一下創造性，去突破動態規劃的實現模式，這樣往往會收到意想不到的效果。[3]
§2.3動態規劃的技巧性
上面我們所說的動態規劃的模式性，主要指的是實現方面。而在設計方面，雖然它較為嚴格的步驟性，但是它的設計思想卻是沒有一定的規律可循的。這就需要我們不斷地在實踐當中去掌握動態規劃的技巧，下面僅就一個例子談一點我自己的體會。
[例3] 街道問題：在下圖中找出從左下角到右上角的最短路徑，每步只能向右方或上方走。
這是一道簡單而又典型的動態規劃題，許多介紹動態規劃的書與文章中都拿它來做例子。通常，書上的解答是這樣的：

按照圖中的虛線來劃分階段，即階段變數k表示走過的步數，而狀態變數sk表示當前處於這一階段上的哪一點（各點所對應的階段和狀態已經用ks在地圖上標明）。這時的模型實際上已經轉化成了一個特殊的多段圖。用決策變數uk=0表示向右走，uk=1表示向上走，則狀態轉移方程如下：

（這里的row是地圖豎直方向的行數）
我們看到，這個狀態轉移方程需要根據k的取值分兩種情況討論，顯得非常麻煩。相應的，把它代入規劃方程而付諸實現時，演算法也很繁。因而我們在實現時，一般是不會這么做的，而代之以下面方法：
將地圖中的點規則地編號如上，得到的規劃方程如下：

（這里Distance表示相鄰兩點間的邊長）
這樣做確實要比上面的方法簡單多了，但是它已經破壞了動態規劃的本來面目，而不存在明確的階段特徵了。如果說這種方法是以地圖中的行（A、B、C、D）來劃分階段的話，那麼它的「狀態轉移」就不全是在兩個階段之間進行的了。
也許這沒什麼大不了的，因為實踐比理論更有說服力。但是，如果我們把題目擴展一下：在地圖中找出從左下角到右上角的兩條路徑，兩條路徑中的任何一條邊都不能重疊，並且要求兩條路徑的總長度最短。這時，再用這種「簡單」的方法就不太好辦了。
如果非得套用這種方法的話，則最優指標函數就需要有四維的下標，並且難以處理兩條路徑「不能重疊」的問題。
而我們回到原先「標准」的動態規劃法，就會發現這個問題很好解決，只需要加一維狀態變數就成了。即用sk=(ak,bk)分別表示兩條路徑走到階段k時所處的位置，相應的，決策變數也增加一維，用uk=(xk,yk)分別表示兩條路徑的行走方向。狀態轉移時將兩條路徑分別考慮：

在寫規劃方程時，只要對兩條路徑走到同一個點的情況稍微處理一下，減少可選的決策個數：

從這個例子中可以總結出設計動態規劃演算法的一個技巧：狀態轉移一般是在相鄰的兩個階段之間（有時也可以在不相鄰的兩個階段間），但是盡量不要在同一個階段內進行。
動態規劃是一種很靈活的解題方法，在動態規劃演算法的設計中，類似的技巧還有很多。要掌握動態規劃的技巧，有兩條途徑：一是要深刻理解動態規劃的本質，這也是我們為什麼一開始就探討它的本質的原因；二是要多實踐，不但要多解題，還要學會從解題中探尋規律，總結技巧。
§3動態規劃與一些演算法的比較
動態規劃作為諸多解題方法中的一種，必然和其他一些演算法有著諸多聯系。從這些聯系中，我們也可以看出動態規劃的一些特點。
§3.1動態規劃與遞推
——動態規劃是最優化演算法
由於動態規劃的「名氣」如此之大，以至於很多人甚至一些資料書上都往往把一種與動態規劃十分相似的演算法，當作是動態規劃。這種演算法就是遞推。實際上，這兩種演算法還是很容易區分的。
按解題的目標來分，信息學試題主要分四類：判定性問題、構造性問題、計數問題和最優化問題。我們在競賽中碰到的大多是最優化問題，而動態規劃正是解決最優化問題的有力武器，因此動態規劃在競賽中的地位日益提高。而遞推法在處理判定性問題和計數問題方面也是一把利器。下面分別就兩個例子，談一下遞推法和動態規劃在這兩個方面的聯系。
[例4] mod 4 最優路徑問題：在下圖中找出從第1點到第4點的一條路徑，要求路徑長度mod 4的余數最小。
這個圖是一個多段圖，而且是一個特殊的多段圖。雖然這個圖的形式比一般的多段圖要簡單，但是這個最優路徑問題卻不能用動態規劃來做。因為一條從第1點到第4點的最優路徑，在它走到第2點、第3點時，路徑長度mod 4的余數不一定是最小，也就是說最優策略的子策略不一定最優——這個問題不滿足最優化原理。
但是我們可以把它轉換成判定性問題，用遞推法來解決。判斷從第1點到第k點的長度mod 4為sk的路徑是否存在，用fk(sk)來表示，則遞推公式如下：
（邊界條件）

（這里lenk,i表示從第k-1點到第k點之間的第i條邊的長度，方括弧表示「或(or)」運算）
最後的結果就是可以使f4(s4)值為真的最小的s4值。
這個遞推法的遞推公式和動態規劃的規劃方程非常相似，我們在這里借用了動態規劃的符號也就是為了更清楚地顯示這一點。其實它們的思想也是非常相像的，可以說是遞推法借用了動態規劃的思想解決了動態規劃不能解決的問題。
有的多階段決策問題（像這一題的階段特徵就很明顯），由於不能滿足最優化原理等使用動態規劃的先決條件，而無法應用動態規劃。在這時可以將最優指標函數的值當作「狀態」放到下標中去，從而變最優化問題為判定性問題，再借用動態規劃的思想，用遞推法來解決問題。
§3.2動態規劃與搜索
——動態規劃是高效率、高消費演算法
同樣是解決最優化問題，有的題目我們採用動態規劃，而有的題目我們則需要用搜索。這其中有沒有什麼規則呢？
我們知道，撇開時空效率的因素不談，在解決最優化問題的演算法中，搜索可以說是「萬能」的。所以動態規劃可以解決的問題，搜索也一定可以解決。
把一個動態規劃演算法改寫成搜索是非常方便的，狀態轉移方程、規劃方程以及邊界條件都可以直接「移植」，所不同的只是求解順序。動態規劃是自底向上的遞推求解，而搜索則是自頂向下的遞歸求解（這里指深度搜索，寬度搜索類似）。
反過來，我們也可以把搜索演算法改寫成動態規劃。狀態空間搜索實際上是對隱式圖中的點進行枚舉，這種枚舉是自頂向下的。如果把枚舉的順序反過來，變成自底向上，那麼就成了動態規劃。（當然這里有個條件，即隱式圖中的點是可排序的，詳見下一節。）
正因為動態規劃和搜索有著求解順序上的不同，這也造成了它們時間效率上的差別。在搜索中，往往會出現下面的情況：
對於上圖(a)這樣幾個狀態構成的一個隱式圖，用搜索演算法就會出現重復，如上圖(b)所示，狀態C2被搜索了兩次。在深度搜索中，這樣的重復會引起以C2為根整個的整個子搜索樹的重復搜索；在寬度搜索中，雖然這樣的重復可以立即被排除，但是其時間代價也是不小的。而動態規劃就沒有這個問題，如上圖(c)所示。
一般說來，動態規劃演算法在時間效率上的優勢是搜索無法比擬的。（當然對於某些題目，根本不會出現狀態的重復，這樣搜索和動態規劃的速度就沒有差別了。）而從理論上講，任何拓撲有序（現實中這個條件常常可以滿足）的隱式圖中的搜索演算法都可以改寫成動態規劃。但事實上，在很多情況下我們仍然不得不採用搜索演算法。那麼，動態規劃演算法在實現上還有什麼障礙嗎？
考慮上圖(a)所示的隱式圖，其中存在兩個從初始狀態無法達到的狀態。在搜索演算法中，這樣的兩個狀態就不被考慮了，如上圖(b)所示。但是動態規劃由於是自底向上求解，所以就無法估計到這一點，因而遍歷了全部的狀態，如上圖(c)所示。
一般說來，動態規劃總要遍歷所有的狀態，而搜索可以排除一些無效狀態。更重要的事搜索還可以剪枝，可能剪去大量不必要的狀態，因此在空間開銷上往往比動態規劃要低很多。
如何協調好動態規劃的高效率與高消費之間的矛盾呢？有一種折衷的辦法就是記憶化演算法。記憶化演算法在求解的時候還是按著自頂向下的順序，但是每求解一個狀態，就將它的解保存下來，以後再次遇到這個狀態的時候，就不必重新求解了。這種方法綜合了搜索和動態規劃兩方面的優點，因而還是很有實用價值的。
§3.3動態規劃與網路流
——動態規劃是易設計易實現演算法
由於圖的關系復雜而無序，一般難以呈現階段特徵（除了特殊的圖如多段圖，或特殊的分段方法如Floyd），因此動態規劃在圖論中的應用不多。但有一類圖，它的點卻是有序的，這就是有向無環圖。
在有向無環圖中，我們可以對點進行拓撲排序，使其體現出有序的特徵，從而據此劃分階段。在有向無還圖中求最短路徑的演算法[4]，已經體現出了簡單的動態規劃思想。但動態規劃在圖論中還有更有價值的應用。下面先看一個例子。
[例6] N個人的街道問題：在街道問題（參見例3）中，若有N個人要從左下角走向右上角，要求他們走過的邊的總長度最大。當然，這里每個人也只能向右或向上走。下面是一個樣例，左圖是從出發地到目的地的三條路徑，右圖是他們所走過的邊，這些邊的總長度為5 + 4 + 3 + 6 + 3 + 3 + 5 + 8 + 8 + 7 + 4 + 5 + 9 + 5 + 3 = 78（不一定是最大）。
這個題目是對街道問題的又一次擴展。仿照街道問題的解題方法，我們仍然可以用動態規劃來解決本題。不過這一次是N個人同時走，狀態變數也就需要用N維來表示，。相應的，決策變數也要變成N維，uk=(uk,1,uk,2,…,uk,N)。狀態轉移方程不需要做什麼改動：

在寫規劃方程時，需要注意在第k階段，N條路徑所走過的邊的總長度的計算，在這里我就用gk(sk,uk)來表示了：

邊界條件為
可見將原來的動態規劃演算法移植到這個問題上來，在理論上還是完全可行的。但是，現在的這個動態規劃演算法的時空復雜度已經是關於N的指數函數，只要N稍微大一點，這個演算法就不可能實現了。
下面我們換一個思路，將N條路徑看成是網路中一個流量為N的流，這樣求解的目標就是使這個流的費用最大。但是本題又不同於一般的費用流問題，在每一條邊e上的流費用並不是流量和邊權的乘積 ，而是用下式計算：

為了使經典的費用流演算法適用於本題，我們需要將模型稍微轉化一下：
如圖，將每條邊拆成兩條。拆開後一條邊上有權，但是容量限制為1；另一條邊沒有容量限制，但是流過這條邊就不能計算費用了。這樣我們就把問題轉化成了一個標準的最大費用固定流問題。
這個演算法可以套用經典的最小費用最大流演算法，在此就不細說了。（參見附錄中的源程序）
這個例題是我仿照IOI97的「障礙物探測器」一題[6]編出來的。「障礙物探測器」比這一題要復雜一些，但是基本思想是相似的。類似的題目還有99年冬令營的「迷宮改造」[7]。從這些題目中都可以看到動態規劃和網路流的聯系。
推廣到一般情況，任何有向無環圖中的費用流問題在理論上說，都可以用動態規劃來解決。對於流量為N（如果流量不固定，這個N需要事先求出來）的費用流問題，用N維的變數sk=(sk,1,sk,2,…,sk,N)來描述狀態，其中sk,i?V(1￡i￡N)。相應的，決策也用N維的變數uk=(uk,1,uk,2,…,uk,N)來表示，其中uk,i?E(sk,i)(1￡i￡N)，E(v)表示指向v的弧集。則狀態轉移方程可以這樣表示：
sk-1,i = uk,i的弧尾結點
規劃方程為
邊界條件為
但是，由於動態規劃演算法是指數級演算法，因而在實現中的局限性很大，僅可用於一些N非常小的題目。然而在競賽解題中，比如上面說到的IOI97以及99冬令營測試時，我們使用動態規劃的傾向性很明顯（「障礙物探測器」中，我們用的是貪心策略，求N=1或N=2時的局部最優解[8]）。這主要有兩個原因：
一． 雖然網路流有著經典的演算法，但是在競賽中不可能出現經典的問題。如果要運用網路流演算法，則需要經過一番模型轉化，有時這個轉化還是相當困難的。因此在演算法的設計上，靈活巧妙的動態規劃演算法反而要更為簡單一些。
二． 網路流演算法實現起來很繁，這是被人們公認的。因而在競賽的緊張環境中，實現起來有一定模式的動態規劃演算法又多了一層優勢。
正由於動態規劃演算法在設計和實現上的簡便性，所以在N不太大時，也就是在動態規劃可行的情況下，我們還是應該盡量運用動態規劃。
§4結語
本文的內容比較雜，是我幾年來對動態規劃的參悟理解、心得體會。雖然主要的篇幅講的都是理論，但是根本的目的還是指導實踐。
動態規劃，據我認為，是當今信息學競賽中最靈活、也最能體現解題者水平的一類解題方法。本文內容雖多，不能涵蓋動態規劃之萬一。「紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。」要想真正領悟、理解動態規劃的思想，掌握動態規劃的解題技巧，還需要在實踐中不斷地挖掘、探索。實踐得多了，也就能體會到漸入佳境之妙了。
動態規劃，
演算法之常，
運用之妙，
存乎一心。